【易错题】高考数学试题及答案
【易错题】高考数学试题及答案
一、选择题
1．123{3x x >>是12126{9
x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件 2．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7 4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）
A ．[]
6,63k k ππ+，k Z ∈ B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈
C ．[]6,63k k +，k Z ∈
D ．[]63,6k k -，k Z ∈ 5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A ．19
B ．29
C ．49
D ．718
6．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．
23 7．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线一定可以确定一个平面；
③若M α∈，M β∈，l αβ= ，则M l ∈；
④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ）
A 7
B 10
C 13
D ．4
9．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
10．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原
理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．43π
B ．83π
C ．163π
D ．203
π 二、填空题
13．曲线21y x x
=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．函数()22,026,0
x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．
15．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()
y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．
16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
17．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在
线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 18．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．
19．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3
αβ-=-，则cos β=_____． 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．
三、解答题
21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，
2CA CB CD BD ====.
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；
（3）求点E 到平面ACD 的距离．
22．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ;
（Ⅱ）若AB
6=,APB ADB ∠=∠=60°
,求四棱锥P ABCD -的体积． 23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,,2n n n a C n b *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N
25．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
2cos()
124
πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．
26．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14
AM AD =
，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.
()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明；
()2求二面角M EF D --的余弦值.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
试题分析：因为123
{3x x >>12126
{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213
{1x x ==满足12126
{9x x x x +>>，但
不满足123
{3x x >>，必要性不成立，所以选A.
考点：充要关系
2．C
解析：C
【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C.
考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B.
考点：集合的运算.
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[
6,6]()22
k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是
2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
5．C
解析：C
【解析】
试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369
p =
= 考点：古典概型的计算. 6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,
则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)=
=，故选C.
【点睛】
本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；
空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选A ．
8．A
解析：A
【解析】 本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．
9．B
解析：B
【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.
【详解】
根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.
所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
11．B
【解析】
根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×
20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人，
所以该班的学生人数是15÷
0.3=50. 本题选择B 选项.
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式．
【详解】
由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC ⊥底面ABC ，高为3SO =；
其中1OA OB OC ===，SO ⊥平面ABC ，
其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM x =，根据SM=MB 得到：在三角形MOB 中，21SM 3x x +=，213x x +=， 解得3x = ∴外接球的半径为33333
R ==； ∴三棱锥外接球的表面积为223164(3
S ππ=⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同
样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
二、填空题
13．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+
【解析】
设()y f x =，则21()2f x x x '=-
，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x
=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：
解析：2
【解析】
【详解】
当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点；
当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，
则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点，
所以共有2个零点．
故答案为：2．
【点睛】
判断函数零点个数的方法
直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的
曲线，且f (a )·
f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，
图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数
就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，
性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】
【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.
【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a ；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >， 综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小
解析：8
【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
17．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积 解析：
2918
【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得
12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.考点：平面向量的数量积.
18．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以
【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化
解析：1【解析】
【分析】
根据222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a .
【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，
由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+，，
【点睛】 （1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
19．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题
解析：50
【解析】
【分析】
先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值.
【详解】
由于α为锐角，且4cos 5α=，故3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3
αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故
cos β===50=. 【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
20．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为 解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x ， 解得51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 三、解答题
21．（1）见解析（2（3 【解析】
【分析】
（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知
CO ⊥BD ．在△AOC 中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；
（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME
中，11EM AB OE DC 1222=
===，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；
（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD 中，CA CD 2AD ===，
ACD 1S 2==，由AO ＝1，知2CDE 1S 2242=⨯=，由此能
求出点E到平面ACD的距离．
【详解】
（1）证明：连接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．
在△AOC
中，由题设知1
AO CO
==
，AC＝2，
∴AO2+CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，
∴AO⊥平面BCD．
（2）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME
中，
11
1
22
EM AB OE DC
====，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴
1
1
2
OM AC
==，
∴
1
11
cos OEM
+-
∠==
∴异面直线AB与CD
（3）解：设点E到平面ACD的距离为h．
E ACD A CDE
V V
--
=，
11
33
ACD CDE
h S AO S
∴=
．．．，
在△ACD中，2
CA CD AD
===
，，
∴
1
2
ACD
S ==，
∵AO＝1
，2
1
2
242
CDE
S=⨯
⨯=，
∴
1
7
CDE
ACD
AO S
h
S
⋅
==
=，
∴点E到平面ACD的距离为
7
．
【点睛】
本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．
22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ323 +
.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．
所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD内,且PH BD=H.所以AC⊥平面PBD.
