四川省成都市2020届高三下学期第二次诊断考试数学理试题 含答案
成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.i B.-i C.-1 D.1
2.设全集R U =，集合{}1<=x x M ，{}
2>=x x N ，则N M C U I )(=（ ） A.{}2>x x B.{}1≥x x C.{}21<<x x D.{}
2≥x x 3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）
A.20
B.50
C.40
D.60 4.曲线x x y -=3
在点)0,1(处的切线方程为（ ）
A.02=-y x
B.022=-+y x
C.022=++y x
D.022=--y x 5.已知锐角β满足αα2cos 12sin 2-=，则αtan =（ ） A.
2
1
B.1
C.2
D.4 6.函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在]1,1[-的图象大致为（ ）
A B C D
7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A.16
B.48
C.96
D.128
8.已知函数0)4
(),0)(2sin()(=<<+=π
πωπ
ωf x x f ，则函数)(x f 的图象的对称轴方程为（ ） A.Z k k x ∈-=,4
π
π B.Z k k x ∈+
=,4
π
π
C.Z k k x ∈=
,21π D.Z k k x ∈+=,4
21π
π 9.如图，双曲线C )0,0(122
22>>=-b a b
y a x ：的左，右交点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，直
线a bc y 2=
与双曲线C 的两条渐近线分别相交于B A ,两点.若3
21π
=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.
324 C.2 D.3
3
2
10.在正方体1111D C B A ABCD -中，点Q P ,分别为AD AB ,的中点，过点D 作平面α使
αα平面∥，平面∥Q A P B 11，若直线M D B =α平面I 11，则
1
1
MB MD 的值为（ ） A.
41 B.31 C.21 D.3
2 11.已知EF 为圆1)1()1(2
2
=++-y x 的一条直径，点),(y x M 的坐标满足不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅的取值范围为（ ） A.]13,29[ B.]13,4[ C.]12,4[ D.]12,2
7[ 12.已知函数x xe x g x
x
x f -==
)(,ln )(，若存在R x x ∈+∞∈21),,0(，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则k
e x x 21
2)(
的最大值为（ ） A.2
e B.e C.24e D.21e
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．()4
1x +的展开式中x 2的系数为 。
14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3
B π
=，a=2，3，则△
ABC 的面积为 。
15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为 。
16．经过椭圆2
21
2
x
y
+=中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P．则cos∠NMP的值是。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）
已知{}n a是递增的等比数列，a1=1，且2a2，3
3
2
a，
4
a成等差数列．
（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；
（Ⅱ）设
2122
1
log log
n
n n
b
a a
++
=
⋅
，n N*
∈。
求数列{b n}的前n项和S n．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD
（Ⅱ）若PE=3，求二面角D一PE一B的余弦值．
某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：
（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．
参考公式：x b y a
x x y y
x x b
n
i i
n
i i
i
ˆˆ,)
()
)((ˆ1
2
1
-=---=∑∑==
20．（本小题满分12分）
已知椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x E ：的左，右焦点分别为F 1（-1，0），F 2（1，0），点
P 在椭圆E 上，PF 2⊥F 1F 2，且|PF 1|=3|PF 2|． 等守其，平
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：x=my+1（m ∈R ）与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2+y 2=a 2相交于C ，D 两点，求|AB|·|CD|2的取值范围．
已知函数)1ln(2)(2
+-+=x m x x x f ，其中m ∈R ． （Ⅰ）当m>0时，求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）设x e x f x g 1)()(+=，若1
1
)(+>x x g ，在),0(+∞上恒成立，求实数m 的最大值．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==m
y m x 22
（m 为参数）．以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为01cos sin =+-θρθρ．
（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点P （2，1）设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求
PN
PM 1
1+的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲）
已知函数f （x ）=|x-1|+|x+3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≥6；
（Ⅱ）设g （x ）=-x 2+2ax ，其中a 为常数若方程f （x ）=g （x ）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．
答案 第一卷
1C 2A 3B 4D 5C 6B 7B 8C 9A 10B 11D 12C
第二卷
13. 6 14.2
3
15. 36 16. 0。
【附加15套高考模拟试卷】四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测(理科)数学试题含答案
