小升初数学培优专题讲义全46讲(第1-12讲)
目录
第01讲简便计算（一） (01)
第02讲简便计算（二） (09)
第03讲简便计算（三） (17)
第04讲定义新运算 (25)
第05讲数的整除 (31)
第06讲比较数的大小 (38)
第07讲数论专题（一） (44)
第08讲数论专题（二） (49)
第09讲分数应用题（一） (59)
第10讲分数应用题（二） (65)
第11讲比的应用（一） (71)
第12讲比的应用（二） (78)
第1讲 简便计算（一）
1、考察范围：运算法则、定律、性质和公式。
2、考察重点：四则混合运算、交换律、结合律、分配律。
3、命题趋势：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
1、基本公式.
乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 加法交换律：a b b a +=+
乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 加法结合律：)(c b a c b a ++=++ 乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 2、去括号法则：
括号前面是加号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ++=++)( 括号前面是减号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a --=+-)( 括号前面是乘号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ÷⨯=÷⨯)( 括号前面是除号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a ÷÷=⨯÷)(
【例1】 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--÷-⎪⎭⎫ ⎝
⎛÷
+-⨯⨯09.05321323.11857.66.35
333.431
【变式练习】 1、
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯81584.0916.1527
考点解读
知识梳理
典例剖析
2、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯⨯+÷15.03.031125.63115.3
【例2】 47
5
759759975999
75
9999⨯++++
【变式练习】 1、
6
5
9999965999965999659965965+++++
2、2008200620001998199719961995++++++
【例3】 3115
1
157
÷
【变式练习】 1、20192018
1
2020
÷
2、6
55161544151433141⨯+⨯+⨯
【例4】2021
2020
2020
2020÷
【变式练习】 1、2013
2012
2012
2012÷
【例5】
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⨯
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++201812017120161201912018120171201611201912018120171201612018120171201611
【变式练习】 1、
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++9171513111191715131111191715131917151311
2、⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++
5141312151413111514131514131211
【例6】
1009
101020192018
10102019+⨯⨯+
【变式练习】 1、
2020
201820191
20202019⨯+-⨯
2、
143
1
38058419921991584204-
-⨯⨯+
A 、温故知新
1、()[]25.036.263.12.0242.3825.016.35÷--⨯÷+⨯
2、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-÷20725.22034431187125 3、5
4
4156766171833185⨯+⨯+⨯
4、()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯÷+837356999111 5、4
39999439994399439+++
课后精练
6、2005
2004
2004
2004200620032003÷+ 7、⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++51413121141315141312114131 8、
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++51413121615141312116151413121514131211
9、
2017
201520161
20172016⨯+-⨯
B 、拓展提升
1、（长郡系）
4
1
41312111
++++
2、（附中系）()()5
64561126129187125.025.05.0125.025.05.0⨯-+⨯⨯
⨯⨯÷++
3、（附中系）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
+711511311811611411211
4、（雅礼系）4
3
3141544151655161766171877181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
第2讲 简便计算（二）
1、考察范围：分数乘、除法计算法则。
2、考察重点：乘法交换律、结合律、分配律。
3、命题趋势：根据分子、分母的构成和数的特征，灵活运用运算法则、定律和性质，可以把一些较复杂的分数四则混合运算化繁为简，化难为易。
1、基本公式.
乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 2、分数乘法性质：
分数与整数相乘，分母不变，整数与分子相乘作分子； 两个分数相乘，分子的乘积作分子，分母的乘积作分母。
【例1】 625.04%5.62758
5+⨯-⨯
【变式练习】
1、14.03676.87.36⨯+⨯
2、314.01504.312.74314.3⨯+⨯+⨯
考点解读
知识梳理
典例剖析
【例2】 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯÷2141004321.411032475.32435348
【变式练习】
1、4
1666617907921333387⨯+⨯
2、⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+÷+⨯2-71394287935711923
【例3】 3334333322229999⨯+⨯
