分布函数弱收敛
浙大版概率论与数理统计习题集和试卷
浙大版概率论与数理统计习题集和试卷第一讲1.2,？,N1. 由盛有号码为的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码,求这些号码按严格上升次序排列的概率.(2)对任意凑在一起的40 人, 求他们中没有两人生日相同的概率.2r(2r,n)3. 从n 双不同的鞋子中任取只, 求下列事件的概率:r(1) (1) 没有成双的鞋子; (2) 只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有双鞋子. 4. 从52 张的一副扑克牌中, 任取 5 张, 求下列事件的概率:(1)(1) 取得以A为打头的顺次同花色5张；(3)(2) 有 4 张同花色;(4)(3) 5 张同花色;(5)(4) 3 张同点数且另 2 张也同点数.思考题:1.( 分房、占位问题) 把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同(设格子足够大，可以容纳任意多个球)。
1.I. 若这n 个球是可以区分的，求(1) 指定的n 个格子各有一球的概率;(2)有n 个格子各有一球的概率;若这n 个球是不可以区分的，求(1) 某一指定的盒子中恰有k 个球的概率;(2)恰好有m个空盒的概率。
2.取数问题) 从1-9 这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率: (1) (1) 五个数全不同;(2)1 恰好出现二次;(3) 总和为10.第二讲1.在一张打方格的纸上投一枚直径为 1 的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于0.01?2.在某城市中共发行三种报纸: 甲、乙、丙。
在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%订乙报(记为B)的有35%订内报(记为C)的有30%同时订甲、乙两报(记为D)的有10%同时订甲、丙两报(记为E)的有8%同时订乙、丙两报(记为F)的有5%同时订三中报纸(记为G)的有3%.试表示下列事件，并求下述百分比:(1) 只订甲报的;(2) 只订甲、乙两报的;(3) 只订一种报纸的;(4) 正好订两种报纸的;(5) 至少订一种报纸的;(6) 不订任何报纸的.3.在线段[0,1] 上任意投三个点, 求0 到这三点的三条线段能构成三角形的概率.4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件:(1)(1) 四个事件至少发生一个;(2)(2) 四个事件恰好发生两个;(3)(3) A,B 都发生而C, D 不发生;(4)(4) 这四个事件都不发生;(5)(5)这四个事件至多发生一个;(6)(6)这四个事件至少发生两个;(7)(7)这四个事件至多发生两个.m(m,n)n5. 考试时共有张考签, 有个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率.k(k,n)6. 在?3例5中, 求恰好有个人拿到自己的枪的概率.p,P(A),q,P(B),r,P(A,B)P(AB)P(AB)7.给定, 求及. 思考题l(l,a)1.( 蒲丰投针问题续)向画满间隔为a的平行线的桌面上任投一直径为的半圆形纸片, 求事件“纸片与某直线相交”的概率;第三讲nm1. 件产品中有件废品, 任取两件, 求:(1)(1) 在所取两件中至少有一件是废品的条件下, 另一件也是废品的概率;(2)(2) 在所取两件中至少有一件不是废品的条件下, 另一件是废品的概率.a(a,3)2. 袋中有只白球, b 只黑球, 甲乙丙三人依次从袋中取出一球(取后不放回). 试用全概率公式分别求甲乙丙各取得白球的概率.3.敌机被击中部位分成三部分: 在第一部分被击中一弹, 或第二部分被击中两弹, 或第三部分被击中三弹时, 敌机才能被击落. 其命中率与各部分面积成正比假如这三部分面积之比为0.1, 0.2, 0.7. 若已中两弹, 求敌机被击落的概率.4.甲乙两人从装有九个球, 其中三个是红球的盒子中, 依次摸一个球, 并且规定摸到红球的将受罚.(1)(1) 如果甲先摸, 他不受罚的概率有多大?(2)(2) 如果甲先摸并且没有受罚, 求乙也不受罚的的概率.(3)(3) 如果甲先摸并且受罚, 求乙不受罚的的概率.(4)(4) 乙先摸是否对甲有利?(5)(5) 如果甲先摸, 并且已知乙没有受罚, 求甲也不受罚的概率.A,B,AB,A,B5. 设事件A, B, C 相互独立, 求证: 也相互独立.思考题1.甲、乙两人轮流掷一均匀的骰子。
第四章 大数定律与中心极限定理
则称{X 依概率收敛 依概率收敛于 则称 n}依概率收敛于X. 可记为
X n →X.
