2020年陕西省高考数学模拟试卷(理科)
2020年陕西省高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数4(1z i i=+为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．2B ．2iC ．2-D ．2i - 2．（5分）已知集合{|11}A x x =-<，2{|B y y x ==，}x A ∈，则(A B = )A ．{|11}x x -<B ．{|11}x x -C ．{|11}x x -<<D ．{|11}x x -<3．（5分）若变量x ，y 满足约束条件3,10,260,x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数2z x y =-的最小值是() A ．3-B ．0C ．13D ．1034．（5分）已知向量a ，b 满足(1,3),(2)a a b a =-⊥，则b 在a 上的投影为( ) A ．1-B ．1C ．12-D ．125．（5分）已知函数2,01()43,1lnx x f x x x x -<⎧=⎨-+->⎩，若(f f （a ）)1=，则满足条件的实数a 的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）设~(0,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，点(1,0)A ，点(2,0)B ，点(2,1)C ，点(1,1)D ，向正方形ABCD 内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是( ) （注2:~(,)X N μσ则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=，(33)0.9973)P X μσμσ-<+=A ．0.8641B ．0.6587C ．0.5228D ．0.97857．（5分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，2346a a a =，则2(a = ) A ．711B ．511C ．311D ．1118．（5分）已知02παβ<<<，且6312cos(),sin 6513αββ-==，则sin (α= ) A ．35-B ．35C ．45-D ．459．（5分）若将函数()2sin(3)4f x x π=+的图象向右平移(0)a a >个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为( ) A ．4π B ．54π C ．12πD ．512π 10．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为( ) A ．73πB ．134πC ．5221πD ．167π11．（5分）已知抛物线2:4C y x =，点(3,0)M ，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若||8AB =，则AMB ∆的面积为( ) A ．4B ．42C ．43D ．812．（5分）已知函数21(),()12x f x xe x x a g x xlnx =+++=+，若存在1[2x ∈-，2]，对任意221[,]x e e ∈，都有12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( ) A ．221[32,32]e e e e -----B ．221(32,32)e e e e -----C ．23[32,]2e e --D ．23(32,)2e e --二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．14．（5分）在5(1)(1)x ax ++的展开式中，2x 的系数为15，则a = ．15．（5分）在ABC ∆中，D 为AC 的中点，且::1:7:3AD BD AB =，若7BC =，则ABC ∆的周长为 ．16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过双曲线C 的左焦点F 作一斜率为2的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分． 17．（12分）如图，正四棱锥P ABCD -的底边长为2，侧棱长为3，M 为PC 上一点，且3PM CM =，点E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且3AE BF ED ==．（Ⅰ）证明：平面//MEF 平面PAB ； （Ⅱ）求锐二面角P EF M --的余弦值．18．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为*11,1,2()n n n n S a S a a n N +==∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n n b a =令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求证：12n n T n +<． 19．（12分）某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下22⨯列联表：（Ⅰ）根据上述列联表，是否有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？（Ⅱ）现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率；（Ⅲ）以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用x 表示这10人中优秀的人数，求随机变量X 的期望和方差． 附：20)k2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（其中)n a b c d =+++． 20．（12分）已知函数2()(1)()x f x e x axa R =++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当34a <<时，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：1342()53()f x e f x e -<<-． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点P 的坐标为3(0,)2，且椭圆C 上任意一点到P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 为椭圆C 长轴上的一点，求MAB ∆面积的最大值．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡，上将所选题号后的方框涂黑.[选修4＝4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8,2(42x tt t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)4πθρ=>与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1|||(0)f x x x t t =-+->的最小值为1． （Ⅰ）求t 的值；（Ⅱ）若33*(,)a b t a b R +=∈，求证：2a b +．2020年陕西省高考数学模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数4(1z i i=+为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．2B ．2iC ．2-D ．2i -【解答】解：复数44(1)44221(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， z ∴的虚部为2-．故选：C ．2．（5分）已知集合{|11}A x x =-<，2{|B y y x ==，}x A ∈，则(A B = )A ．{|11}x x -<B ．{|11}x x -C ．{|11}x x -<<D ．{|11}x x -<【解答】解：{|11}A x x =-<，{|01}B y y =，{|11}AB x x ∴=-．故选：B ．3．（5分）若变量x ，y 满足约束条件3,10,260,x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数2z x y =-的最小值是() A ．3-B ．0C ．13D ．103【解答】解：由约束条件310260x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩作出可行域如图，化目标函数2z x y =-为2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-或(0,3)A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为3-．故选：A ．4．（5分）已知向量a ，b 满足(1,3),(2)a a b a =-⊥，则b 在a 上的投影为( ) A ．1- B ．1C ．12-D ．12【解答】解：24,(2)a a b a =-⊥，∴2(2)2420a b a a a b a b -=-=-=， ∴2a b =，∴b 在a 上的投影为：2||cos ,||12||||a b b a b b a b <>===． 故选：B ．5．（5分）已知函数2,01()43,1lnx x f x x x x -<⎧=⎨-+->⎩，若(f f （a ）)1=，则满足条件的实数a 的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：令f （a ）t =，()1f t =， 当(0t ∈，1]时，1lnt -=，1t e=， 当(1,)t ∈+∞时，2431t t -+-=，2t =， 所以f （a ）1e=，或者f （a ）2=，当(0a ∈，1]时，1lna e-=，1e a e -=成立，2lna -=，2a e -=，成立，当(1,)a ∈+∞时，2243(2)11y a a a =-+-=--+， f （a ）2=显然无解，f （a ）11e=，有2个解， 综上，a 有4个解， 故选：D ．6．（5分）设~(0,1)X N ，其正态分布密度曲线如图所示，点(1,0)A ，点(2,0)B ，点(2,1)C ，点(1,1)D ，向正方形ABCD 内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是( ) （注2:~(,)X N μσ则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=，(33)0.9973)P X μσμσ-<+=A ．0.8641B ．0.6587C ．0.5228D ．0.9785【解答】解：1ABCD S =正方形，~(0,1)X N ，()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=， 0.95450.68270.13592S -∴==正方形中白色部分，P ∴（黄豆落入阴影部分）10.13590.86411-==． 故选：A ．7．（5分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，2346a a a =，则2(a = ) A ．711B ．511C ．311D ．111【解答】解：在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，2346a a a =， 2(12)(13)(15)d d d ∴+=++，且0d ≠， 解得411d =-， 24711111a ∴=-=． 故选：A ．8．（5分）已知02παβ<<<，且6312cos(),sin 6513αββ-==，则sin (α= ) A ．35-B ．35C ．45-D ．45【解答】解：已知02παβ<<<，且6312cos(),sin 6513αββ-==，(2παβ∴-∈-，0)，16sin()65αβ-==-，5cos 13β=． sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+- 16563126764651365138455=-+==， 故选：D ．9．（5分）若将函数()2sin(3)4f x x π=+的图象向右平移(0)a a >个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为( ) A ．4π B ．54π C ．12πD ．512π 【解答】解：将函数()2sin(3)4f x x π=+的图象向右平移(0)a a >个单位长度，可得2sin(33)4y x a π=-+的图象，根据所得图象关于坐标原点对称， 可得34a k ππ-+=，k Z ∈，则a 的最小值为12π，故选：C ．10．（5分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为( ) A ．73πB ．134πC ．5221πD ．167π【解答】解：设该球的半径为r，则22222222217844()()(2)()23434312777b b a b r b b =+=+==+-=-+，当且仅当87b =，67a =时取等号．∴该球的表面积的最小值416477ππ=⨯=． 故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:4C y x =，点(3,0)M ，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若||8AB =，则AMB ∆的面积为( )A ．4B ．C ．D ．8【解答】解：设直线AB 的方程为：(1)y k x =-，代入抛物线方程，可得：2222(24)0k x k x k -++=， 1(A x ，12)(y B x ，2)y ，则212224k x x k ++=，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若||8AB =，可得128x x p ++=，即22246k k +=，解得1k =±，直线l 的方程为(1)y x =±-，M 到直线l 的距离为：d =所以三角形的面积为：182⨯=故选：B ．12．（5分）已知函数21(),()12x f x xe x x a g x xlnx =+++=+，若存在1[2x ∈-，2]，对任意221[,]x e e ∈，都有12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( ) A ．221[32,32]e e e e -----B ．221(32,32)e e e e -----C ．23[32,]2e e --D ．23(32,)2e e --【解答】解：由()1(1)(1)x x x f x e xe x x e '=+++=++， [2x ∈-，2]时，()f x 在[2-，1]-递减；[1-，2]递增， 22(2)f a e -=-，11(1)2f a e-=--，f （2）242a e =++， 故2()(2)42max f x f a e ==++，11()(1)2min f x f a e=-=--， 所以()f x 的值域为[(1)f -，f （2）]， 由()1g x lnx '=+，21[,]x e e∈， 当211[,]x e e ∈时，()g x 递减，1[,]x e e∈递增， 221211()1,()1,()1g g g e e e e e e=-=-=+， 故1()(),()1max min g x g e g x e ==-，故()g x 的值域为1[1,1]e e-+，根据题意，存在1[2x ∈-，2]，对任意221[,]x e e∈，都有12()()f x g x =， 相当于()g x 的值域时()f x 值域的子集， 由21111,1422a e a e e e---+=+， 得23322e e a --， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 3.5 ．【解答】解：由样本容量为1000的频率分布直方图，知： [0，20)的频率为(0.010.01)100.2+⨯=， [20，30)的频率为0.040100.4⨯=，∴该样本数据的中位数为：0.50.2201027.50.4-+⨯=， 该样本数据的平均数为：50.1150.1250.4350.35450.1531x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：|27.531| 3.5-=．故答案为：3.5．14．（5分）在5(1)(1)x ax ++的展开式中，2x 的系数为15，则a = 1或32- ．【解答】解：5(1)(1)x ax ++的展开式中，2x 的系数为4325515C a C a +=， 求得1a =，或32a =-，故答案为：1或32-．15．（5分）在ABC ∆中，D 为AC 的中点，且::3AD BD AB =，若BC ，则ABC ∆的周长为 5+【解答】解：设AD x =，BD =，3AB x =，由余弦定理可得，2222297947cos 23232x x x x x A x x x x+-+-==，解可得1x =，故3AB =，2AC =，BC =，所以ABC ∆的周长为5故答案为：5+16．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过双曲线C 的左焦点F 的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则双曲线C 的【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过双曲线C 的左焦点F 的直线：)y x c =+代入双曲线方程可得：22222222(2)220b a x a cx c a a b ----=，设1(A x ，12)(y B x ，2)y ， 所以2222122222c a a b x x b a --=-，直线代入双曲线消去x 可得：22222222(2)220b a y cy c b a b +-+-=，可得22221222222c b a b y y b a-=-，以AB 为直径的圆过坐标原点O ， 可得：222222222222222022c a a b c b a b b a b a---+=--，可得42243720a a c c -+=，422730e e -+=，1e >，解得e =三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，正四棱锥P ABCD -的底边长为2M 为PC 上一点，且3PM CM =，点E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且3AE BF ED ==．（Ⅰ）证明：平面//MEF平面PAB；（Ⅱ）求锐二面角P EF M--的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：正四棱锥P ABCD-的底边长为23M为PC上一点，且3PM CM=，点E，F分别为AD，BC上的点，且3AE BF ED==．//AB EF∴，//MF PB，PB AB B=，EF M F F=，∴平面//MEF平面PAB．