直线与圆-2019届高考数学必备考点归纳总结

直线与圆-2019届高考数学必备考点归纳总结【考点剖析】1.命题方向预测：（1）两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.（3）直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，近几年多有与圆锥曲线结合出现在综合性较强的解答题. 2.课本结论总结： (1).直线的概念与方程①概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)； ②直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)；③位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；④距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． (2)．圆的概念与方程①标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)；②直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； ③圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. (3)确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．3.名师二级结论：（1）与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. （2）对称 ①点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． ②点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.③直线关于直线的对称：10若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；20若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线． （3）计算直线被圆截得的弦长的常用方法 ①几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． ②代数方法运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝＋k2x A ＋x B2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． (4)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(5)过圆上一点只能作圆的一条切线，这条切线垂直过切点的半径；过圆C外一个P可作圆的两条切线，在使用直线的斜率为参数这类圆的切线方程时要注意斜率不存在的情况，如果切点是A，B，则点A，B在以线段CP为直径的圆D上，从而圆C，D的方程中消掉二次项得到的方程就是切点弦AB的方程．4.考点交汇展示：1.【2018年河南省信阳高级中学模拟（二）】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】A【解析】故选A．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y=x–1,(2)或．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．【考点分类】考向一直线的方程与位置关系1. 【名校联盟2018年高考二模】是“直线和直线垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直；当时，两直线也垂直，所以是“直线和直线垂直”的充分不必要的条件，故选A.2.【2018届江西省新余市第四中学高三适应性考试】已知为实数,直线,,则“”是“”的( )A ． 充要条件B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】3.设点()()1,0,2,1A B ，若直线10ax by +-=与线段AB 有一个公共点，则22a b +的最小值为__________． 【答案】15【解析】因为直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，所以点()()1,0,2,1A B 在直线1ax by +=的两侧，所以()()1210a a b -+-≤，即10{210a a b -≤+-≥或10{210a ab -≥+-≤，画出它们表示的平面区域，如图所示，22a b +表示原点到区域的点距离的平方，由图可知，当原点O 到直线210x y +-=的距离到区域内 的点的距离的最小值，d ==，所以22a b +的最小值为215d =.【方法规律】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.【解题技巧】1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.２．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则：l 1//l 2⇔A 1B 2-B 1A 2＝0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0． 【易错点睛】（1）直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式的方程，当直线的倾斜角等于90°时，不能应用；使用直线的截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．例如：求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程. 【答案】 x －2y －9＝0或2x －5y ＝0.易忽视直线过坐标原点的情况；(2) 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．（3）在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．考向二 圆的方程和性质1.【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C2.【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知圆C ： ()()2224x a y -+-=（0a >）及直线l ：30x y -+=，当直线l 被C 截得的弦长为a = （ ）211 【答案】C3.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三第一次月考】已知圆C 1：(x +1)2+(y –1)2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x – y –1=0对称，则圆C 2的方程为（ ） A. (x +2)2+(y –2)2=1 B. (x –2)2+(y +2)2=1 C. (x +2)2+(y +2)2=1 D. (x –2)2+(y –2)2=1 【答案】B 【解析】圆：，圆心为（-1,1）半径为1，圆与圆关于直线对称，则先找（-1,1）关于直线的对称点为（2，-2），所以圆的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆为故选B 【方法规律】1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2．利用待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值.【解题技巧】1.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.点与圆的位置关系2. 可知平面上的一点M(x0，y0)与圆C之间存在着下列关系：(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．3.求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系进而求得基本量和圆的方程．具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．【易错点睛】求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．考向三直线与圆的位置关系1.【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】2.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.3.【2018届福建省厦门外国语学校5月最后压轴模拟】抛物线的准线被圆所截得的线段长为4，则P = _____ 【答案】2 【解析】【方法规律】1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 (1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离.2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．3．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形. 【解题技巧】1. (1)若两圆相交,则从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (2)若两圆相切,则从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的经过公共切点的公切线的方程.2.圆的切线(1)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2. 【易错点睛】过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况． 例.已知圆C ：x 2＋y 2＝4，则过点P (2,4)的圆的切线方程是________. 【答案】: 3x-4y+7=0或x=2.【热点预测】1. 【2019年一轮复习讲练测】“”是直线与圆相切的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由圆，可得圆心为，半径．∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C．2.【2018届河北省武邑中学四模】圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】3. 若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（）A． 4 B． 6 C． D．【答案】B【解析】由题得直线过定点（0，-1），所以圆心（-3,3）到定点的距离为，所以点P到直线距离的最大值为5+1=6.故答案为： B4.【2018届宁夏银川一中四模】设圆心在x轴上的圆C与直线：相切，且与直线：相交于两点M，N，若，则圆C的半径为A． B． C． 1 D．【答案】C圆心在x轴上的圆C与直线：相切，且与直线：相交于两点M，N，两条直线平行，平行线之间的距离，就是圆的圆心到直线的距离，，若，可得．圆C的半径为：1．故选：C．5.【2018届云南省红河州高三复习统一检测】已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】B【解析】6.【2018年全国卷Ⅲ理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．【解析】直线分别与轴，轴交于，两点,则点P 在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线的距离的范围为则故答案选A.7.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．13【答案】A 【解析】8.【2018年河南省信阳高级中学模拟（三）】已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为A ． 60.B ． 52C ． 44D ． 36【解析】由两直线平行得，由两平行直线间距离公式得得或，故选：B．9.【2018届上海市浦东新区5月三模】直线的倾斜角的大小是_________.【答案】.【解析】直线方程为10.【2018年文科新课标I卷】直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】11. 一条光线从)发出，到轴上的点后，经轴反射通过点，则反射光线所在直线的斜率为________．【答案】-2【解析】作点关于轴的对称点则点在直线上由对称性可知，则光线所在直线的斜率故答案为12.【2018年江苏省南通市高考模拟】在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，为轴上一动点，则周长的最小值为______．【答案】14【解析】13.【2018届江苏省南通市最后一卷】如图，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于点，与轴交于点，设，求证：为定值.【答案】证明见解析.【解析】14.【2018届广东省省际名校（茂名市）联考（二）】已知圆：内有一动弦，且，以为斜边作等腰直角三角形，点在圆外.（1）求点的轨迹的方程；（2）从原点作圆的两条切线，分别交于，，，四点，求以这四点为顶点的四边形的面积. 【答案】(1) .(2)6.【解析】试题分析：（1）可证为等腰直角三角形.进而证明四边形为正方形.则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；即可得到点的轨迹的方程；（2）由四边形的面积，可求出其面积.试题解析：（1）连接，∵，∴为等腰直角三角形.∵为等腰直角三角形，∴四边形为正方形.∴，∴点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则的方程为.。