P
或
lim P{| X n − X |≥ ε} = 0
n→∞
二.几个常用的大数定律 几个常用的大数定律
1. 契贝晓夫大数定律 契贝晓夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为两两不相关的随机变量序 为两两不相关的随机变量序 且它们的方差有界 即存在常数C>0，使 方差有界， 列，且它们的方差有界，即存在常数 ，
lim P{|
n→∞
µn
n
− p |< ε} = 1
即：µn
n
=
∑X
i= 1
i
n
→p
P
3. 辛钦大数定律
为独立同分布随机变量序列, 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列 为独立同分布随机变量序列 EXi=a <∞, i=1, 2, … 则对任意的 ε > 0，有 ∞
1 n 1 n P lim P{| ∑Xi − a |< ε} = 1，即 Yn = ∑Xi →a n→∞ n i=1 n ii=1 =1
2.德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 德莫佛 拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 设随机变量η 服从参数为n, 设随机变量ηn(n=1, 2, ...)服从参数为 p(0<p<1) 服从参数为 的二项分布， 的二项分布，则有 ηn − np L→ξ ~ N(0, 1).
§4.3. 中心极限定理 一.依分布收敛 依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 为随机变量序列 若在F(x)的 对应的分布函数分别为F 的 对应的分布函数分别为 n(x), F(x). 若在 连续点，有 连续点， limF (x) = F(x),
中心极限定理证明
中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明§5.3中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布?是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么?每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x 是许多随机误差的总和，即x=?xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=(k=1,2,…)则随机变量2?xk-n?k=1n的分布函数对任意的x，满足n??nxk-n?k=1?n?x1?2??e-?xt22dt中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
大数定律与中心极限定理
第四章 大数定律与中心极限定理教学目的与教学要求：了解特征函数的定义和常用分布的特征函数；理解并能应用大数定律；掌握依概率收敛和按分布收敛的概念；掌握并能应用独立同分布下的中心极限定理。
教学重点：大数定律、依概率收敛和按分布收敛的概念、中心极限定理。
教学难点：大数定律和中心极限定理的应用。
教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。
教学时数：12学时 教学过程：§4.1 特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于： (1) 可将求独立随机变量和的分布的卷积运算化成乘法运算； (2) 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；(3) 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题等。
§4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设X 是一个随机变量，称()()itX t E e ϕ= ()t -∞<<+∞ 其中i 为虚数单位，为X 的特征函数。
注：因为||1itX e =，所以()itX E e 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。
特征函数的求法：(1) 当离散随机变量X 的分布列为()k k p p X x == (1,2,3,)k =则X 的特征函数为1()kitx k k t e p ϕ+∞==∑ ()t -∞<<+∞；(2) 当连续随机变量X 的密度函数为()p x ，则X 的特征函数为()()itx t e p x dx ϕ+∞-∞=⎰ ()t -∞<<+∞。
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式：cos()sin()itx e tx i tx =+； (2) 复数的共轭：a bi a bi +=-； (3)复数的模：||a bi +。
例4.1.1 常用分布的特征函数(1) 单点分布：()1p X a ==，其特征函数为()ita t e ϕ=；(2) 01-分布：1()(1)x x p X x p p -==-(0,1)x =，其特征函数为()it t pe q ϕ=+； (3) 泊松分布()P λ：()!kp X k e k λλ-==(0,1,2,)k =，其特征函数为(1)()!ititkikte ek t ee e e e k λλλλλϕ+∞---====∑；(4) 均匀分布(,)U a b ：因为密度函数为1()0a xb p x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它，所以其特征函数为1()()ibt iatb itx a e e t e dx b a it b a ϕ-==--⎰；(5) 标准正态分布(0,1)N ：因为密度函数为22()x p x -=()x -∞<<+∞，所以其特征函数为2222()2222()x t x it t itx t edx edx eϕ-+∞+∞-----∞-∞===⎰；(6) 指数分布()Exp λ：因为密度函数为0()0xe x p x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，所以其特征函数为0()(cos()sin())itx x x x t e e dx tx e dx i tx e dx λλλϕλλ+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰12222()(1)t it it t λλλλλ-=+=-++。