（Ⅱ）解：连结AC，BD，交于点O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则(0P，0，1)，32(E，24，0)，2(F320)，(0M321)4，(2EF=20)，32(4EP=，24，1)，32(4EM=2，1)4，设平面PEF的法向量(n x=，y，)z，则2203224n EF xn EP y z⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，取1x=，得(1n=，1-，2，设平面EFM的法向量(m a=，b，)c，则2203212044m EF a bm EM b c⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1a=，得(1m=，1-2)，设锐二面角P EF M--的平面角为θ，则||110cos ||||101044m n m n θ===． ∴锐二面角P EF M --的余弦值为1010．18．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为*11,1,2()n n n n S a S a a n N +==∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n n b a =令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求证：12n n T n +<． 【解答】解：（Ⅰ）正项数列{}n a 的前n 项和为*11,1,2()n n n n S a S a a n N +==∈① 当2n 时，112n n n S a a --=② ①-②得：112n n a a +--=（常数）， 当1n =时，解得22a =，当n 为奇数时，数列{}n a 是以11a =为首项2为公差的等差数列， 当n 为偶数时数列{}n a 是以22a =为首项2为公差的等差数列． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．证明：（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n b a =，则：数列{}n b 是以12b =为首项2为公比的等比数列， 所以2n n b =， 则：2n n n a b n =，所以1212222n n T n =⨯+⨯+⋯+①，231212222n n T n +=⨯+⨯+⋯+②， ①-②得：121(222)2n n n T n +-=++⋯+-，整理得11112(21)22(22)221n n n n n n T n n n ++++⨯-=-+=--<-．19．（12分）某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下22⨯列联表：（Ⅰ）根据上述列联表，是否有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？（Ⅱ）现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率；（Ⅲ）以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用x 表示这10人中优秀的人数，求随机变量X 的期望和方差． 附：20)k2(()()()()n ad K a b c d a c b d -=++++，（其中)n a b c d =+++． 【解答】解：（Ⅰ）22100(25202530)1001.0102.0725050554599K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 故没有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”． （Ⅱ）从表中可知，调查结果为一般的市民中，男为25份，女为20份， 所以抽取的9中男性有259545⨯=人，女性有4人，故从这9人中随机抽取3人，男女都有的概率为335439516C C P C +=-=． （Ⅲ）由22⨯列联表可知，调查结果为优秀的频率是551110020p ==， 将频率视为概率，所以从全市市民中随机1人为优秀的概率是1120， 由题意可知，11~(10,)20X B ， 所以随机变量X 的期望1111()10202E X =⨯=，方差11999()10202040D X =⨯⨯=． 20．（12分）已知函数2()(1)()x f x e x ax a R =++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当34a <<时，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：1342()53()f x e f x e -<<-． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2()(1)(2)(1)(1)x x x f x e x ax e x a e x x a '=++++=+++， ①当0a <时，11a -->-，令()0f x '>，解得(x ∈-∞，1)(1a ---⋃，)+∞，令()0f x '<，解得11x a -<<--，∴函数()f x 在(,1)-∞-单调递增，在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞单调递增， ∴()()122()1,()1a a af x f f x f a e e+-+=-==--=极大值极小值； ②当0a =时，11a --=-，()0f x '，函数()f x 在R 上单调递增，无极值；③当0a >时，11a --<-，令()0f x '>，解得(x ∈-∞，1)(1a ---⋃，)+∞，令()0f x '<，解得11a x --<<-，∴函数()f x 在(,1)a -∞--单调递增，在(1,1)a ---单调递减，在(1,)-+∞单调递增， ∴()()122()1,()1a a af x f a f x f e e++-=--==-=极大值极小值； （Ⅱ）证明：由题意得34a <<，即0a >，由（Ⅰ）可知，11x a =--，21x =-，故1211112()(1)x a af x e x ax e ++=++=，222222()(1)x af x e x ax e-=++=， ∴12()22()22aa f x a a e e f x a a --++==---， 令2()2aa g a ea -+=-，则22()0(2)aa g a e a -'=-<-，g ∴（a ）在(3,4)上单调递减，g ∴（4）g <（a ）g <（3），即4335()g a e e<<， 又12()()()f x g a f x =-，故1342()53()f x e f x e-<<-．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点P 的坐标为3(0,)2，且椭圆C 上任意一点到P． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 为椭圆C 长轴上的一点，求MAB ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，c e a ==又222a b c =+，故2,a b c =， 令(,)Q x y 为椭圆上任意一点，则2||343PQ b =+∴1b ∴=，2a =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（Ⅱ）设(M M x ，0)，[2M x ∈-，2]，直线l 的方程为1x my =+，联立直线方程与椭圆方程，并化简整理得22(4)230m y my ++-=，令A ，B 两点的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则由韦达定理有，12122223,44m y y y y m m --+==++， 则22222222233||()44144(4)m m AB m m m m --+=-=++++，又点M到直线l 的距离为d =，故MAB ∆的面积为2213||2|1|2(4)M m S AB d x m +==-+令233t m =+，则212|1|2|1|1(1)2M M tS x x t t =-=-+++，当3t 时，111623233t t ++++=，当且仅当3t =，0m =时等号成立，此时1301162t t<++， ∴314， 22M x -，∴当且仅当2M x =-时，|1|Mx -取得最大值3，此时MAB ∆面积取得最大值，即max S =，此时直线l 的方程为1x =，点M的坐标为(2,0)-，综上，MAB ∆． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡，上将所选题号后的方框涂黑.[选修4＝4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8,2(42x tt t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)4πθρ=>与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值．【解答】解：()I 直线l 的参数方程为8,2(42x tt t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数），消去参数可得普通方程：4y x +=． 曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=．即22sin ρρθ=，可得普通方程：222x y y +=． （Ⅱ）射线(0)4πθρ=>，即(0)y x x =>．联立4y x x y =⎧⎨+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，联立222y x x y y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩．与直线l 和曲线C 分别交于(1,1)A ，(2,2)B ，||AB[选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1|||(0)f x x x t t =-+->的最小值为1． （Ⅰ）求t 的值；（Ⅱ）若33*(,)a b t a b R +=∈，求证：2a b +． 【解答】解：（Ⅰ）()|1||||(1)()||1|f x x x t x x t t =-+----=-，()1min f x ∴=函数()|1|||(0)f x x x t t =-+->的最小值为1， |1|1t ∴-=，0t >，2t ∴=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2t =，则332a b t +==，332222()()()[()3]a b a b a b ab a b a b ab ∴=+=++-=++-223()()[()]4a b a b a b +++-，3()8a b ∴+，2a b ∴+，当且仅当2a b ==时取等号， 2a b ∴+．。
2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷 (1)
2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西高三二模理科第1题5分2020年陕西高三二模文科第1题5分2020~2021学年12月广东深圳南山区北大附中深圳南山分校高三上学期月考第1题定义A−B={x|x∈A,x∉B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,3,6}，则M−N=（）．A. MB. NC. {1,4,5}D. {6}2、【来源】 2020年陕西高三二模理科第2题5分的虚部为（）．已知i是虚数单位，复数5i1−2iA. −1B. iC. −iD. 13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第3题5分2018~2019学年福建厦门思明区厦门市科技中学高三上学期期中文科第6题5分2019年江西萍乡高三一模文科第3题5分2017~2018学年广东广州白云区广东外语外贸大学附设外语学校高一上学期期中第3题5分2018~2019学年湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高一上学期期中第6题5分函数f(x)=ln(x+1)−2的零点所在的大致区间是（）．xA. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)4、【来源】 2020年陕西高三二模理科第4题5分嫦娥四号任务经过探月工程重大专项领导小组审议，通过并且正式开始实施，如图所示．假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进人以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）．A. a 1+c 1=a 2+c 2B. a 1−c 1=a 2−c 2C. c 1a 1<c 2a 2D. a 2c 1<a 1c 25、【来源】 2020年陕西高三二模理科第5题5分在△ABC 中，若AB →⋅AC →=5且|AB →−AC →|=4，则△ABC 面积的最大值为（ ）．A. 6B. 152C. 10D. 126、【来源】 2020年陕西高三二模理科第6题5分已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=0，a n+1=a n +2√a n +1+1，则a 5+S 4=（）．A. 39B. 45C. 50D. 557、【来源】 2020年陕西高三二模理科第7题5分函数f (x )=cosx+x 2x ，x ∈[−π,0)(0,π]的图象大致为（ ）．A.B.C.D.8、【来源】 2020年陕西高三二模理科第8题5分2019年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延．党中央、国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中，为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导．春节期间随机安排甲乙两位志愿者为一位初中生辅导功课共3次，每位志愿者至少辅导1次，每一次只有1位志愿者辅导，到甲恰好辅导两次的概率为（）．A. 23B. 13C. 34D. 129、【来源】 2020年陕西高三二模理科第9题5分2019~2020学年浙江宁波余姚市高二上学期期中一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN//CD．其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年陕西高三二模理科第10题5分2019~2020学年12月四川成都双流区双流中学高二上学期月考文科第12题5分如图，F1，F2是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|:|BF1|:|AF1|=3:4:5，则双曲线的渐近线方程为（）．A. y=±2√3xB. y=±2√2xC. y=±√3xD. y=±√2x11、【来源】 2020年陕西高三二模理科第11题5分2020~2021学年安徽合肥包河区合肥市第一中学高二下学期期中理科第2题5分2020年陕西高三二模文科第11题5分我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数．由图可知，这位渔民共捕鱼（）条．A. 39B. 64C. 11D. 22412、【来源】 2020年陕西高三二模理科第12题5分已知函数f(x)=e x−ax−1（其中e为自然对数的底数，e=2.71828）在区间(–1,1)内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（）．A. [e 2−12e2,e)B. [e 2−12e2,1)∪(e−1,e2−12]C. [e 2−12e2,e−1e)∪(e−1,e)D. (e−1,e)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第13题5分2019~2020学年8月广西桂林七星区桂林市第十八中学高三上学期月考文科第14题5分2019~2020学年8月广西桂林七星区桂林市第十八中学高三上学期月考理科第14题5分若变量x、y满足约束条件{y⩽2x+y⩾0x−y−2⩽0，则z=x+2y的最大值为．14、【来源】 2020年陕西高三二模理科第14题5分如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即∠BAC=30°），行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD为．15、【来源】 2020年陕西高三二模理科第15题5分已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)−f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m−2020)>(m−2020)f(2)，则实数m的取值范围为．16、【来源】 2020年陕西高三二模理科第16题5分回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等．显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，⋯，191，202，⋯，999．则四位回文数有个，2n（n∈N∗）位回文数有个．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西高三二模理科第17题12分(每题6分)2016年北京朝阳区北京市第八十中学高三零模理科第16题13分2019~2020学年4月天津和平区天津市益中学校高二下学期月考第11题15分直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．(1) 证明：DF ⊥AE ；(2) 是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为√1414若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．18、【来源】 2020年陕西高三二模理科第18题12分(每题6分)已知函数f(x)=cos2ωx +√3sin2ωx +t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．(1) 求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间．(2) 将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y =g(x)的图象，若函数F(x)=g(x)+k 在区间[0,π2]上有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．19、【来源】 2020年陕西高三二模理科第19题12分(分,2分,4分,6分)2018~2019学年9月广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期月考理科第18题12分 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图：(1) 求获得复赛资格的人数．(2) 从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]各抽取多少人？(3) 从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E(X)．20、【来源】 2020年陕西高三二模理科第20题12分(4分,8分)2019~2020学年8月广西桂林七星区桂林市第十八中学高三上学期月考文科第20题12分2018~2019学年5月湖北武汉洪山区洪山区华中师范大学第一附属中学高三下学期月考理科第19题12分2020年河南三门峡高三一模文科第20题12分2020年陕西高三二模文科第20题12分(4分,8分)已知点M(2√33,√33)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2√2．