欧拉函数求法
求欧拉函数
求欧拉函数求欧拉函数是数论中的一个重要问题，它可以帮助我们计算整数集合中与某个给定整数n互质的数的个数。
欧拉函数的定义是：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数的计算方法有多种，下面我将介绍其中两种常用的方法。
一、分解质因数法欧拉函数的一个重要性质是：若n是质数p的k次幂，则φ(p^k) = p^k - p^(k-1)。
根据这个性质，我们可以用分解质因数的方法来计算φ(n)。
具体步骤如下：1. 将n进行质因数分解，得到n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km 的形式，其中p1、p2、...、pm是不同的质数，k1、k2、...、km 是对应的幂次。
2. 根据性质φ(p^k) = p^k - p^(k-1)，计算每个质因数的欧拉函数值，即φ(p1^k1)、φ(p2^k2)、...、φ(pm^km)。
3. 最后，将所有质因数的欧拉函数值相乘，即可得到φ(n)的值。
例如，对于n = 12，我们可以将其分解为2^2 * 3^1。
根据性质φ(p^k) = p^k - p^(k-1)，我们可以计算出φ(2^2) = 2^2 - 2^1 = 2，φ(3^1) = 3^1 - 3^0 = 2。
最后，将这两个值相乘，得到φ(12) = 2 * 2 = 4。
二、递推法欧拉函数还可以通过递推法来计算，具体步骤如下：1. 初始化φ(1) = 1，φ(i) = i-1（i>1）。
2. 从i = 2开始，依次计算φ(i)的值。
3. 对于每个i，遍历所有小于i且与i互质的数j，将φ(j)的值加到φ(i)上。
4. 最后得到的φ(n)即为所求。
例如，对于n = 12，我们可以按照上述步骤进行计算。
首先初始化φ(1) = 1，φ(2) = 2-1 = 1，φ(3) = 3-1 = 2，φ(4) = 4-1 = 3。
然后，计算φ(5)时，遍历所有小于5且与5互质的数，发现只有1和2满足条件，所以将它们对应的φ值加到φ(5)上，即φ(5) = φ(1) + φ(2) = 1 + 1 = 2。
5-4秦九韶定理 Euler函数
§5.4.1 一次同余式组 秦九韶定理
定理5.4.1 设[m1,m2]为m1，m2的最低公倍数。 的最低公倍数。 定理 为 则同余式组 x≡a1 (mod m1) ≡ x≡a2 (mod m2) ……………..(1) ≡ 在mod[m1,m2]下有唯一解的充要条件为 下有唯一解的充要条件为 (m1,m2)|(a1-a2) ……………………….(2) Note:当此定理中的 1,m2)=1这种特殊情况时，则（1） 当此定理中的(m 这种特殊情况时， 这种特殊情况时 ）
有关于模m 唯一解。 有关于模 1m2唯一解。推广此特殊情形即得到中国剩 余定理，也称为孙子定理。 余定理，也称为孙子定理。后经过秦九韶整理和解法的 推广，我们这里称之为秦九韶定理。 推广，我们这里称之为秦九韶定理。
证明： 证明：
必要性。 必要性。记m1，m2的最高公因数和最低公 倍数分别为d， ， 倍数分别为 ，m，即d=(m1,m2)， ， m=[m1,m2]。若(1)有解 0，则 x0≡a1(mod d)， 有解x 。 有解 ， x0≡a2(mod d)，从而 ，从而d|(a1-a2)。 。 充分性。 在模m下有唯 充分性。若d|(a1-a2)，往证 在模 下有唯 ，往证(1)在模 一解。 一解。
定理5.4.3 设f(x)是整系数多项式 是整系数多项式,m=p1r1p2r2…pnrn 定理 是整系数多项式 的质因数分解式， 为m的质因数分解式，则同余式 的质因数分解式 f(x) ≡0(mod m) (6) 与下述同余式组等价 f(x) ≡0(mod p1r1) (7) …… f(x) ≡0(mod pnrn )
§5.4.2 一元高次同余式的化简
当求解的同余式模较大且是合数时，可以将原同余式转 当求解的同余式模较大且是合数时， 化为模较小的同余式组进行求解。 化为模较小的同余式组进行求解。 例5.4.2 求解同余式 37x≡55(mod 60) 注意到（ ， ） ，故完全可以用上节的定理5.3.1 解：注意到（37，60）=1，故完全可以用上节的定理 证明和辗转相除法求解。这里用同余式组来求解。 证明和辗转相除法求解。这里用同余式组来求解。因为 60=22×3×5，所以原同余式等价于 × ， 37x≡55(mod 4) 37x≡55(mod 3) 37x≡55(mod 5) 等价化简同余式组得 x≡3(mod 4) x≡1(mod 3) 2x≡0(mod 5) 又因为（ ， ） ， 又因为（2，5）=1，所以又等价于 x≡3(mod 4) x≡1(mod 3) x≡0(mod 5) 解此同余式组得 x≡55(mod 60)
费马小定理及应用
费马小定理及应用知识定位费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。
要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p nαn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ ②若p 为素数，则1()1,()(1),kk p p p pp ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ； ④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n dϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系，∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k)，特别地，a u≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡.用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq r a a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡， 由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡（2）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k模m 互不同余.（3）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. （4）设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, ado −1对模p两两不同余.特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系.定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 3、费尔马小定理若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 4、证明费马小定理的预备定理定义1：设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。