考研泛函分析知识点详解
考研泛函分析知识点详解泛函分析是数学中重要的理论分支之一，广泛应用于各个领域，尤其在工程、物理学和计算机科学等领域具有重要的应用价值。
本文将详细介绍考研泛函分析的知识点，帮助考生更好地备战考试。
一、概述泛函分析是研究无穷维空间上的函数和它们之间的关系的数学理论。
它考察了函数的性质、收敛性、连续性等，并提供了一系列强有力的工具和方法来研究这些问题。
泛函分析在数学分析中扮演着重要的角色，也是许多其他学科的基础。
二、范数空间和内积空间范数空间是指带有范数的线性空间。
范数是对于向量的一种度量，它满足非负性、齐次性和三角不等式。
内积空间是指带有内积的线性空间。
内积是向量之间的一种度量方式，它满足对称性、线性性和正定性。
范数空间和内积空间是泛函分析中的基本概念，它们提供了函数空间的结构和性质。
三、巴拿赫空间巴拿赫空间是一种完备的范数空间，也就是说任何一个柯西序列都能在该空间中收敛。
巴拿赫空间常见的有Hilbert空间和Lp空间。
Hilbert空间是一个内积空间，并且是完备的。
Lp空间是一类以p阶可积函数为元素的空间，其中p是一个实数。
四、线性算子和泛函线性算子是指一个线性映射，它把一个向量空间映射到另一个向量空间。
泛函是一种对向量空间中的向量进行映射的函数。
线性算子和泛函是泛函分析中的重要研究对象，它们有着丰富的性质和应用。
五、连续性和紧性在泛函分析中，连续性是一个重要的性质。
一个线性算子或泛函如果是连续的，就意味着在某种度量下输入的小变动会导致输出的小变动。
紧性是一种强化的连续性，它表示函数空间中有一部分序列具有收敛的子序列。
连续性和紧性在泛函分析中有着广泛的应用。
六、谱理论谱理论是泛函分析中研究线性算子谱的一门学科。
谱是线性算子特征值的推广，用于描述线性算子的性质和行为。
谱分为点谱、连续谱和剩余谱等。
谱理论在泛函分析和偏微分方程等领域具有重要的意义。
七、弱收敛和弱*-收敛弱收敛也称为弱拓扑收敛，是泛函分析中一种弱形式的收敛性。
概率四习题
第四章 大数定律及中心极限定理导 学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。
并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X 独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。
全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。
三个定理。
“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。
§2节主要研究对象为：算术平均值()n X X nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为： n ni iX X X+⋯+=∑=11，比nX 1少了。
§2节的学习，不妨先从复习入手。
第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。
定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X n n n ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。
推导本身是一件很愉快的事。
§2节的三个定理可在比对中学习。
定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。
定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。
定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。
“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。
这个结论很精致，十分简单了。
翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。
其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。
临沂大学2011级第四学期 概率论与数理统计-答案
概率统计试卷A 答案一、填空题(每题２分，共12分)1. 0.3；0.5； 2()2, x x μσ---∞<<+∞ ；12；1()x -Φ 3. 02x π<≤；１；4. 13； 5. D D ξη+； 6. 0.9 二、选择题(每题2分，共12分)7. A 8. B 9. C 10. D 11. B 12. A三、计算题13(本题8分).解：①. 记""A =有一件是不合格品，""B =另一件是不合格品 则根据题意可知 2112()m m M m M C C C P A C -+= 22()m MC P AB C =……………………………(2) 故所求概率为()1(|)()21P AB m P B A P A M m -==--……………………………(2) ②. 记""C =有一件是不合格品，""D =另一件是不合格品，则根据题意有2112()M m m M m M C C C P C C --+= 112()M m m MC C P CD C -=…………………………(2) 从而所求概率为()2(|)()1P CD m P D C P C M m ==+-…………………………(2) 14(本题８分).解：记""1,2,3,4i A i i ==所选射手为第级射手（）， ""B =任选一射手，该射手能进入决赛则根据题意由全概率公式可得414871()()(|)0.90.70.50.20.64520202020i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 15(本题8分)解：易知，当0x ≤时，()0P x ξ= (1)当0x >时，()()()()()F x P x P x x x x ξξξ=<=-<<=Φ-Φ- (2)此时有22()()()x P x x x ξφφ-=+-= (2)所以22222200x x x E dx e d ξ∞∞--===⎰(3)16(本题9分).