故平面PAC⊥平面PBD.
（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC⊥6.
所以3
因为∠APB=∠ADR=600
所以6,HD=HC=1.
可得3
等腰梯形ABCD的面积为S=1
2
3
所以四棱锥的体积为V=1
3
x（33
323
3
+
考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．
23．（1）1
2
；（2）40；（3）选B款订餐软件.
【解析】
【分析】
⑴运用列举法给出所有情况，求出结果
⑵由众数结合题意求出平均数
⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定
【详解】
（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e
从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .
甲商家被抽到的情况如下：共10种．
{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，
记事件A 为甲商家被抽到，则()101202
P A ==. （2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为 150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.
（3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<
所以选B 款订餐软件．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．
24．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.
【详解】
(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩
，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .
其前n 项和()()02212n n n S n n +-⨯==-.
则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：
()()()()2
1112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
据此有：
()()()()()()()()2222121112121n n n n n
n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()
()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：
2n C ==<=<=， 则()()()
12210221212n C C C n n n ++
+<-+-++--= 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．（1）曲线C ：2
213
x y +=，直线l 的直角坐标方程20x y -+=
；（2）1. 【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ== 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线1l 参数方程，代入C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M 到A ，B 的距离之积
试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：2
213
x y +=
，
由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -
+=．
（2）直线1l 的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
代入2
213
x y +=化简得：2220t -=， 设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则121t t =-，
121MA MB t t ∴⋅==．
26．（1）见解析；（2）6.3 【解析】 【分析】 (1)根据线面平行的判定定理直接证明即可； （2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果.
【详解】
（1）PB 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则1124
BN BO BD ==， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB 中，有14
BN BD =，14
PM PD =
， MN PB ∴． PB ⊄平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB 平面MEF ；
（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE 与Rt CDF ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ，
则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．
可知PM PN ⊥，则在Rt MND 中，12PM PN ＝，=，则
22PM PN 3MN =+=．
在MND 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得
222623
MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为63
．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型.
【易错题】数学高考试题(带答案)
【易错题】数学高考试题(带答案) 一、选择题 1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ． 310 B ． 25 C ． 12 D ． 35 2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2 x y = C ．2y log x = D ．() 2 112 y x = - 3．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 4．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 5．已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 6．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2 {|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ?=（ ） A ．{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2- 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ． 54 钱 B ． 43 钱 C ． 32 钱 D ． 53 钱 8．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝ AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )
易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题
易错点17 双曲线易错点1：焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系： 易错点2：双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径； 易错点3：直线与双曲线的位置关系 （1）忽视直线斜率与渐近线平行的情况； （2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在 下进行）. 题组一：定义与标准方程 1．（2015福建理）若双曲线22 : 1916 x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 【答案】B 【解析】 由双曲线定义得，即，解得，故选B ． 2．（2019年新课标1卷）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ， B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则 C 的方程为( ) A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解答】∵22||2||AF F B =，∴23AB BF =， 又1||||AB BF =，∴|BF 1|＝3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2 a ， ∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝ 32 a ， 在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝ 1 a ， 1226PF PF a -==236PF -=29PF =
【易错题】高考数学试题及答案
【易错题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．123{3x x >>是12126{9 x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 2．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．[] 6,63k k ππ+，k Z ∈ B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈ C ．[]6,63k k +，k Z ∈ D ．[]63,6k k -，k Z ∈ 5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．49 D ．718 6．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ． 23 7．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l αβ= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A 7 B 10 C 13 D ．4 9．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 10．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原
【易错题】高考数学试卷(含答案)
【易错题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ． 310 B ． 25 C ． 12 D ． 35 2．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A ．23 B ．35 C ． 25 D ． 15 4．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4 3 y x =± B ．34 y x C ．35 y x =± D ．53 y x =± 5．函数()2 3x f x x +=的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称 6．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 2 D ．2 7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π = 对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π? ?=+ ?? ? B ．2sin 26y x π? ?=- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ??? D ．2sin 23y x π?? =- ?? ? 9．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