欧拉函数φn
欧拉函数φn欧拉函数是数论中一个重要的函数，它描述了整数m与小于m的正整数中，互质的个数。
欧拉函数常用符号为φ(n)，其中n为正整数。
欧拉函数的定义是：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示不大于n的正整数中与n 互质的数的个数。
特别地，φ(1)=1。
欧拉函数的计算方法有多种，下面以一些常用的方法进行总结。
方法1：直接计算法欧拉函数的最直接计算方法是对于每个小于等于n的数i，如果gcd(i,n)等于1，则将计数器加1。
最终的结果即为φ(n)。
计算φ(8)时，满足与8互质的数有1、3、5、7，因此φ(8)=4。
这种方法简单易懂，但对于大整数的计算，计算量会非常大。
方法2：分解质因数法欧拉函数的另一种计算方法是利用分解质因数的结果，将n分解成质因数的乘积：n=p₁^k₁ × p₂^k₂ × …×pₙ^kₙp₁、p₂、…、pₙ均为不同的质数，k₁、k₂、…、kₙ均为正整数。
那么根据乘法原理，可以将φ(n)分解成φ(p₁^k₁)×φ(p₂^k₂)×…×φ(pₙ^kₙ)。
对于任意一个质数p来说，小于等于p的正整数中，与p的公约数只有1和p，因此φ(p)=p-1。
综合以上两点，就可以得到φ(n)的分解式：φ(n)=n×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×…×(1-1/pₙ)计算φ(24)时，24=2^3×3，因此φ(24)=24×(1-1/2)×(1-1/3)=8。
这种方法都要先分解质因数，因此对于大整数的计算，也需要大量时间。
方法3：线性筛法欧拉函数的线性筛法是一种效率较高的计算方法，它的核心思路是根据欧拉函数的性质，利用筛法的思想求出所有小于等于n的正整数的欧拉函数值。
首先定义一个数组phi[n]，初值全部设为i，表示小于等于n的正整数i的欧拉函数值φ(i)。
接着，从2开始枚举到n，如果phi[i]=i，说明i是一个质数，那么对于i的倍数j，phi[j]需要乘上(1-1/i)，以此更新phi[j]。
09 第九节 欧拉方程
第九节 欧拉方程变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解，欧拉方程就是其中的一种.分布图示★ 欧拉方程★ 例1★例2 ★ 例3 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题12—9 ★ 返回内容要点形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++---Λ (9.1)的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21Λ为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(9.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解.如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算,dtd 则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''， 一般地，有y k D D D y x k k )1()1()(+--=Λ. (9.2)例题选讲例1（E01）求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解. 解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dt y d --= 两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=例2（E02）求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dy dt y d dt y d =-- (1) 方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C x C C ++= 设特解*y t be 2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为 y .2123321x x C x C C -++=例3 设有方程,0)0(),0(),1ln(])1(2[)1(02='≥+-''++=+⎰y x x dx y x y y x x求由此方程所确定的函数).(x y解 将方程两边对x 求导，整理后得y y x y x +'+-''+)1()1(2,11x+=且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程,222t e y dt dy dty d -=+- 其通解为,41)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为 ,)1(41)1)](1ln([21x x x C C y +++++= 由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得,411-=C ,212=C 故由题设方程确定的函数为.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=课堂练习求下列欧拉方程的通解:1.x y y x y x 342='-''+''';2.x x y x y y 22=+'-''; 3.x y y x y x 342='-''+''';4.x y y x y x ln cos 22=+'+''.欧拉（Euler ，1707~1783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家。
费马定理、欧拉定理、威尔逊定理(讲稿)
欧拉定理、费马定理、威尔逊定理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ②若p 为素数，则1()1,()(1),k k p p p p p ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ；④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()ndϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；例1、证明：φ(n )＝14n 不可能成立.