【变式练习】
1、37111197777⨯+⨯
2、363.654256
2555552345533⨯+÷+⨯
【例4】
43
5
87574315⨯+⨯
【变式练习】 1、
13
61851329513165⨯+⨯+⨯
2、
2
1315116715183157⨯+⨯+⨯
【例5】 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++
947511311698731
【变式练习】 2、⎪⎭⎫
⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+6597321951 2、⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯÷⨯⨯83259143
4375.036.175.4
【例6】
26
25242322216
.25.24.23.22.21.2++++++++++
【变式练习】 1、
45
27920124106253127
1891284642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
2、
134
1321318428.44.22.11391331318628.106.32.1⨯
⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯+⨯⨯
【例7】 200196200097⨯-⨯
【变式练习】
1、2004200220032003⨯-⨯
2、199419941992199319931994⨯-⨯
A 、温故知新
1、()%20126.674.35
4
-⨯+⨯
2、6.9595
395186.95-⨯-⨯
3、82.019989.18.1993798.19⨯-⨯-⨯
4、25.14.265
4
366.17411⨯+÷+⨯
课后精练
5、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛÷+⨯
-82.031
182.121738.615162.3321
6、36866662243333⨯+⨯
7、
11
774119551944117+÷+⨯
8、201520152016201620162015⨯-⨯
B 、拓展提升
1、⎥⎦
⎤⎢⎣⎡÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯35.1151424151429049904965.1207
9049
2、
63
49282814897449
21141464732÷÷+÷÷+÷÷÷÷+÷÷+÷÷
3、201320132011201220122012⨯-⨯
4、200720052003200620052004⨯⨯-⨯⨯
第3讲 简便计算（三）
1、考察范围：分数乘、除法计算法则。
2、考察重点：乘法性质。
3、命题趋势：熟练运用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便计算。
1、分数裂项公式. ①
11
1)1(1+-=+⨯n n n n
②
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+⨯a n n a a n n 111)(1
③
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-
+⨯=+⨯+⨯)2()1(1
)1(121)2()1(1n n n n n n n ④
a
b b a b b a a b a b a 1
1+=⨯+⨯=⨯+ ⑤
a
b
b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222 2、等差数列公式：
项数=（末项－首项）÷公差+1 和=（首项+末项）×项数÷2
【例1】
7
61651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
考点解读
知识梳理
典例剖析
【变式练习】 1、
10
91
981541431321211⨯-
⨯-⋅⋅⋅-⨯-⨯-⨯-⨯ 2、3
42
4528929102⨯+
⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯
【例2】
56
1
4213012011216121++++++
【变式练习】 1、
132
2
1102902722562422+
++++
2、72
1
8561742163015201412136121+++++++
【例3】
15
131
131111191971751751531⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
【变式练习】 1、
100
971
131011071741411⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯ 2、
46
415
161151165615⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯
【例4】
243
2
8122729232++++
小升初数学培优讲义全46讲—第20讲 年龄问题
第20讲年龄问题 考点解读 1、考察范围：年龄问题的灵活运用。 2、考察重点：能理解年龄问题的各种形式并熟练运用。 3、命题趋势：考察生活实际应用，重点要把握年龄差不变的概念。 知识梳理 年龄问题： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是变化的。 关键问题： 根据题目中的条件确定并求出单一量，年龄差不变。 解题方法： ①利用年龄差不变，如果有倍数关系就利用差倍问题求解； ②一般情况下利用方程求解； ③部分题目可以用“抓不变量”解题的方法（差不变）。 典例剖析 【例1】小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？ 【变式练习】 1、今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的年龄是妈妈的一半？ 2、小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？
【例2】今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，再过8年，张老师的年龄是小华的3倍，小华今年多少岁？ 【变式练习】 1、前年，父亲的年龄是儿子的4倍；后年，父亲的年龄是儿子的3倍。父亲今年多少岁？ 2、2003年爷爷的年龄是孙子年龄的10倍，再过12年，爷爷的年龄是孙子年龄的4倍，那么2020年孙子多少岁？ 【例3】小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？
【变式练习】 1、小英比小明小3岁，今年他们的年龄之和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄之和就等于老师的年龄，今年小英多少岁？ 2、父亲与两个儿子的年龄之和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？ 【例4】父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子今年11岁，多少年后，父母的年龄之和是儿子年龄的4倍？ 【变式练习】 1、今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小玲8岁，多少年后大华、大明的年龄之和的2倍等于小芬、小玲年龄之和的3倍？
