2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法课件新人教B版选修2_2
2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理讲义新人教B版选修2_2
2.1.2 演绎推理一、演绎推理1．定义根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．2．特征当前提为真时，结论必然为真．二、三段论1．三段论推理(1)三段论推理是演绎推理的一般模式．(2)三段论的构成：①大前提：提供一般性原理；②小前提：指出一个特殊的对象；③结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．(3)“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.2．演绎推理的常见模式(1)三段论推理(2)传递性关系推理用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系．(3)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．( )(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( ) [答案](1)×(2)×(3)×2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．[解析]f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．[答案]小前提3．下列几种推理过程是演绎推理的是______(填序号)．①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．[解析]①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．[答案]①(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．[解](1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．2．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B. [解](1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论演绎推理的综合应用证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[思路探究]用三段论的模式依次证明：(1)DF∥A E，(2)四边形A E DF为平行四边形，(3)DE＝AF.[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥A E.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥E A，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[证明]已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠1＝∠2.结论②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提∠1＝∠3.结论③等于同一个量的两个量相等，大前提∠2，∠3都等于∠1，小前提∠2和∠3相等．结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.1．演绎推理的结论一定正确吗？提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．2．利用完全归纳推理证明方程ax 2＋2x －a ＝0有实根，a 的值应分哪几种情况？ 提示：分a ＝0和a ≠0两种情况．【例3】 试证明函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，并判断其奇偶性． [思路探究] 只须对x >0，x ＝0，x <0分别说明对数的真数均大于0即可． [解] 当x >0时，x ＋x 2＋1>0显然成立； 当x ＝0时，x ＋x 2＋1＝1>0成立； 当x <0时，x 2＋1>x 2＝|x |＝－x ， 所以x ＋x 2＋1>x ＋(－x )＝0.因此对x ∈R ，都有x ＋x 2＋1>0，即函数的定义域为R . 又因为f (－x )＝ln(－x ＋(－x )2＋1) ＝ln(x 2＋1－x )＝ln (x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )x 2＋1＋x＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )．故f (x )是奇函数．1．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．2．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．3．求证：n∈N，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．[证明]当n＝1时，f(1)＝(2＋7)·3＋9＝36，能被36整除；当n＝2时，f(2)＝(2×2＋7)·32＋9＝108＝36×3，能被36整除；当n＝3时，f(3)＝(2×3＋7)·33＋9＝360＝36×10，能被36整除；当n＝4时，f(4)＝(2×4＋7)·34＋9＝1 224＝36×34，能被36整除．综上，当1≤n≤4时，f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除.1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝πB．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－1a n －1(n ≥2)，通过计算a 2，a 3，a 4猜想出a n 的通项公式[解析] A 是演绎推理，B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．[答案] A2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的 [解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．[答案] A3．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：___________________________________________；小前提：___________________________________________；结论：_____________________________________________.[答案] 一次函数的图象是一条直线函数y ＝2x ＋5是一次函数函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线4．如图所示，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ＝CD ，BC ＝AD .又因为△ABC 和△CDA 的三边对应相等，所以△ABC ≌△CDA .上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.[答案] 大前提 大前提5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)y ＝x 2(x ∈R )是偶函数．[解] (1)因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等．结论(2)因为x ∈R ，函数f (x )有f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，大前提而y ＝x 2满足x ∈R ，f (－x )＝f (x )，小前提∴y ＝x 2(x ∈R )是偶函数．结论。
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A
论归结为判定一个明显成 P2⇐P3 → … → 法 或 执
立的条件(已知条件、定___理_、 得到一个明显
果索因
成立的条件
法.
_定__义__、_公__理__等)为止，这
种证明方法叫做分析法.
核心要点探究
知识点一 综合法 【问题1】 用综合法证明命题的基本思路是什么？ 答案 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知 走向求证，即从已知条件、公理、定理出发，经过严格的 逻辑推理，最后达到待证的结论或需求的问题．
【问题2】 综合法的推理过程是合情推理还是演绎 推理？
答案 综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步 推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
知识点二 分析法 【问题1】 用分析法证明命题的基本思路是什么？ 答案 分析法的基本思路是“执果索因”．由求证 走向已知，即从数学题的待征结论或需要求证的问题出发 ，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显 成立的条件，或者是可以证明的条件．
典题示例
【典例】 (12 分)若 a，b，c 为不全相等的正数，求证： lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a＞lg a＋lg b＋lg c.
