杆件的强度分析与计算
杆件与结构的内力计算
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
例题 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪 力图和弯矩图。
q
A
解： 1、求支反力
B
x
FA
由对称性知： FA FB ql 2
l
FB
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql FS ( x) FA qx 2 qx qx2 qLx qx2 M ( x) F x A 2 2 2
M /l
FS
Mb/ l
M
Ma / l
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
2Fl
C D
F
B
FCs F
FCs F
MC Fl
MC Fl
l
l
FCs
MA FA
A
MC 2Fl Fl 0
l
C
MC
MA
FCs
2Fl
MC
C D
FDs F
F
B
MD 0
l
FDs
MD
F
D
B
弯曲内力
FS ( x) FS ( x) dFS ( x) q( x) dx 0
dFS ( x ) q( x ) dx
d2 M ( x) dx
2
q( x )
目录
这些式子的几何意义是： １、剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载集度， 但符号相反； 2、弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力。
A
x
M
a
C
B b
FA
M M ； FB l l
杆件轴力计算
杆件轴力计算摘要：一、杆件轴力计算的基本概念1.杆件轴力的定义2.杆件轴力的作用二、杆件轴力的计算方法1.直接计算法2.间接计算法3.数值计算法三、影响杆件轴力的因素1.杆件的材料性能2.杆件的几何尺寸3.杆件的边界条件四、杆件轴力计算的应用1.工程结构设计2.结构强度分析3.工程事故分析与处理正文：一、杆件轴力计算的基本概念1.杆件轴力的定义杆件轴力是指作用在杆件上的沿轴线方向的力。
在工程结构中，杆件轴力通常是由于外力作用或其他因素引起的。
杆件轴力对杆件的力学性能和稳定性产生重要影响。
2.杆件轴力的作用杆件轴力的作用主要体现在以下几个方面：（1）使杆件产生拉伸或压缩变形；（2）引起杆件的弯曲变形；（3）导致杆件的剪切变形；（4）影响杆件的稳定性。
二、杆件轴力的计算方法1.直接计算法直接计算法是根据杆件所受的外力和边界条件，直接求解杆件轴力。
这种方法适用于简单杆件和受力清晰的结构。
计算公式为：F = F1 + F2 + ...+ Fn其中，F1、F2、...、Fn分别为杆件所受的外力。
2.间接计算法间接计算法是通过求解杆件的弯矩、剪力等内力分布，进而计算杆件轴力。
这种方法适用于复杂杆件和受力复杂的结构。
计算公式为：F = Mx / I其中，Mx为杆件某一点的弯矩，I为杆件截面的惯性矩。
3.数值计算法数值计算法是利用数值分析方法（如有限元法）对杆件轴力进行计算。
这种方法适用于大型结构和高精度要求的计算。
计算公式为：F = ∫Fdσ其中，F为杆件所受的单元力，σ为单元面积。
三、影响杆件轴力的因素1.杆件的材料性能杆件的材料性能直接影响其抗拉、抗压、抗弯等性能。
不同材料具有不同的强度和刚度，从而影响杆件轴力的计算结果。
2.杆件的几何尺寸杆件的几何尺寸（如长度、截面形状和尺寸）对其轴力计算有重要影响。
较大的杆件尺寸会导致较大的轴力，而较小的杆件尺寸会增加其稳定性。
3.杆件的边界条件杆件的边界条件对其轴力计算有很大影响。
轴向拉压杆件内力计算公式
轴向拉压杆件内力计算公式在工程力学中，轴向拉压杆件是一种常见的结构元件，它在工程实践中被广泛应用于各种机械设备和建筑结构中。
轴向拉压杆件内力计算公式是用来计算轴向拉压杆件在受力作用下内部产生的拉力或压力的公式，它是工程设计和分析中非常重要的一部分。
在本文中，我们将介绍轴向拉压杆件内力计算公式的推导和应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的工程知识。
一、轴向拉压杆件的受力分析。
轴向拉压杆件是一种受拉或受压的结构元件，它通常由材料制成，具有一定的截面形状和尺寸。
当轴向拉压杆件受到外部力的作用时，内部会产生拉力或压力，这种内力的大小和方向是由外部力和结构本身的特性共同决定的。
在进行轴向拉压杆件的内力计算时，需要先进行受力分析，确定受力情况和受力方向。
通常情况下，轴向拉压杆件受到的外部力可以分为两种情况，拉力和压力。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部拉力的方向相同；对于受压的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部压力的方向相反。
在受力分析的基础上，可以得到轴向拉压杆件内力计算的基本公式：N = A σ。
