2020年陕西省高考数学(理科)模拟试卷(2)

2020年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（2）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（?U A）∩B＝（）

A．{5，6}B．{3，5，6}

C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}

2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z?i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．l﹣2i D．i﹣2

3．（5分）能得出＜成立的是（）

A．0＞b＞a B．b＞a＞0C．a＞0＞b D．a＞b＞0

4．（5分）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动的传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某校分别从行政，教师，后勤人员中抽取2人，14人，4人了解学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

5．（5分）已知函数，则下列判断错误的是（）A．f（x）的最小正周期为π

B．f（x）的值域为[﹣1，3]

C．f（x）的图象关于直线对称

D．f（x）的图象关于点对称

6．（5分）已知命题p：x2﹣2x﹣3＜0，命题q：x＜a，若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（）

A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）7．（5分）已知函数f（x）＝，则使函数值为5的x的值是（）A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣8．（5分）已知向量＝（2，m），＝（m+1，﹣4），＝（1﹣2m，4），且∥则向量在向量方向上的投影为（）

A．B．C．D．

9．（5分）若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（）

A．B．C．D．

10．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2的图象大致为（）

A．B．

C．D．

11．（5分）直线l过抛物线y2＝4x的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF 的长分别为m，n，则4m+n的最小值是（）

A．10B．9C．8D．7

12．（5分）已知函数f（x）＝x2?e﹣x，g（x）＝xlnx+c．若对?x1∈（0，+∞），?x2∈（），使f（x1）＝g（x2）成立，则c的取值范围是（）

A．[）B．[）

C．（]D．（）

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）若（2x2﹣）n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n＝．

14．（5分）在△ABC中，若cos2A﹣cos2B﹣cos2C＝cos A cos B+cos C﹣cos2B，且AB＝6，则S△ABC的最大值为．

15．（5分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app．该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”

两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有种．

16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，P A＝PB＝PC，AB＝2，，AC＝3，E，F分别为AC，PB的中点，，则球O的体积为．

三．解答题（共5小题）

17．设等差数列{a n}满足a3＝3，a7＝﹣13．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求{a n}的前n项和S n及S n的最大值．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，P A ＝2，E为PD中点．

（1）求证：AE⊥PC；

（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．

19．“微信运动”已经成为当下热门的健身方式，韩梅梅的微信朋友圈内有800为好友参与了“微信运动”．他随机抽取了50为微信好友（男、女各25人），统计其在某一天的走路步数．其中女性好友的走路步数数据记录如下：

12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123

9860

8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980

1123 1786 2436 3876 4326

男性好友走路步数情况可以分为五个类别A（0﹣2000步）（说明：“0﹣2000”表示大于等于0，小于等于2000，下同），B（2001﹣5000）、C（5001﹣8000）、D（8001﹣10000步）、E（10001步及以上），且A，C，E三中类型的人数比例为1：2：3，将统计结果绘制如图所示的柱形图．

若某人一天的走路步数超过8000步则被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．

（1）若以韩梅梅抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的800名好友中，每天走路步数在5001﹣10000步的人数；

（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型懈怠型总计男25

女25

总计50

（3）若从韩梅梅当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查，然后再从这5位好友中选取2人进行访谈，求至少有一位女性好友访谈的概率．

参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

临界值表：

P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828

20．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A

为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|＝2|AB|，S△ABC＝3．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A，C），且满足∠PBC＝∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求证直线PQ的斜率为定值．

21．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．

四．解答题（共1小题）

22．在极点为O的极坐标系中，直线l：ρcosθ＝1上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足|OP|?|OM|＝2，记M的轨迹为C．

（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；

（2）若，M2（ρ2，0），均在曲线C上，求△M1M2M3的面积．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

2020年陕西省高考数学（理科）模拟试卷（2）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（?U A）∩B＝（）

A．{5，6}B．{3，5，6}

C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}

【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5，6}，∴?U A＝{0，4，5，6，7，8}，

∴（?U A）∩B＝{5，6}，

故选：A．

2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z?i＝1+2i，则z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．l﹣2i D．i﹣2

【解答】解：∵z?i＝1+2i，∴z＝＝＝2﹣i，

∴z的共轭复数为：2+i，

故选：B．

3．（5分）能得出＜成立的是（）

A．0＞b＞a B．b＞a＞0C．a＞0＞b D．a＞b＞0

【解答】解：由＜得﹣＝＜0，

则当a＞b＞0时，不等式＜0，成立，

其余不成立，

故选：D．

4．（5分）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定

号码的后四位为2709为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动的传送带上，每隔5分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某校分别从行政，教师，后勤人员中抽取2人，14人，4人了解学校机构改革的意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

【解答】解：总体和样本容量都不大，采用随机抽样．

故选：D．

5．（5分）已知函数，则下列判断错误的是（）A．f（x）的最小正周期为π

B．f（x）的值域为[﹣1，3]

