浙江大学2005年数学分析

浙江大学2005年数学分析考试试题
一.(10分)计算定积分20
sin x
x e xdx ⎰.
二. (10
分)设()f x 在[]
0,1上Riemann 可积,且
(
)1
2
f x dx =
⎰
,计
算:1
11lim
4ln 1n
n i f n n →∞
=⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦∑
.
三. (15分)设,,a b c 为实数,且1,0b c >-≠.试确定,,a b c 的值,使得
()
3
00
sin lim
ln 1x
x ax x
c t
dt
t
→-=+⎰
. 四. (15分)设()f x 在[],a b 上连续,且对每一个[],x a b ∈,存在[],y a b ∈,使得
()
()12
f
y f x ≤
.证明:存在[],a b ξ∈,使得()0f ξ=.
五. (20分) (1)设()f x 在[),a +∞上连续,且
()a
f x dx
+∞
⎰收敛.证明:存在数列
{}[),n x a ⊂+∞.符合条件
()l i m ,l i m 0n n n n x f x →+∞
→+∞
=+∞=
.(2)
设()f x 在[),a +∞上连续,()0f x ≥,且
()a
f x dx +∞
⎰成立,问:是否必有()lim 0n f x →+∞
=?为什么?
六. (15
分)设()f x 在()
0,+∞上具有二阶连续导数,且已知
(
)()
{
}0s u p ;0,M f x
x =∈+∞和()(){
}
2sup ;0,M f x x ''=∈+∞均为有限数.证明:
(1)()0
222
M t
f x M t
'≤
+对任何的()0,0,t x >∈+∞均成立;
(2)()(){}1sup ;0,M f x x '=∈+∞也是有限数,
并且满足不等式1M ≤七. (10分)设()f x 在任何有限区间上Riemann 可积,且
()f
x dx +∞
-∞
⎰
收敛,证
明:()()lim
sin 0n f x nx dx +∞
→∞
-∞
=⎰.
八. (15分) (1)将arctan x 展开为幂级数,求收敛半径.
(2)利用(1)证明:()
14
444;3
5
21
n
n π-=-
+
-⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+
(3)利用(2)中公式近似计算π的值,需要用多少项求和,误差会不超过10m -(m 为自然数)?为什么?
九. (15分)设(),u x y 是(){}2
\0,0R 上2C 径向函数,即存在一元函数f ,使得
()(
),,u x y f r r ==
若
2
2
2
2
0u u x
y
∂∂+
=∂∂,求f 满足的方程及函数(),u x y .
十. (25分) (1)设f 是1
R 上1
C ,周期为L 的函数()0L >.且()0
0L
f t dt =⎰.利用f 的
Fourier 级数展开证明:()()22
2
2
4L
L
f t dt f t dt L
π'≥
⎰⎰
等号成立当且仅当存在常数11,a a -,使得()2211t t i
i
L
L
f t a e
a e
ππ--=+.
(2)设Ω是2R 上具有1C 光滑边界的连通区域.设()A Ω是Ω的面积,则
()2A div rdxdy r vds Ω
∂Ω
Ω==
⎰⎰
其中向量场()()()()()1212,,,,,,,r x y r x y i r x y j r x y x r x y y =+== ,,,i j
分别是x 轴和y
轴的单位向量;v
是边界∂Ω的单位外法向量,ds 是边界∂Ω的弧长微分.
(3)设Ω同上,()l ∂Ω是Ω的边界∂Ω的长度.利用(1),(2)证明:
()()2
4l A π∂Ω≥Ω
等号成立当且仅当Ω是圆盘.。