其中，N为轴向拉压杆件的内力，A为截面积，σ为应力。
根据受力分析的结果，可以确定σ的正负号，从而确定N的正负号，进而确定内力的方向。
二、轴向拉压杆件内力计算公式的推导。
1. 受拉的轴向拉压杆件。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部拉力的方向和内部拉力的方向相同，因此内力的大小可以直接由外部拉力计算得到。
假设外部拉力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
因此，受拉的轴向拉压杆件内力计算公式为：N = P。
2. 受压的轴向拉压杆件。
对于受压的轴向拉压杆件，外部压力的方向和内部压力的方向相反，因此内力的大小需要考虑结构的稳定性。
假设外部压力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
然而，受压的轴向拉压杆件在实际应用中往往需要考虑结构的稳定性，因此需要引入材料的材料的屈服强度和稳定性系数，从而得到更加精确的内力计算公式。
工程力学中的杆件受力分析和应力分布
工程力学中的杆件受力分析和应力分布工程力学是研究物体在受力作用下的力学行为及其工程应用的学科。
在工程力学中，对于杆件的受力分析和应力分布是非常重要的内容。
杆件是指在力的作用下只能沿着轴向伸缩的直细长构件，通常用来承受拉力或压力。
在本文中，我们将探讨杆件受力分析的方法以及应力分布的计算方式。
一、杆件受力分析在杆件受力分析中，主要考虑的是杆件所受的外力作用以及杆件内部所存在的支反力。
首先，我们需要明确杆件所受的外力有哪些类型。
常见的外力包括拉力、压力、剪力和扭矩等。
在分析杆件受力时，我们通常采用自由体图的方法，即将杆件与其它部分分开，将作用在该部分上的所有外力和内力用矢量图表示出来。
对于杆件受力分析，我们需要应用平衡条件，即受力平衡和力矩平衡条件。
受力平衡条件要求受力杆件在平衡状态下，合力为零，合力矩为零。
力矩平衡条件要求受力杆件在平衡状态下，合力矩为零。
通过应用这些平衡条件，我们可以得到杆件内部的支反力以及所受外力的大小和方向。
二、应力分布计算一旦我们确定了杆件所受的外力以及杆件内部的支反力，接下来我们需要计算杆件上的应力分布情况。
应力是指杆件某一截面上内部单位面积上所承受的力的大小。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力等。
在杆件内部，由于受力的存在，会导致杆件内部存在正应力和剪应力。
正应力是指作用在截面上的力沿截面法线方向的分量，而剪应力是指作用在截面上的力沿截面切线方向的分量。
根据杆件破坏的准则，我们通过计算截面上的应力分布来评估杆件的强度是否满足要求。
在计算杆件的应力分布时，一种常用的方法是应用梁弯曲理论。
根据梁弯曲理论，我们可以通过计算杆件的弯矩和截面形状来确定截面各点上的应力分布。
杆件的弯矩可以通过受力分析和力矩平衡条件来计算，而截面形状可以通过测量或者根据设计参数确定。
另外，我们还可以利用有限元分析方法来计算杆件的应力分布。
有限元分析是一种数值计算方法，通过将复杂的结构分解为许多小的单元，然后通过数值模拟的方式来计算每个单元上的应力分布。
第四章 杆件的变形计算
第四章杆件的变形计算杆件在载荷作用下都将发生变形，过大的变形将影响杆件的正常使用，必须加以限制，而有时又希望杆件能有较大的变形，以起缓冲作用，如弹簧等，因此必须计算杆件的变形。
本章具体讨论了拉伸（压缩）、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。
第一节拉（压）杆的轴向变形直杆在沿其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向相应变细或变粗，如图4-1所示。
设杆原长l，宽b，在力F作用下产生变形，变形后长l1，宽b1。
则杆件在轴线方向的伸长为纵向应变为根据虎克定律和拉（压）杆横截面正应力公式，可以得到（4-1）上式表明，杆的轴向变形值与轴力F N及杆长l成正比，与材料的杨氏模量及杆的横截面面积成反比。
因此EA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度，EA值越大，杆件刚度越大，在一定外力作用下单位长度变形量就越小。
另一方面，横向变形,横向应变。
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉（压）杆的纵向应变与横向应变之间存在如下比例关系：(4-2a)或=-（4-2b）式中比例常数称为泊松比。
弹性模量E、泊松比及切变模量G均是材料的弹性常数，可由实验测得。
对于各向同性材料，可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系：（4-3）材料的值小于0.5，表4-1列出几种常见金属材料的E和的值。