[审题指导]
典题试解
已知函数 f(x)＝lg1x－1，x∈0，12，若 x1，x2∈0，12 且 x1≠x2.
求证：12[f(x1)＋f(x2)]＞fx1＋2 x2.
【问题3】 什么是分析综合法？
答案 “分析综合法”又叫混合型分析法，是同时 从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路 的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不 能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相 成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合 法的方法结构如图所示：
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2
知识点二 分析法
思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知 a，b>0，求证：a＋2 b≥ ab. 证明：要证a＋2 b≥ ab，只需证 a＋b≥2 ab， 只需证 a＋b－2 ab≥0，只需证( a－ b)2≥0，
因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立.
答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证 明的结论变成一个明显成立的条件.
梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 定义、公理、_定__理_ 等，经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的 结论 成立，这种 证明方法叫做综合法. (2)综合法的框图表示
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(P表示 已知条件 、已有的 定义 、公理、定理 等，Q表示所要 证明的结论)
跟踪训练2 已知非零向量a，b，且a⊥b， 求证：|a|a|＋＋|bb||≤ 2. 证明 a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|a|＋＋|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即证(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证.
A.( 2－ 3)2<( 6－ 7)2
B.( 2－ 6)2<( 3－ 7)2
√C.( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2
D.( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2， 只需证 2＋ 7< 6＋ 3， 即证( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2.
2019-2020学年高中人教A版数学选修1-2课件：第2章 推理与证明 2.2 2.2.1 第一课时 综合法
【证明】 (1)在△ABC 中，∵D，E 分别为 AB，BC 的中点， ∴DE∥AC，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1C1∥AC，∴ DE∥A1C1. 又∵DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， ∴直线 DE∥平面 A1C1F.
(2)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1A⊥平面 A1B1C1， ∵A1C1⊂平面 A1B1C1，∴A1A⊥A1C1. 又 A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面 ABB1A1，A1B1⊂平面 ABB1A1， A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面 ABB1A1. 又∵B1D⊂平面 ABB1A1，∴A1C1⊥B1D. 又 B1D⊥A1F，A1C1⊂平面 A1C1F，A1F⊂平面 A1C1F， A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面 A1C1F. ∵B1D⊂平面 B1DE，∴平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
第二章 推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法 第一课时 综合法
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梳理知识 夯实基础
目标导学
1．理解综合法的定义，掌握综合法的思维特点． 2．能熟练地运用综合法证明数学问题．
‖知识梳理‖ 1．综合法的含义 一般地，利用__已_知__条_件_____和某些数学定义、___定__理______、 __公_理________等，经过一系列的_推__理_论__证_____，最后推导出所要 _证__明_的__结_论__成_立___________，这种证明方法叫做综合法．
答案：a5＞b5
5．(2019·全国卷Ⅲ)图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC ＝60°.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.
2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法课件新人教A版选修1_2
【证明】 (1)因为 x2＋1＞|x|， 所以 x2＋1＋x＞0 恒成立， 所以 f(x)＝log2( x2＋1＋x)的定义域为 R，
所以要证函数 y＝log2( x2＋1＋x)是奇函数， 只需证 f(－x)＝－f(x)， 只需证 log2( x2＋1－x)＋log2( x2＋1＋x)＝0， 只需证 log2[( x2＋1－x)( x2＋1＋x)]＝0， 因为( x2＋1－x)( x2＋1＋x)＝x2＋1－x2＝1， 而 log21＝0，所以上式成立， 故函数 f(x)＝log2( x2＋1＋x)是奇函数．
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示 要证明的结论．
◎变式训练
3．已知 a，b，c 表示△ABC 的三边长，m＞0，求证a＋a m ＋b＋b m＞c＋c m.