备战2023年高考数学考试易错题-易错点 一元二次不等式及一元二次方程
专题 一元二次不等式、一元二次不等式 易错知识 1．解分式不等式时要注意分母不能为零； 2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零； 3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭； 4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错； 5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系； 易错分析 一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错 1．不等式2x ＋1≤1的解集是________． 【错解】由 2x ＋1≤1得2 x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1 ≥0，得(x －1)(x ＋1)≥0，得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |xx ≤－1或x ≥1}． 【错因】因为x ＋1为分母，所以x ＋1不等于零。 【正解】由 2x ＋1≤1得2 x ＋1－1≤0，得2－x －1x ＋1≤0，得x －1x ＋1 ≥0，得x －1＝0或(x －1)(x ＋1)>0，得x ＝1或x <－1或x >1，得x <－1或x ≥1，所以原不等式的解集为{x |x <－1或x ≥1}． 二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错 2.若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，＋∞) C ．(－2,2] D ．[－2,2] 一元二次不等式、一元二次不等式 分式不等式忽视分母不为零 解一元二次不等式忽视二次项系数的正负 一元二次方程根的分布条件列举不全 一元二次不等式恒成立忽视区间的开闭 解一元二次不等式忽视两根的大小关系
高考数学易错题整理
图形与几何 1、下列命题： ①422||)()(a a a =? ②b c a c b a ??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b |④若a ∥b b ,∥,c 则a ∥c ⑤ ∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若?=?，且≠，则=⑦设21,e e 是平面内两向 量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x +=成立。⑧若|+|=|－ |则·=0。⑨·=0，则=或=真命题个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3个以上 解析：①正确。根据向量模的计算2 a a a ?=r r r 判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因 为根据数量积和数乘的定义()a c b ??r r r 表示和向量b r 共线的向量，同理()a b c ??r r r 表示和向量c r 共线的向量， 显然向量b r 和向量c r 不一定是共线向量，故()()a b c a c b ??≠??r r r r r r 不一定成立。③错误。应为a b a b ?≤r r r r ④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 ⑤错误。应加条件“非零向量a r ”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b r 和向量b r 在向量c r 方向的投影相等即可， 作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量21,e e 是不共线的 向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故· =0。⑨错误。只需两向量垂直即可。 答案：B 2、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足). ,0[(+∞∈?++=λλOA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 答案：B 3、已知=r 3a ，=r 4b ，a r 与b r 的夹角为?60，则向量b r 在a r 的方向上的投影为___________. 理解向量b r 在a r 的方向上的投影的含义θ?=r r r r cos a b b a .答案：2 4、已知ABC ?中,5,8,7a b c ===,求BC CA ?u u u r u u u r 【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC uuu r 和CA u u u r 夹角为三角形ABC 的内角C 导致错误答案. 解析:由条件5,8,7a b c ===根据余弦定理知三角形的内角60C ? =，故两向量BC uuu r 和CA u u u r 夹角为60C ? =的补角 即 ,120BC CA ? =u u u r u u u r ,故据数量积的定义知58cos12020BC CA ??=??=-u u u r u u u r .
【易错题】数学高考试卷(附答案)
【易错题】数学高考试卷(附答案) 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯= =≈++++⨯⨯⨯算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 3．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ） A ．①③④ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③ 5．2 5 32()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 6．一动圆的圆心在抛物线2 8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 7．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 8．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 9．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8 B ．9，5，6 C ．7，5，9 D ．8，5，7 10．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4 100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺 序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》分类汇编附答案
【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案 一、选择题 1．已知0a >，0b >，且()12 2y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ． 18 B ． 14 C ． 12 D ． 34 【答案】A 【解析】 【分析】 根据()12 2y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 1 22 a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】 因为()1 22y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以ab 2 1121 22228 a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当21a b +=，2a b =即11 ,24 a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 1 8 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题. 2．若,x y 满足约束条件360601 x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ ，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( ) A ． 116 B ． 18 C ．1 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≥⎩ 所表示的可行域，如图所示， 其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ， 因为122 2y x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ ，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-， 则1222y x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ 的最小值为4 1216-=. 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 3．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≥⎩ ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1 （其中0,0m n >>），则11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式 求得 11 2m n +的最小值. 【详解】 画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含答案解析
【高中数学】单元《计数原理与概率统计》知识点归纳 一、选择题 1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额 （万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：4235492639543.5,4244 x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa =9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1， ∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程 2．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A ． 1 8 B ． 35 C ． 58 D ． 78 【答案】C 【解析】 【分析】 设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】
设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点， 试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤10且0≤y≤20}，这是一个长方形区域，面积为S＝10×20＝200 A表示某生等车时间不超过5分钟， 所构成的区域为a＝{（x，y）|0≤x≤5或0≤y≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P（A） '1255 2008 S S === 故选C 【点睛】 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比． 3．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（）A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由得，故或，由，故或，故使的概率为.