四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测（理科）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin2cos2f x x x =+，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心是（ ）A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,04π⎛⎫⎪⎝⎭ 2．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．B ．C ．D ．3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222()S a b c =+-，则tan C 的值是（ ）A ．43 B ．34 C ．43- D ．34-4．已知函数22(1)()x x e x g x e-=，若实数m 满足515(log )(log )2(2)g m g m g -≤，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,25] B ．[5,25] C ．[25,)+∞ D ．1[,5]5 5．函数()24412x f x x-+=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（）A ．24-B ．14-C ．3-D ．3-7．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-++-+-+-L L =( )A ．0B ．2018C ．4036D ．40378．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，则(4)p =（ ）A ．33B ．31C ．17D ．159．设12,F F 分别为离心率5e =()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线C 的右顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的渐近线l 于,M N 两点，则tan MAN ∠=（ ） A ．-1 B ．2-C ．3-D ．2-10．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，则k 的最小值为（ ）A．17B．149C．49 D．844111．已知等差数列{}n a，12018a=-，其前n项和为nS，20192018120192018S S-=，则2019S=( )A．0B．1C．2018D．201912．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，M N、分别是11BC CD、的中点，则下列说法错误的是（）A．1MN CC⊥B．MN⊥平面11ACC AC．//MN AB D．//MN平面ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2．已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程. 【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．－1 D．1【答案】A【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4．已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市蓉城名校联盟高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|430}B x x x -=+>，则A B =（ ）A ．{1,4}-B ．{}1,1,4-C ．{}1,3,4-D ．()(),13,∞⋃+∞-【答案】A【解析】集合A ，B 是数集，集合B 是一元二次不等式解的集合，求出解集，与A 集合的交集运算求出公共部分. 【详解】 解：集合1,1,{,4}3A =-，集合2{|}430,1B x x x +∞⋃∞＝﹣＞＝(-)(3,+)， {1},4AB ＝．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算， 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．已知复数z =，则z =（ ）A ．1BC ．2D ．3【答案】C【解析】利用复数的除法运算化简z i =，再利用复数模长公式求出结果.【详解】解：1z i =+，2z i ===∴故选：C ．本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模． 3．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c ca b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜ D ．11()()22ab<【答案】C【解析】A B 、利用不等式性质可判断，C D 、利用对数函数和指数函数的单调性判断. 【详解】解：对于,A 实数0a b <<， 11,c ca b a b∴>> ，0c ≤不成立 对于0B c =．不成立．对于C ．利用对数函数ln y x =单调递增性质，即可得出． 对于.D 指数函数1()2xy =单调递减性质，因此不成立．故选：C ． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．1mD ．m 1≥【答案】D【解析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】 解：命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ． 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验．5．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27 B ．33C ．39D ．44【答案】B【解析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝ 【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，． (2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.6．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβD ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥ 【答案】D【解析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除. 【详解】解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．7．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．53 C ．52D 【答案】A【解析】由抛物线220y x ＝的焦点(5,0)得双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点(5,0)±，求出5c ＝，由抛物线准线方程5x =-被曲线截得的线段长为92，由焦半径公式2292b a =，联立求解.【详解】解：由抛物线220y x ＝，可得220p ＝，则10p ＝，故其准线方程为5x =-， 抛物线220y x ＝的准线过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，抛物线220y x ＝的准线被双曲线截得的线段长为92， 2292b a ∴=，又22225c a b +＝＝，4,3a b ∴＝＝，则双曲线的离心率为54c e a ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．8．如图，在ABC ∆中， 13AN AC =，P 是BN 上的一点，若23mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）A ．13B ．19C ．1D ．2【答案】B【解析】23mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由13AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三点共线可得.【详解】解：依题： 22333AP mAC AB mAN AB =+=+， 又B P N ，，三点共线，2313m ∴+=，解得19m =．