高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》知识点训练及答案

高中数学《平面向量》知识点归纳

一、选择题

1．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3

π

，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．

16

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】

由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43

a b a b a b a b π

-=+-?=+-?=r r r r r r r r ，

所以|2|2a b -=r r

，故选B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u

r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）

A ．

23

B ．

15

C ．

72

D ．

152

【答案】D 【解析】 【分析】

计算25AC a b =+u u u r r r

，得到()

253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.

【详解】

∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u

r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，

∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r

，即()

253a b a mb λ+=+r r r r ，

∴235m λλ=??=?，解得23

152m λ?

=???

?=??

. 故选：D . 【点睛】

本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r

，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r

r

，则cos ,a b ??r

r 的最小值是

（ ） A ．

1116

B ．

78

C ．

158

D ．

315

16

【答案】B 【解析】 【分析】

设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r

，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】

设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r

，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，

由|3|2b a -≤r r

，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示

则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b ??r

r 最小，则,a b <>r r 应最大，

此时()

222222min

4327

cos ,cos 22438

OA OB AB a b BOA OA OB +-+-??

=∠===???r

r .

故选：B. 【点睛】

本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.

4．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3

AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ?=u u u v u u u v

（ ）

A ．23

-

B ．43

-

C ．83

-

D ．2-

【答案】D 【解析】 【分析】

运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】

在边长为2的等边三角形ABC 中，若13

AE AC =u u u r u u u r

，

则BE AF ?=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）?12

（AC AB +u u u

r u u u r ）

＝（13AC AB -u u u r u u u r ）?12

（AC AB +u u u

r u u u r ）

1123AC =u u u r （2

AB -u u u r 223

AB -u u u r ?AC =u u u r ）142142222332??--???=- ???

故选：D 【点睛】

本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

5．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ?u u u r u u u r

的最小值是（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为

()

2

11a -+，由二次函数性质可得结果.

【详解】

由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r

，

,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴?-=?--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r

， ()2

111AB BC a ∴?=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ?u u u r u u u r 的最小值为1.

故选：B . 【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.

6．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r

（ ）

A ．2133BA AC +u u

u r u u u r

B ．2133BA A

C -u u

u r u u u r

C ．1233BA AC +u u

u r u u u r

D ．4233

BA AC +u u

u r u u u r

【答案】A 【解析】 【分析】

连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】

解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，

则()()

221121332333

OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+=

++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u

u r u u u r . 故选：A.

【点睛】

本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.

7．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r

A ．12A

B AD -+u u u

r u u u r

B ．12AB AD -u u u

r u u u r

C ．12

AB AD +u u u r u u u r

D ．12

AB AD -u u u r u u u r

【答案】A 【解析】 【分析】

由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】

如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法

则可知1.2

BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u

v u u u v

故选A. 【点睛】

本题考查平面向量的加法法则，属基础题.

8．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3

BAD π

∠=

，M 为DC 的中点，N 为

平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ?=u u u u v u u u v

（ ）

A ．16

B ．12

C ．8

D ．6

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r

|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】

由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r

|， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，

又12

AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r

，

所以AM u u u u r ?21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r ?AB u u u r ）12=（414+

?16+2×41

2?）＝6， 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题

9．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133

BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v

，则λ=

（ ）

A ．

13

B ．

12

C ．3

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据2133

BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()

BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解.

【详解】

因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，

所以1122,+3333

AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u

u r u u u r ，

因为AD DC λ=u u u v u u u v ，

所以λ= 12

， 故选：B 【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.

10．已知点1F ，2F 分别是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜

角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

，则椭圆C

的离心率为（ ）

A 1

B ．2

C ．

1

2

D ．

2

【答案】A 【解析】 【分析】

由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

两边平方，得120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，在

12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，

,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】

将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

两边平方，得120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，即

12121

||2

MF MF OM F F c ⊥=

=，.

又60MOF ∠=?，∴2MF c =，1MF =，∴2a c =+，∴1c

e a

=

=. 故选:A. 【点睛】

考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.