小升初数学培优讲义全46讲—第42讲 圆柱与圆锥
第42讲 圆柱和圆锥 1、考察范围：①圆柱的表面积和体积公式；②圆锥的表面积和体积公式；③圆柱与圆锥的比；④立体图形的切割。 2、考察重点：能灵活运用圆柱体和圆锥体的表面积与体积公式解决问题。 3、命题趋势：主要以圆柱体和圆锥体的表面积与体积计算为主，并结合比的应用来进行考察。 圆柱与圆锥的特征与基本公式： 名称 图形 特征 字母意义 表面积S 、体积V 圆柱 有三个面，上下两个底面是相等的两个圆，侧面展开是一个长方形或正方形。这个长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱的高。两个底面之间的距离叫做圆柱的高，高垂直于上下两个底面，圆柱有无数条高。 r —底面半径 h —高 c —底面周长 r c π2= h r h c S ??=?=π2侧 2r S ?=π底 底侧表S S S 2+= 2 22r rh ππ+= h r h S V 2π=?=底 圆锥 有两个面，底面是圆，侧面展开是 一个扇形。圆锥只有一个顶点，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。圆锥只有一条高。 r —底面半径 h —高 c —底面周长 h r h S V 231 31π==底 【例1】已知一根圆柱体木料长4米，如果把它锯成3段，表面积就会增加12平方分米， 这根木料的体积是 立方分米。如果锯成3段用了3分钟，那么把它锯成6段要 分钟。 考点解读 知识梳理 典例剖析
【变式练习】 1、把一个底面周长是18.84分米，高4分米的圆柱，沿底面直径切成两个半圆柱后，表面积共增加了平方分米。 2、一根2米长的圆柱体木材，锯成3段小圆柱后，它的表面积总共比原来增加了12.56平方分米，原来这根木材的体积是多少？ 【例2】一个正方形木块的棱长是2dm，现在把它削成一个最大的圆柱，该圆柱的侧面积是，圆柱的体积占原来正方体体积的 %. 【变式练习】 1、把棱长2分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？
小升初数学培优讲义全46讲—第40讲 容斥原理
第40讲 容斥原理 1、考察范围：AB 、ABC 类型。 2、考察重点：求三者公共区域数，总数。 3、命题趋势：一般出现在填空题后面几道，大题选考。 容斥问题：有重复包含关系的问题。 容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。 1、两种量的容斥原理问题 如果被计数的事物有A 、B 两类，那么， A 类B 类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数。 即A ∪B = A+B - A ∩B 2、三种量的容斥原理问题 如果被计数的事物有A 、B 、C 三类，那么， A 类和B 类和C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数。 即A ∪B ∪C = A+B+C - A ∩B - B ∩C - C ∩A + A ∩B ∩C 考点解读 知识梳理 典例剖析
【例1】在1-30的自然数中，是2的倍数或者3的倍数的数共有多少个？ 【变式练习】 1、在1-200的自然数中能被3或5整除的数有多少个？ 【例2】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组。其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人？ 【变式练习】 1、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂俄语的有20人，那么懂俄语的教师有多少人？ 2、一个班有36个学生，在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，那么两题都不对的有多少人？
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第1讲 整数和小数第1讲 整数和小数(原卷)
提高版（通用） 2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第1讲整数和小数 知识精讲 知识点一：整数 1.整数的意义和分类：像-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称为（整数）。整数分为正整数、0、负整数（整数也可以分为自然数和负整数） 【提示】0既不是正数，也不是负数 2.整数的读法：读一个多位数，从高级到低级，一级一级地读。每级都按照个级的读法来读，读亿级、万级时，必须加上“亿”字或“万”字。每级末尾的“0"都不读，其他数位有一个或连续几个“0"的都只读一个零。（读数时，可以先画出分级线，再读数，这样可以快速、准确地读出一个多位数 3.整数的写法：写数时，按从高位到低位的顺序，一级一级地写。亿级和万级都按个级的写法来写。哪个数位上一个单位也没有，就在那一位上写0（写完后，画上分级线检查，每一级都只能写四位，不要多写或少写0） ４.整数的大小比较: ○1比较两个整数的大小，首先数一下多位数的位数，位数多的大于位数少的○2如果位数相同，就比较最高位，最高位上的数大的那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。 ５．整数的改写和近似数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 （１）数的改写： ①把整万、整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数：把万位或亿位后面的4
个0或个0去掉，换成一个“万”字或“亿”字就可以了 ②把非整万、整亿数改写成用“万”或“化”作单位的数：先把原数的小数点向左移动4位或8位（小数部分末尾是0的要划掉），再在数的后面写上“万”字或“亿”字，中间用“=”连接 （２）近似数：省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数，再在数的后面写上“万”或“亿”字，中间用约等号连接 【提示】近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。 ａ.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是４或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是５或者比５大，就把尾数舍去，并向它的前一位进１。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。 ｂ.进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进1。这种求近似数的方法，叫做进一法。 ｃ.去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。 知识点二：小数 1.小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示。一位小数表示十分之儿，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…. 2.小数的计数单位： 整数部分 小 数 点 。小数部分 …亿级万级个级 数位… 千 亿 位 百 亿 位 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计数单位千 亿 百 亿 十 亿 亿千 万 百 万 十 万 万千百十个十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 万 分 之 一 3.小数的分类：按小数部分的不同情况小数可分为有限小数和无限小数 ①有限小数：小数部分的位数是有限的.例如：134.56，9.001，2.222是有限小