不可能成立假设不成立上式不成立，左边是一个奇数，上式右边是一个偶数，又即：即：为奇质数，则：设成立，则证：若不可能成立；【练习】证明：n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n p p p p p p n n n n k k k k k kk k k k k k k k k k 41)4()1()1)(1(4)1()1)(1(22)1()1)(1(2241)(,,),2(,2|441)4(41)4(212121112112122211212121212121212121=∴∴∴---=---=---==≥===----ϕϕαϕϕααααααααααααααααααααΘΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ例2、证明：数列{2n －3}中有一个无穷子数列，其中任意两项互质.}{}32{1,,,1),(mod 1321),(mod 122)(32,,,,}32{}32{21211)()((()(1)(12121212121i n k k i u u u i u u u u u u u u u k k n n u k u u u u ki u ki u x u u u u k k k k k 互素的无穷子数列中一定有一个任意两项数列依此方法一直下去项两两互素的子数列，是、数列＝理有：是欧拉函数，由欧拉定其中作项是两两互素的，记为中已有证明：设数列其中任意两项互素；中有一个无穷子数列，、证明：数列例））-+∴≤≤-≡-∴≤≤≡-=--++++ΛΛΛΛΛΛϕϕϕϕϕϕϕ例3、已知p 为质数，在1, 2, …, p α中有多少个数与p α互质？并求φ(p α). 直接用性质②例4 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项.解：1~105的所有正整数中共有(105)(3)(5)(7)48ϕϕϕϕ==个与105互素，他们从小到排列为：12345481,2,4,8,11,,104a a a a a a ======L . 对于任一的n a ，由带余除法存在唯一的q , r 使得 105,0,0105n a q r q r =+≥≤<，由(a n ，105)＝1，可得(r ，105)＝1，即1248{,,,}r a a a ∈L .反之，对于任意固定非负整数q , 1248{,,,}r a a a ∈L 有(105q ＋r ，105)＝1，于是105q ＋r 都是数列的项， 从而存在正整数n ，使得105n a q r =+. 因此数列{}n a 仅由105(1,2,,48)n q a n +=L 的数由小到大排列而成的.因为2010＝48*41＋42，所以有2010424842201010541,104,89,4394a a a a a =⨯+===而由求得所以. 2、(欧拉定理) 若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ).证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )，又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 注：这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题. 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).2、(定义1) 设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )， 我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： ⑴ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k )， 特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )ua a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡. 用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kqra a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡，由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡⑵ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ， 而k 个数a , a 2,…, a k 模m 互不同余.⑶ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. (4) 设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, a do −1对模p 两两不同余. 特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系. 定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 例5、设a 和m 都是正整数，a ＞1. 证明：).1(|-ma m ϕ证明：实上，显然1-m a a 与互素，且1-m a a 模的阶是m ，所以由模阶的性质③导出).1(|-ma m ϕ 例6：设m , a ,b 都是正整数，m ＞1，则(.1)1,1),(-=--b a bam m m证明：记).1,1(--=bam m d 由于(a , b )|a 及(a , b )|b ，易知1|1),(--a b a m m及1|1),(--b b a m m ，故d mb a |1),(-， 另一方面设m 模d 的阶是k ，则由)(m od 1),(m od 1d m d m b a ≡≡推出，k |a 及k |b ，故k |(a ，b ). 因此.1|),(m od 1),(),(-≡b a b a m d d m 即综合两方面可知，.1),(-=b a md 证毕.3、(费尔马小定理) 若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 证明：设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p≡≡.若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由欧拉定理得：)(mod 1,1)()(p ap p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得.4、(威尔逊定理) p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,-Λ中，必然有一个数除以p 余1， 这是因为x p x x )1(,,2,-Λ则好是p 的一个剩余系去0. 从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ΛΛ，使得)(mod 1p xy ≡；若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，这不可能. 