11．平面向量a →与b →

的夹角为π3

，()2,0a →

=，1b →=，则2a b →→-=（ ）

A ．B

C ．0

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案. 【详解】

()2,0a →

=Q ，

||2a →

∴=

2

2

222(2)||4||444421cos 43

a b a b a b a b π

→

→→

→

∴-=-=+-?=+-???=r r r r ，

|2|2a b ∴-=r r

，

故选：D 【点睛】

本题考查了向量的模的计算和向量的数量积的运算，属于中档题.

12．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC

OP OA AB B AC C

λ=++u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A ．外心 B ．垂心

C ．重心

D ．内心

【答案】B 【解析】 【分析】

可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB

AC AB B AC C

λ+u u u r

u u u r

u u u

r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线

上，从而得到结论．

【详解】

Q ()||cos ||cos AB AC

OP OA AB B AC C

λ=++u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r ，

∴()||cos ||cos AB AC

OP OA AB B AC C λ-=+u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC

AP AB B AC C

λ=+u u u r u u u r

u u u r u u u

r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ?=u u u r u u u r u u

u r u u u r ，cos CA CB C CA CB

?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC

BC BC BC AB B AC C

?+=-+=u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC

AB B AC C

λ+u u u r u u u r

u u u

r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r

，

∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ?的垂心.

故选：B ． 【点睛】

本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.

13．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{

x x x ?∈是无理数}，2x 是无理数；

②若0a b ?=r r

，则0a =r r 或0b =r r ；

③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；

④函数()x x

e e

f x x

--=是偶函数.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；

对于②中，若0a b ?=r ，可以有a b ⊥r r

，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；

对于③中，命题“若22

0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，

其逆否命题为真命题，故③正确；

对于④中，()()x x x x

e e e e

f x f x x x

-----===-，

且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x x

e e

f x x

--=是偶函数，故④正确.

综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

14．如图，向量a b -r r

等于

A ．1224e e --u r u u r

B ．1242e e --u r u u r

C ．123e e -r u u r

D ．123e e -+r u u r

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r

，

15．向量1,tan 3a α??= ???r ，()cos ,1b α=r

，且//a b r r ，则cos 2πα??+= ???

（ ）

A ．

13

B ．22

C ．2

D ．13

-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】

//a b ∴r r

1

cos tan sin 3

ααα∴=?= 1cos sin 23παα??

∴+=-=- ???

故选：D 【点睛】

本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.

16．已知向量a v ，b v 满足a v

||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值

为（ ）

A ．

2

B ．

3

C D 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平方运算可求得12

a b ?=r r ，利用

cos ,a b a b a b ?<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】

由题意可知：222

2324b a b a b a a b +=+?+=+?=r r r r r r r r ，解得：12

a b ?=r r

cos ,

4a b a b a b ?∴<>===

r r r r

r r 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.

17．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且

5GO BC ?=u u u r u u u r

，则三角形ABC 的形状是（ ）

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．上述均不是

【答案】B 【解析】 【分析】

取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r

代入计算，再利用向量的线性运算求解．

【详解】

如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，

则G 在AD 上，1

3

GD AD =

，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ?=+?=?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

221111()()()53326

GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =?=?=?+?-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，

∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 【点睛】

本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r

．

18．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v

v 等于（ ）

A ．10

B ．16

C ．52

D ．410【答案】C 【解析】 【分析】

先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r

，

最后利用向量模的坐标运算得出结果． 【详解】

()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r

，则1330a b m ?=?-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ， 则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，()2

225552a b +=+-=r r C.

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．

19．在四边形ABCD 中,若12

DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r

|=|BC uuu r |,则这个四边形是( )

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．等腰梯形

D ．菱形 【答案】C

【解析】

由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=1

2

|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,

所以四边形ABCD 是等腰梯形. 选C

20．已知单位向量,a b r r

满足

3a b +=r r

，则a r 与b r 的夹角为

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 【答案】C 【解析】

由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+?+=r r r r r r ，

又因为单位向量,a b r r ，所以1632

a b

a b ?=??=r r r r ，

所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ???==?r r r r r r ，且,[0,]a b π??∈r r ，所以,3

a b π??∈r r ，故选C.