小升初数学培优讲义全46讲—第16讲 倒推法解题
第16讲 倒推法解题 1、考察范围：加法、减法、乘法、除法的逆运算。 2、考察重点：倒推运算。 3、命题趋势：对较复杂的还原问题，可借助画图和列表的方法从后往前进行倒推运算。以填空和解答题居多。 1、一般方法 运用加法、减法、乘法、除法的意义进行逆运算，对较复杂的还原问题，可借助画图和列表的方法从后往前进行倒推运算。 【例1】一个数的4倍减去4的差，再乘以4，再除以4得4，这个数是 。 【变式练习】 1、一个数的2倍加上4，再乘以4，再除以4得74，这个数是 。 2、一个数的60%与4的差为6，这个数是 。 【例2】 一个分数的分母扩大到原来的4倍，分子缩小到原来的31后是60 13，这个分数原来是 。 考点解读 知识梳理 典例剖析
【变式练习】 1、小强在计算一道分数除法题时，把一个数除以32看作乘以32结果算出来的答案是27 8，那么这道题的正确答案是 。 2、一个分数的分母加上2，分子减去2，所得新分数的分子与分母的差是123，约分后为49 8 ，则原来的分数是 。 【例3】 一筐鸡蛋第一次卖出全部的一半多2个，第二次卖出余下的一半少2个，这时还剩下28个，这筐鸡蛋一共有多少个？ 【变式练习】 1、一根铁丝第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩下5米，这根铁丝原来有多少米？
2、修一条路，第一天修了全长的31还多3千米，第二天修了余下的4 1 少2千米，第三天修了余下的 5 1 还多1千米。这样还剩下15千米没有修完。求这条路的长度？ 【例4】 小华拿出自己的画片的 51给小强，小强再从自己现有的画片中拿出4 1 给小华，这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？ 小强 小华 最后的张数 12 12 小强拿出 41 给小华之前的张数 =-÷)4 1 1(12 小华拿出5 1 给小强之前的张数 原来的张数 【变式练习】 1、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出 31给乙桶后，又从乙桶中倒出5 1 给甲桶，这时两桶油都是48千克，原来甲桶中有多少千克油？ 甲桶 乙桶 最后的重量 48 48 乙桶拿出 51 给甲桶之前的重量 甲桶拿出3 1 给乙桶之前的重量 原来的重量
小升初数学培优专题讲义全46讲(第1-12讲)
目录 第01讲简便计算（一） (01) 第02讲简便计算（二） (09) 第03讲简便计算（三） (17) 第04讲定义新运算 (25) 第05讲数的整除 (31) 第06讲比较数的大小 (38) 第07讲数论专题（一） (44) 第08讲数论专题（二） (49) 第09讲分数应用题（一） (59) 第10讲分数应用题（二） (65) 第11讲比的应用（一） (71) 第12讲比的应用（二） (78)
第1讲 简便计算（一） 1、考察范围：运算法则、定律、性质和公式。 2、考察重点：四则混合运算、交换律、结合律、分配律。 3、命题趋势：根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 1、基本公式. 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 加法交换律：a b b a +=+ 乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯ 加法结合律：)(c b a c b a ++=++ 乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 2、去括号法则： 括号前面是加号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ++=++)( 括号前面是减号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a --=+-)( 括号前面是乘号时，去掉括号，括号内的符号不变：c b a c b a ÷⨯=÷⨯)( 括号前面是除号时，去掉括号，括号内的符号改变：c b a c b a ÷÷=⨯÷)( 【例1】 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--÷-⎪⎭⎫ ⎝ ⎛÷ +-⨯⨯09.05321323.11857.66.35 333.431 【变式练习】 1、 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯81584.0916.1527 考点解读 知识梳理 典例剖析
小升初数学培优讲义全46讲—第06讲 比较数的大小
第6讲 比较数的大小 1、考察范围：分数与小数的大小比较。 2、考察重点：异分母分数大小比较，分数小数百分数之间的转化。 3、命题趋势：多以选择填空为主，考察分数、小数之间的大小比较。 1、常用方法. ★同分母的分数，分子越大，分数值越大。同分子的分数，分母越大，分数值越小。 ★异分母的分数，先通分母，再运用同分母分数大小比较的方法。（或通分子） ★分数、小数、百分数之间比较大小，可统一转化成分数或小数进行比较。 ★分子和分母差一定时，分子或分母越大的分数，其值越大。 2、特殊方法. ★基准数法：确定一个标准，使所有分数都和它比较。 ★着商法：用一个数除以另一个数，把得数和1进行比较。 ★着差法：用一个数减去另一个数，把得数和0进行比较。 ★倒数法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。 【例1】 在1912，2315，9760三个数中，最大的是 ，最小的是 。 【变式练习】 1、把下面几个数按照从大到小的顺序排列：95，1910，3715，61 30。 2、把下面几个数按照从大到小的顺序排列：74，116，178，2312，53 24。 考点解读 知识梳理 典例剖析
【例2】 把下面几个数按照从小到大的顺序排列：53，1，85，π，14.3，7 22。 【变式练习】 1、某超市有甲、乙、丙三种餐巾纸，甲种1元钱3包，乙种2元钱5包，丙种3元钱8包， 种纸每包价格最贵。 2、已知10＜＜x ，将x ，x 1，2x 按从小到大的顺序排列。 【例3】 比较1666333=A 和166 33=B 的大小。 【变式练习】 1、比较7777777和77777 7777的大小。