C．f（x）的图象关于直线对称

D．f（x）的图象关于点对称

【解答】解：＝2sin（2x+）+1，

对于选项A，由于f（x）的最小正周期为＝π，故正确；

对于选项B，由于sin（2x+）∈[﹣1，1]，可得f（x）＝2sin（2x+）+1∈[﹣1，3]，故正确；

对于选项C，由于f（）＝2sin（2×+）+1＝3为f（x）最大值，故正确；

对于选项D，由于f（﹣）＝2sin（﹣2×+）+1＝1﹣≠0，故错误．

故选：D．

6．（5分）已知命题p：x2﹣2x﹣3＜0，命题q：x＜a，若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（）

A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，

∵q的一个充分不必要条件是p，

∴a≥3，

故选：A．

7．（5分）已知函数f（x）＝，则使函数值为5的x的值是（）A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）＝x2+1＝5，得x＝±2，又x≤0，所以x＝﹣2；

当x＞0时，f（x）＝﹣2x＝5，得x＝﹣，舍去．

故选：A．

8．（5分）已知向量＝（2，m），＝（m+1，﹣4），＝（1﹣2m，4），且∥则向量在向量方向上的投影为（）

A．B．C．D．

【解答】解：由向量＝（m+1，﹣4），＝（1﹣2m，4），且∥，

则4（m+1）﹣（﹣4）（1﹣2m）＝0，

解得m＝2，

所以＝（2，2），＝（3，﹣4），

所以向量在向量方向上的投影为

||?cosθ＝＝＝﹣．

故选：A．

9．（5分）若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（）

A．B．C．D．

【解答】解：如图，所有的基本事件对应集合Ω＝{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，所构成的区域为矩形及其内部，其面积为S＝3×2＝6，

事件A对应的集合A＝{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，且a＜b}，

且在直线a＝b的右上方部分，其面积S'＝6﹣×2×2＝4，

故事件A发生的概率P（A）＝＝，

故选：A．

10．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2的图象大致为（）

A．B．

C．D．

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2，其定义域为{x|x≠0}，

且f（﹣x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2＝﹣（3x﹣3﹣x）log3x2）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A、C，

又由x→0时，（3x﹣3﹣x）→0，则f（x）→0，排除D；

故选：B．

11．（5分）直线l过抛物线y2＝4x的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF 的长分别为m，n，则4m+n的最小值是（）

A．10B．9C．8D．7

【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，

如图所示，过B点作BD⊥AD，作AM⊥MN，BN⊥MN，

由抛物线的定义可得AM＝AF＝m，BN＝BF＝n，

AD＝m﹣n，EF＝2﹣n，

∴，化简得：，

∴4m+n＝（4m+n）?1＝（4m+n）?（）

＝≥2+5＝9，

当且仅当n＝2m时等号成立．

所以4m+n的最小值为9．

故选：B．

12．（5分）已知函数f（x）＝x2?e﹣x，g（x）＝xlnx+c．若对?x1∈（0，+∞），?x2∈（），使f（x1）＝g（x2）成立，则c的取值范围是（）

A．[）B．[）

C．（]D．（）

【解答】解：f（x）＝x2?e﹣x，x∈（0，+∞），

f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，

故f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，

故f（x）max＝f（2）＝，

而x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→0，

故f（x）∈（0，]，

对于g（x）＝c+xlnx，

则：g′（x）＝lnx+1，

令g′（x）＞0，则x＞e﹣1，g′（x）＜0，则0＜x＜e﹣1，即在x＝e﹣1为极小值且g（e ﹣1）＝c﹣，

x2∈（），

g（e）＝c+e，g（）＝c﹣，所以g（x）∈[c﹣，c+e）

对?x1∈（0，+∞），?x2∈（），使f（x1）＝g（x2）成立，

可得，解得c∈（]．

故选：C．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）若（2x2﹣）n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，则n＝6．【解答】解：由（2x2﹣）n的展开式的所有奇数项二项式系数之和为32，

二项式系数之和为64，即2n＝64，可得n＝6，

故答案为：6．

14．（5分）在△ABC中，若cos2A﹣cos2B﹣cos2C＝cos A cos B+cos C﹣cos2B，且AB＝6，则S△ABC的最大值为3．

【解答】解：设三角形内角A，B，C对应的三边为a，b，c，

∵cos2A﹣cos2B﹣cos2C＝cos A cos B+cos C﹣cos2B，

∴（1﹣sin2A）﹣（1﹣sin2B）﹣（1﹣sin2C）＝cos A cos B﹣cos（A+B）﹣（1﹣2sin2B），∴可得：sin A sin B+sin2B+sin2A﹣sin2C＝0，

∴由正弦定理可得：ab+b2+a2﹣c2＝0，由余弦定理可得：ab+2ab cos C＝0，解得cos C＝﹣，可得：sin C＝，

∵AB＝c＝6，

∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得36＝a2+b2+ab，

∴36≥2ab+ab＝3ab，即ab≤12，当且仅当a＝b时取等号．

∴S△ABC＝ab sin C≤12×＝3，即S△ABC的最大值为3．

故答案为：3．

块．某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”

两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有432种．

【解答】解：由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种；

“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种；

共有240+192＝432种方法．

故答案为：432．

16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，P A＝PB＝PC，AB＝2，，AC＝3，E，F分别为AC，PB的中点，，则球O的体积为．

【解答】解：如图所示：

由已知可得∠ABC＝90°，因P A＝PB＝PC，

所以点P在△ABC内的投影为△ABC的外心E，

所以PE⊥平面ABC，PE⊥BE，

所以PB＝2EF＝3，

所以PE＝，

又球心O在PE上，设PO＝r，则，所以，

所以球O体积，，

故答案为：4．

三．解答题（共5小题）

17．设等差数列{a n}满足a3＝3，a7＝﹣13．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求{a n}的前n项和S n及S n的最大值．

【解答】解：（1）由a n＝a1+（n﹣1）d及a3＝3，a7＝﹣13，

得?，

所以数列{a n}的通项公式为a n＝15﹣4n．

（2）由（1）知，．

因为，

所以当n＝3时，S n取得最大值21．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，P A ＝2，E为PD中点．

（1）求证：AE⊥PC；

（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．

【解答】（1）证明：∵底面ABCD是边长为2的正方形，P A＝2，E为PD中点，

∴AE⊥PD，CD⊥AD．

∵P A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥P A．

∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，

∵AE?平面P AD，∴CD⊥AE，

∵CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵PC?平面PCD，∴AE⊥PC；

（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），

，，，

设平面ABE的一个法向量，

则，取y＝1，得；

设平面AEC的一个法向量为，

则，取a＝1，得，

∴cos＜＞＝＝，

∴二面角B﹣AE﹣C的正弦值为．

12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860

8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980

1123 1786 2436 3876 4326

若某人一天的走路步数超过8000步则被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．

（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型懈怠型总计男16925

女101525

总计262450

参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

临界值表：

P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828

【解答】解：（1）25名女性朋友有12人，25名男性朋友有14人，

则800名好友中，每天走路步数在5001﹣10000步的人数为800×＝448（人）；（2）根据题意填写2×2列联表如下，

积极型懈怠型总计

男16925

女101525

总计262450计算K2＝＝≈5.769＞3.841，

所以能有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；

（3）步数大于10000的男性好友6人，女性好友4人，按男女比例分层选取5人，则男性好友3人，记为a、b、c，女性好友2人，记为D、E，从这5位好友中选取2人，基本事件为：ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE共10种；

至少有一位女性好友的基本事件为6种，

则所求的概率为P＝＝．

20．如图，椭圆＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A

为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|＝2|AB|，S△ABC＝3．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

【解答】解：（Ⅰ）∵…2 分

又△OAB是等腰三角形，所以…3 分

把B点带入椭圆方程，求得b2＝3．…4 分

∴椭圆方程为…5 分

（Ⅱ）由题易得直线BP、BQ斜率均存在，

又∠PBC＝∠QBA，所以k BP＝﹣k BQ…7 分

设直线代入椭圆方程，

化简得…9 分

其一解为1，另一解为…10 分

可求…11 分

用﹣k代入得…12 分

∴为定值．…13 分

21．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，

（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

（ii）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减；

综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，

①当，即a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝1﹣a，

由1﹣a＜a，解得，

∴此时实数a的取值范围为[e，+∞）；

②当，即a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae+1，

由e﹣ae+1＜a，解得a＞1，

∴此时a∈?；

③当，即1＜a＜e时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，

则，

故1﹣elna＜a，即elna+a﹣1＞0，

设g（x）＝elnx+x﹣1，x∈（1，e），则，

∴g（x）在（1，e）上单调递增，

又g（1）＝0，

∴对任意x∈（1，e），都有g（x）＞0，

∴a∈（1，e）满足题意；

综上所述，实数a的取值范围为（1，+∞）．

四．解答题（共1小题）

22．在极点为O的极坐标系中，直线l：ρcosθ＝1上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足|OP|?|OM|＝2，记M的轨迹为C．

（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；

（2）若，M2（ρ2，0），均在曲线C上，求△M1M2M3的面积．

【解答】解：（1）极点为O的极坐标系中，直线l：ρcosθ＝1上有一动点P，动点M在射线OP上，记M的轨迹为C．

设点P（1，y0），M（x，y）．

由于点O，P，M三点共线，所以，

由于且满足|OP|?|OM|＝2，整理得，化简得x2+y2＝2x，（除去原点（0，0）），

转换为极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ，

整理得ρ＝2cosθ．

故该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．

（2）由于点，M2（ρ2，0），均在曲线C上，

所以，ρ2＝2cos0＝2，，

所以转换为直角坐标，M2（2，0），，

所以，，，所以．

五．解答题（共1小题）

23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，

∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，

|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，

∴﹣2≤x﹣1≤2，

解得﹣1≤x≤3，

∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．

（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，

∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，

2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，

|x﹣|+|x﹣|≥，

当a≥3时，成立，

当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，

∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，

解得2≤a＜3，

∴a的取值范围是[2，+∞）．