例4-1 阶梯形直杆受轴力如图4-2，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2 , 段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量为E=200GPa。
试求该杆总伸长量。
解（1）求AB、BC段轴力F NAB=40kN（拉），F NBC=-20kN（压）（2）求AB、BC段伸长量AB段BC段由以上计算可以看出，AB段是伸长，而BC段是缩短。
（3）AC杆总伸长AC杆计算结果为负，说明AC杆是缩短而不是伸长。
例4-2 图示桁架，钢杆AC横截面面积A1=960mm ，弹性模量E1=200GPa。
木杆BC横截面，杨氏模量E2=10GPa 。
求铰节点C的位移。
零件的变形及强度计算
二、轴向拉伸和压缩时的内力 零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位
置的变化，材料内部会产生一种附加内力，力图使各质点
恢复其原来位置。附加内力的大小随外力的增加而增加， 当附加内力增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在
研究零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面的 讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。
通过对低碳钢的
曲线分析可知，试样在拉伸过程
中经历了弹性变形（oab段）、塑性变形（bcde段）和断 裂（e点）三个阶段。 弹性变形阶段，试样的变形与应力始终呈线性关系。 应力σp称为比例极限。图中直线oa的斜率就是材料的弹性 模量E。 塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变 形。该阶段又分屈服阶段（bc-塑性变形迅速增加）、强 化阶段（cd-材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-试样局 部出现颈缩）。应力σs称为屈服点，当零件实际应力达到 屈服点时，将会引起显著的塑性变形。应力σb称为抗拉强
强度校核
设计截面 确定许可载荷
例2-2某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B 处吊起重物最大为FP=20kN，杆AB与BC均用圆钢制作，且
dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58Mpa。试校核BC杆的
强度，并确定AB杆的直径dAB（不计杆自重）。
第二节 零件的剪切和挤压
一、剪切和挤压的概念 如图b所示，在外力FP的作用下，截面发生相对错动 的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m—m称为剪切
强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数（安全 系数）所得商作为材料的许用应力[σ]。
对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显
著的塑性变形而失效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故
拉、压许用应力同为 式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。 对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失 效（如铸铁）。考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般 不同，故有
杆件承载力计算公式
杆件承载力计算公式1.确定受力情况：首先要清楚杆件所受的外力情况，包括作用力的大小、方向和位置等。
在实际应用中，外力可以是集中力、均布力、弯矩、剪力等。
2.选择适当的公式：根据杆件的几何形状、截面尺寸和所受外力等因素，选择适当的计算公式。
以下是常用的几种公式：-弯曲承载力计算公式：当杆件受到弯曲力作用时，可以使用弯曲承载力计算公式。
常用的公式有：a) 欧拉公式：Pcr = (π²EI) / L²，其中Pcr为临界承载力，E为弹性模量，I为截面惯性矩，L为杆件的长度。
b) 蒙德公式：Pcr = (m²π²EI) / L²，其中m为弯曲阶数，通常取1，2或4，其值取决于边界条件。
-压缩承载力计算公式：当杆件受到压缩力作用时，可以使用压缩承载力计算公式。
常用的公式有：a) 欧拉公式：Pcr = (π²EI) / (KL)²，其中K为约束系数，通常取1，2或4，其值取决于边界条件。
b) 线性回归公式：Pcr = (Aσy) / γ，其中A为截面面积，σy为材料的屈服强度，γ为安全系数。
-剪切承载力计算公式：当杆件受到剪切力作用时，可以使用剪切承载力计算公式。
常用的公式有：a) 线性回归公式：P cr = (Aτ) / γ，其中A为截面面积，τ为剪切应力，γ为安全系数。