小升初培优讲义1 整数和小数--2022-2023六年级一轮复习(知识点精讲+达标检测)(学生版)
专题1 整数和小数 1.数的分类。 2.整数的意义。 像…， - 3， - 2， - 1，0，1，2，3，…这样的数统称为整数。没有最小的整数，也没有最大的整题。整数的个数是无限的。 3.正整数和负整数的意义。 像1，2，3，…这样的数叫作正整数；像 - 1， - 2， - 3，…这样的数叫作负整数。最小的正整数是1，没有最大的正整数；最大的负整数是 - 1，没有最小的负整数。 4.自然数的意义。 用来表示物体个数的0，1，2，3，4，5，…叫自然数。1是自然数的基本单位，除0以外，每个自然数都是由若干个1组成的。0是最小的自然数，没有最大的自然数。一个自然数有两个方面的意义:一是用来表示事物的多少，称为基数；二是用来表示事物的次序，称为序数。例如:“5个鸡蛋”中的“5”是表示事物的多少，是基数；“第5排”中的“5”就是序数。 5.正数和负数的意义。 像16， + 4 9 ，0.65，…这些大于0的数叫作正数；像 - 18， - 0.9， - 60，…这些小于0的数叫作负数。 “ - ”叫负号。0既不是正数，也不是负数。 【小提升】0的作用：①表示起点，如直尺上的0；②占位作用；③作为界限，如“零上温度与零下温度的分界”；④表示没有。 6.小数的意义。 把整数“1 ” 平均分成10 份、100份、1000份…这样的一份或几份可以用知识梳理
分母是10、100、1000…的分数来表示，也可以用小数来表示。 7.小数的分类。 （1）纯小数和带小数:整数部分是0的小数叫作纯小数，纯小数小于1；整数部分不是0的小数叫作带小数，带小数大于1。 （2）有限小数和无限小数:小数部分的位数是有限的小数，叫作有限小数；小数部分的位数是无限的小数，叫作无限小数。如4.28是有限小数，π是无限小数。 （3）循环小数:一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫作循环小数。循环小数都是无限小数。 （4）循环节:在一个循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。 （5）纯循环小数和混循环小数:循环节是从小数部分第一位开始的，叫作纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫作混循环小数。如 1.555…是纯循环小数，8.0464646…是混循环小数。 【小提升】纯小数小于带小数。有限小数可能比无限小数大。 【例1】有一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上是最小的质数，百位上是最小的奇数，其他各位上都是最小的自然数，这个数写作（），读作（），把这个数改写成以“万”作单位的数是（），省略亿位后面的尾数约是（）。 1.据统计2020年，端午假期共有四千八百八十万九千三百人出游。横线上的数写作（） 例题精讲 举一反三
小升初数学培优讲义全46讲—第14讲 方程的应用
第14讲 方程的应用 1、考察范围：用未知数表示各个量之间的关系。 2、考察重点：灵活运用等量关系列方程，利用等式的性质解方程。 3、命题趋势：代数法解题在近年的考试中应用很广泛，可以应用到很多专题中。 1、列方程解应用题的一般步骤 ①审：审题，找到题中的已知量和未知量，并明确各数量之间的关系。 ②设：设未知数。一般情况问什么设什么。少数题目要间接设未知数。 ③找：找到题中的数量关系，并用式子表达出来。 ④列：根据等量关系列出方程。 ⑤解：解出所列方程。 ⑥答：检验并作答。 2、找等量关系的方法： ①分析题中的不变量，利用不变量找等量关系。 ②利用“总量=各分量之和”寻找等量关系。 ③用不同的方式表示同一个量，找等量关系。 ④从关键词入手，如：“多、少、快、慢、共、提高、增加、超过、减少、倍、几分之几”等，找等量关系。 【例1】一个数的2倍减去34与23的积，差是72，这个数是多少？ 【变式练习】 1、一个数的60%加上5 4 4，和是10.8，求这个数？ 考点解读 知识梳理 典例剖析
2、一个数的 5 3 比这个数的75%少36，这个数是多少？ 【例2】 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲零件比乙零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有 5 4 合格，两种零件合格的共有42个，求两种零件各生产了多少个？ 【变式练习】 1、某校数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的4 3 得优，男、女生一共有42人得优，求男、女生参数的各有多少人？ 2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中5 2 是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
小升初数学培优讲义全46讲—第10讲 分数应用题(二)
第10讲 分数应用题（2） 1、考察范围：把不变量看成单位“1”，将已知条件转化，再列式计算。 2、考察重点：把不变量看成单位“1”来解决实际问题。 3、命题趋势：题型多样，可融入到工程问题、行程问题中，是小升初考试的常考题型。 1、找准单位“1”，在同一个单位“1”下，才能用公式：单位“1”×分率＝部分量，部分量÷分率＝单位“1”. 2、把不变量看成单位“1”，将已知条件转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再按公式列式解答. 【例1】小华看一本书，每天30页，4天后还剩下全书的 5 2 没看，这本书有 页。 【变式练习】 1、库房有一批货物，第一天运走 5 1 ，第二天比第一天多运8吨，还剩下这批货物总重量的25 14 ，这批货物有多少吨？ 考点解读 知识梳理 典例剖析
2、小军用10天时间看完一本书，每天看了这本书的 11 1 还多3页，这本书共有多少页？ 【例2】 修一条公路，甲队修了全长的3 1 ，乙队和丙队修路的比是5:3，已知甲队比乙队多修24米，这条公路全长多少米？ 【变式练习】 1、一段铁丝，第一次剪下全长的 9 5 ，第二次剪下的长度与第一次剪下的长度的比是20:9，还剩下7米，这段铁丝全长 米。 2、修路队修一条公路，已修的和未修的比是3:1，又修了300米后，已修的占占这条路的2 1 ，这条公路长多少米？
【例3】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的7 5 ，如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的 5 4 ，甲、乙两班原来各有多少人？ 【变式练习】 1、某车间原有工人240人，其中女工占12 7 ，后又调进女工 名，这样女工人数占总数的60%。 2、两桶油共重130千克，从甲桶取出25%倒入乙桶后，甲桶相当于乙桶的7 6 ，甲、乙两桶原来各有油多少千克？ 【例4】 商场有一批货，第一天运走了总数的30%，第二天运的比总数的4 1 少4吨，这时还剩下31吨，这批货物共有多少吨？
小升初数学培优专题讲义全46讲