故选：B ．本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈) 9．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ）A ．34+ B ．34+ C ．36+ D ．36+ 【答案】A 【解析】所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.10．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45 B ．105C ．150D ．210【解析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解. 【详解】集合M 含有3个元素的子集共有3620C =，所以20k =．在集合1,2,3,,i B i k =⋯（）中： 最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =； 最大元素为6的集合有2510C =；所以12345314356610105b b b b b ++++⨯+⨯+⨯+⨯＝＝． 故选：B ． 【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解. 11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 【答案】D【解析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值． 【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m m π+= 故选：D ． 【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 12．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34D ．7(,2]4【答案】B【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16f x x πω=++ ，函数在区间4[0,]3π上恰有3个极值点即为三个最值点，,62x k k Z ππωπ+=+∈解出，,3k x k Z ππωω=+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围.【详解】解： ()22cos cos 12xf x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16x πω=++令,62x k k Z ππωπ+=+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω=+∈，(0)2f =，又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+解得7542ω≤<． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.二、填空题13．实数,x y 满足2201020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_____．【答案】52． 【解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．由12021032x x y x y y ⎧=⎪+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 52C z ∴=，2B z =，2A z =- 52c z ∴=取最大值．故答案为：52． 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定14．成都市某次高三统考，成绩X 经统计分析，近似服从正态分布2(100,)X N σ～，且(86100)0.15P X <≤=，若该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为_____． 【答案】3400.【解析】根据正态分布密度曲线性质，结合(86100)0.15P X <≤=求得()()111410.150.4252P X >=-=，即可得解. 【详解】根据正态分布2100,X N σ～（），且(86100)0.15P X ≤=＜， 所以()()111410.150.4252P X >=-= 故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X 大于114分的人数为80000.4253400⨯=．故答案为：3400． 【点睛】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.15．已知函数31(),[,]f x x x a x e e=-++∈与()31g x lnx x =--的图象上存在关于x轴对称的点，则a 的取值范围为_____． 【答案】3[2,2]e -【解析】两函数图象上存在关于x 轴对称的点的等价命题是方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解，化简方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e e上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解. 【详解】解：根据题意，若函数21()()f x x x a x e e=-++≤≤与()3ln 1g x x x =--的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程331x x a lnx x ++++﹣＝﹣在区间1[,]e e 上有解， 即方程313a x lnx ﹣＝﹣在区间1[,]e 上有解，设函数3()3g x x lnx =-，其导数3233(1)'()3x g x x x x-=-=，又由1[,]x e e ∈，可得：当11x e≤≤时， '()0,()g x g x <为减函数， 当1x e ≤≤时， '()0,()g x g x >为增函数， 故函数3()3g x x lnx =-有最小值(1)1g =， 又由3311()3,()3g g e e e e =+=-；比较可得： 1()()g g e e<， 故函数()33g x x lnx -=有最大值()33g e e =-，故函数()33g x x lnx -=在区间1[,]e e 上的值域为3[1,3]e ﹣；若方程313a x lnx -+＝在区间1[,]e e上有解，必有3113a e ≤-≤-，则有322a e ≤≤-， 即a 的取值范围是3[2,2]e -； 故答案为：3[2,2]e -； 【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数()y f x =的零点就是方程()=0f x 的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.16．在四面体ABCD 中， 41,34,5,,AB CD AC BD AD BC E F ======分别是,AD BC 的中点．则下述结论： ①四面体ABCD 的体积为20； ②异面直线,AC BD 所成角的正弦值为2425； ③四面体ABCD 外接球的表面积为50π；④若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为6． 其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①③④．【解析】补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计算截面面积的最值. 【详解】根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为,,a b c ，222222413425c b c a b a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得3,4,5a b c === 补成长，宽，高分别为3,4,5的长方体，在长方体中：①四面体ABCD 的体积为13454345203V ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=＝，故正确②异面直线,AC BD 所成角的正弦值等价于边长为5,3的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为1517，故错； ③四面体ABCD 外接球就是长方体的外接球，半径2223455022R ++==，其表面积为50π，故正确；④由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得5KL KN +＝， 设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin sin HFB sin LKN θ∠∠＝＝，算得2425sin θ＝， 224••6225MNKL KL KN S NK KL sin NKL +⎛⎫∴∠≤⨯= ⎪⎝⎭＝．故正确．故答案为：①③④． 【点睛】此题考查根据几何体求体积，外接球的表面积，异面直线夹角和截面面积最值，关键在于熟练掌握点线面位置关系的处理方法，补图法作为解决体积和外接球问题的常用方法，平常需要积累常见几何体的补图方法.三、解答题17．某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望． 【答案】（1）43，47；（2）分布列见解析，()43E x =. 【解析】（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数； （2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为13，故14,3x B ⎛⎫⎪⎝⎭～，写出分布列即可得解. 【详解】（1）中位数为43，众数为47．（2）被调查的4名工人中优秀员工的数量0,1,2,3,4x =， 任取一名优秀员工的概率为13，故14,3x B ⎛⎫⎪⎝⎭～， ()4411133kkk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =，x 的分布列如下：x1234P168132812481881181故()132********813E x ⨯+⨯+⨯+⨯==【点睛】此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，5PA PC ＝＝，点,M N 分别是,AB PC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）若4,605cos PCD DAB ︒∠=∠＝，求直线AN 与平面PAD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）2311. 【解析】（1）取PD 的中点H ，连接,NH AH ，通过证明//MN AH ，即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】（1）证明：取PD 的中点H ，连接,NH AH ．N 是PC 的中点，1//2NH DC ∴=，又1//,2AM DC AM DC =，//,NH AM ∴=∴四边形AMNH 是平行四边形．//MN AH ∴，又MN ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，//MN ∴平面PAD ．（2）45,4,cos 5PC DC PCD ∠=＝＝，222,3,PD PC PD CD PD DC ∴+∴⊥＝＝， 同理可得：PD AD ⊥，又,AD CD D PD ⋂∴⊥＝平面ABCD ． 连接,AC BD ，设ACBD O =，则AC BD ⊥，建立空间直角坐标系O xyz -．()()()()323,0,0,23,0,0,0,2,0,0,2,3,3,1,2A C D P N ⎛⎫---- ⎪⎝⎭()()333,1,,23,2,0,0,0,32AN AD DP ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭设平面PAD 的法向量为，(),,n x y z =则0n AD n DP ==，则2320,30x y z --==，取()1,3,0n =-．2323sin cos ,111122AN n θ∴===⨯∴直线AN 与平面PAD 所成角的正弦值为311．【点睛】此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.19．已知数列{}n a 满足对任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，其前n 项和为n S ，且7349,S a ＝是1a 与13a 的等比中项，12a a ＜．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）已知数列{}n b 满足12n a n b +=，n n n c a b ＝，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求92065n T n --大于1000的最小的正整数n 的值． 【答案】（1）21n a n =-（2）4【解析】（1）利用122n n n a a a +++＝判断{}n a 是等差数列，利用749,S ＝求出47a ＝，利用等比中项建立方程，求出公差可得. （2）利用{}n a 的通项公式n a ,求出()224,214nn n n n b c n ===-，用错位相减法求出12065499n n n T +-=+⨯，最后建立不等式求出最小的正整数. 【详解】 解：()1任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，∴数列{}n a 是等差数列，74449,749,7S a a ∴∴＝＝＝，又3a 是1a 与13a 的等比中项，12a a <，设数列{}n a 的公差为d ，且0d >，则()()()277379d d d -=-+，解得2d ＝，1731a d ∴-＝＝，()12121n a n n ∴=+-=-；()2由题意可知 ()224,214n n n n n b c n ===-，()121434?··214n n T n ∴=⨯+⨯++-⨯①， ()23141434?··214n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，①﹣②得：()231342424?··24214nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯，12065499n n n T +-∴=+⨯，1229204265n n n T n ++-∴==-，由92065n T n --1000＞得，2221000n +>，2210n ∴+≥，4n ∴≥，∴满足条件的最小的正整数n 的值为4．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列{}n a 中，1a d 、是最基本的两个量，一般可设出1a 和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式20．已知点3(1,),(1,),(1,)2P a x y b x y =-=+，且4a b +=，满足条件的(,)Q x y 点的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）是否存在过点(0,1)-的直线l ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，直线,PA PB 与y 轴分别交于,M N 两点，使得PM PN ＝？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）存在， 112y x =-或512y x =-．【解析】（1）由4a b +=4看成(,)Q x y 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线C 的方程.