【易错题】高考数学试题(附答案)
【易错题】高考数学试题(附答案) 一、选择题 1．若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ． 6425 B ． 4825 C ．1 D ． 1625 2．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π )+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ． 23 B ．43 C ． 32 D ．3 4．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D 5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）
A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7．一动圆的圆心在抛物线2 8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 8．函数()2 3x f x x +=的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称 9．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 10．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫ =+< ⎪⎝ ⎭ 的图象向右平移 6 π 个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 上的最大值为（） A ．3- B ． 3 2 C ． 12 D ．12 - 11．设集合，，则 =（ ） A ． B ． C ． D ． 12．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面而且垂直
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》易错题汇编含答案
【最新】数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】 等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即() ()120201*********a a S a a += =+>，10110a a ∴+>， () 1212111212102 a a S a += =<，所以，110a <，则100a >， 因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】 本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题． 2．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为 n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =- D ．201920211S a =- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为 1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L
【易错题】高考数学一模试题附答案
【易错题】高考数学一模试题附答案 一、选择题 1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 3．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 4．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的 正切值为 A ． 22 B 3 C 5 D ． 72 6．已知向量( ) 3,1a = ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b =（ ） A ．3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．133,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．()1,0 7．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 8． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D ． 32 9．已知函数()32cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2]
【易错题】高考数学试题带答案
【易错题】高考数学试题带答案 一、选择题 1．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 2．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 3．已知集合{}{}x -1 【易错题】数学高考模拟试卷(附答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ） A ． 1.2308ˆ.0y x =+ B ．0.0813ˆ.2y x =+ C ． 1.234ˆy x =+ D ． 1.235ˆy x =+ 3．若43i z =+，则z z =（ ） A ．1 B ．1- C ． 4355 i + D ． 4355 i - 4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 5．已知向量a v ，b v 满足2a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A 2 B ． 23 C 2 D 2 6．已知()3 sin 30,601505 αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A 310 B ．310 C 433 - D 343 -7．函数3 2 ()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,2) 8．已知a r 与b r 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ） A 7 B 10 C 13 D ．4 9．若θ是ABC ∆的一个内角，且1 sin θcos θ8=-，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B 3C ．5- D 5 10．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： 【易错题】高考数学试题附答案 一、选择题 1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测 的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 2．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π )+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ． 23 B ．43 C ． 32 D ．3 4．函数()()2 ln 1f x x x =+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 23 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．若θ是ABC ∆的一个内角，且1 sin θcos θ8 ，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3- B ． 3 C ．5- D ． 5 8．函数y ()y ()f x f x ==， 的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是 【易错题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测 的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 2．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 3．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值0 4．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-⋃+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 5．已知π ,4 αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．4 6．函数 ()sin(2)2 f x x π =-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π =对称，则关于函数 ()y g x =以下说法正确的是（ ） A ．最大值为1，图象关于直线2 x π=对称 B ．在0, 4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫ - ⎪⎝ ⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 对称 7．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ） 数学高考《推理与证明》复习资料 一、选择题 1．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49 B ．43 C ．07 D ．01 【答案】C 【解析】 【分析】 先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】 观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=， 67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有 1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键. 2．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记 ()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 由规律得()()()2 22 11234 n n f n n +=+++⋅⋅⋅+= 再解方程即可 【详解】 由已知等式的规律可知()()()2 22 11234 n n f n n +=+++⋅⋅⋅+= ，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】 本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 3．若数列{}n a 是等差数列，则数列12n n a a a b n ++⋯+= 也为等差数列．类比这一性质可 知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12n n c c c d n ++⋯+= 【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识点 一、选择题 1．下列命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】 由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】 本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 2．若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70 C ．256x D ．256x - 【答案】B 【解析】 由题意可得26 n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即 44445881 ()70T C x C x ===，故选B. 3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) 易错点8 函数与方程的综合应用一、单选题 1.已知函数f(x)=sin(x−π 6),若方程f(x)=4 5 的解为x1,x2(0【易错题】数学高考模拟试卷(附答案)
【易错题】高考数学试题附答案
【易错题】高考数学试卷(含答案)
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》真题汇编附答案解析
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含解析
高考数学易错题专项突破__易错点8函数与方程的综合应用含解析