小升初数学培优专题讲义全46讲 小升初数学培优专题讲义全46讲 尊敬的家长们，各位同学： 大家好！为了帮助孩子们顺利完成小升初的数学学习，我们特别策划了一系列的数学培优专题讲义，共计46讲。本讲义旨在通过系统性的讲解和练习，提升孩子们的数学思维能力和解题能力，为即将到来的小升初考试做好充分的准备。 一、数与计算 1、整数、小数和分数的概念及相互转化 2、四则运算的规则和方法 3、数的估算和精确计算 4、百分数、比例和利率的概念及计算方法 二、空间与图形 1、平面图形的基本特征和周长、面积的计算 2、立体图形的基本特征和体积、表面积的计算 3、图形的平移、旋转和对称的概念及作图方法
4、观察物体、几何图形的位置和方向 三、统计与概率 1、统计图表（柱状图、折线图、饼状图等）的读图和制图 2、数据分析和处理的方法 3、事件发生的可能性和概率的计算 4、抽样调查和普查的方法及应用 四、应用题 1、年、月、日等时间应用题 2、速度、路程、时间等行程应用题 3、数量关系应用题（如价格、浓度、年龄等） 4、综合应用题（如几何、代数、统计等） 五、思维拓展 1、逻辑推理问题 2、数字规律问题 3、最优化问题
4、一题多解问题 六、实践与创新 1、数学在实际生活中的应用 2、数学问题的多元解决方法 3、数学游戏和数学建模的体验与实践 4、创新思维和问题解决能力的培养 七、考试攻略 1、小升初数学考试的内容和形式分析 2、答题技巧和策略的讲解与演练 3、真题解析和模拟测试的训练 4、考试心态和应对方法的指导 希望通过这一系列的数学培优专题讲义，孩子们可以全面提升自己的数学素养，为即将到来的小升初考试做好充分的准备。同时，我们也希望家长们能够给予孩子们足够的支持和鼓励，共同陪伴孩子们度过这段关键的成长阶段。 最后，感谢各位家长和同学们的参与和支持。我们相信，在大家的共
小学数学小升初快乐思维冲刺讲义-第12讲-立体几何 全国通用
第12讲立体几何 三视图 例题1有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，请画出左视图、俯视图和前视图． 例题2 例题3 例题4 例题5 例题6 例题7一个立体图形，从前面、上面、右边三个方向看到的图形都如图所示，是一样的，那么该立体图形最多由块小立方体组成． 例题8 例题9 例题10 例题11 基本图形计算 例题12小高家有一个圆柱形鱼缸，底面半径20厘米，水面高20厘米．一天，小高为了装饰鱼缸，买了一块雨花石放到鱼缸里（石头完全被水淹没），结果水面高度变为205厘米．那么这块雨花石的体积是立方厘米．（л取314） 例题13 例题14 1
例题16 例题17 例题18正方体的边长是20厘米，长方体的长为30厘米，宽为15厘米．如果正方体的表面积与长方体的表面积相同，那么长方体的高是________厘米． 例题19 例题20 例题21 例题22 例题23 例题24将棱长为5的大正方体切割成125个棱长为1的小正方体．这些小正方体的表面积总和是原大正方体表面积的_________倍． 例题25 例题26 例题27 例题28 例题29 例题30如图是一个宝箱的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．则这个宝箱的表面积为________，体积为________． 例题31 例题32 例题33
例题35 例题36右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于． 例题37A．3 B．4 C．5 D．6 例题38 例题39 例题40 例题41 例题42 例题43 例题44如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将三角形ABC绕AC旋转一周，求三角形ABC扫出的立体图形的体积．π=314 例题45 例题46 例题47 例题48 例题49 例题50如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1 3 ，乙容器中水的高度是锥高 的2 3 ，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？ 甲 乙 C B A 3
小升初数学培优讲义全46讲—第12讲比的应用（二）
小升初数学培优讲义全46讲—第12讲比的应用（二） 第12讲比的应用（2） 考点解读 1、考察范围：比与分数、除法之间的关系及三者之间的相互转化，结合转化单位“1”。 2、考察重点：比与分数、除法之间的关系及三者之间的相互转化。 3、命题趋势：运用比的性质解决实际的一些问题，是小升初考试的常考题。 知识梳理 1、结合单位“1”来解决比的应用题，注意两者之间的区别于联系。 2、抓住不变量解题。 典例剖析 【例1】甲、乙两个书架上书的数量之比是3：2，如果从甲书架上10本书放入乙书架后，甲、乙两个书架上书的数量之比变为8：7，那么两个书架上共有多少本书？ 【变式练习】 1、甲、乙两名同学的考试分数之比是5：4，如果甲少得20分，乙多得20分，则他们的分数比是5：7，甲、乙原来各得多少分？ 2、某年级原有男生和女生人数之比是3：5，后来与某校合作，送走 60名女生并从该校调 来60名男生进行学习交流， 这时男生人数是女生人数的 11 9 ，则该年级原来一共有多少人？【例2】图书馆里有一些学生在看书，男生与女生的人数之比是4：3，后来又来了6名女 生看书，这时男生与女生人数之比变成了
8：9，请问原来一共有多少名学生在看书？ 【变式练习】 1、航模兴趣小组原来男生与女生的人数之比是4：3，后来又增加了 2名男生，这时男生人 数正好是现在全组人数的 5 3。原来航模小组有多少人？ 2、教室里女生占总人数的9 4 ，后来又进来2名女生，使得女生所占比例上升为 19 9 ，现在教室里有多少人？ 【例3】高中生人数是初中生人数的6 5，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的4 3，初中 毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是 520人，那么高、初中毕业生共有多少人？ 【变式练习】 1、张家和李家本月收入的钱数之比是8：5，本月开支的钱数之比是 8：3，月底张家结余 240元，李家结余 510元。则本月张家收入 元，李家收入 元。 2、兄弟两人，每年收入之比是4：3，每年支出之比是18：13，从年初到年底，他们都结余 720元。他们每年的收入各是多少？
小升初数学培优讲义全46讲—第24讲牛吃草问题
小升初数学培优讲义全46讲—第24讲牛吃草问题 第24讲牛吃草问题 考点解读 1、考察范围：图示、图表或类推法解决问题。 2、考察重点：主要考察学生的分析能力。在变量中抓住两个不变量。 3、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训练数学思维能力有重要的作用。 知识梳理 一、“牛吃草问题”涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随时间的增长，草也在按均匀的速度增长，所以，草的总量不固定。 二、解“牛吃草问题”的主要依据： ①草每天的生长量不变； ②每头牛每天的吃草量不变； ③草的总量＝草场原有的草量＋新生长出的草量。（草场原有草量是一个固定值） ④新生的草量＝草每天的生长量×天数 三、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： ①设定1头牛1天的吃草量为“1”； ②草的生长速度＝（对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数－较少天数）； ③原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； ④吃的天数＝原来的草量÷（牛的头数－草的生长速度）； ⑤牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度。 “牛吃草问题”有很多的变型，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草问题”的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
