平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
广东省云浮市邓发纪念中学 杨再华
一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：
.OA xOB yOC =+
（O 为平面内任意一点）
，其中1x y +=。
那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明。
结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下：
设 OA xOB yOC =+
且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点
设 1
OA OA λ= （λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n 1
O A m O B n O
C =+ 且1m n += 则
OA mOB nOC λ=+
m n OA OB OC λ
λ
⇒=+ m
x λ
∴=
、n
y λ
=
1
m n
x y λ
λ
++=
=
（1）1λ> 则 1x y +< 则
1
11OA OA OA λ
=<
∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]） （2）0λ<,则1
01x y λ
+=<<，此时OA 与1OA 反向
A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） 图[2]
B C
A 1
O
A O
A
1
B
C
A
图[1]
（3）1o λ<<，则1x y +>
此时 11
1OA OA OA λ=>
∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）
图[3]
2、如图[4]过O 作直线 平行AB ，
延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区
域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+
,
则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：
（Ⅰ）区：0001x y x y <⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅱ）区：0001x y x y >⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅲ）区：0001x y x y >⎧⎪
<⎨⎪<+<⎩
（Ⅳ）区：0011x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<+<⎩ （Ⅴ）区：00x y <⎧⎨<⎩ （Ⅵ）区：0
010
x y x y <⎧⎪
>⎨⎪-<+<⎩
（证明略）
二、用扩展定理解高考题。
（1）[2006年湖南（文）10] 如图[5] OM AB ，点P 在由射线OM ,线段OB 及AB
的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+
，则实数对（x 、y ）可以是……（ ） A.（14，34） B.（23-，23） C.（14-，34） D.（15-，7
5）
解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 0x <，且1O x y <+<，则选C
（2）[2006年湖南（理）15] 如图[5]OM AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB
的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+
，则x 的取值
范围是 。
当1
2
x =-时，y 的取值范围是 。
解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：
0x <，且当12x =-，有：1O x y <+<，即113
1222O y y <-+<⇒<<
答案为：0x <，（12，32） A B C A 1
O A
B
O Ⅲ Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅰ Ⅱ M
B A
O
P
图[4]
图[5]。
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理
平面向量三点共线定理：
（1）定义
平面向量三点共线定理是指：在三维空间中，若三个任意的点共在一个平面，则它们所在的平面的向量也可以构成一条直线。
（2）正式定义
如果S1、S2、S3是三个同一平面的点，则这三个点的向量形式为：S1S2，S2S3和S1S3，它们围绕原点O构成一种结构，即三角形形式的向量，满足以下条件：
若三个向量都平行，则说明三个点共线。
（3）实际应用
在很多数学知识中，平面向量三点共线定理有着重要的作用。
例如：在平面几何学中，有一个叫“三角平分线定理”的定理，就是用平面向量三点共线定理来推断的结论。
此外，平面向量三点共线定理还可以应用于判断几何图形是否平行、
垂直或成一条直线，甚至可以用于决定三角形的内角和外角，以及三
角形的面积大小等。
（4）证明方式
平面向量三点共线定理是采用数学归纳法来证明的：
设ABC是平面上任意三点，用AB表示AB连线，则有AB+BC=AC。
同理，用BC表示，则有BC+CA=AB，用CA表示，则有CA+AB=BC。
相似地，可以证明，任意N个点在同一平面上的加和结果均为零，即：AB+BC+CD+…+AP=0。
这时，由于任意三个点位于同一平面，包括它们的任意两个连接向量
在内的多个向量的加和结果都是0，因此，任意三个点都必定在一条直线上，这就是平面向量三点共线定理的实际物理意义。
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。
如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。