(1) 求C的方程．(2) 设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求OA→⋅OB→的取值范围．21、【来源】 2020年陕西高三二模理科第21题12分(4分,8分)2019~2020学年浙江高三上学期开学考试第22题15分已知函数f(x)=e x−mx．(1) m=2时，求f(x)的单调区间．(2) 若x>0，不等式(x−2)f(x)+mx2+2>0恒成立，求实数m的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：极坐标与参数方程】22、【来源】 2020年陕西高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 的参数方程为{x =1+rcosθy =rsinθ，（θ为参数），r >0．以原点O 为极点、X 轴的正半轴为极轴、取相同的长度单位建立极坐标系，直线L 的极坐标方程是ρsin(θ−π3)=1．(1) 若直线L 与圆C 有公共点，试求实数r 的取值范围．(2) 当r =2时，过点D(2,0)且与直线L 平行的直线L 1 交圆C 于A 、B 两点，求|1|DA|−1|DB||的值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年陕西高三二模理科第23题10分已知函数f (x )=|2x +1|+|x −1|．(1) 解不等式f (x )⩽3．(2) 已知函数g (x )=|2x −2019−a |+|2x −2020|，若对于任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 A;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】8;14 、【答案】100√6;15 、【答案】(2020,2022);16 、【答案】90;9×10n−1;17 、【答案】 (1) 证明过程见解析．;(2) 存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为√1414，理由见解析．;18 、【答案】 (1) f(x)=2sin(4x+π6)−1，f(x)的单调增区间为[kπ2−π6,kπ2+π12],k∈Z．;(2) {−1}∪(1−√3,√3+1]．;19 、【答案】 (1) 获得复赛资格的人数为520人．;(2) (110,130]中抽取5人，(130,150]中抽取2人．;(3) X的分布列为：数学期望为67．;20 、【答案】 (1) C的方程为x22+y2=1．;(2) OA→⋅OB→的取值范围是(−43,53 )．;21 、【答案】 (1) f(x)的单调递增区间为(ln2+∞)，单调递减区间为(−∞,ln2)．;(2) [12,+∞)．;22 、【答案】 (1) [√3+22,+∞)．;(2) 13．;23 、【答案】 (1) {x|−1⩽x⩽1}．;(2) [−12,52 ]．;第11页，共11页。
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试数学(理)试卷
数学（理科）注意事项：1．本试卷共4页满分150分，时间120分钟；2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4．考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>-，则()UA B ⋂=（）． A ．(1,0]-B ．(1,1)-C ．(1,)-+∞D ．[0,1) 2．已知复数41z i=+（为虚数单位），则的虚部为（）． A ．2B ．2i C ．2-D ．2i -3．已知向量(1,3)a =，(3,2)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（）．A ．91010B ．9C ．3-D ．913134．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，）若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为（）．A ．66B ．55C ．45D ．385．已知一组数据的茎叶图如图所示下列说法错误的是（）．A ．该组数据的极差为12B ．该组数据的中位数为21C ．该组数据的平均数为21D ．该组数据的方差为11 6．已知01a b <<<，则下列不等式不成立的是（）．A ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln ln a b >C ．11a b >D ．11ln ln a b >7．已知，b 是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，且a β，b αβ⋂=，则“a α∥”是“a b ∥”的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 8．3(21)(2)x x -+的展开式中2x 项的系数为（）． A ．24B ．18C ．12D ．4 9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin2α的值为（）． A ．18B ．38C ．12D ．7810．抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为（）． A ．403B ．52C ．203D 8711．将函数cos(2)22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移38π个单位长度后得函数()f x 图像，若()f x 为偶函数，则（）．A ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知函数323132,5()3log (4),5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数(())f f x 的零点个数为（）．A ．6B ．7C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数，满足不等式组2033030x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知定义在上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________．15．在ABC 中内角，，C 所对的边分别为，b ，，若1a =，b =，2sin sin cos sin A B C C =，则ABC 的面积为________．16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足23a =，4720a a +=，其前项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ； （Ⅱ）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前项和n T ． 18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且AB CD ∥，22CD AB AD ==，AD CD ⊥．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角B PC D --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号 1 2 3 4 5 6 数学i x 89 87 79 81 78 90 物理i y797577737274（Ⅰ）若在本次考试中规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用表示数学成绩，用表示物理成绩，求与的回归方程．参考公式：ˆˆy bxa =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i n ni ii i x x yy x ynx y b x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()1axf x eax =--（a R ∈且0a ≠）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）对任意12,[1,1]x x ∈-，()()2123f x f x e =≤-恒成立，求的取值范围． （二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线22212:C x y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线(0)6πθρ=≥与1C 相交于异于极点的交点为，与2C 的交点为，求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，记实数的最大值为M ． （Ⅰ）求M 的值；（Ⅱ）正数，b ，满足2a b c M ++=，求证111a b b c+≥++． 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A2．C3．D4．B5．D6．B7．A8．B9．D10．A11．D12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．614．315．1216．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1132920a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：11a =，2d =（4分）∴21n a n =-，2n S n =，（6分）（Ⅱ）（错位相减法）23135212222n nn T -=++++…，① ①式两边同时乘12，得234111352122222n n n T +-=+++…，②-①②可得，23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…，（8分） 2311111112122222222n n n n T +-⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭…， 111121212222n n n n T +-⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，（10分） 2332n nn T +=-．（12分） 18．解：（Ⅰ）证明：取CD 的中点，连接AE ，BE ，BD ．∵2CD AB =，∴AB DE =．又∵AB AD =，AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，AE平面ABCD ，∴PD AE ⊥．∵PD BD D ⋂=，∴PE ⊥平面PBD ．（4分） ∵AB EC =，AB EC ∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴BC AE ∥，∴BC ⊥平面PBD ． 又BC平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．（6分）（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PBD ∠为PB 与平面ABCD 所成的角， 即45PBD ∠=︒，则PD BD =．设1AD =，则1AB =，2CD =，2PD BD ==．以点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ． ∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =．（8分） 设平面PBC 的法向量(,,)m x y z =，∵(1,1,PB =，(1,1,0)BC =-，则00PB m x y BC m x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,1,2)m =．（10分） 设二面角D PC B --的平面角为θ， ∴||1cos 2||||2m DA m DA θ⋅===⋅．由图可知二面角D PC B --为锐角，故二面角D PC B --的余弦值为12．（12分） 19．解：（Ⅰ）由题意得X 的可能取值为0，1，2， 6个学生中理科小能手有2人，24262(0)5C P x C ===，1124268(1)15C C P x C ===，（4分） 22261(2)15C P x C ===．（4分） ∴X 的分布列为()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．（6分） （Ⅱ）1(898779817890)846x =⨯+++++=，1(797577737274)756y =⨯+++++=，（8分）()()()11222111ˆ5nniii ii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---===--∑∑∑∑（9分） 1291ˆˆ758455ay bx =-=-⨯= ∴回归方程为：129155y x =+．（12分）20．解：（Ⅰ）椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴221914a b +=，又∵12c a =（2分） 解之得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=（4分） （Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -． ∵M ，N 在椭圆C 上，∴2200143x x +=， ∴20127x =． ∴O 到直线MN的距离为0d x ==22127x y +=．（6分） 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834kmx x k+=-+，212241234m x x k -=+．（8分） ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=∴()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=．∴()22222224128103434m k m k m k k-+⋅-+=++，即()227121m k =+．（10分）∴O 到直线MN 的距离为7d ===， 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切．（12分） 21．解：（Ⅰ）由()()1ax ax f x ae a a e '=-=-．（1分） 当0a <时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2分） 当0a >时，(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0 f x '>，()f x 单调递增．（3分） 综上所述，()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增．（4分） （Ⅱ）由题意知对任意12,[1,1]x x -，()()2123f x f x e -≤-恒成立，2max min ()()3f x f x e ⇔-≤-又由（Ⅰ）知，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以只需：222222(1)(0)31320.(1)(1)(0)31320.(2)a a a a f f e e a e e a e f f e e a e e a e --⎧⎧⎧-≤---≤---+≤⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨--≤-+-≤-+-+≤⎪⎩⎪⎩⎩（8分） 设2()2a h a e a e =--+．∵()1ah a e '=-，∴()h a 在区间(0,)+∞上单调递增；在区间(,0)-∞上单调递减． 注意到(2)0h =，所以，当02a ≤≤不等式（1）成立；当2a >时不等式（1）不成立． 又2222(2)2240h ee e e ---=+-+=+-<，∴当20a -≤<不等式（1）也成立，所以，22a -≤≤时不等式（1）成立．此时22a -≤≤，不等式（2）也成立，而当2a <-时，2a ->，由函数()h a 的性质知，不等式（2）不成立．综上所述，不等式组的解为22a -≤≤．（11分）又∵0a ≠，∴实数的取值范围为[2,0)(0,2]-⋃．（12分）（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑． 22．解：（Ⅰ）曲线11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=，（2分）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，（3分）曲线2C 的极坐标方程为()221sin 2ρθ+=．（5分）（Ⅱ）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点的极径为12cos6πρ==（6分）射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点的极径满足2221sin 26πρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得25ρ=，（8分）∴12||5AB ρρ=-=-．（10分） 23．解：（Ⅰ）|2||3||(2)(3)|5x x x x --+≤--+=，（2分） 若不等式|2||3||1|x x m --+≥+有解，则满足|1|5m +≤，（3分） 解得64m -≤≤．∴4M =．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数，b ，满足24a b c ++=， ∴11111[()()]4a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭，（7分）112(2144b c a b a b b c ++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭．（9分） 当且仅当a c =，2a b +=时，取等号．（10分）。
陕西省2020版高考数学一模试卷(理科)(I)卷(模拟)
陕西省 2020 版高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）的值为 （ ）A.B.C.D.-2. （2 分） “a＝－3”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[－3，＋∞)上为增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） (2016·安徽模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.第 1 页 共 12 页B. C.D. 4. （2 分） 若抛物线 y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则 p 的值为（ ） A.2 B . 18 C . 2 或 18 D . 4 或 165. （2 分） （ ﹣ ）10 式中含 x 正整数指数幂的项数是（ ） A.0 B.2 C.4 D.66. （2 分） 从 N 个编号中要抽取 n 个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（[ 的整数部分）（ ）]表示A. B.nC.[ ]D . [ ]+17. （2 分） 已知复数 （ 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ）第 2 页 共 12 页A.4 B.6 C.2 D.3 8. （2 分） 函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，则 f（x）的解析式为（ ）A. B. C. D. 9. （2 分） (2017 高一下·鞍山期末) 如图所示，程序框图的输出结果为（ ）A.4B.5C.6D.710. （2 分） (2015 高三上·福建期中) 函数 f（x）=x2+lnx 的零点个数为（ ）A.0第 3 页 共 12 页B.1C.2D.311. （ 2 分 ） (2019 高 三 上 · 梅 县 月 考 ) 在 梯 形中，，，.将梯形绕 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A.B.C. D.12. （2 分） (2020 高一下·高安期中) 已知椭圆 + =1（ ）的左、右焦点分别为 F1( ，0)，F2( ，0)，若椭圆上存在点 P，使，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A . (0，)B.(，1)C . (0，)D.(，1)二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高一下·资阳期末) 已知| |=3，| |=4，且＜ ， ＞=120°，则| + |=________．14. （1 分） (2018 高二下·双流期末) 设实数 ________.满足约束条件第 4 页 共 12 页，则的最大值是15. （1 分） 若函数 y= ﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为 a，则 a 的范围为________．16. （1 分） (2016 高二上·大庆期中) 设双曲线 点，则双曲线的离心率为________．三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17. （5 分） 已知数列 满足，的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共（）．（Ⅰ）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，若数列 满足，且成立，求 的最小值．18. （10 分） (2017·淮安模拟) 在三棱锥 P﹣ABC 中，D 为 AB 的中点．对任意的恒（1） 与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E，判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由如下：（2） 若 PA=PB，且△PCD 为锐角三角形，又平面 PCD⊥平面 ABC，求证：AB⊥PC．19. （15 分） (2019 高三上·衡阳月考) 衡阳市八中学生食堂的伙食质量在广大同学中有口皆碑，高三某同学尤其爱吃肉包．他一直在八中二食堂买肉包，面点师声称卖给学生的包子平均质量是，上下浮动．在这位同学眼中，这运用数学语言表达就是：肉包的质量服从期望为，标准差为的正态分布．（1） 假设面点师没有撒谎，现该同学从该食堂任意买两个肉包，求每个肉包的质量均不少于的概率．（2） 出于兴趣，该同学每天将买来的肉包称重并记录得到 25 个肉包质量（ 下表：第 5 页 共 12 页） 的数据（单位： ）如98.3 97.2 96.6 101.0 100.8 95.4 95.2 96.9 96.8 99.8 101.1 99.7 99.2 100.1 100.6 95.7 95.0 96.9 97.1 97.5 95.2 95.9 98.7 100.0 96.1设从这 25 个肉包中任取 2 个，其质量不少于的肉包个数记为 ，求 的分布列及；（3） 该同学计算这 25 个肉包质量（ ） 的平均值，标准差是，他认定面点师在制作过程中偷工减料，并果断举报给学校后勤部门．食堂管理人员对面点师做了惩罚，面点师也承认自己的错误，并同意作出改正．该同学在接下来的一段时间里每天都去该食堂买肉包．他又认真记录了 25 个肉包的质量，并算得他们的平均值为，标准差是．于是该同学又一次将面点师举报了．请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说该同学又一次举报的理由．20. （10 分） (2020 高二上·榆树期末) 已知椭圆 上（1） 求 的方程（2） 直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与直线的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.有两个交点21. （10 分） (2019 高三上·吉林月考) 已知函数的离心率为 ，点在，线段 的中点为 .证明： .（1） 求函数的单调区间；（2） 当时，求函数的最大值与最小值。
【附加15套高考模拟试卷】陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试(二)数学(理)试题含答案
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟考试（二）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（ ）.A ．1B ．2C ．4D ．62．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC u u u r u u u rg 的值为（ ）A ．58-B ．18 C ．14 D ．1183．等比数列{a n }中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．144．若复数z 满足()21213z i i -+=+(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )A ．B ．C ．D ．7．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为()()2,2,1,2,2,1A B -，()()0,2,1,0,0,1C D ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π8．若数列{}n a 满足11a =，22a =，21(3)n n n a a a n --=>，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法错误的是（ ） A ．n T 无最大值 B ．na 有最大值 C ．20194T = D ．20192a =9．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD-的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π10．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，5A ，若P 点坐标为(0,3)，则125...PA PA PA +++=u u u r u u u u r u u u r（ ）A ．0B ．2C ．6D ．1011．若函数3()(3)x f x e x ax a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,)2+∞C ．1(0,)4 D ．1(,)4+∞12．若实数，满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)及答案解析
陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣84．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x （a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．77．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．28．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．29．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4C．2D．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．π D．3π11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是_______．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为_______cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）15．若实数x，y满足，则的最大值是_______．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜0}，B={x|2x﹣1＜}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1）D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：2x﹣1＜=2﹣2，得到x﹣1＜﹣2，解得：x＜﹣1，即B=（﹣∞，﹣1），∵A=[﹣2，0），∴A∩B=[﹣2，﹣1），故选：C．2．定义：=ad﹣bc，若复数z满足=﹣1﹣i，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣i D．3﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用新定义直接化简=﹣1﹣i，则iz=1，求出复数z，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，进行化简可得答案．【解答】解：根据定义=﹣zi﹣i=﹣1﹣i，则iz=1，∴．故选：C．3．等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列性质得a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4+a8=﹣2，∴a4+a8=2a6=﹣2，解得a6=﹣1，∴a6（a2+2a6+a10）=a6×4a6=4．故选：A．4．在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出“不是整数”包含的基本事件个数，由此能求出“不是整数”的概率．【解答】解：∵在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，∴基本事件总数n=4×3=12，“不是整数”包含的基本事件有，，，，，，，，共8个，∴“不是整数”的概率p==．故选：C．5．设命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x （a＞0且a≠1）是对数函数，则命题p成立是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不重充分条件C．充要条件D．既不充分也不不要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，利用向量共线定理即可得出m的值．命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，可得m﹣1=1，x＞0，解得m．即可判断出结论．【解答】解：∵命题p：=（m，m+1），=（2，m+1），且∥，∴2（m+1）﹣m（m+1）=0，和化为（m+1）（m﹣2）=0，解得m=﹣1或2；命题q：关于x的函数y=（m﹣1）log a x（a＞0且a≠1）是对数函数，∴m﹣1=1，x＞0，解得m=2．则命题p成立是命题q成立的必要不充分条件．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输出的S等于，则输入的N为（）A．8 B．9 C．10 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得当k=8时，S=+++…+=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，从而可得输入的N为为8．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=1，S=0S=，满足条件k＜N，k=2，S=+，满足条件k＜N，k=3，S=++，…满足条件k＜N，k=8，S=+++…+=（1﹣）+（）+…（﹣）=1﹣=，由题意，此时应该不满足条件k＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N为为8．故选：A．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上过F的两个端点，设线段AB的中点M在l上的摄影为N，则的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和梯形的中位线定理可得出|MN|=（|AF|+|BF|）=|AB|．【解答】解：过A作AP⊥l于P，过B作BQ⊥l于Q，则|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|．∵M为AB的中点，∴|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|．∴=．故选：A．8．在△ABC中，=5，=3，D是BC边中垂线上任意一点，则•的值是（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC中点为M，利用表示出，，代入数量积公式计算．【解答】解：设BC中点为M，则．∴．∵DM⊥BC，∴．∴•=（）==（）•（）=（）=×（25﹣9）=8．故选：B．9．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF1=60°，则△F1PF2的面积是（）A．B．4C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），由余弦定理可得PF1•PF2=16，由S= PF1•PF2sin60°，即可求得△F1PF2的面积．【解答】解：由题意可得F2（，0），F1（﹣，0），在△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=16+4a2=PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°=（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，即有PF1•PF2=16．可得S△=PF1•PF2sin60°=×16×=4．故选：B．10．已知正四面体的棱长，则其外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．π D．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为1，正方体的对角线长为，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为∴外接球的表面积的值为4πr2=4=3π．故选：D．11．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[1，4] B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，0]∪[1，4]【考点】分段函数的应用．【分析】若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，数形结合可得答案．【解答】解：若函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：∵f′（x）=，故当m∈（﹣∞，0]∪[1，4]时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣mx有且只有一个零点，故选：D．12．把曲线C：y=sin（﹣x）•cos（x+）上所有点向右平移a（a＞0）个单位，得到曲线C′，且曲线C′关于点（0，0）中心对称，当x∈[π，π]（b为正整数）时，过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，则b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】运用二倍角的正弦公式和诱导公式，可得y=cos2x，再由平移和中心对称可得y=±sin2x，求得函数的导数，由有余弦函数的图象可得减区间，再由b为整数，即可得到b=1或2．【解答】解：y=sin（﹣x）•cos（x+）=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+）=cos2x，由题意可得曲线C′：y=cos（2x﹣2a），曲线C′关于点（0，0）中心对称，可得2a=kπ+，k∈N，即有y=±sin2x，由y=sin2x的导数为y′=cos2x，由cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，可得[π，π]⊆[，]，即有b=1或2；由y=﹣sin2x的导数为y′=﹣cos2x，由﹣cos2x≤0，可得2x∈[2kπ+，2kπ+]．当x∈[π，π]（b为正整数），过曲线C′上任意两点的直线的斜率恒小于零，即有y′＜0恒成立，则[π，π]⊆[2kπ+，2kπ+]不恒成立．综上可得b=1或2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则它的展开式中常数项是1120．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=8，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n=8．（x﹣）n即（x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+1==•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r=0，求得r=4，则展开式中的常数项是•（﹣2）4=1120．故答案为：1120．14．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为cm2．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10，故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=10，故此两侧面的面积皆为50故此四棱锥的表面积为cm2．故答案为：15．若实数x，y满足，则的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合的几何意义求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），而的几何意义表示平面区域内的点到原点0的斜率，显然OA的斜率最大，故的最大值是2，故答案为：2．16．已知数列{a n}中，a1=2，若a n+1=2a n+2n+1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=n•2n．【考点】数列递推式．【分析】a n+1=2a n+2n+1（n≥1），变形为﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：a n+1=2a n+2n+1（n≥1），∴﹣=1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，a n=n•2n．故答案为：n•2n．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知，函数的图象过点．（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由向量和三角函数公式可得f（x）=sin（2x﹣），由周期公式可得周期，解可得单调增区间；（2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=，进而可得A的范围，由三角函数值域可得．【解答】解：（1）由题意可得，∵点在函数f（x）的图象上，∴，解得，∴f（x）=sin（2x﹣），∴，解可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调增区间为；（2）∵，∴ccosB+bcosC=2acosB，∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=∵B∈（0，π），∴，，∴，，∴，∴f（A）的取值范围是．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PDC是正三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面垂直的性质定理即可证明DM⊥BM；（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明（1）由底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=120°，且侧面PDC与底面垂直，∴DC=2，D0=，则OA⊥DC，建立以O为坐标原点，OA，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，﹣，0），B（3，2，0），C（0，，0），∵M为PB的中点．∴M（，，），=（，2，），=（3，0，﹣3），=（0，2，0），则•=×3+2×0﹣×3=0，•=0，则PA⊥DM，PA⊥DC，∵CD∩DM=D，∴PA⊥平面DMC．（2）=（，0，），=（3，﹣，0），设平面AMC的法向量为=（x，y，z），则由•=0，•=0，得，令x=1，则y=，z=﹣1，则=（1，，﹣1），同理可得平面CDM的法向量为==（3，0，﹣3），则cos＜，＞===，即二面角D﹣MC﹣B的余弦值是．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为1级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市区2015年全年每天的PM2.5检测数据中随机抽取6天的数据最为样本，检测值茎叶图如图（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出3天．（Ⅰ）求至多有2天空气质量超标的概率；（Ⅱ）若用随机变量X表示抽出的3天中空气质量为一级或二级的天数，求X的分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）至多有2天空气质量超标的对立事件是3天空气质量都超标，由此利用对立事件概率计算公式能求出至多有2天空气质量超标的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有2天空气质量超标”为事件A，“3天空气质量都超标”为事件B，则P（B）=0，∴至多有2天空气质量超标的概率P（A）=1﹣P（B）=1．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 1 2 3PEX==2．20．过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（2）设A为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m2＜3k2+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）∵△AF1B的周长为4，椭圆的离心率为，∴a=，c=∴b=1，∴椭圆的方程为：=1；（2）设A（x A，y A）、M（x M，y M）、N（x N，y N），A为弦MN的中点，直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2﹣12（3k2+1）（m2﹣1）＞0，∴m2＜3k2+1，①由韦达定理，可得A（﹣，）∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，∴∴2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2∵2m=3k2+1＞1，∴m＞∴＜m＜2．当k=0时，m=，也成立．综上可得m的范围是[，2）．21．已知函数f（x）=ln（3x+2）﹣x2（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（Ⅱ）问题转化为a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是（﹣，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（）=ln3﹣；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，不等式|a﹣lnx|+ln|f′（x）+3x|＞0恒成立，⇔a＞lnx﹣ln或a＜lnx+ln恒成立①，设h（x）=lnx﹣ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln，由题意得：a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[1，2]恒成立，⇔a＞h（x）max或a＜g（x）min，∵h′（x）=＞0，g′（x）=＞0，∴h（x），g（x）在[1，2]递增，要使不等式①恒成立，当且仅当a＞h（2）或a＜g（1），即a＜ln或a＞ln．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）求EC的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．【解答】解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，可得∠AEO=∠C=90°，则直线AC与△BDE的外接圆相切；（2）设△BDE的外接圆的半径为r，在△AOE中，OA2=OE2+AE2，且即（r+2）2=r2+62，解得r=2，OA=4，由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°，可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=r，则EC=BE=•r=××2=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1和C2交点的直角坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由得，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=﹣4cosθ可得：ρ2=ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，即可得出．【解答】解：（1）由得两式平方作和得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0．①由ρ=﹣4cosθ⇒ρ2=ρcosθ，即x2+y2=﹣4x②的方程得交点为（0，0）和（﹣2，2）．②﹣①：x+y=0，代入曲线C1（2）由平面几何知识可知，当A、C1、C2、B依次排列且共线时|AB|最大，此时，O到直线AB的距离为，∴△OAB的面积为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，∴﹣2＜|x|﹣4＜2，∴2＜|x|＜6，故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，∴m的取值范围为m＜4．。
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z•i=2i+1，则z=（）A. 2+iB. 2-iC. -2+iD. -2-i2.已知集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，则A∩B中元素的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 03.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则=（）A. （0，1）B. （1，0）C.D.4.已知b＞a＞0，则（）A. |1-a|＞|1-b|B.C. lg a＜lg bD.5.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比数列，则角B的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.函数y=sin x，在[0，π]中随机取一个数x，使的概率为（）A. B. C. D.9.已知x+2y=xy（x＞0，y＞0），则2x+y的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知曲线C1：y=sin x，，则下面结论正确的是（）A. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C211.设f（x）为R上的奇函数，满足f（2-x）=f（2+x），且当0≤x≤2时，f（x）=xe x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A. 2e+2e2B. 50e+50e2C. 100e+100e2D. -2e-2e212.已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x•ln x在点（1，0）处的切线的方程为______．14.已知cos2x-sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0），则A=______，b=______．15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”．试写出的一个“同域函数”的解析式为______．16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0改写成以下形式：f（x）=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1）x+a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a3x+a2）x+a1）x+a0⋮=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0若，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是D1C1的中点，AB=2，BC=BB1=1．（Ⅰ）求证：平面DB1C1⊥平面DCC1D1；（Ⅱ）求二面角D-EB1-C1的余弦值．18.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响．（Ⅰ）用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设A为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A发生的概率．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n-1，（n∈N+）．（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{n•（a n+2）}的前n项和．20.已知f（x）=e x，g（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）f（x）和g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），令h（x）=f'（x）-g'（x），判断h（x）在（-2，+∞）上零点个数；（Ⅱ）当x＞-2时，证明f（x）＞g（x）．21.如图，过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于不同两点A，B，P为拋物线上任意一点（与A，B不重合），直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N．（Ⅰ）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）求证：MF⊥NF．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（β为参数）．直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角．23 已知函数f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（理科）答案和解析【答案】1. B2. B3. A4. C5. A6. C7. D8. C9. B10. D11. A12. A13. x-y-1=015. y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或…16. 017. 解：（I）证明：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴B1C1⊥平面DCC1D1，又B1C1⊂平面DB1C1，∴平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）解：方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．∵B=2，BC=BB1=1，A1E⊥EB1，即HM⊥EB1，又∵GH⊥EB1，∴∠GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．又∵，∴．∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：D（0，0，1），B1（1，2，0），E（0，1，0），．设n=（x0，y0，z0）是平面DEB1的一个法向量，∵，∴，令z0=1，则x0=-1，y0=1．n=（-1，1，1），平面EB1C1的一个法向量，．显然，二面角D-EB1-C1是钝角，∴二面角D-EB1-C1的余弦值为．18. 解：（I）X的取值为0，1，2，3，，，，．因此X的分布列为X0123P．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，∴事件A发生的概率为：．19. 解：（I）证明：令n=1，则a1=3．∵S n=2a n-2n-1，（n∈N+）①∴S n-1=2a n-1-2（n-1）-1，（n≥2，n∈N+）②①-②得：a n=2a n-2a n-1-2，a n=2a n-1+2，∴，∴{a n+2}是等比数列．（II）由（I）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列．∴，∴，设数列{n•（a n+2）}的前n项和为T n，则③∴④③-④得：=，∴．20. 解（I）∵，∴∵h（x）在（-2，+∞）内单调递增，又∵，∴h（x）在（-2，+∞）内有且只有一个零点．（II）令H（x）=f（x）-g（x）=e x-ln（x+2），．由（I）可知：存在x0∈（-1，0）使得，即．当x∈（-2，x0）时，H'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，H'（x）＞0.==，∴f（x）＞g（x）．（II）由（I）知，设直线AB的方程为：x-2=my（m∈R）．令P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得：y2-8my-16=0，由根与系数的关系得：y1y2=-16．直线PB方程为：，即===．当x=-2时，∴，同理得：，∴，，∴===，∴，∴MF⊥NF．22. 解：（I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．得：∴曲线C的参数方程化为普通方程为：．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，．则②-①得，化简得：．即．又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得．∴，∴，即．∴，即又∵α∈（0，π），∴直线l的倾斜角为．23. 解：（I）当a=2时，f（x）=|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2），由f（x）＜0得|x-2|（x-2）+|x-2|（x-2）＜0．①当x≥2时，原不等式可化为：2（x-2）2＜0，解之得：x∈∅．②当x＜2时，原不等式可化为：-2（x-2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）=|x-a|（x-2）+|x-2|（x-a）=（x-2）[|x-a|-（x-a）]．由f（x）≥0得（x-2）[|x-a|-（x-a）]≥0，∴|x-a|≤x-a，∴x-a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（-∞，0]．【解析】1. 解：由z•i=2i+1，得z=．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2. 解：∵集合A={（x，y）|y=2x}，B={（x，y）|y=x+1}，∴A∩B={（x，y）|}，作出y=2x和y=x+1的图象如下图：结合图象得y=2x和y=x+1有两个交点，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．图象得y=2x和y=x+1有两个交点，由此能求出A∩B中元素的个数．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 解：∵平面直角坐标系中，O为坐标原点，，∴sin∠AOx=，cos∠AOx=，∴和x轴的夹角为∠AOx=30°．若绕点O逆时针旋转60°得到向量，∴∠BOx=30°+60°=90°．设=（0，b），则=1•1•cos60°=0+b，∴b=1，即=（0，1），故选：A．由题意求得∠BOx=30°+60°=90°，设=（0，b），再利用两个向量的数量积的定义和公式，求得b的值，可得结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4. 解：b＞a＞0，则|1-a|＜|1-b|，＞，lg a＜lg b，＞．故选：C．由b＞a＞0，利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6. 解：由题意，a，b，c既是等差数列又是等比数列，则a，b，c是常数数列，即a=b=c．故A=B=C，∵180°=A+B+C=3B，∴B=60°．故选：C．本题首先根据a，b，c既是等差数列又是等比数列判断出a，b，c是常数数列，即a=b=c．则有A=B=C，再根据三角形内角和知识可得角B的值．本题主要考查等差数列和等比数列的综合，以及三角形的基础知识．本题属基础题．7. 解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．则A（0，-1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴=（，1，-2），=（-，1，-2），∴cos＜，＞===．故选：D．如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2．利用cos＜，＞=即可得出．本题考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 解：解三角不等式0≤sin x≤（x∈[0，π]，得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得：事件发生的概率为=，故选：C．由三角不等式的解法得：0≤x或≤x≤π，由几何概型中的线段型可得事件发生的概率本题考查了三角不等式的解法及几何概型中的线段型，属简单题9. 解：由x+2y=xy（x＞0，y＞0），可得=1，则2x+y=（2x+y）（）=5+≥5+4=9，当且仅当且=1，即x=3，y=3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题10. 解：结合函数的图象的变换可知，把y=sin x上纵坐标不变，各点横坐标伸长到原来的2倍可得，y=sin，再把，y=sin向左平移个单位可得y=sin=sin（）=sin（+）=cos（）．综上可知，D正确．故选：D．结合正弦函数的图象的变换，结合选项中的变换顺序即可判断》本题主要考查了正弦函数的图象的变换，属于基础试题．11. 解：由f（2-x）=f（2+x），f（x+2）=-f（x-2），f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），故f（x）周期为8的奇函数，f（0）=0，f（1）=e，f（2）=2e2，f（3）=f（1）=e，f（4）=f（0）=0，f（5）=f（-1）=-f（1）=-e，f（6）=f（-2）=-2e2，f（7）=f（-1）=-f（1）=-e，f（8）=f（0）=0，所以f（1）+…+f（8）=e+2e2+e+0-e-2e2-e+0=0f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=0+f（97）+f（98）+f（99）+f（100）=0+f（1）+f故选：A．先判断函数的周期为8，根据题意，结合奇函数求出f（1）到f（8）的值，代入求出即可．考查函数的周期性和奇偶性的应用，中档题．12. 解：设MN与x轴交于E，因为四边形PQMN为正方形，所以△OEN为等腰直角三角形，所以OE=NE=，由题意可得半径ON=c，所以N坐标（c，c），而N是F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入双曲线方程可得：，而b2=c2-a2，整理可得：c4-4a2c2+2a4=0，离心率e=所以可得：e4-4e2+2=0，解得e2=2+，所以e=，故选：A．由题意画图可得：△ONE为等腰直角三角形，由题意可得N的坐标，而N是以F1F2为直径的圆交双曲线C的交点，代入曲线方程求出a，c之间的关系，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率．考查双曲线的性质，属于中档题．13. 解：由f（x）=x lnx，得，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=x lnx在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），整理得：x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14. 解：因为cos2x-sin2x==，=[-sin2x+cos2x]+，=+，其中cosφ=-，sinφ=．故A=，b=．故答案为：，．由已知结合二倍角公式及辅助角公式先对函数进行化简，然后比对系数即可求解．本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用，属于基础试题．15. 解：因为，所以x≥1且x≤2，所以函数的定义域为[1，2]．下面求函数y的值域，不妨先求函数y2的值域，令，令g（x）=（x-1）（2-x），x∈[1，2]，所以g（x）∈[0，]，从而得出f（x）∈[0，1]，所以y∈[-1，1]，即函数的值域为[-1，1]．只要满足定义域为[1，2]，且值域为[-1，1]的函数均符合题意，例如y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]……故答案为：y=2x-3，x∈[1，2]或y=2x-3，x∈[1，2]或y=3x-1-2，x∈[1，2]或……（符合题意即可）分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．本题考查了求函数定义域和值域的方法，再者开放性试题还考查到学生对基本初等函数概念与性质的熟练程度，属于基础题．16. 解：=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1则=0．故答案为：0．=（（（（（2+）x+1+）x+1+）x+1+）x+1+）x-1x=2-代入即可得出．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17. （I）由B1C1⊥平面DCC1D1，即可得平面DB1C1⊥平面DCC1D1．（II）方法一：取G、M、H分别是AB、EB1、A1B1的中点，连接DG、GM、MH、GH、A1E．可得GMH或其补角是二面角D-EB1-C1的平面角．解三角形即可求二面角D-EB1-C1的余弦值．方法二：以D1为坐标原点，以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：求得平面DEB1的一个法向量和平面EB1C1的一个法向量即可得二面角D-EB1-C1的余弦值．本题考查了面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题．18. （I）X的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（II）由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生，即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况，由此能求出事件A发生的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （I）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（II）运用等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题．20. （I）先对函数h（x）求导，然后结合导数研究单调性，进而结合函数的零点判定定理可求；（II）要证明x＞-2时，f（x）＞g（x），转化为证明H（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，结合导数转化为求函数的最值．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解零点个数，综合考查了导数与函数性质的综合应用．21. （Ⅰ）由抛物线的定义可得焦点F的坐标和准线l的方程；（Ⅱ）设P，A，B的坐标，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之积，再求直线PA，PB的方程，进而求出M，N的坐标，求出数量积为0可得MF⊥NF．考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合，属于中档题．22. （I）由曲线C的参数方程，（β为参数）．利用平方关系即可得出．（II）解法一：中点极坐标化成直角坐标为．设直线l与曲线C相交于A （x1，y1），B（x2，y2）两点，．把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入椭圆方程化简，可得直线的斜率．解法二：中点极坐标化成直角坐标为，将分别代入，得，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的意义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23. （Ⅰ）将a=2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x-a|≤x-a，由此得解．本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算能力，属于基础题．。
陕西省2020年高考数学一模试卷(理科)D卷(考试)
陕西省2020年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·湄潭期中) 已知集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A . （1，3）B . （1，+∞）C . （3，+∞）D . （﹣∞，1）∪（3，+∞）2. （2分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A . 3+4iB . 5+4iC . 3﹣4iD . 5﹣4i3. （2分）(2019·吴忠模拟) 已知向量，且，则（）A .B .C . 6D . 84. （2分）如图程序运行后,输出的值是（）A . -4B . 5C . 9D . 145. （2分）(2019·上饶模拟) 函数的大致图像为（）A .B .C .D .6. （2分）已知满足约束条件，若目标函数的最大值是4，则ab 的最大值是（）A . 4B .C . 1D .7. （2分） (2019高三上·哈尔滨月考) 一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·温州模拟) 要得到函数y=sin（3x﹣）的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A . 向右平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向左平移个单位9. （2分）(2020·广西模拟) 在的展开式中，前3项的系数和为（）A . 16B . 32C . 80D . 16010. （2分） (2017高三下·长宁开学考) 下列命题是真命题的是（）A . 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B . 正四面体是四棱锥C . 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥D . 正四棱柱是平行六面体11. （2分）(2018·绵阳模拟) 在区间上随机取一个实数，则事件“ ”发生的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·成都期中) 函数f（x）= 的单调递减区间是（）A . （0，e）B . （0，1），（1，e）C . （e，+∞）D . （﹣∞，e）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=________14. （1分）(2017·太原模拟) 在三棱锥A﹣BCD中，AB=2 ，△ACD和△BCD均是边长为4的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为________．15. （1分） (2017高一下·邯郸期末) 如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COA=30°，若 = ，则λ+μ________．16. （1分） (2016高二上·常州期中) 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点，AB= ，则C的实轴长为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）函数的最大值为an ，最小值为bn ，且．（1）求函数{cn}的通项公式；（2）若数列{dn}的前n项和为Sn ，且满足Sn+dn=1．设数列{cn•dn}的前n项和为Tn ，求证：Tn＜5．18. （5分） (2017高二下·惠来期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．19. （15分） (2019高三上·眉山月考) 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．附：下面的临界值表仅供参考．P(K2≥k0) 0．150．100．050．0250．0100．0050．k02．0722．7063．8415．0246．6357．87910（参考公式：，其中．）（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计20. （10分） (2017高二下·陕西期末) 已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F，F，左右顶点分别为A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4（1）求椭圆的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若△MF2N的面积为，求直线l的方程．21. （10分）已知函数f（x）=2lnx+ ．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞）及t∈[1，2]，不等式f（x）≥t2﹣2mt+2恒成立，试求m的取值范围．22. （10分） (2017高二下·黄冈期末) 设直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，点A（1，0），求 + 的值．23. （5分）解不等式参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：第21 页共21 页。
2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科数学试卷(3月)-学生用卷
2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科数学试卷（3月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第1题5分设集合A ={x |−2<x ⩽2,x ∈Z }，B ={x |log 2x <1}，则A ∩B =（ ）．A. (0,2)B. (−2,2]C. {1}D. {−1,0,1,2}2、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第2题5分在复平面内，复数z =a +bi(a,b ∈R)对应向量 OZ →（O 为坐标原点），设|OZ →|=r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则z =r(cosθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z 1=r 1(cosθ1+isinθ1)，z 2=r 2(cosθ2+isinθ2)，则z 1z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ)，已知 z =(√3+i)4，则|z →|=（ ）．A. 2√3B. 4C. 8√3D. 163、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第3题5分2019~2020学年5月广东深圳龙华区深圳市第二外国语学校高三下学期周测C 卷文科第3题5分 为比较甲，乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）．A. 甲的数据分析素养优于乙B. 乙的数据分析素养优于数学建模素养C. 甲的六大素养整体水平优于乙D. 甲的六大素养中数学运算最强4、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第4题5分已知sinα−2cosα=1，α∈(π,3π2)，则1−tanα21+tanα2=（）．A. −12B. −2 C. 12D. 25、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第5题5分在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，2AM→=AD→，BM→=λAB→+μAC→，则λ+μ=（）．A. −12B. −2 C. 12D. 26、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第6题5分设椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）．A. 23B. 12C. 13D. 147、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第7题5分《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n =2及n =3时，如图：记S n 为每个序列中最后一列数之和，则S 6为（ ）．A. 147B. 294C. 882D. 17648、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第8题5分已知函数f(x)=x 3+sinx(1+x)(m−x)+e x +e −x 为奇函数，则m =（ ）．A. 12B. 1C. 2D. 39、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第9题5分已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则V v =（ ）．A. 4B. 8C. 9D. 2710、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第10题5分要得到函数f (x )=sin(3x +π3)的导函数f ′(x )的图象，只需将f (x )的图象（）．A. 向右平移π3个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B. 向右平移π6个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍C. 向左平移π3个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍D. 向左平移π6个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍11、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第11题5分已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB =3，AD =CD =6，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）．A. 43B. 16C. 43πD. 8π12、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第12题5分已知y =ax +b 与函数f(x)=2lnx +5和g(x)=x 2+4都相切，则不等式组{x −ay +3⩾0x +by −2⩾0所确定的平面区域在x 2+y 2+2x −2y −22=0内的面积为 （ ）．A. 2πB. 3πC. 6πD. 12π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第13题5分设x 1、x 2、x 3、x 4为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如下表，若记DX ，DY 分别为X ，Y 的方差，则DX DY ．（填>，<，=）14、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第14题5分△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2bcosA =2c +√3a ，则∠B = ．15、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第15题5分若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为b2，则2√3a的最小值为．16、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第16题5分若奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，g(x)为R上的单调函数，对任意实数x∈R都有g[g(x)−2x+2]=1，当x∈[0,1]时，f(x)=g(x)，则f(log212)=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第17题12分(5分,7分)已知数列{a n}为公差为d的等差数列，d>0，a4=4，且a1，a3，a9依次成等比数列，b n=2a n．(1) 求数列{b n}的前n项和S n．(2) 若c n=2b nS n⋅S n+1，求数列{c n}的前n项和为T n．18、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第18题12分(5分,7分)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，AB=√5，sin∠ABD=√55．(1) 证明：PA⊥BD．(2) 求二面角A−PB−C的正弦值．19、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第19题12分(每题6分)已知动圆过定点F(0,1)，且与直线l：y=−1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k(k≠0)的直线l与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N．(1) 证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB．(2) 求四边形AMBN的面积的最小值．20、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第20题12分(2分,4分,6分)2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期中理科第19题12分2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎(CoronavirusDisease2019,COVID−19)，简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，⋯，10）建立模型y=c+dt和y=a+b⋅1.5t．(1) 根据散点图判断，y=c+dt与y=a+b⋅1.5t哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2) 根据(1)的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程．(3) 以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据(2)的结果回答下列问题:① 当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断(2)的回归方程是否可靠？② 2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附；对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，⋯⋯，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑(u 1−u )(v i −v )n i=1∑(u i −u )2n i=1=∑u i v i −nu⋅v n i=1∑u i 2−nu 2n i=1，α=v −βu ． 参考数据：其中：ωi =1.5i ，ω=110∑ωi10i=1． （温馨提示： 解题过程中请利用参考数据进行计算．．．．．．．．．．．．．．．．）21、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第21题12分(5分,7分) 已知函数f (x )=lnx −ax +a ，其中a >0．(1) 讨论函数f (x )的零点个数．(2) 求证：e x +sinx >xlnx +1．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第22题10分(每题5分) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C 1:x 2+y 2−2y =0，C 2:√3x +y =6，C 3:kx −y =0(k >0)．(1) 求C 1与C 2的极坐标方程．(2) 若C 1与C 3交于点A ，C 2与C 3交于点B ，|OA |=λ|OB |，求λ的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第23题10分(每题5分)已知函数f(x)=2|x|+|x−4|，设f(x)的最小值为m．(1) 求m的值．(2) 是否存在实数a，b，使得a+2b=2，1a +2b=m？并说明理由．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 D;10 、【答案】 D;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】>;14 、【答案】150°;15 、【答案】2;16 、【答案】−13;17 、【答案】 (1) S n=2n+1−2．;(2) S n=12−12n+2−2;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 23．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 32．;20 、【答案】 (1) y=a+b⋅1.5t适宜．;(2) y=10+20×1.5t．;(3)①(2)的回归方程可靠，证明见解析．②措施有效，证明见解析．;21 、【答案】 (1) a=1时，f(x)有一个零点；当a>0且a≠1时，f(x)有两个零点．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) ρ=2sinθ，√3ρcosθ+ρsinθ=6．;(2) 12．;23 、【答案】 (1) m=4．;(2) 不存在，理由证明见解析．;。
陕西省2020版高考数学一模试卷(理科)B卷
陕西省2020版高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·重庆月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·长春期末) 已知命题，则命题的否定为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·长春月考) 函数f（x）= + 的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·舒兰期中) 若函数f (x)＝＋x，则＝（）A .B .C .D .5. （2分）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度为)，则最少需要将区间等分的次数为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2017高一上·武汉期中) 下列式子中成立的是（）A . log0.34＜log0.36B . 1.72.4＞1.72.5C . 2.50.2＜2.40.2D . log34＞log437. （2分） (2019高二上·上高月考) 命题p:函数y=loga(ax-3a)(a>0且a≠1)的图像必过定点(4,1),命题q:如果函数y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,那么函数y=f(x+3)的图像关于点(6,0)对称,则（）A . p∧q为真B . p∨q为假C . p真q假D . p假q真8. （2分） (2016高二下·衡阳期中) 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A . y=﹣x2B . y=|x|C . y=﹣x﹣1D . y=log2x9. （2分） (2016高二下·南阳期末) 函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·仙桃期末) 若 ,则（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·鄂伦春模拟) 若函数在上有最小值，则的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·合肥模拟) 关于函数，有下述三个结论：①函数的一个周期为；②函数在上单调递增；③函数的值域为 .其中所有正确结论的编号是（）A . ①②B . ②C . ②③D . ③二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知x＞0，y＞0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是________．14. （1分） (2019高一上·成都月考) 已知函数 (其中、是常数)，且，则 ________.15. （1分）(2020·南通模拟) 已知偶函数满足，且在时，，若存在满足，且，则最小值为________.16. （2分） (2019高二上·金华月考) 已知函数，则在处的切线方程为________；单调递减区间是________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （10分） (2019高一上·旅顺口月考) 已知p：实数x满足（其中）q：实数x满足（1）若，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围.（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18. （5分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣2a（1）若a=1，求函数f（x）的零点；（2）若f（x）有零点，求a的范围．19. （5分）(2017·四川模拟) 已知函数f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲线f（x）在x=1处的切线方程为x ﹣y﹣1=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）已知满足xlnx=1的常数为k．令函数g（x）=mex+f（x）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的极值点，且g（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．20. （10分） (2018高一上·苏州期中) 已知二次函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），其图象开口向上，顶点为A ，与x轴交于点B（﹣1，0）和C点，且△ABC的面积为18．（1）求此二次函数的解析式；（2）若方程f（x）＝m（x﹣1）在区间[0，1]有解，求实数m的取值范围．21. （15分） (2016高二上·长沙开学考) 已知函数f（x）=（）x ，其反函数为y=g（x）．（1）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在实数m＞n＞3，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2 ， m2]，若存在，求出m、n 的值；若不存在，则说明理由．22. （5分）如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．23. （5分）(2017·长春模拟) 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，曲线C2：（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ1 ，θ0），B（ρ2 ，θ0+ ）都在曲线C1上，求 + 的值．24. （10分）(2020·银川模拟) 已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.（1）求的值；（2）正数满足，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、24-1、24-2、。
2020年陕西省西安市高考数学一模试卷(理科)(含解析)
2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x||x|<1}，B ＝{x|lgx <0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0) D.(−1, 1)2.复数1−i i=()A.−iB.iC.−1−iD.−1+i3.已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，若a →与b →共线，则|3a →+b →|＝（ ） A.3 B.4 C.√5 D.54.(x −√x)4展开式中含x 项的系数为（ ） A.−60 B.24 C.−120 D.1205.某单位为了了解用电量y 度与气温x ∘C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y =−2x +a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量度数为（ ） A.68 B.67 C.65 D.646.若a ，b ，c ∈R ．且满足a >b >c ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1bB.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D.a|c|>b|c|7.设l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题：①m⊥αn⊥m}⇒n // α②l⊥m,l⊥nm,n⊂α}⇒l⊥α③m⊥αm⊥β}⇒α // β④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n⑤l⊥αl⊂β}⇒α⊥β其中为假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.48.经过点P(4, −2)的抛物线的标准方程是（）A.y2＝x或x2＝yB.y2＝x或x2＝8yC.x2＝y或y2＝−8xD.y2＝x或x2＝−8y9.将函数f(x)＝sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间[π12, π2]上单调递增B.g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[−π6, π3]上单调递减D.g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称10.已知√2sin(α+π4)=√52，则tanα+1tanα=()A.−8B.8C.−18D.1811.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，直线y=√3x分别交双曲线左、右两支于P，Q两点，若PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A.√2+1 B.√3+1 C.2 D.√512.定义新运算“⊕”如下：a⊕b={a,a≥bb2,a<b，已知函数f(x)＝(1⊕x)x−2(2⊕x)(x∈[−2, 2])，则满足f(m−2)≤f(2m)的实数m的取值范围是（）A.[12, +∞) B.[12, 2] C.[0, 1] D.[−1, 4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________．已知f(x)是定义域R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝log2(x+1)，则f(31)＝________．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果b＝1，c=√3，C=2π3，则△ABC的周长为________．已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，E为PD中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求二面角B−AE−C的正弦值．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是21．55（1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S，若a1＝1，S n＝a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若b n＝na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．已知f(x)＝(x −2)e x ．（1）当a ≥0时，求g(x)＝2f(x)+12a(x −1)2的单调区间；（2）若当a ≥0时，不等式f(x)+2≥−12a(x 2+4x)在[0, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．如图椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，|A 1B 1|=√3，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA →⋅QB →为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1．(Ⅰ)分别求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若P，Q分别是曲线C1和C2上的动点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+1|+|mx−1|，m∈R．