3.计算承载力：根据选择的公式，将相关参数代入计算，得到杆件的承载力。
然后与实际载荷进行对比，确定杆件是否满足要求。
需要注意的是，以上的公式只是常见的计算公式之一，实际应用中可能会根据具体情况有所变化。
此外，公式中的弹性模量、截面惯性矩、屈服强度和安全系数等参数也需要根据实际材料属性和设计要求来确定。
总之，杆件承载力计算是结构设计中的基本任务之一，它可以通过选择适当的公式来确定杆件的稳定性和承载能力，从而为结构的设计和分析提供重要依据。
薄壁杆件力学
薄壁杆件力学一、引言薄壁杆件力学是结构力学的一个重要分支，主要研究薄壁杆件的受力和变形规律。
薄壁杆件广泛应用于航空、航天、汽车、机械等领域，因此对其力学性能的研究具有重要意义。
二、薄壁杆件的基本概念1. 薄壁杆件的定义薄壁杆件是指截面尺寸相对较小，且轴向载荷较大的结构元件。
在实际工程中常见的薄壁杆件有圆管、方管、角钢等。
2. 薄壁杆件的特点（1）强度高：由于其截面尺寸相对较小，因此强度相对较高。
（2）重量轻：由于其截面尺寸相对较小，因此重量相对较轻。
（3）易于加工：由于其截面尺寸相对较小，因此易于加工成各种形状。
三、薄壁杆件受力分析1. 轴向载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其受力分析可以采用杆件理论进行计算。
根据杆件理论，薄壁杆件的应力为：σ= F/A其中，σ为应力，F为轴向载荷，A为截面积。
2. 弯曲载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其受力分析可以采用梁理论进行计算。
根据梁理论，薄壁杆件的弯矩为：M= EI/ρ其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为曲率半径。
3. 剪切载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其受力分析可以采用剪切变形理论进行计算。
根据剪切变形理论，薄壁杆件的剪应力为：τ= F/As其中，τ为剪应力，F为剪切载荷，As为截面面积。
四、薄壁杆件的变形规律1. 轴向变形规律当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其轴向变形规律可以采用杆件理论进行计算。
根据杆件理论，薄壁杆件的轴向变形为：δ= FL/EA其中，δ为轴向变形，F为轴向载荷，L为杆件长度，E为弹性模量，A为截面积。
2. 弯曲变形规律当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其弯曲变形规律可以采用梁理论进行计算。
根据梁理论，薄壁杆件的弯曲变形为：δ= M L/ EI其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为跨度长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
3. 剪切变形规律当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其剪切变形规律可以采用剪切变形理论进行计算。
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第九章杆件的强度分析与计算第一节概述一、构件的承载能力机械或机器的每一组成部分称为构件，它是机器的运动单元，为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。
因此，构件应当满足以下要求：（一）、强度要求：构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。
在规定的载荷作用下构件不应被破坏,具有足够的强度。
例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。
强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。
（二）、刚度要求：构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。
在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。
例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。
刚度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生较大的变形。
（三）、稳定性要求：构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。
承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。
稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下有足够的稳定性。
为满足以上三方面的要求，构件可选用较好的材料和较大的截面尺寸，但这与节约和减轻构件自相矛盾。
构件设计的任务就是在保证满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的方式，为构件选择适宜的材料、确定合理的形状和尺寸。
二、变形固体的基本假设由各种固体材料制成的制成的构件在载荷作用下将产生变形，称为变形固体或变形体。
为了便于理论分析和实际计算，对变形固体常采用的几个基本假设：（一）．连续性假设：假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。
实际上，组成固体的粒子之间存在空隙，但这种空隙极其微小，可以忽略不计。
于是可认为固体在其整个体积内是连续的。
基于连续性假设，固体内的一些物理量可用连续函数表示。
（二）．均匀性假设：均匀性假设是指材料的力学性能在各处都是相同的，与其在固体内的位置无关。
（三）．各向同性假设：即认为材料沿各个方向的力学性质是相同的。
具有这种属性的材料称为各向同性材料。
例如钢、铜、铸铁、玻璃等。
而木材、竹和轧制过的钢材等，则为各向异性材料。
但是，有些各向异性材料也可近似地看作是各向同性的。
我们只讨论各向同性材料。
（四）.完全弹性假设：构件在外力作用下将发生变形，当外力不超过一定限度，大多数构件在外力去掉后均能恢复原状。
当外力超过某一限度，则在外力去掉后只能部分地复原而另一部分变形不能消失。
外力去掉后能消失的变形称为弹性变形；不能消失而留下来的变形称为塑性变形。
工程实际中多数构件在正常工作条件下只产生弹性变形，而且这些变形与构件原有尺寸相比通常很小，所以，本教材只研究完全弹性的构件。
三、杆件变形的基本形式在机器中，构件的形状是多种多样的。
如果构件的纵向（长度方向）尺寸较横向（垂直于长度方向）尺寸大得多，这样的构件称为杆件。
杆件是工程中最基本的构件。
如机器中的传动轴、螺杆、房屋中的梁和柱等均属于杆件。
某些构件，如齿轮的轮齿、曲轴的轴颈等，并不是典型的杆件，但在近似计算或定性分析中也简化为杆。
垂直于杆长的截面称为横截面，各横截面形心的连线称为轴线。
轴线为直线，且各横截面相等的杆件称为等截面直杆，简称为等直杆。
我们这里主要研究等直杆。
外力在杆件上的作用方式是多种多样的，当作用方式不同时，杆件产生的变形形式也不同。
归纳起来，杆件变形的基本形式有如下四种：（一）拉伸或压缩：图9.1.1所示简易吊车。
在载荷F作用下，AC杆受到拉伸，而BC杆受到压缩。
这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件的长度发生伸长或缩短。
起吊重物的钢索、桁架的杆件、液压油缸的活塞杆等的变形，都属于拉伸或压缩变形。
（二）剪切：图9.1.2 a）所示为铆钉联接，在F力作用下，铆钉受到剪切。
这类变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动，如图9.1.2b所示。
机械中常用的联接件，如键、销钉、螺栓等都产生剪切变形。
图9.1.1 轴向拉伸与压缩图 图9.1.2 剪切（3）扭转：如图9.1.3所示方向盘转轴AB ，在工作时发生扭转变形。
这类变形形式是由大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的两个力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
汽车的传动轴、电机的主轴等，都是受扭杆件。
（4）弯曲：如图9.1.4所示梁的变形即为弯曲变形。
这类变形是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的。
变形表现为杆件轴线由直线变为曲线。
在工程中，受弯杆件是最常遇到的情况之一。
桥式起重机的大梁、各种心轴以及车刀等的变形都属于弯曲变形。
还有一些杆件的变形比较复杂，可能同时发生几种基本变形。
例如钻床立柱同时发生拉伸和弯曲两种基本变形；车床主轴工作时发生弯曲、扭转和压缩三种基本变形。
几种基本变形的组合称为组合变形。
我们将依次讨论四种基本变形的强度及刚度计算，然后再讨论组合变形。
图9.1.3 扭转四、内力、截面法和应力概念（一）、内力的概念构件工作中受到其它物体对它的作用力。
称为外力。
这些外力包括载荷、约束力、重力等。
按照外力作用方式的不同，外力又可分为分布力和集中力。
在外力作用下，构件发生变形时，构件的各质点间的相对位置改变而引起的附加内力，简称内力。
内力随外力的改变而改变。
但它的变化是有一定限度的，不能随外力的增加而无限地增加。
当内力加大到一定限度时，构件就会破坏，所以计算内力是进行构件强度、刚度和稳定性计算的基础。
（二）、截面法截面法是已知构件外力确定内力的基本方法。
就是假想用一截面把构件截成两部分，取其中一部分为研究对象，并以内力代替另一部分对研究对象的作用。
根据研究部分内力与外力的平衡来确定内力的大小和方向。