典例剖析 【例1】一片草地以均匀的速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃多少天？ 【变式练习】 1、一片草地以均匀的速度增长，27头牛可以吃6周，23头牛可以吃9周，那么21头牛可以吃多少周？ 2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？ 【例2】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3消失淘完；如果5人淘水，8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【变式练习】 1、一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时已经进了一些水。如果12人舀水，3小时舀完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在想要2小时把水舀完，需要多少人？ 2、有一口水井，连续不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果用5台抽水机，20分钟可以抽完。现在12分钟要把水抽完，需要几台抽水机？ 3、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需要30分钟，若同时开6个检票口则需要20分钟，如果要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口？ 【例3】有一片牧场上面的草每天均匀生长。它可以供9头牛吃12天，或者供8头牛吃16天。如果开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃完所以的草。那么增加了多少头牛？ 【变式练习】 1、有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假
小升初数学培优讲义全46讲—第33讲 火车过桥问题
第33讲火车过桥问题 考点解读 1、考察范围：①火车过桥问题的公式以及与相遇、追及问题之间的联系；②火车过桥问题的四种题型。 2、考察重点：结合相遇与追及的知识以及火车过桥问题的公式解决火车过桥问题的四种题型。 3、命题趋势：近年来火车过桥问题只有少部分名校考得较多，多数学校考察较少，分值处于中间地位。 知识梳理 火车过桥问题的几种情况 ①车与桥：火车过桥（隧道）是指火车全车通过桥梁，即从车头上桥到车尾离开的过程。火车过桥的总路程是桥长加上车长，这是解决此类问题的关键。火车过桥问题也要用到一般行程问题的数量关系。 过桥总路程＝火车车长＋桥长车速＝（火车车长＋桥长）÷过桥时间 桥长＝车速×过桥时间－火车车长过桥时间＝（火车车长＋桥长）÷车速 ②车与人：由于人身体的长度和大桥相比可以忽略不计，所以火车从人（或路灯、树等）身旁通过时我们可以根据行程问题中的相遇、追及公式变形为： A、火车和人相遇：路程和＝火车车长速度和＝车速＋人速 相遇时间＝路程和÷速度和＝火车车长÷（车速＋人速） B、火车和人追及：路程差＝火车车长速度差＝车速－人速 追及时间＝路程差÷速度差＝火车车长÷（车速－人速） ③车与车：火车与火车的相遇、追及问题可以根据行程问题中的相遇、追及公式变形为： A、车和车相遇：路程和＝甲车长＋乙车长速度和＝甲车速＋乙车速 相遇时间＝路程和÷速度和＝（甲车长＋乙车长）÷（甲车速＋乙车速）B、车和车追及：路程差＝快车长＋慢车长速度差＝快车速－慢车速 追及时间＝路程差÷速度差＝（快车长－慢车长）÷（快车速－慢车速） ④错车：分为齐头并进与齐尾并进： A、齐头并进：路程差＝快车车长速度差＝快车速－慢车速 错车时间＝路程差÷速度差＝快车车长÷（快车速－慢车速） B、齐尾并进：路程差＝慢车车长速度差＝快车速－慢车速 错车时间＝路程差÷速度差＝慢车车长÷（快车速－慢车速）
小升初数学培优讲义全46讲—第21讲 最大与最小问题
第21讲最大与最小问题 考点解读 1、考察范围：研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值问题。 2、考察重点：①年龄和固定，求最大年龄问题；②钥匙开锁问题；③近似数求准确数。 3、命题趋势：目前，各名校针对最值问题都是很重视的，但考察难度和题型各有侧重。 知识梳理 基本结论： ①在周长相等的n边形中，正n边形的面积最大； ②在周长相等的平面图形中，圆的面积最大； ③在棱长和相等的长方体中，长、宽、高相等的长方体（即正方体）的体积最大。 ④在表面积相等的立体图形中，球体的体积最大； ⑤两个数的和一定，那么当两个数的差最小时，他们的积最大； ⑥两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，他们的和最小。 解题方法： 解决最大与最小问题，往往从极端情形入手，采用实验、估计、归纳、构造等不同方法，或枚举比较、分析推理等途径思考问题。 典例剖析 【例1】小明骑在牛背上赶牛过河，每次最多骑一头牛，赶一头牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。那么小明要把这四头牛都赶到对岸，最少需要多少分钟？
【变式练习】 1、小强、小明、小红、小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥，直到4人都通过小木桥，已知小强单独过桥要1分钟，小明单独过桥要1.5分钟，小红单独过桥要2分钟，小蓉单独过桥要2.5分钟，那么4个人都通过小木桥最少要多少分钟？ 2、母亲节那天，小芳的爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上一份特别的礼物。她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉。她估计了一下时间，洗米要3分钟，蒸大米饭要20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟，你知道小芳是怎样最合理安排时间使做好这顿饭所用的时间最少吗？ 【例2】一把钥匙只能开一把锁，现有7把钥匙和7把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最多要试几次才能配好全部的钥匙和锁？
小升初数学培优讲义全46讲—第26讲 经济利润问题