解：记1, 0 i i i ξ⎧=⎨⎩数字恰好出现在第个位置，否则 ………………(2) 则总匹配数为1ni i ξξ==∑…………………………………………………(1) 而1(1)i P n ξ==，1(0)1i P nξ==-，1,,i n = ……………………………(2) 这样就可以得到1i E nξ=，1,,i n = ……………………………………(2) 所以匹配数的数学期望为：1111n ni i i E E n ξξ=====∑∑ ……………………(2) 17(本题9分).解：因为12062 0<<1()0 xy dy x x P x ξ⎧=⎪=⎨⎪⎩⎰其他122063 0<<1()0 xy dx y y P x η⎧=⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以有(,)()()P x y P x P y ξη=，即有ξη与是相互独立的从而有(,)(,)0Cov Cov ξηηξ== …………………………………………(3) 又因10223E x xdx ξ==⎰ ，1220122E x xdx ξ==⎰ 所以221()18D E E ξξξ=-=…(3) 同理可得到120334E y y dx η==⎰ ，12220335E y y dy η==⎰ ，223()80D E E ηηη=-= 所以协方差矩阵为10183080⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………………(3) 18(本题10分).解：保险公司一年的总收入为120000元，这时：①若一年中死亡人数>120，则公司亏本②若一年中死亡人数80≤，则利润40000≥元若一年中死亡人数60≤，则利润60000≥元若一年中死亡人数40≤，则利润80000≥元令 1 0 i i i ξ⎧=⎨⎩第个人在一年内死亡第个人在一年内活着，则(1)0.006i P p ξ===，记1n n i i ηξ==∑，并且410n =足够大，于是有中心极限定理可得所求事件的概率为：①60(120)1(120)11)7.723n n P P P P ηη>=-≤=-≤=-≤ 2607.723210x e dx --∞≈≈ ②(80) 2.59)(2.59)0.995n P P P η≤=≤=≤≈Φ≈ 1(60)0)2n P P P η≤=≤=≤≈ (40) 2.59)( 2.59)n P P P η≤=≤=≤-≈Φ- 10.9950.005≈-=19(本题12分).解：①.根据(34)340000111(,)34x y x y f x y dxdy ke dxdy k e dx e dy k ∞∞∞∞∞∞-+---∞-∞====⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰知 12k =②.根据分布函数的定义可知，当00x y <<或时，(,)0F x y =当0,0x y >>时，(34)34340000(,)1234(1)(1)xy x u v u v x y F x y e dudv e du e dv e e ∞-+----===--⎰⎰⎰⎰ 所以34(1)(1) 0,0(,)0 x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他③当0x >时，(34)30()(,)123x y x P x f x y dy e dy e ξ∞∞-+--∞===⎰⎰ 当0x ≤时，()0P x ξ= 故有33 0()0 0x e x P x x ξ-⎧>=⎨≤⎩ 当0y >时，(34)40()(,)124x y y P y f x y dx e dx e η∞∞-+--∞===⎰⎰ 当0y ≤时，()0P y η=故有44 0()0 0y e y P x y η-⎧>=⎨≤⎩ 所以就有(,)()()f x y P x P y ξη=，即ξη与是相互独立的从而3|3 0(|)()0 0 x e x P x y P x x ξηξ-⎧>==⎨≤⎩，4|4 0(|)()0 0y e y P y x P y y ηξη-⎧>==⎨≤⎩ ④12(34)3800(01,02)12(1)(1)x y P e dxdy e e ξη-+--<<<<==--⎰⎰()(,)0x y P f x y dxdy ξη====⎰⎰20(本题12分) 设 ,,,1n ξξ是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在： ,2,1,==i a E i ξ则对任意的0>ε，有11lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞>-εξa n P n i i n 成立。
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分布函数弱收敛
在概率论中，我们经常研究随机变量的分布情况。
分布函数是描述随机变量分布的重要工具，它可以完整地刻画随机变量取值的概率分布。
在分布函数的弱收敛中，我们关注的是随机变量序列的分布函数是否趋近于某个极限分布函数。
具体来说，设随机变量序列{X_n}和X是定义在同一概率空间上的随机变量，它们的分布函数分别为F_n(x)和F(x)。
如果对于任意的x∈R，有lim_(n→∞)F_n(x)=F(x)，则称随机变量序列{X_n}在分布函数上弱收敛到随机变量X，记作X_n↦dX。
分布函数的弱收敛性质在概率论和数理统计中具有广泛的应用。
首先，它是中心极限定理的基础之一。
中心极限定理指出，在一定条件下，独立同分布的随机变量序列的和的分布函数在适当标准化后，弱收敛于标准正态分布的分布函数。
这个定理在统计推断和假设检验中具有重要的应用。
分布函数的弱收敛性质也与大数定理密切相关。
大数定理是概率论中的另一个重要定理，它描述了随机变量序列的均值的收敛性质。
根据大数定理，当样本容量足够大时，随机变量序列的均值趋近于其期望值。
分布函数的弱收敛性质为大数定理提供了数学基础。
分布函数的弱收敛还广泛应用于统计推断和参数估计中。
在统计推断中，我们经常需要估计未知参数的值。
通过分布函数的弱收敛性
质，我们可以构建一系列的估计量，并研究其渐近性质。
这些估计量可以用于假设检验、置信区间构造等统计推断问题。
在实际应用中，分布函数的弱收敛性质也经常用于模型比较和模型选择。
通过比较不同模型的分布函数序列，我们可以选择最合适的模型来描述观测数据的分布情况。
总结来说，分布函数的弱收敛是概率论和数理统计中的重要概念，它描述了随机变量序列在分布上的收敛性质。
在中心极限定理、大数定理、统计推断和模型选择等方面都具有广泛的应用。
通过研究分布函数的弱收敛性质，我们可以深入理解随机变量的分布规律，并应用于实际问题的分析和解决。