证明 要证明a＋a m＋b＋b m＞c＋c m， 只需证明a＋a m＋b＋b m－c＋c m＞0 即可， 所以a＋a m＋b＋b m－c＋c m ＝a（b＋m）（c＋m）（＋a＋b（m）a＋（mb）＋（m）c＋（mc）＋－m）c（a＋m）（b＋m）
即证(n＋2)·n≤(n＋1)2，......(10 分)
即证 n2＋2n≤n2＋2n＋1，
也就是证 0≤1，
上式显然成立，
故 log(n＋1)(n＋2)＜logn(n＋1)成立．
第四步， 推出明 ......(12 分)…… 显成立 的条件 得出结论
[名师点晴] 注意步骤的规范性和完整性 解题时步骤要完整、规范，注意步与步之间的严谨 性和逻辑性，减少失分，如本例若漏任一地方，步骤 就不完整，会导致失分．
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.1
当 n＝1 时，a1＝S1＝1，a2＝1＋1 2·S1＝3， 故 S2＝4，满足nS＋n＋11＝2·Snn， ∴数列Snn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列． (2)由(1)知，nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 ，且 an＝nn＋－11Sn－1(n≥2)， 于是 Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11 ＝4an(n≥2)． 又 a1＝1，a2＝3S1＝3，故 S2＝a1＋a2＝4＝4a1，适合上式． 因此对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.
• 于是，要证3S≤I2＜4S，即证3S≤a2＋b2＋c2＋2S＜4S，
• 即证S≤a2＋b2＋c2＜2S.
• ①要证S≤a2＋b2＋c2，即证a2＋b2＋c2－ab－bc－ca≥0，即 证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(a2＋c2－2ca)≥0，即证(a －b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0.
∴只需证
a2＋a12＋22≥a＋1a＋
22，
即 a2＋a12＋4 a2＋a12＋4≥ a2＋2＋a12＋2 2a＋1a＋2， 从而只需证 2 a2＋a12≥ 2a＋1a， 即需证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12， 即 a2＋a12≥2，而此不等式显然成立． 故原不等式成立．
考点三 分析法与综合法的综合应用
• ∴a2＋b2＋c2＜2S成立．
• 综合①②可知，S≤a2＋b2＋c2＜2S成立，于是3S≤I2＜4S成 立．
课末随堂演练
课后限时作业
故要从 A 推到 D，由 A 推演出的中间结论未必唯一，如 B，B1，B2 等，可由 B， B1，B2 推演出的进一步的中间结论则可能更多，如 C，C1，C2，C3，C4 等，所以如 何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明的关键．
2019秋高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课件新人教A版选修1_2
第二章 推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法 第 1 课时 综合法
[学习目标] 1.了解直接证明的基本方法——综合 法，理解综合法的思考过程、特点(重点).2.会用综合法证 明一些数学问题(重点、难点)．
1．综合法的定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证明方法叫做综合法． 温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用 相关的定义、定理、公理和已知条件
求证：：(1)在平面 ABD 中，AB⊥AD，EF⊥AD，所 以 AB∥EF，
又因为 AB⊂平面 ABC，且 EF⊄平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD ＝BD， 又因为 BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD，
A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 解析：由于OA→＋O→C＝O→B＋O→D ∴O→A－O→B＝O→D－O→C，即B→A＝C→D 故四边形 ABCD 为平行四边形．
答案：D
4．已知关于 x 的方程 x2＋(k－3)x＋k2＝0 的一根小 于 1，另一根大于 1，则 k 的取值范围是________．
归纳升华 1．从要证等式中“角”的关系入手，沟通角的联系 “2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α”正确利用三角变换 公式转化．
2．从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推 知”由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就 是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或 “⇒”．
[变式训练] 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修1_2
2．在某两个正数 x，y 之间插入一个数 a，使 x，a，y 成等差数 列，插入两数 b，c，使 x，b，c，y 成等比数列，求证：(a＋1)2 ≥(b＋1)(c＋1)．
证明：由已知得b22a＝＝cxx＋，y，所以 c2＝by，
x＝bc2，y＝cb2，
即 x＋y＝bc2＋cb2，
从而 2a＝bc2＋cb2.
分析法证明数学问题的方法
a＋b＋c 3.