故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y Λ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ， 即1,,2,1-p Λ中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对， 这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！ ∴p 为质数.5、算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数， α1、α2、…、αk 都是正整数.①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1) ③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )④ n 的正约数的积为T (n )＝1()2r n n⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.(2) 判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数. (3) n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p pnp n p n p n n P Λ 从而可以写出n !的标准分解式.例7、证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1.1|2401|531653161|51|31),5(,1),3(16422)1)(1)(1(1111,1,1)1)(1)(1(1,72401744442242244-∴-⋅⋅--∴==⋅⋅++-=-+-++-++-=-∴≥-≥p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 两两互素，则与，又费马小定理有：又整除＝能被是相邻的偶数，则：和均为偶数，且又是奇数素数证：整除；能被时，、证明当素数例ΘΘΘΘ例8、求20052003被17除所得的余数.解：()2005200520052003171141414(mod17),=⨯+≡因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16141(mod17),≡ 故()()()()()5420052005161255520031414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡所以20052003被17除所得的余数是14.变式拓展：已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字.解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数，∴a 20＝a φ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)， 又∵(25, 4)＝1，∴a 20≡1(mod 100)，∴a 20的末两位数字01.例9、证明：方程325y x =+无整数解.解：若y 是偶数，则8 |3y ，x 2≡3(mod 8)不可能. 故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 36422232++=+, 知t 是偶数，令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3) 由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 21212)1()(---≡p p s (mod p )，于是 1-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.例10、 试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 证明：若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1， 则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n －n 被p 整除例11、设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n na nb n ++，则a ＝b . 证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡- 由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1(mod ),nk p a aa p -+=≡所以0(mod ),n a n p +≡也即,(mod )n n p b n bn ba p ++≡-再由费马定理，所以pb a -，矛盾. 例12、设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数.证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p≡知k |p ，故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素).显然k ≠1，否则),(m od 121q ≡这不可能，因此k ＝p .由费马小定理)(mod 121q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).例13、设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数.证明： 因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1101(mod ),p p -≡故对每一个正整数l 有()11010(mod ),l p p --≡ 而()()(){1111019999111,l p l p l p ----==⨯L L 123个个因()1(,9)1,101,l p p p -=- 故(){111 1.l p p -L 个例14、证明：若0(mod ),ppm n p +≡则20(mod ),ppm n p +≡这里p 是奇素数.证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).ppm m p n n p ≡≡于是，(mod ).ppm n m n p +≡+ 故可由已知条件0(mod )ppm n p +≡得0(mod ).m n p +≡故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此()()()()()()()12122111210(mod ).p p p p p p p p p rp rrrp p ppm n m pk m pk C pk m C pk m Cpk m Cpk m p -----+=+-=-+++-++≡LL例15、(2004第36届加拿大奥林匹克) 设p 是奇质数，试证：∑-=-+≡11212)(mod 2)1(p k p p p p k例16、(第44届IMO ) 设p 是质数，试证：存在一个质数q ，使对任意整数n ，数n p −p 不是q 的倍数.