2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。
如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。
这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。
3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。
如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。
因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。
4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。
可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。
如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。
5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。
如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。
6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。
7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。
8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。
利用这个定理，可以求解线段长度。
平面向量中的三点共线结论的应用
若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。
三点共线向量表示及其性质应用
三点共线向量表示及其性质应用新课标新教材《数学4》一道例题给出了三点共线的向量法表示，还提示我们可以利用这个例题解决三点共线问题，所以值得我们深入探究和发掘．本文就此给出了三点共线向量表示的两种证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。
下面且看笔者一一道来，供大家参考。
例题：如图1，A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．证法探究：思路1分析： 初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC =λPA +（1-λ）PB ，只需证PC =λPA +PB -λPB ⇔PC -PB =λ（PA -PB ）⇔BC =λBA ⇔BC ∥BA ．这样证明思路有了。
证法1：∵向量BC 与向量BA 共线，∴BC =λBA ，即PC -PB =λ（PA -PB ），PC =λPA +PB -λPB ，∴PC =λPA +（1-λ）PB ．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC =λBA ，结合图形，易知，当点C 在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0≤λ≤1；当点C 在线段AB 延长线上时，则BC 与BA 反向，有λ<0；当点C 在线段BA 延长线上时，则BC 与BA 同向，有λ＞1．思路2分析：回想平面向量基本定理，如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，存在一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=。
所以我们可以不共线PA 、PB 作为一组基底，PC 则由它们线性表示，即存在λ，μ∈R ，使PC =λPA+μPB ．接下来，证明思路有了。
请看证法2。
证法2：当A 、B 、P 共线时，结论显然成立；当A 、B 、P 不共线，即有向量PA 、PB 不共线，以PA 、PB 为基底，PC 由它们线性表示，即存在λ，μ∈R ，使PC =λPA+μPB ．过点C 作BP A C //'，AP B C //'，如图2．PC =A P '+B P '，所以A P '=λPA ，B P '=μPB ．由λ='='=||||||PA PA BA ，||PA A P '||PB B B '=||PB B P PB '=1-μ，得1-μ=λ，即μ=1-λ，故PC =λPA +（1-λ）PB ．此例题逆命题亦成立，即已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量三点共线定理的推论及空间推广
，
，．
．
ｃ， 则存在实数 Ａ， 使得Ｄ Ｃ＝Ａ ｃ（ Ａ＞１ ， ｃ ＝ Ｄ ）Ｄ
Ｏ ＋Ｙ Ｏ ＋Ｙ Ａ Ｂ（ ＝ １ ，．Ｏ ＝ Ａ Ｏ ＋Ａｙ ）． Ｃ ’ Ａ
：
斗当 ０，０ ， 同 ，图 — ． ＞，＞ 时 与 向如 ２ ）
１ 示 ， 点 Ｃ在 线段 Ａ 所 则 日上 ； 当 ＞０ Ｙ＜０时 ， ， Ｃ
２ １ 第 ７期 ０ １年
中 学 数 学 研 究
４ ７
平面 向量 三点 共 线 定 理 的推 论及 空 间推 广
江西南 昌市外 国语 学校 （３ ０ ５ 梁懿涛 ３ 面 向 量 三 点 共 线 定 理 ： 于 共 面 向 量 ， 对
区： Ｙ＜ ． ＋ ０ 特别地 ， 当点 ｃ 落在 ｚ上时， Ｙ＝１ １ ＋ ；
证明： 只证 ，， ｙ ＞０的情形 ， 其它情形可类似
证 明．
４ ８
中 学数 学研 究
２ １ 第 ７期 ０ １年
—
—
—
—
—
—
＿＋
—
— — —
由 Ｏ ＋Ｙ０ ＋ｚ Ｃ ＝０得Ａ ＝ Ａ Ｂ Ｏ Ｄ
＋ ＯＣ ．． ） ・ ・上
＋ ｚ ～ ＋ ｚ
的点 ０， 口 若
（ 十 Ｖ
Ａ
—
＋ｂ Ｂ＋。 — Ｏ
一
＋ｄ
： 则
，
： Ｖ Ａ ： Ｖｏ Ａ ： Ｖｏ ＾８ｃ ｏ ∞ 肋
—
ｌ ： ｂ ｌ ｃｌ： ｄ Ｉ ａ ｌ ｌ ：Ｉ ｌ ．
＋
证明： 只证 ａ，，， ｂＣｄ＞０的情形 ， 它情 形 可类 其
似 证 明． 由 口Ｄ＋＋６ － － － － － Ａ － ＋ｃ 十Ｂ
平面向量三点共线的应用
B
D EA
O
C
【典例】2.