已知 a，b，c 是正实数，求证：
a2＋b2＋c2≥ 3
证明：要证
a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c，
只需证a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c2，
只需证 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
即证 2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
所以a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 所以a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯， 综合法是顺推，分析法容易探路，综合法条理清晰，易于表达， 但思路不太好想，因此在选择证明方法时，一定要有“综合性 选取”意识，明确数学证明方法不是孤立的，应当善于将两种 不同的证明方法结合在一起运用．
＝1，2，3，…)． 证明：(1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
【证明】 (1)因为当 n≥2 时，an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋n 2Sn， 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以nS＋n＋11 ＝2·Snn. 又当 n＝1 时，S1＝a1＝1，a2＝1＋1 2·S1＝3，故 S2＝1＋3＝4， 也满足nS＋n＋11 ＝2·Snn. 所以数列Snn是以 2 为公比的等比数列．
2019高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法学案 新人教B版选修2-2
2.2.1 综合法与分析法1．掌握综合法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用综合法证明简单题目． 2．掌握分析法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用分析法证明简单题目． 3．区分综合法、分析法的推理特点，以便正确选取适当方法进行证明．1．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学______、______、______等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法有三个特点：(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法；(2)用综合法证明问题，从已知条件出发，逐步推理，最后达到待证的结论； (3)综合法证明的思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 【做一做1－1】综合法是( )． A ．执果索因的逆推法 B ．由因导果的顺推法 C ．因果互推的两头凑法 D ．以上均不对【做一做1－2】设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )．A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B 2．分析法一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做______．用分析法证明的逻辑关系是：B (结论)B 1B 2…B n A (已知)．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的______条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．分析法的特点：(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．(2)由于分析法是逆扒证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表达。
【做一做2】分析法是( )． A ．执果索因的逆推法 B ．由因导果的顺推法C ．因果分别互推的两头凑法D ．逆命题的证明方法证明与推理有哪些联系与区别？剖析：(1)联系：证明过程其实就是推理的过程．就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程．一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理．(2)区别：①从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的．论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推理的前提．②从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是不确定的，而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的．题型一 综合法【例题1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N ＋)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列．分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，思路是用定义证明，所以恰当的处理递推关系是关键．反思：应用综合法证明问题是从已知条件出发，经过逐步地运算和推理，得到要证明的结论，并在其中应用一些已经证明的或已有的定理、性质、公式等．综合法的特点是：从已知看可知，再由可知逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．步骤可以归结为P 0(已知)P 1P 2P 3…P n (结论)．题型二 分析法【例题2】如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使要证结论成立的充分条件．反思：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．题型三 易错辨析易错点：分析法是一种重要的证明方法，因为它叙述较繁，易造成错误，所以在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，另外，要注意前后的必要性，即应是“”，而不是“”．【例题3】求证：3＋6＜4＋ 5. 错证：由不等式3＋6＜4＋5.① 平方得9＋62＜9＋45.② 即32＜25.③ 则18＜20.④因为18＜20，所以3＋6＜4＋ 5.1函数f (x )＝ln(e x＋1)－x2( )．A ．是偶函数，但不是奇函数B ．是奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数2已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )．A ．aB ．－bC ．1bD ．－1b3已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则当xy 取最小值时x ，y 的值分别为( )．A ．5,5B ．10,52C ．10,5D ．10,104已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中正确的命题是________(填序号)．5若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________________． 答案：基础知识·梳理1．定义 公理 定理 【做一做1－1】B【做一做1－2】C ∵x ＞0，y ＞0，x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y.2．充分 分析法 充分 【做一做2】A 典型例题·领悟【例题1】证明：(1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列． (2)∵b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n N ＋且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3b n b n －1＋3b n ＝3b n －11b n－1b n －1＝13. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列．【例题2】证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )， 只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )， 只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )． 由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立． 所以AF ⊥SC .【例题3】错因分析：由于错证的过程是①②③④，因而书写格式导致了逻辑错误．其证明的模式(步骤)以论证“若A ，则B ”为例：欲证命题B 成立，只需证命题B 1成立，只需证命题B 2成立……，只需证A 为真．由已知A 真，故B 必真．正确证法：欲证不等式3＋6＜4＋5成立，只需证3＋218＋6＜4＋220＋5成立，即证18＜20成立，即证18＜20成立．由于18＜20是成立的，故3＋6＜4＋ 5.随堂练习·巩固1．A 函数的定义域为R ，f (－x )＝ln(e －x＋1)－－x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e xe x ＋x 2＝ln(e x ＋1)－ln ex＋x2＝ln(e x＋1)－x2＝f (x )．∴f (x )＝ln(e x＋1)－x2为偶函数．2．B ∵f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .3．B 由x ＋4y ＋5＝xy ，得24xy ＋5≤xy ，即4xy ＋5≤xy .再利用二次函数求xy 的最小值，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝xy 时，xy 取到最小值，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝52.故选B.4．① 由三视图知在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥SA ，由于SA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面SAC .故命题①正确，由已知推证不出②③命题．5．a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .。
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)