例17、已知p是给定的质数，求最大正整数m满足：⑴1≤m≤p−1；⑵∑-=≡11) (modpkm p k.例18、(2006国家集训队测试题) 求所有的正整数对(a, n)，使得n|(a＋1)n−a n课外练习题：1、①证明：f (x )＝15x 5＋13x 3＋715x 是一个整值多项式. ②求证：f (n )＝15n 5－32n 2＋1310n －1被3除余2.①则只需证=)(15x f x x x 75335++是15的倍数即可. 由3，5是素数及Fetmat 小定理得)5(mod 5x x ≡，)3(mod 3x x ≡，则)5(m od 07375335≡+≡++x x x x x ；)3(m od 0275335≡+≡++x x x x x而(3，5)＝1，故)15(mod 075335≡++x x x ，即)(15x f 是15的倍数, 所以)(x f 是整数. 2、 证明：2730|n 13－n (n ∈N *))(|2730137532),(137532)(|2),(|3),(|5),(|7)(,)(,)(,)(,)()1)(1)(1)(1)(1()1)(1)(1()1)(1(),(|13),(,)(1375322730)(,|273043212433527162263366131313n f n f n f n f n f n f n f n n n f n n n f n n n f n n n f n n n n n n n n n n n n n n n n n n f N n n n n f N n n n 两两互素，故，，，，且均整除，，，，即由费马小定理可知：的因式都是故由于可知则由费马小定理，，若记＝证明：【练习】证明：-=-=-=-=++-+++-=++-=+-=-∈-=⋅⋅⋅⋅∈-Θ3、 已知有正整数b a b a ab ba b a ++++的最大公约数不超过与是整数，求证：使得11,.证明：由于a ＋1b ＋b ＋1a ＝a 2＋b 2＋a ＋b ab……①，设(a , b )＝d ，则d 2|a 2＋b 2，显然d 2|ab ，由①得，d 2|a ＋b于是a ＋b ≥d 2，a ＋b ≥d ，即 (a , b )≤a ＋b .4、求最小的正整数k ，使得存在非负整数m ，n 满足k ＝19m －5n5、将与105互素的所有正整数从大到小排列，试求出这个数列的第1000项；法一：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－17)=48个.1000=48×20＋48－8， 105×20=2100. 而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186. 法二：6．设n m ,为正整数，具有性质：等式(171,)(171,)k m k n -=-对所有的正整数k 成立. 证明：17rm n =，其中r 是某个整数.。
欧拉函数计算公式
欧拉函数计算公式
欧拉函数又称欧拉定理，是一种数学定理。
它是指比一个非负整数小的所有正整数中，与其互质的正整数的数量。
欧拉函数可以用来求解一些比较复杂的数学问题，如求解最大公约数、求解最小公倍数等。
欧拉函数的计算公式是由欧拉定理推导而来的，它给出了一个计算欧拉函数值的方法。
其计算公式如下：φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * … * (1 - 1/pn)
1, p
2, …, pn是n的所有不同质因子。
比如，要计算φ(12)，首先要确定12的所有质因子。
因为12 = 2 * 2 *
3，所以p1 =
2, p2 =
2, p3 =
3。
根据欧拉函数的计算公式，可以得出：φ(12) = 12 * (1 - 1/2) * (1 - 1/2) * (1 - 1/3)
= 12 * (1/2) * (1/2) * (2/3)
= 4
即φ(12) =
4。
欧拉函数的应用非常广泛，它不仅可以用来求解最大公约数和最小公倍数的问题，还可以用来解决一些比较复杂的数学问题，如求解余因子和求解素数等。
它还可以用来解决一些密码学问题，如RSA加密算法和费马小定理等。
总之，欧拉函数是一种非常有用的数学定理，它可以用来解决大多数数学问题以及一些密码学问题。
它的计算公式也比较简单，只需要确定一个数的所有质因子，就可以计算出这个数的欧拉函数。
欧拉定理
4．提出多面体分类方法：
在欧拉公式中， f (p)=V+F-E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的 表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面 体的欧拉示性数为0。
数论定理
内容
证明
应用
设，且，则我们有: 其中称为对模缩系的元素个数。 此外，对模的阶必整除。
欧拉定理的证明取模的缩系,则也是模的缩系. 故有 特别地，当时，该结论加强为费马小定理.
首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4， 所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。
证明应用
利用几何画板
公式应用
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、 E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα 一方面，在原图中利用各面求内角总和。
组合数学预备知识-- 数论
j 2, 3, , n
其中q j 是广义欧几里得除法中的不完全商.
25
作业：
1、用辗转相除法求下列整数对的最大公因数： 1）（666，1414） 2）（20785，44350）
2、用辗转相除法求整数s,t，使得sa+tb=(a,b). 1）1613,3589 2）20041,37516
26ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
五、高斯函数[x]和{x}的定义及其性质
所以有整数s = 5,t = 6,使得sa + tb = (a, b) 143.
24
定理 设a , b是任意两个正整数,则 sna t nb (a , b) 对于n 0,1, 2, , 这里sn , t n归纳地定义为
s0 1, s1 0, s j s j 2 q j 1 s j 1 t0 0, t1 1, t j t j 2 q j 1t j 1
15
下面的n个连续整数都是合数：
( n 1)! 2,( n 1)! 3,( n 1)! 4, , ( n 1)! n,( n 1)! n 1
2）分布及不规则
1-100 有25个素数； 100 - 200 有21个素数； 200 - 300 有16个素数； 300 - 400 有16个素数； 400 - 500 有17个素数； 500 - 600 有14个素数；
一般地,对于整数N ,先求出不超过 N 的所 有素数, 若这些素数都不能整除N , 则N 为素数, 否 则N 为合数.
11
三 素数 算术基本定理
定理1(算术基本定理) 任一整数n( n 1)都可 以表成素数的乘积.且在不考虑乘积次序的情况 下,表达式是唯一的.即 n p1 p2 ps , 其中pi 是素数, 且若 n q1 q2 qt , q1 q2 qt 其中q j 是素数. 则s t , pi qi , 1 i s p1 p2 ps
第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件
规律：余数－除数－被除 数－忽略
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法实现
2020/10/3
算 法 gcd(a,b) :
r0 a ; r1 b ; m 1
w h ile
rm 0
do
qm
rm 1 rm
rm 1 rm 1 q m rm
m m 1
r e tu r n (q 1, q 2 ,..., q m , rm ) c o m m e n t : g c d (a , b ) rm
2020/10/3
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
2020/10/3
素数个数定理及证明
3.素数个数定理（1）： 素数的个数是无限的
证明：反证法 假设正整数个数是有限的，设为p1,p2,…..,pk 令：p1p2…pk+1=N (N>1) 则N有一个素数p，且p≠pi（i=1,2,…,k). 故p是上述k个素数外的另外一个素数。 因此与假设矛盾。 原因： （1）N（N>1）的除1外的最小正因数q是一个素数 （2）如果q=pi，（i＝1,2,…,k), 且q|N，因此q|(N2020/10/3 p1p2,…..pk)，所以q|1，与q是素数矛盾。
2020/10/3
模运算的除法运算及其性质
4.模运算的性质
（4）除法：相对复杂 如果：12x＝24，那么：3x＝8 如果：12x＝24（mod3），那么：3x＝8（mod3）？？？ 定理：设整数a，b，c，n（n≠0），gcd(a，n)＝1，如果
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欧拉函数求法
欧拉函数求法是数学中一种常用的求解某些定积分形式下分之
和的重要方法，它可以将一个复杂的定积分形式简化成一个简单的函数表达式，从而可以快速求得定积分形式的值。
欧拉函数求法最初是由拉格朗日在18th世纪早期提出的，尽管它最初被用于解决某些特殊的定积分形式，但是它在现代被广泛应用于求解各种定积分形式的值。
在数学中，欧拉函数求法是由一个特殊的函数表达式来表示定积分形式的值，它有很多不同的表达式形式，但是它们都有一个共同特点：它们都是一种可以将一个复杂的定积分形式转化为一个简单的函数表达式，从而可以很方便地求得定积分形式的值的函数。
此外，欧拉函数还可以用来求解某些无穷级数的极限，求解某些非线性微分方程组的解等等。
在用欧拉函数求解定积分的过程中，首先我们需要将定积分的形式化为一个分子部分和一个分母部分，而欧拉函数的表达式则是一种将这一形式转换为简单函数表达式的方法。
它通常以一个单独的函数或一组函数表达式来表示定积分，其中每个函数都是由一个分子部分和一个分母部分组成的。
每个函数的分子部分是一个函数的多项式，而分母部分则是一个函数的一般指数。
当用欧拉函数求解定积分形式时，首先要将它化为一个分子部分和一个分母部分，然后可以求出每个部分的值，最后将每个部分的值相乘，得到定积分形式的值。
对于较复杂的函数表达式，可以采用贝
塔（beta）函数和欧拉贝塔（Euler beta）函数来进行求解。
此外，欧拉函数求法还可以用来求解某些无穷级数的极限，求解某些非线性微分方程组的解等等。
其中，用欧拉函数求解无穷级数的极限则是求解无穷级数的一种重要方法，它将复杂的无穷级数转换到一种特殊的函数形式，这样就可以用它来求解无穷级数的极限值了。
除了以上这些求解定积分和极限值以外，欧拉函数求法还可以用来求解一些特殊椭圆型微分方程的解，它也可以用来求解特殊积分来求解特定的积分变换问题，在量子物理领域也有应用。
综上所述，欧拉函数求法是一种重要的求解某些定积分形式下分之和的重要方法，它可以将一个复杂的定积分形式简化成一个简单的函数表达式，从而可以快速求得定积分形式的值，此外它还可以用来求解某些无穷级数的极限，求解某些非线性微分方程组的解，以及求解一些特殊椭圆型微分方程的解和特殊积分来求解特定的积分变换
问题，在量子物理领域也有应用，可见欧拉函数的应用非常广泛，起着重要的作用。