第26讲 经济利润问题 1、考察范围：经济利润问题所有公式。 2、考察重点：理解公式并能够灵活运用成本（进价）、标价（期望价）、售价（成交价）、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的关系解题。 3、命题趋势：本节考察利用成本、售价、利润之间的关系进行计算，有时需要结合方程。 基础公式： 售价＝成本＋利润 利润率＝%100 成本 利润 由上面的基础公式变形可以得到我们常用的两个解题公式 售价＝成本×（1+利润率） 成本＝售价÷（1+利润率） 【例1】商店出售一种商品，进货时120元5件，卖出时180元4件，那么商店要盈利4200元必须卖出多少件该商品？ 【变式练习】 1、商店出售一种牙膏，进货时50元4支，卖出时50元3支，那么商店要盈利400元必须卖出多少支牙膏？ 考点解读 知识梳理 典例剖析
2、明明去买酸奶，同一品牌两种规格酸奶的售价情况如下：包装为125克的，每瓶9元；包装为170克的，每瓶12元，他买哪种规格的酸奶比较合算？为什么？ 【例2】体育用品商店以每个40元的价格购进一批足球，以每个50元的价格卖出，当卖掉这批足球的90%时，不仅收回了成本，还获利800元，这批足球一共有多少个？ 【变式练习】 1、商店购进一批钢笔，以每支9.5元的价格出售，第一星期卖出了总数60%，这时还差84元就可以收回全部成本，又过了一个星期全部售出后，总共获利372元，这批钢笔的进货价每支多少元？ 2、商店以每副30元的价格购入一批羽毛球拍，又以每副40元的价格出售，当剩下80副时，除已经收回购入成本外还赚了100元，这批羽毛球拍共有多少副？
【例3】某商场今天卖出男、女皮衣各一件，现在都是990元，其中女士皮衣款式漂亮赚了10%，男士皮衣款式陈旧赔了10%，今天卖出这两件皮衣是赚钱还是赔钱？若是赚钱，赚了多少？若是赔钱，赔了多少？ 【变式练习】 1、某商店同时卖出两件商品，每件各得30元。其中一件盈利10%，另一件亏本20%。这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？ 【例4】某商场在促销活动中，讲一批商品降价处理，如果按定价降低15%出售，可盈利150元，如果按定价降低20%出售，那么亏损120元，次商品的进价是多少元？ 【变式练习】 1、某商品由于季节变换降价出售，，如果按现价降价10%，仍可盈利18元，如果按现价降价20%出售，就要亏损24元，这件商品的进价是多少元？
1-6年级 四年级奥数培优教程精编讲义 第01讲-寻找规律(教师版)
第01讲寻找规律 教学目标 发现排列规律，并依据规律填写数字或算式。 知识梳理 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律： 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： 1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。 典例分析
考点一:发现数列规律 例1、填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（），（） （2）1，2，4，7，11，（），（） （3）2，6，18，54，（），（） 【解析】（1）前一个数加上3就等于后一个数，也就是相邻两个数的差都是3.根据这一规律，可以后推知括号里填15和18. （2）第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，也就是每相邻两个数的差依次是1,2,3,4....，这样下一个数应比11大5，填16；再下一个数应比16大6，填22. （3）后一个数是前一个数的3倍，162和486 例2、找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15，2，12，2，9，2，（），（） （2）21，4，18，5，15，6，（），（） （3）3，4，7，3，4，10 , 3 , 4 ,13，（），（） （4）187，286，385，（），（） 【解析】（1）第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第5个数，第二、第四、第六个数不变。应填6,2. （2）第一个数减3是第三个数，第三个数减3是第5个数；第二个数加1是第四个数，第四个数加1是第六个数。应填12, （3）每三个为一组，每组中的前两个数都是3,4，每组的第三个数都等于前一组第三个数加上3的和。填3, 4，16（4）每个数十位上的数字8不变，百位上的数字依次是1,2,3....,个位上的数字依次是7,6,5.....，并且百位上的数字与个位上的数字的和是8，应填484,583 例3、1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？ 【解析】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21 上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
小升初数学讲义专题讲义15讲(基础+提高)
第一讲：四大重点全方位训练之一—计算与简算（1）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1第二讲：四大重点全方位训练之一—计算与简算（2）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4第三讲：解较复杂的方程‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥7第四讲：列方程解应用题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10第五讲：和差、和倍及差倍应用题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥12第六讲：算术法解分数应用题——玩转对应关系（1）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥14第七讲：算术法解分数应用题——玩转对应关系（2）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥17第八讲：算术法解分数应用题——玩转单位“1”‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20第九讲：经典分数应用题类型‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥23第十讲：工程问题（一）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥27第十一讲：工程问题（二）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30第十二讲：工程问题（三）‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥33 第十三讲：牛吃草问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥36第十四讲：行程中的相遇问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥38第十五讲：行程中的追击问题‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥41