平面向量的坐标运算教案
“平面向量的坐标运算”教学方案
教学目标：
1.知识与技能：
理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。
2.过程与方法：
在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。
3.情感、态度与价值观：
通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。
教学重点：
平面向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：
平面向量坐标表示的意义。
教学方法：
结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。
教学手段：
投影仪、多媒体软件
教学过程
1.情境创设
教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？
学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解
设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。
2.展开探究
问题一：平面向量的基本定理内容是什么？
教师请一学生回答，同时投影出示其内容。
问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加合理呢？
组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。
投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题
问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
设计目的：此问题引发学生联想，对平面向量坐标表示方法具有指导性作用。教师讲授：在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，
使得a=xi+yj ,我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)式叫做向量的坐标表示。
3.深化理解
一.平面向量坐标表示的的理解
提出问题：
(1)、如果以原点O作为起点作一向量OA=a（投影动画同步演示），那么点A 的位置是否可以唯一确定呢？
(2)、点A的坐标与向量OA的坐标之间有什么关系？
(3)、两个向量相等的充要条件利用坐标如何进行表示呢？
(4)、如果我们将一个平面向量在直角坐标系中作任意平移（不该表大小和方向），那么它的坐标会改变吗？
组织学生以小组为单位展开探究交流活动，在讨论后回答上述问题，可师生共同完善答案，归纳如下:
(1) 、点A的位置受向量OA决定，唯一确定。
(2)、以原点O为起点的向量OA的坐标和终点A的坐标事完全相同的。
(3)、两个平面向量相等的充要条件是两个向量的坐标相同。
(4)、在直角坐标系中平面向量在大小和方向不变的前提下自由移动，它们的坐标就是相同的。
设计目的：让学生在合作探究中去主动学习，不仅锻炼了解决问题的能力，还培养了探究协作的能力。
出示练习：用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标（图略）。教师让学生独立完成，之后借助投影让个别学生展示完成情况，教师点评。
设计目的：增进了所学新知的内化。
二、平面向量的坐标运算
提出问题：通过以上研究，我们了解了平面向量的坐标表示，向量是可以进行运算的，如何运用所学的知识进行两个向量的和与差的坐标表示及实数
与向量积的坐标表示呢？
投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐标
学生展开讨论，可能给出多种推导方法，教师要耐心给与点评，并做最后归纳。（1）向量加减法的坐标等于向量坐标的加减法。
（2）实数与向量的积的坐标等于是属于向量坐标的积。
（3）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点坐标
教师提问：设AB是表示向量a的有向线段，点A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐标如何表示？
学生结合向量坐标运算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教师强调
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。设计目的：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。
4.例题剖析
例1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标，使这四点成为平行四边形的四个顶点。
教师给学生充足时间独立思考，适当时可提示作图理解，而变式对学生来说
难度增大，要鼓励学生大胆尝试，独立求解，并提示要考虑图形的多种画法。设计目的：通过例题和变式综合考查学生对本节所学知识的理解和掌握程度，也促进学生应用知识解决问题的能力。
5.课堂小结
请学生对本节课内容作归纳，不足之处师生补充完善，最后教师作总结式说明。
1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量的基本定理。
2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便。
3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数
形结合思想方法的应用。
前面我们还学习了这留待我们下一节再来研究。
6.布置作业
（1）.课后习题
（2）如何运用向量坐标来表示和判定共线向量呢？让学生预习下节内容。
7.板书设计
平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标例1 变式
定义解：解：
（1）
（2）
（3）
2.平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
向量的坐标表示及其运算
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（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
平面向量的坐标运算教案
平面向量的坐标运算教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
“平面向量的坐标运算”教学方案 教学目标： 1.知识与技能： 理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。 2.过程与方法： 在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。 3.情感、态度与价值观： 通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。 教学重点： 平面向量的坐标表示及坐标运算。 教学难点： 平面向量坐标表示的意义。 教学方法： 结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。 教学手段： 投影仪、多媒体软件 教学过程 1.情境创设 教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？ 学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解 设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。 2.展开探究 问题一：平面向量的基本定理内容是什么？ 教师请一学生回答，同时投影出示其内容。 问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加 合理呢？ 组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。 投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题 问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
平面向量数乘运算及其意义试题(含答案)4
…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题） 1．设实数 与量a 的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向
是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ． 3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同 点 ； 不同 点 ． 二、理解与应用 1．已知R λ∈，则下列命题正确的是 （ ） A ．a a λλ= B ．a a λλ= C ．a a λλ= D ．0a λ> 2．已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点，设AD a = ，BA b = ，则 EF = （ ） A ．1()2 a b + B ．1()2a b -+ C ．1()2a b -- D ．1()2 b a - 3 ． 若 a b =+化简 3(2 )a b b c a +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、
C ），则AP = （ ） A ．().(0,1)A B AD λλ+∈ B ．().AB B C λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． ().AB BC λλ-∈ 5．已知m 、n 是实数，a 、b 是向量，对于命题： ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =，则a b = ④若ma na =，则m n = 其中正确命题为_____________________． 6．计算： （1）3(53)2(6)--+a b a b =__________； （2）4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________． 7．已知向量a ，b ，且3()2(2)4(++---+=0x a x a x a b ，则 x =__________． 8．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则 x =__________； y =___________．
2.4平面向量的坐标----教案
2-4平面向量的坐标 一、教学目标： 1.知识与技能 ⑴平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算. ⑵理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法. 2.过程与方法 通过探索平面向量共线的坐标形式，灵活运用公式解决一些问题。 3.情感态度价值观 通过本节的学习，了解相关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力。 二.教学重、难点 重点: 平面向量的坐标运算. 难点: 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 三.学法与教学用具 自主性学习+探究式学习法 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【复习引入】 1．平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+ ； 2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？ 【新课讲解】 【知识点1】向量的坐标表示的定义 分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+ ，（,xy R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标， 记作(,)a x y = ． 其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标。 说明：⑴对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； ⑵(1,0)i = ，(0,1)j = ，0(0,0)= ； ⑶只有从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 才是点A 的坐标；不是从原点引出的向量C B 的坐标(,)x y ，就不是终点C 的坐标 ⑷要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，若()3,5A ，()6,8B ，则()3,3AB = ；若()C 5,3-，()D 2,6-，则()3,3CD = 。这里AB CD = ，显然,,,A B C D 四点坐标各不相同。 ⑸向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量表示后，可使向量运算代数化，将数形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算。 【知识点2】向量的坐标运算 y x O (,)A x y j i a
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
平面向量基本定理及其坐标表示教案
考情播报 1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向量共线条件的应用是考查重点. 2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答题为主. 1.平面向量基本定理 (1)条件:e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量. 结论:对于这一平面内任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a = λ1e 1+λ2e 2. (2)关于平面向量基本定理的几点说明: ①e 1、e 2为不共线向量,把它们叫做这一平面内所有向量的一组基底. ②平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 ③.基底不唯一,当基底给定时,分解形式唯一:λ1、λ 2 是被a 、e 1、e 2唯一确定的数量. 2.平面向量的正交分解与坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于平面内的 一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,因此把(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a=(x,y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标. 3.平面向量的坐标运算 (1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2); (2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1 ); (3)若a =(x,y),则λa =(λx,λy); (4)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2 ),则a =b ????==；2121y y ，x x (5)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ?x 1y 2-x 2y 1=0. 质疑探究:相等向量的坐标一定相同吗?相等向量起点和终点坐标可以不同吗?
高三数学平面向量的概念及运算
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有
向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x y x a 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 零向量a ＝0 ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于 任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记
平面向量的坐标表示
7.2.2平面向量的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示 课 型：新授课 课 时：1课时 一、教材分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能目标 进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件. 2、 过程与方法 在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力. 3、情感态度与价值观 通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.
数学：平面向量的坐标教案北师大版必修[1]
２—４平面向量的坐标 一、教学目标： １．知识与技能 （１）掌握平面向量正交分解及其坐标表示. （２）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. （３）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ２．过程与方法 教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力. ３．情感态度价值观 通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点：平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点：平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教学用具 学法：（１）自主性学习+探究式学习法： （２）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 （回忆）平面向量的基本定理（基底） a =λ１1e +λ２2e 其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
【探究新知】 （一）、平面向量的坐标表示 １．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？ 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量j y i x a += 记作：a =（x, y ） 称作向量a 的坐标 如：a =?→?OA =j i 22+=（２, ２） b =?→?OB =j i -2=（２, １） c =?→ ?OC =j i 5-=（１, ５）i =（１, 0） j =（0, １） 0=（0, 0） 由以上例子让学生讨论： １向量的坐标与什么点的坐标有关？ ２每一平面向量的坐标表示是否唯一的？ ３两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等） [展示投影]思考与交流： 直接由学生讨论回答： 思考１．（１）已知a （x １, y １） b （x ２, y ２） 求a +b ，a b 的坐标 （２）已知a （x, y ）和实数λ, 求λa 的坐标 解：a +b =（x １i +y １j ）+（x ２i +y ２j ）=（x １+ x ２）i + （y １+y ２）j 即：a +b =（x １+ x ２,y １+y ２） 同理：a b =（x １x ２, y １y ２） O B C A x y a b c
平面向量坐标运算
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
人教A版数学《平面向量的正交分解及坐标表示》Word教案
2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计 【教学目标】 1．了解平面向量基本定理； 2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa 与 a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa =0. 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb . 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 新授课阶段 一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的．．．向量的坐标也为．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 三、平面向量的坐标运算 （1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即 b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=. （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1). （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=. 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标. 例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.
高一数学平面向量的坐标运算
平 面 向 量 的 坐 标 运 算 一、【教材的地位和作用】 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 二、【学习目标】 根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的： 1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想 三、【教学重点和难点】 理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。 四、【教法和学法】 本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。 整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。 五、【学习过程】 1.提供新知识产生的理论基础 课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入 哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。 3.创建新知识 以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、j 作为基底，任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使j y i x a +=
河北省容城中学2013学年高一数学教案 平面向量的坐标运算
2．3．3平面向量的坐标运算 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标运算 思考1：已知：),(11y x a =，),(22y x b =，你能得出b a +、b a -、a λ的 坐标吗？
设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A 的坐标？ （3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= AB =-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 思考3：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1)的P 点吗？ 向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。 三、讲解范例： 例1 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例2 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D1=(2， 2) 当平行四边形为ACDB 时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB
平面向量在坐标中的运算(习题带答案)
一．复习巩固 1、下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（D ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、下列命中，正确的是（ C ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN → ＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =- b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC → ， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA → 共线的向量有 个 个 个 个 （ C ）
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在
x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；