在ABC中，点P是AB上一点，且 BP 2PA，Q是BC的中点， AQ与CP的交点为 M , 又CM tCP, 求实数t的值。
A P
M
B
Q
C
【变式】.
在ABC中，点P是AB上一点，且 BP 2PA，Q是BC的中点， AQ与CP的交点为 M , 又 AM t AQ, 求实数t的值。
A P
M
B
Q
C
【典例】3. 已知G为ABC的重心，过点 G的直线与边 AB, AC分别相交于点 P, Q， 若AP 3 AB, 求ABC与APQ的面积之比。
5
A
P B
G Q
C
【典例】4.
已知在平行四边形ABCD中，M , N分别是边BC,CD的中点， AM与BN相交于点P,若a AB,b AD,用a,b表示AP的结果是（）
N
D
C
P
M
A
B
平面向量中三点共线定理的应用
----求向量（线段）的比例关系
知识梳理
三点共线定理
【典例】1.
如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2：1的一个内分点，
DC和OA交于点E，设OE OA,求实数的值。
BD Leabharlann AOC【变式】.
如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2：1的一个内分点， DC和OA交于点E，设CE xCD, 求实数x的值。
三点共线向量式及应用
经验交流2014-03普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4（人教B 版）第97页以例题的形式给出了三点共线向量式：例题已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点。
求证：对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使关于基底的分解式为并且满足式的点P 一定在l 上。
为了方便学生记忆和运用，常将上述内容改写为：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是OA =xOB+yOC O 为平面内任意一点），其中x+y =1。
一、应用于平面几何求值问题例1如图1，点G 是三角形ABO 的重心，PQ 是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段，且OP =mOA ，OQ=nOB ，（m 、n ∈R ）。
求1m +1n的值。
分析：本题是一道典型的平面几何证明题，但用平面几何方法则过程很复杂。
连结OG 交AB 于D ，注意到图中有两组三点共线，分别为A 、D 、B ；P 、G 、Q ，于是可以用三点共线向量式进行求解。
由A 、D 、B 三点共线及D 是中点有AP =tAB=t （OB -OA ），①由点G 是三角形ABO 的重心可知OD =32OG ，由题设有OA =1m OP ，OB =1nOQ 为了使用第二组共线关系，在①式左右两端同时替换得：32OG =12m OP +12n OQ ，即QC =13m OP +13n OQ由P 、G 、Q 三点共线得13m +13n =1即1m +1n=3。
二、应用于立体几何证明问题例2（2013年浙江卷理科20题）如图2，在四面体A -BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD =2，BD =22√.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ =3QC .（1）证明：PQ ∥平面BCD ；分析：本题（1）是一道典型的立体几何问题转化为平面几何证明，笔者尝试用三点共线向量式来求解，过程较为简洁，不妨作为一种解法来储备。
平面向量中三点共线定理的应用
平面向量中三点共线定理的应用知识梳理(一)对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ,使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ,存在唯一的一对实数x ,y 使得：OP xO A yOB =+ 且.OP xO A yOB =+ 例题精讲例1设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于()A.OM→B ．2OM→C ．3OM→D ．4OM→例2如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．例3如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB = ,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a = ,AD b = ,则AG =_______例4在△ABC 中，D 是△ABC 所在平面内一点,且AD →＝13AB →＋12AC →,延长AD 交BC 于点E ,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ－μ的值是．练习1．如图,在三角形ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是BE 边的中点,若AB →＝a ,AC →＝b ,则AO →＝()A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 2．(2019·济南调研)在△ABC 中,AN →＝14NC →,若P 是直线BN 上的一点,且满足AP →＝mAB →＋25AC →,则实数m 的值为()A ．-4B ．-1C ．1D ．43．在△ABC 中,13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数m 的值为()A ．911B ．511C ．311D ．2114．如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A ．12AC →＋13AB→B ．12AC →＋16AB→C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB→6．(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ,μ∈R),则52μ－λ＝()A ．－12B ．1C.32D ．－37．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．8．在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是CD 和BC 的中点,若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则APPM＝________．10．点G 是△OAB 的重心,P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点,且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明：yx 11+是定值；11．