(Ⅰ)当m＝−2时，求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x+3|的解集包含[1, 2]，求实数m的取值范围．2020年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x||x|<1}，B ＝{x|lgx <0}，则A ∩B ＝（ ） A.(−∞, 1) B.(0, 1) C.(−1, 0) D.(−1, 1)【解答】∵A ＝{x|−1<x <1}，B ＝{x|0<x <1}， ∴A ∩B ＝(0, 1)． 2.复数1−i i=()A.−iB.iC.−1−iD.−1+i【解答】 复数z =1−i i =(1−i)i −i⋅i =1+i −1=−1−i3.已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，若a →与b →共线，则|3a →+b →|＝（ ） A.3 B.4 C.√5 D.5【解答】∵向量a →=(1, 2)，b →=(−2, k)，且a →与b →共线， ∴k −2×(−2)＝0， 解得k ＝−4， ∴b →=(−2, −4)；∴3a →+b →=(3×1−2, 2×2−4)＝(1, 2)， ∴|3a →+b →|=√12+22=√5； 4.(x −√x )4展开式中含x 项的系数为（ ） A.−60 B.24 C.−120 D.120【解答】 (x −√x )4展开式中的通项公式为T r+1=C 4r ⋅(−2)r⋅x4−3r 2，令4−3r 2=1，求得r ＝2，故含x 项的系数为C 42⋅(−2)2＝24，5.某单位为了了解用电量y 度与气温x ∘C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y =−2x +a ，预测当气温为−4∘C 时，用电量度数为（ ） A.68 B.67 C.65 D.64【解答】 x ¯=18+13+10+(−1)4=10，y ¯=24+34+38+644=40，a =y ¯+2x ¯=40+20＝60， 线性回归方程为：y =−2x +60， 当x ＝−4时，y =8+60＝68， 当气温为−4∘C 时，用电量度数为68，6.若a ，b ，c ∈R ．且满足a >b >c ，则下列不等式成立的是（ ） A.1a <1b B.1a 2>1b 2C.a c 2+1>bc 2+1D.a|c|>b|c|【解答】A ．若a ＝1，b ＝−2，则1a >1b ，可知A 错误； B ．若a ＝1，b =12，则1a 2<1b 2，可知B 错误；C ．c 2+1>0，∴1c 2+1>0，又a >b ，∴ac 2+1>bc 2+1，可知C 正确； D ．当c ＝0时，a|c|＝b|c|，可知D 错误．7.设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给定下列命题： ①m ⊥αn ⊥m}⇒n // α ② l ⊥m,l ⊥n m,n ⊂α}⇒l ⊥α③ m ⊥αm ⊥β}⇒α // β④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n⑤l⊥αl⊂β}⇒α⊥β其中为假命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解答】对于①m⊥αn⊥m}⇒n // α，错误，n可以在平面α内：对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候．才能推出线面垂直；对于③根据面面平行的判定定理的推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面直线．故错误；对于⑤根据而面垂直的判定定理得到其正确．故假命题为3个；8.经过点P(4, −2)的抛物线的标准方程是（）A.y2＝x或x2＝yB.y2＝x或x2＝8yC.x2＝y或y2＝−8xD.y2＝x或x2＝−8y【解答】由于点P(4, −2)在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝−2my，把点P(4, −2)代入方程可得p=12，或m＝4，故抛物线的标准方程y2＝x或x2＝−8y，9.将函数f(x)＝sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)图象，则下列判断错误的是（）A.函数g(x)在区间[π12, π2]上单调递增B.g(x)图象关于直线x=7π12对称C.函数g(x)在区间[−π6, π3]上单调递减D.g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称 【解答】将函数f(x)＝sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)＝sin(2x −π+π3)＝sin(2x −2π3)的图象，在区间[π12, π2]上，2x −2π3∈[−π2, π3]，g(x)单调递增，故A 正确；当x =7π12，求得g(x)＝1，为最大值，故g(x)图象关于直线x =7π12对称，故B正确；在区间[−π6, π3]上，2x −2π3∈[−π, 0]，g(x)没有单调性，故C 不正确；当x =π3时，求得g(x)＝0，故g(x)图象关于点(π3, 0)中心对称，故D 正确， 10.已知√2sin(α+π4)=√52，则tanα+1tanα=()A.−8B.8C.−18D.18【解答】 由√2sin(a+π4)=√52，可得cosα−sinα=√52，所以1−sin2α=54，2sinαcosα=−14又tana +1tana =1sinαcosα=−8．11.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，直线y =√3x 分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，若PF ⊥QF ，则双曲线的离心率为（ ） A.√2+1 B.√3+1 C.2 D.√5【解答】设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，将直线y =√3x 代入双曲线方程，并化简得x 2=a 2b 2b 2−3a 2，y 2＝3x 2=3a 2b 2b 2−3a 2，故x 1+x 2＝0，x 1x 2=−a 2b 2b 2−3a 2，y 1y 2＝3x 1x 2=−3a 2b 2b −3a ，设焦点坐标为F(c, 0)，由于PF ⊥QF ，可得(x 1−c, y 1)(x 2−c, y 2)＝0． 即4x 1x 2+c 2＝0，即b 4−6a 2b 2−3a 4＝0，两边除以a 4得：(ba )4−6(ba )2−3=0，解得(ba )2=3+2√3，故e=√1+(ba)2=√4+2√3=√3+1．12.定义新运算“⊕”如下：a⊕b={a,a≥bb2,a<b，已知函数f(x)＝(1⊕x)x−2(2⊕x)(x∈[−2, 2])，则满足f(m−2)≤f(2m)的实数m的取值范围是（）A.[12, +∞) B.[12, 2] C.[0, 1] D.[−1, 4]【解答】当−2≤x≤1时，f(x)＝1⋅x−2×2＝x−4；当1<x≤2时，f(x)＝x2⋅x−2×2＝x3−4；所以f(x)={x−4,−2≤x≤1x3−4,1<x≤2，易知，f(x)＝x−4在[−2, 1]单调递增，f(x)＝x3−4在(1, 2]单调递增，且−2≤x≤1时，f(x)max＝−3，1<x≤2时，f(x)min＝−3，则f(x)在[−2, 2]上单调递增，所以f(m−2)≤f(2m)得：{−2≤m−2≤2−2≤2m≤2m−2≤2m，解得0≤m≤1．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是________．【解答】设第一次摸到黑球为事件A，则P(A)=47，第二次摸到白球为事件B，则P(AB)=47×36=12，设第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到球的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=2747=12．已知f(x)是定义域R上的奇函数，周期为4，且当x∈[0, 1]时，f(x)＝log2(x+1)，则f(31)＝________．【解答】故答案为：−1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果b＝1，c=√3，C=2π3，则△ABC的周长为________+√3．【解答】∵b＝1，c=√3，C=2π3，∴由余弦定理c2＝a2+b2−2abcosC，可得：3＝a2+1−2×a×1×(−12)，解得：a＝1或−2（舍去），∴△ABC的周长为a+b+c＝1+1+√3=2+√3．已知△ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．【解答】由题意知BC的中点O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC．过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面ABC内．根据球的性质，球心一定在垂线l上，∵球心O1一定在平面PBC内，且球心O1也是△PBC外接圆的圆心．在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC=PB 2+BC2−PC22PB⋅BC=√22，∴sin∠PBC=√22，由正弦定理得：PCsin∠PBC =2R，解得R=√102，∴三棱锥的外接球的表面积＝4πR2＝10π．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝2，E为PD中点．（1）求证：AE ⊥PC ；（2）求二面角B −AE −C 的正弦值． 【解答】证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ＝2，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD ，CD ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ． ∵PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ， ∵CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵PC ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PC ；以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图空间直角坐标系． 则A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 2, 0)，E(0, 1, 1)， AE →=(0,1,1)，AB →=(2,0,0)，AC →=(2,2,0)， 设平面ABE 的一个法向量m →=(x,y,z)，则{m →⋅AB →=2x =0m →⋅AE →=y +z =0，取y ＝1，得m →=(0,1,−1)； 设平面AEC 的一个法向量为n →=(a,b,c)，则{n →⋅AC →=2a +2b =0n →⋅AE →=b +c =0，取a ＝1，得n →=(1,−1,1)， ∴cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√3×√2=−√63， ∴二面角B −AE −C 的正弦值为√1−(−√63)2=√33．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫（假设任意1只昆虫等可能地飞出）．若有2只昆虫先后飞出（不考虑顺序），则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155． （1）求盒子中蜜蜂有几只；（2）若从盒子中先后任意飞出3只昆虫（不考虑顺序），记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望E(X)． 【解答】设有蜜蜂x 只，则其他昆虫为11−x ， 飞出的昆虫是蝴蝶或蜻蜓的概率：C 11−x 2C 112=2155，解得：x ＝4；X 的取值为：0，1，2，3． P(X ＝0)=C 73C 113=733，P(X ＝1)=C 72C41C 113=2855， P(X ＝2)=C 71C42C 113=1455，P(X ＝3)=C 43C 113=4165．随机变量X 的分布列： 因此X 的分布列为：∴EX =0×733+1×2855+2×1455+3×4165=1211．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S ，若a 1＝1，S n ＝a n+1． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若b n ＝na n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】由题意，由S n ＝a n+1，可得 当n ≥2时，S n−1＝a n ，两式相减，得a n＝S n−S n−1＝a n+1−a n，即a n+1a n=2，∵a1＝1，a2＝S1＝1，∴当n≥2时，a n＝2n−1，验证n＝1时不成立，∴数列{a n}的通项公式为a n={1,n=1;2n−1,n≥2.．由（1）知，b n＝n⋅2n，n∈N∗．∴S n＝1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，2S n＝1⋅22+2⋅23+...+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减，可得−S n＝2+22+23+...+2n−n⋅2n+1=2−2n+11−2−n⋅2n+1＝(1−n)⋅2n+1−2，∴S n＝(n−1)⋅2n+1+2．已知f(x)＝(x−2)e x．（1）当a≥0时，求g(x)＝2f(x)+12a(x−1)2的单调区间；（2）若当a≥0时，不等式f(x)+2≥−12a(x2+4x)在[0, +∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】由题意知g(x)＝(2x−4)x2+12a(x−1)2．所以g′(x)＝(2x−2)e x+a(x−1)＝(x−1)(2e x+a)．因为a≥0，令g′(x)>0，得x>1，此时函数单调递增；令g′(x)<0，得x<1，此时函数单调递减；所以g(x)在单调递增区间(1, +∞)，单调递减区间(−∞, 1)；设ℎ(x)＝2[f(x)+2+12a(x2+4x)]＝(2x−4)e x+a(x2+4x)+4．因为ℎ′(x)＝(2x−2)e x+2a(x+2)．令m(x)＝ℎ′(x)＝(2x−2)e x+2a(x+2)．则m′(x)＝2xe x+2a，x≥0．因为a>0，有则m′(x)>0，此时函数y＝m(x)在[0, +∞)上单调递增，则m(x)≥m(0)＝4a−2．(ⅰ)若4a −2≥0即a ≥12时，ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增， 则ℎ(x)min ＝ℎ(0)＝0恒成立；(ⅱ)若4a −2<0即0<a <12时，则在[0, +∞)存在ℎ′(x 0)＝0．此时函数ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，x ∈(x 0, +∞)上单调递增且ℎ(0)＝4a −1<0，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；综上所述，f(x)+2≥−12a(x 2+4x)在[0, +∞)恒成立， 实数a 的取值范围为[12,+∞)．如图椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，|A 1B 1|=√3，离心率为√22． （1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得可QA →⋅QB →为定值？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由？ 【解答】由|A 1B 1|=√3知，a 2+b 2＝3，① 由题知e =ca =√22② 又a 2−b 2＝c 2③，由①②③得：a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为：x 22+y 2=1； ①当直线l 的斜率不为0时，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，Q(m, 0)，直线l 的方程为x ＝ky +1， 由{x =ky +1x 22+y 2=1 ，得(k 2+2)y 2+2ky −1＝0，∴{y 1+y 2=−2kk 2+2y 1y 2=−1k +2 ， ∴QA →⋅QB →=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(ky 1+1)(ky 2+1)−m(ky 1+ky 2+2)+m 2+y 1y 2＝(k 2+1)y 1y₂+k(y₁+y₂)(1−m)+m 2−2m +1=(2m−3)k 2−1k 2+2+m 2−2m +1，令2m−31=−12，得m =54， 故此时点(54,0)，QA →⋅QB →=−716， ②当直线l 的斜率为0时，显然成立，综上所述：在x 轴上存在定点Q(54,0)，使得QA →⋅QB →为定值． [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1．(Ⅰ)分别求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (Ⅱ)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求|PQ|的最小值． 【解答】（1）曲线C 1的参数方程为{x =−2+cosαy =2+sinα （α为参数）转换为直角坐标方程为(x +2)2+(y −2)2＝1．直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−√3cosθ)=1，转换为直角坐标方程为√3x −y +1=0．（2）设点P(−2+cosθ, 2+sinθ)到直线√3x −y +1=0的距离d =√3+√3cosθ−sinθ−2+1|√3+1=|2cos(θ+π6)−2√3−1|2，当cos(θ+π6)=1时，最小值为2√3−12． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +1|+|mx −1|，m ∈R ． (Ⅰ)当m ＝−2时，求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x +3|的解集包含[1, 2]，求实数m 的取值范围． 【解答】（1）当m ＝−2时，函数f(x)＝|x +1|+|mx −1|＝|x +1|+|2x +1|， ①当x ≤−1时，原不等式可化为−(x +1)−(2x +1)≤2， 化简得−3x −2≤2，解得：x ≥−43，所以：−43≤x ≤−1，②当−1<x≤−12时，原不等式可化为：(x+1)−(2x+1)≤2化简得：−x≤2，解得x≥−2，∴−1<x≤−12；③当x>−12时，原不等式可化为：(x+1)+(2x+1)≤2化简得：3x+2≤2，解得x≤0，∴：−12<x≤0；综上所述不等式f(x)≤2的解集是：[−43, 0]；（2）若f(x)≤|x+3|的解集包含[1, 2]，可知：对任意的x∈[1, 2]，|x+ 1|+|mx−1|≤|x+3|恒成立，即对任意的x∈[1, 2]，|mx−1|≤|x+3|−|x+1|恒成立，当x∈[1, 2]时，|x+3|−|x+1|＝(x+3)−(x+1)＝2对任意的x∈[1, 2]．|mx−1|≤2恒成立，x∈[1, 2]．|mx−1|≤2，∴(−1x )max≤m≤(3x)min∴−12≤m≤32；即实数m的取值范围为：[−12, 32 ]；。