如图9.1.5所示，已知杆件在外力F作用下处于平衡，欲求m－m截面上的内力。
可用一假想截面m－m把杆件裁成两部分，然后取任一部分为研究对象，另一部分对它的作用力，即为m－m截面上的内力N。
因为整个杆件是平衡的，所以每一部分也都平衡，那么，m－m截面上的内力必和相应部分上的外力平衡。
由平衡条件就可以确定内力。
例如在左段杆上由平衡方程N-F=N=可得F图9.1.5 截面法按照材料连续性假设，m－m截面上各处都有内力作用，所以截面上应是一个分布内力系，用截面法确定的内力是该分布内力系的合成结果。
综上所述，截面法可归纳为以下三个步骤：1、假想截开在需求内力的截面处，假想用一截面把构件截成两部分。
2、任意留取任取一部分为究研对象，将弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力N来代替。
3、平衡求力 对留下部分建立平衡方程，求解内力。
（三）、应力的概念在用截面法确定了拉（压）杆的内力以后，还不能判断杆件的强度是否足够。
例如，有同样材料而截面面积大小不等的两根杆件，若它们所受的外力相同，那么横截面上的内力也是相同的。
但是，从经验知道，当外力增大时，面积小的杆件一定先破坏。
这说明杆件的强度不仅与内力有关，还与截面积有关，即取决于内力在横截面上分布的密集程度。
所以把内力在横截面上的密集程度称为应力。
其中垂直于截面的应力称为正应力，用ζ表示；平行于截面的应力称为切应力，用η表示。
如图9.1.6所示。
图9.1.6 应力的概念根据材料的均匀连续性假设可推知，横截面上各点处的变形相同，受力也相同，即轴力在横截面上均匀分布的，且方向垂直于横截面，即杆件横截面存在有正应力σ。
其计算式为： A F N=σ (9.1.1)在国际单位制中，应力单位是帕斯卡，简称帕（Pa ）。
工程上常用兆帕（MPa ），有时也用吉帕（GPa ）。
第二节 杆的轴向拉伸及压缩一、轴向拉伸和压缩的概念在工程实际中，经常遇到承受拉伸或压缩的构件。
例如图9.2.1(a)所示的起重装置中的压杆BC 及拉杆AB 。
AB 杆受到沿轴线方向拉力的作用，沿轴线产生伸长变形；而BC 杆则受到沿轴线压力的作用，沿轴线产生缩短变形。
此外，内燃机中的连杆，建筑物桁架中的杆件均为拉或压杆。
这些构件外形虽各有差异，加载方式也不尽相同，但它们共同的受力特点是：作用在直杆两端的两个合外力大小相等，方向相反，且作用线与杆轴线相重合。
在这种外力作用下，杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。
这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。
二、拉压杆的轴力计算、轴力图（一）．轴力的计算设有一受拉杆如图9.2.2所示。
为了确定其横截面m —m 上的内力，可假想沿横截面m —m 将一拉杆切为左、右两段（图9.2.2(a)）。
以左段为研究对象(图9.2.2 (b))，列平衡方程 00=-=∑P N Fx得 P N =图9.2.2 拉杆截面上内力的计算如取右端研究(图9.2.2 (c)),则可求得左段对右段的作用力P N ='。
N 与N '为左右两段相互作用的内力，它们必然大小相等、方向相反。
因此在求内力时，可取截面两侧的任一段来研究。
同时不难看出，如改换横截面的位置，求得的结果相同，可见此杆各横截面上的内力是相同的。
因为外力沿轴线作用，故内力也必与轴线重合，因此又称内力为轴力。
规定拉杆的轴力为正，压杆为负。
通常未知轴力均按正向假设。
图9.2.1 起重装置中的压杆和拉杆例9.2.1 杆件在A 、B 、C 、D 各截面处作用有外力如图9.2.3所示，求1-1、2-2、3-3截面处的轴力。
解：由截面法，沿各所求截面将杆件切开，以左段为研究对象，在相应截面处画出轴力321,,N N N F F F ，列平衡方程∑FX=0由图9.2.3（b ）知031=--F F F NF F F F N 431=+=同理，由图9.2.3（c ）知F F N 32=由图9.2.3（d ）知F F F F F N 2233=+-= 图9.2.3 受拉杆件 由此，可得到以下结论：拉（压）杆各截面上的轴力在数值上等于该截面一侧各外力的代数和。
外力离开该截面时取为正，指向该截面时取为负，即)1.2.9(1∑==n i N FiF求得轴力为正时，表示此段杆件受拉；轴力为负，表示此段杆件受压。
杆件在A 、B 、C 、D 各截面处作用有外力如图9.2.3所示，求1-1、2-2、3-3截面处的轴力。
（二）、轴力图工程实际中，杆件所受外力可能很复杂，这时杆件各段的轴力将各不相同，这时需分段用截面法计算轴力。
为了直观地表达轴力随横截面位置的变化情况，用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示轴力的数值，所绘制的图形称为轴力图。
例9.2.1 图9－10（a ）表示一等截面直杆，其受力情况如图所示。
试作其轴力图。
图 9.2.4 截面直杆解：1）作杆件的受力如图9.2.4（b ）所示，求约束反力FA 。