在三角形ABC 中,AM ﹕AB =1﹕3,AN ﹕AC =1﹕4,BN 与CM 相交于点P ,且a AB =,b AC =,试用a 、b表示AP .12．已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,求yx 41+的最小值.PABCMN答案例1答案：D 解析：OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →例2解：因为E 为线段AO 的中点，所以BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋1221(⨯BD →)=12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →，所以λ＋μ＝12＋14＝34.例3解：,,E G C 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x 使得(1)AG xAE x AC∴=+- , 1133AE AB a == ,AC a b=+ 12(1)()(1)(1)33x AG x a x a b a x b ∴=⨯+-+=-+-…………………①又,,F G B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数λ使得(1)AG AB AFλλ∴=+- 1144AF AD b ==，，1(1)4AG a b λλ∴=+-……………………………②由①②两式可得：213114x x λλ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩6737x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩3177AG a b ∴=+ 例4解：设AE →＝xAD →，因为AD →＝13AB →＋12AC →，所以AE →＝x 3AB →＋x2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，所以x 3＋x 2＝1，解得x ＝65.又AE →＝λAB →＋μAC →.所以λ＝x 3＝25，μ＝x 2＝35，因此λ－μ＝－15.练习1、答案：D 解析：因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线，所以AE →＝12AC →.因为O 是BE 边的中点，所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝12a ＋14b .2、答案：B解析：根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R)，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，n ＝m ，＝25，＝2，＝－1.3、答案：C 解析：,,B P N 三点共线，又2284111111AP m AB AC m AB AN m AB AN=+=+⨯=+ 8111m ∴+=311m ∴=4、答案：B 解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.5、答案：C 解析：如图，因为EC →＝2AE →，所以EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.6、答案：A 解析：AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因此E ，M ，F 三点共线．所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.因此52μ－λ＝－12.7、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.8、答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝12λ＋μ→＋λ＋12μ→，＋μ＝1，＋12μ＝1，＝2，＝23，所以λ＋μ＝43.9、答案：4解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，因为A 、P 、M 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AP →＝λAM →.又知M 为BC 的中点，所以AP →＝12λ(a ＋b )．因为B 、P 、N 三点共线，所以存在唯一实数μ，使得BP →＝μBN →，又AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋μBN →＝AB →＋μ(AN →－AB →)＝AB →＋－(1－μ)a ＋2μb ，所以12λ(a ＋b )＝(1－μ)a ＋23μb ，μ＝12λ，＝12λ，解得λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，PM →＝15AM →.所以|AP →|∶|PM →|＝4∶1，即APPM＝4.10、证明： 因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OPx=∴=1OQ yOBOB y=∴= 111111()()3333OG OA OB OQ OG OP OQx y x y ∴=+=+∴=+又,,P G Q 三点共线，11133x y∴+=113x y∴+=11x y∴+为定值311、解：,,N P B 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y 使得,1AP xAB y AN x y =++=,AN ﹕AC=1﹕4,b AC AN 4141==1444y y x AP xAB AC xa xa b -∴=+=+=+……①又,,C P M 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数μ,λ使得,1AP AM AC μλμλ∴=++=∵AM ﹕AB=1﹕3∴a AB AM3131==，，133AP a b a b μλλλ-∴=+=+ ……………………………②由①②两式可得：1314x x λλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩311211x λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩81,11x y y +=∴=321111AP a b∴=+12. 点P 落在ABC 的边BC 上∴B，P,C 三点共线AP xAB y AC=+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y ∴+=+⨯=+⨯+=++=++ x>0,y>040,0y xx y∴>>由基本不等式可知：44y x x y +≥=，取等号时4y xx y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y += 12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9。