第5章 刚体力学基础 动量矩

(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能 先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之 矩。
(iii) 质点系对固定点的角动量定理的物理意义： 质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力 矩的矢量和。
第五章 刚体力学基础 动量矩
2、质点系对轴的角动量定理
如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动 量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。 为简单记只讨论沿z轴的角动量定理——这时组成质点系的n 个质点位于z轴的转动平面内，于是有
※在直角坐标系中，其表示式为
( yFz zFy )i ( zFx M xi M y j M z k i j k M x y z Fx Fy Fz
xFz ) j ( xFy yFx )k
M x yFz zFy
M y zFx xFz
r sin F F rF sin rF
F r
F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内， 则只需将力分解为与轴垂直、平行 的两个分力即可。
第五章 刚体力学基础 动量矩
力对固定点的力矩为零的情况：
力F等于零， 力F的作用线与矢径r共线（力F的作用线穿过0点, 即，有心 力对力心的力矩恒为零）。
mv m vx i m vy j m vz k
第五章 刚体力学基础 动量矩
L
i x m vx
j y m vy
k z m vz
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xpy ypx
L
★ 角动量的单位是：千克· 2· -1(kg· 2·-1)。 米 秒 m s
M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
2）力矩的单位、 牛· 米(N· m)
第五章 刚体力学基础 动量矩
3）力矩的计算： M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M Fr sin
M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
(mi ri2 )
第五章 刚体力学基础 动量矩
3、转动惯量的引入 若令
I mi ri2
则有
L mi ri2 I


即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作 圆周运动，则这时系统对轴的角动量为
将其与线动量
p mv
L I
相比
2
m 表示物体的平动惯性，则 I 表示转动惯性，故将
0
L ·
r
mv

L r mv
角动量是矢量，角动量 L 的方向垂直于 r 和 mv 所组成的平 面，其指向可用右手螺旋法则确定。
注意：为表示是对哪个参考点的角动量，通常将角动量 L 画 在参考点上。
L 的大小为 L r mv sin ★ 在直角坐标系中 r xi yj zk
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
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二
质点的角动量
mv
角动量的引入：
L
在质点的匀速圆周运动中，动量 mv 不守恒，但 mv r mv 常数
LL
mv
rr
mv
r r r r
mv
mv
p2
v mv
1. 角速度矢量
方向：沿轴向，右手螺旋

β
2. 角加速度的矢量
加速度与角速度、角加速度的矢量关系式 dv d(ω r ) dω dr a r ω r ω v dt dt dt dt d 3. 定轴转动的角速度与角加速度的矢量 k k
命名为对轴的转动惯量，
I mi ri
（式中 ri 为 mi 到轴的距离）
2
此时质点系对轴的角动量定理为
d M iz dt

d I (mi ri ) dt
第五章 刚体力学基础 动量矩
4、转动惯量的计算 对于单个质点
质点系 若物体质量连续分布，
I mr n 2 I mi ri
M z xFy yFx
第五章 刚体力学基础 动量矩
２、力对轴的矩： 力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列 Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴 的转动平面内，作用点到Ｚ Mz 轴的位矢为r，则力对Ｚ轴 F// 的力矩为 r F M z rF sin ·

i 1
n
dL n M外 M 外dt dL d ri mi vi dt i 1
（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理 相似）
第五章 刚体力学基础 动量矩
d n ri Fi外 ( ri mi vi ) dt i 1
四、质点角动量守恒定律
a、对点的角动量守恒律
若 M 0 ，则
L r mv 常数
dL M dt
质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点对该参 考点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。 ＊若质点受有心力作用，则该质点对力心的角动量一定守恒。
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d r F (r mv ) dt
即：作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
第五章 刚体力学基础 动量矩
２、角动量定理的积分形式：

t
t0
Mdt L L0

t
t0
Mdt
叫冲量矩
M 和 L 必须是对同一点而言 外力距对某固定点的冲量距等于质点对该点的角动量的增量。
结论：刚体内所有质点的速度相同，加速度相同。 2. 转动 瞬时转轴

r
r v=0
固定不动 — 定轴转动
v0
v0
0 第五章 刚体力学基础 动量矩
纯滚动 v = r
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面 内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述? 第五章 刚体力学基础 动量矩
★当质点作圆周运动时, 有 v=r, 且r与 v 互相垂直， 故有
r
mv
L＝r mv=m r2
★
L 是相对量
第五章 刚体力学基础 动量矩
★角动量的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线 运动。
2、质点对轴的角动量 ☆ 假定质点的动量就在转动平面内，且质点对轴的矢径为r， 则质点对z 轴的角动量为 L z r mv ，方向沿 z 轴，可正、 可负
d (mv ) rF r dt
式中 r 是质点对参考点o的位矢。
dr v, 又 dt dL 或 于是有 M dt
dL d dr d (mv ) (r mv ) mv r dt dt dt dt
dr mv 0 dt
五、质点系的角动量定理
1、质点系对固定点的角动量定理
i质点对固定点O的角动量定理 设有一质点系，共有n个质点，其第i个质点受力为
n 1 Fi外 f ji ＋
j 1
则i质点对固定点o的角动量定理为
n 1 d ri ( Fi外 f ji ) (ri mi vi ) dt j 1
d M iz dt
(r m v sin )
i i i i
式中 ri 为 i 质点到 z 轴的距离， i 是 vi 与 ri 间的夹角。 若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作圆周运动， 则这时
i
则有

2
sin i 1,
且 vi ri
d M iz dt
开普勒行星运动定律的面积定律

r
rr
p1
1 1 r p1 p2 sin rvt sin 2 2
面积
1 rv sin 常数 t 2
再考虑到行星的质量m为恒量， 许多实例都说明
r mv
r mv 常数
是一个独立的物理量，
第五章 刚体力学基础 动量矩
A） 有两种情况, M 0
B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ）
F
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
0 F
有心力的力矩为零
则力对该轴无力矩作用。
第五章 刚体力学基础 动量矩
质点系内一对内力对任一点的力矩之矢量和为零
M i 0 M j 0 ri f ji rj f ij f ij f ji M i 0 M j 0 (ri rj ) f ji rij f ji 0
dr 速度与角速度的矢量关系式 v ω r dt
说明
dω dt
vAຫໍສະໝຸດ rodt
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5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩
1、力对固定点的力矩 1）定义：作用于质点的力对 惯性系中某参考点的力矩， 等于力的作用点对该点的位 矢与力的矢积，即
第五章 刚体力学基础 动量矩
对i求和——质点系对固定点O的角动量定理

i 1