两角和与差的正弦余弦正切公式_课件
以-β代β有什么结果？
cos( ) cos cos sin sin
呵呵，原来这么简单！
总结：
两角和、差的余弦公式
对于任意角 ， 都有
cos( ) cos cos sin sin （ c( )） cos( ) cos cos sin sin （ c( )）
思考：如何用角 ， 弦线来表示OM？
的余弦线。
的正弦线、余
过点P作PA垂直于O p1 ，垂足为A，过点A作AB垂 直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为 C。则OA= cos ，AP= sin 并且 pac p1ox 于是 OM=OB+BM =OB+CP
=OA cos +AP sin = cos cos sin sin
（
c ）
( )
sin 作用：知 cos ， ，sin ， 的值可 cos 求 cos( )
还可逆用哈！
例1 利用差角余弦公式求 cos15 的值。
想一想： 有几种拆 分方法？
解法一：
cos15 cos(45 30 ) cos 45 cos30 sin 45 sin 30 2 3 2 1 2 2 2 2
是第三象限角，求cos( ) 的值。
联系公式 ( ) 和本题的条 件，要计算 cos( ) ，应作 哪些准备？
c
4 解：由 sin 5 , 2 , , 得
cos 1 sin
2
cos cos cos sin sin
6 2 4
解法二：
cos15 cos(60 45 )
cos 60 cos 45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 2 2 2 2 2 6 4
4 5 例2、已知 sin , , , cos , 5 13 2
下面我们来研究如何用任意角 ， 的正弦、余弦值来表示 cos
用单位圆上的三角函数线证明
的终边与 如右图：设角 单位圆的交点为p1 ， pop1
则 pox 过点P作PM垂直于x轴，垂 足为M，那么OM是角
y
p1
A
C
p
x
O
B M
sin 作用：知 cos ， ，sin ， 的值可 cos 求 cos( )
小心符号出错！
cos( )
作业：
cos 67 cos 22 sin 67 sin 22 ?
0 0 0 0
2 2
cos 67 cos 22 cos 23 sin 22 ?
0 2
思考：
cos( ) ?
cos( ) cos cos sin sin
33 65
5 又由cos , 是第三象限角，得 13 2 12 5 2 sin 1 cos 1 13 13
3 4 1 5 5
2
3 5 4 12 5 13 5 13
cos( ) cos cos
吗？
cos(60 cos30 ) cos 60 cos30 很明显：
所以对任意的 、 ， cos( ) cos cos
不成立。
思考：
cos( ) ?
一般地说，对于任意角 ， ，能 不能用 ， 的三角函数值把 或者 的三角函数值表示出来呢？
cos( ) cos cos sin sin
不可思意，哇噻！
cos( ) cos cos sin sin
怎么记啊？
两角差的余弦公式
对于任意角 ， 都有
cos( ) cos cos sin sin
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数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4
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22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
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巩固练习:
解：
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18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
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5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
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2 2 22
4
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
高中数学人教A版 必修第一册 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
tan(4530)=
tan45o - tan30o 1+ tan45o tan30o
1
3 3 3
3 12 6
3 2
3
1 3 3 3
6
3
1
tan75= tan(45+30)=
1
3 3 3 3 3
3 12 6
3
6
3
3
=2+ 3
复习练习
2、化简： (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) (2) tan(α-β)+ tanβ 1- tan(α-β)tanβ
解：1原式=
tan 45 tan 75 1 tan 45 tan75
tan(45 75 ) tan120
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28)
=1 tan17tan28
∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
答案: (1)tanα+ tanβ (2)tanα
3、求值： (1) tan71o - tan26o 1+ tan71otan26o
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
典型例题
(1) 1 tan 75 1 tan75
求下列各式的值：
(2) tan17+tan28+tan17tan28
( T(+) ) 正切： 符号上同
( T(-) ) 下不同
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件2024-2025学年人教A版必修第一册
π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
α
O
β
α-β
x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ
（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:
（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知 为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点 的坐标
y
问题2:已知 为角β的终边，