（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线点斜式方程1y kx =-，由PM PN ＝，可得0PA PB k k +＝，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k 的一元二次方程求解.【详解】解：()1设12(1,0),(1,0)F F -，由(1,),(1,)a x y b x y =-=+， 4a b +=，4=，即为124QF QF +＝， 由124F F >，可得Q 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且24a =的椭圆，由1,2c a ＝＝，可得b ==C 的方程为22143x y +=；()2假设存在过点(0,1)-的直线l 符合题意．当直线l 的斜率不存在，设方程为0x ＝，可得M N ，为短轴的两个端点，PM PN ＝不成立；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =-，1122(1)(),1,A x kx B x kx -,﹣ 由PM PN ＝，可得0PM PN k k +＝，即0PA PB k k +＝，可得12125522011kx kx x x --+=--，化为21215()()5022kx x k x x -+++=，由2213412y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得22(34)880k x kx ，由(0,1)-在椭圆内，可得直线l 与椭圆相交，12122288,3434k x x x x k k +==-++， 则228582()()()5034234kk k k k--++=++ 化为25168()5(34)02k k k k --+++=，即为241250k k -+=，解得1522k k ==或， 所以存在直线l 符合题意，且方程为112y x =-或512y x =-． 【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.21．已知函数()()()ln 11f x x ax a a R =+-+-∈．（1）若()0f x ≥对任意1x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证： ()1ln 110x x xex --++-+≥【答案】（1）1a ≤-；（2）见解析.【解析】（1）将问题转化为()ln 111x a x -+-≤+对任意1x >-恒成立，换元构造新函数即可得证；（2）结合（1）()1110x ln x xex +--++≥﹣，只需证明()11210x ln x x xe x --++++≥﹣，构造函数()1211x h x xe x x +-=>-﹣（），通过证明1210x xe x +-≥﹣即可得证.【详解】（1）问题等价于()ln 111x a x -+-≤+对任意1x >-恒成立，令()11t x x =+>-，则0t >， 令()ln 1t g t t --=，则()2ln 'tg t t=， ()g t ∴在0,1上是减函数，在1,上是增函数，()g t ∴有最小值()11g =-， 1a ∴≤-；（2）由（1）知，10ln x x -++≥（），要证()1110x ln x xe x +--++≥﹣，即证()11210x ln x x xe x --++++≥﹣，令()1211x h x xex x +-=>-﹣（），()()112x h x x e '=+-﹣，()()1'20x h x x e =+>﹣，()'h x ∴在()1,-+∞是增函数，又()'10h =，()h x ∴在()1,1-是减函数，在1,是增函数，()()10h x h ∴≥=，即1210x xe x +-≥﹣，()11210x ln x x xe x ∴+--+++≥﹣，即得证．【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数讨论函数单调性，证明不等式恒成立，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及等价转化思想. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，与曲线2C 交于不同于极点的点B ，求线段AB 的长．【答案】（1）=4sin ρθ；()2224x y -+=（2）2【解析】()1曲线1C 的参数方程转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．再用极直互化公式求解，曲线2C 的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程22(2)4x y -+=．()2射线OP 与曲线1C 的极坐标方程联解求出12ρ＝，射线OP 与曲线2C 的极坐标方程联解求出2＝ρ 再用 12AB ρρ=-得解【详解】解：()1曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．把cos x ρθ=，sin x ρθ=代入得：=4sin ρθ曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．转换为直角坐标方程为22(2)4x y -+=．()2设射线:6OP πθ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，所以64sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12ρ＝． 与曲线2C 交于不同于极点的点B ， 所以64cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2ρ=所以122AB ρρ=-= 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用ρ和θ的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.23．设函数()()1f x x a x a R =++-∈．（1）当1a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若对任意x ∈R 都有()2f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(][),22,∞-⋃+∞-（2）(][),31,-∞+∞【解析】()1114||x x++≥﹣利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集， ()2()2f x ≥对x ∈R 恒成立，则()2min f x ≥， 由三角不等式|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，得12a +≥求解 【详解】解：()1当1a =时，不等式()4f x ≥即为114||x x++≥﹣， 可得1114x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或11114x x x -<<⎧⎨++-≥⎩或1114x x x ≥⎧⎨++-≥⎩， 解得2x -≤或x ∈∅或2x ≥，则原不等式的解集为(,2[2,])∞-⋃+∞-()2若对任意x ∈R 、都有()2f x ≥，即为()2min f x ≥， 由|1||1|1x a xx a x a ++≥+++﹣﹣＝，当()(1)0x a x +-≤取得等号， 则()1min f x a +＝，由12a +≥，可得13a a ≥≤-或，则a 的取值范围是(,3][1,)-∞+∞【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。
四川省成都市2020届高三下学期第二次诊断考试 理科数学(含答案)
f
(x)
ln x x
,
g(x)
xe x
，若存在
x1
(0,),
x2
R
，使得
f
( x1 )
g(x2 )
k(k
0)
成立，则 ( x2 )2 ek 的最大值为（ ） x1
A. e2
B. e
4
C.
e2
1
D.
e2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
·3·
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
A
B
C
7.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A.16
B.48
C.96
D D.128
8. 已 知 函 数
f (x) sin(x )(0 ),
f
(
)
0
，
则
函
数
f (x) 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为
2
4
（）
A. x k , k Z 4
B. x k , k Z 4
点．
·4·
（Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD （Ⅱ）若 PE=3，求二面角 D 一 PE 一 B 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）
某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一
批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该
PM PN
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲） 已知函数 f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）解不等式 f（x）≥6； （Ⅱ）设 g（x）=-x2+2ax，其中 a 为常数若方程 f（x）=g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实 数根，求实数 a 的取值范围．
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测理科数学试题(word无答案)
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测理科数学试题一、单选题(★) 1 . 复数满足为虚数单位)，则的虚部为（）A．B．C．D．(★) 2 . 设全集集合，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）A．B．C．D．(★) 4 . 曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知锐角满足则（）A．B．C．D．(★) 6 . 函数在的图象大致为（）A．B．C．D．(★) 7 . 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C．D．(★) 8 . 已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．(★) 9 . 如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 的展开式中的系数为________________．(★) 14 . 在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．(★) 15 . 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．(★★) 16 . 经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．三、解答题(★) 17 . 已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和.(★★) 18 . 如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.(★★) 19 . 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.年份年份代号年利润（单位：亿元）（Ⅰ）求 关于 的线性回归方程，并预测该公司 年（年份代号记为 ）的年利润； （Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为 级利润年，否则称为 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司 年的年利润视作该年利润的实际值，现从 年至年这 年中随机抽取 年，求恰有 年为 级利润年的概率.参考公式： ， .(★★) 20 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点 在椭圆 上，且.（Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，与圆相交于 、两点，求的取值范围.(★★★★) 21 . 已知函数，其中.（Ⅰ）若 ，求函数的单调区间； （Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.(★) 22 . 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为(为参数).以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .（Ⅰ）求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程； （Ⅱ）已知点设直线 与曲线 相交于两点，求的值.(★★) 23 . 已知函数.（Ⅰ）解不等式 ；（Ⅱ）设其中 为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.。
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试卷及解析
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位),则z 的虚部为（ ）A. iB. i -C. 1-D. 1【答案】C【解析】21i z =+,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-,故z 的虚部为1-. 故选：C. 2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>,则()U M N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥ 【答案】A【解析】先求出U M ,再与集合N 求交集.【详解】由已知,{|1}U M x x =≥,又{}|2N x x =>,所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人,初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人,则n 的值为（ ）A. 20B. 50C. 40D. 60【答案】B【解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意,30=150015001000n ⨯+,解得50n =. 故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ）A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --= 【答案】D【解析】 只需利用导数的几何意义计算曲线在点1x =处的导数值即可.【详解】由已知,'231y x =-,故切线的斜率为12x y ='=,所以切线方程为2(1)y x =-,即220x y --=.故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A. 12 B. 1 C. 2D. 4【答案】C【解析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.【详解】由已知,24sin cos 2sin ααα=,因α为锐角,所以sin 0α≠,2cos sin αα=, 即tan α=2.故选：C.6. 函数())cos ln f x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）。