直线与圆-2019届高考数学必备考点归纳总结

直线与圆-2019届高考数学必备考点归纳总结

【考点剖析】

1.命题方向预测：

（1）两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.

（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.

（3）直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，近几年多有与圆锥曲线结合出现在综合性较强的解答题. 2.课本结论总结： (1).直线的概念与方程

①概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝

y 2－y 1

x 2－x 1

(x 1≠x 2)； ②直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1

(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2

＋B 2≠0)；

③位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥

l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；

④距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． (2)．圆的概念与方程

①标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，一般方程：x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2

＋E 2

－4F >0)；

②直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； ③圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. (3)确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．

3.名师二级结论：

（1）与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2

＋B 2

≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. （2）对称 ①点关于点的对称

点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． ②点关于直线的对称

设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，

则有?????

y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 0

2＝k ·x ′＋x

2

＋b ，可求出x ′，y ′.

③直线关于直线的对称：

10

若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；20

若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线． （3）计算直线被圆截得的弦长的常用方法 ①几何方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． ②代数方法

运用根与系数关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2

|x A －x B | ＝

＋k

2

x A ＋x B

2

－4x A x B ].

说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． (4)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

(5)过圆上一点只能作圆的一条切线，这条切线垂直过切点的半径；过圆C外一个P可作圆的两条切线，在使用直线的斜率为参数这类圆的切线方程时要注意斜率不存在的情况，如果切点是A，B，则点A，B在以线段CP为直径的圆D上，从而圆C，D的方程中消掉二次项得到的方程就是切点弦AB的方程．

4.考点交汇展示：

1.【2018年河南省信阳高级中学模拟（二）】点在曲线上运动，

，且的最大值为，若，，则的最小值为（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

【答案】A

【解析】

故选A．

【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．

【答案】3

【解析】

设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，

由得或，

因为，所以

【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，

．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

【答案】(1) y=x–1,(2)或．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或

因此所求圆的方程为或．

【考点分类】

考向一直线的方程与位置关系

1. 【名校联盟2018年高考二模】是“直线和直线垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

当时，直线的斜率为，

直线的斜率为，两直线垂直；

当时，两直线也垂直，

所以

是“直线

和直线

垂直”的充分不必要的条件，故选A.

2.【2018届江西省新余市第四中学高三适应性考试】已知为实数,直线

,

,则“

”是“

”的( )

A ． 充要条件

B ． 充分不必要条件

C ． 必要不充分条件

D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

3.设点()()1,0,2,1A B ，若直线10ax by +-=与线段AB 有一个公共点，则22

a b +的最小值为

__________． 【答案】

15

【解析】因为直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，

所以点()()1,0,2,1A B 在直线1ax by +=的两侧，

所以()()1210a a b -+-≤，

即10{

210a a b -≤+-≥或10

{210

a a

b -≥+-≤，

画出它们表示的平面区域，如图所示，

22a b +表示原点到区域的点距离的平方，

由图可知，当原点O 到直线210x y +-=的距离到区域内 的点的距离的最小值，

d =

=

，所以22a b +的最小值为2

15d =.

【方法规律】

(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，

l 1∥l 2?k 1＝k 2，l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特

别注意．

(2)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.

【解题技巧】

1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2

＋B 2

≠0)平行、垂直的直线方程的设法：

一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.

２．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则：l 1//l 2?A 1B 2-B 1A 2＝0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0． 【易错点睛】

（1）直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式的方程，当直线的倾斜角等于90°时，不能应用；使用直线的截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．

例如：求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程. 【答案】 x －2y －9＝0或2x －5y ＝0.易忽视直线过坐标原点的情况；

(2) 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．

（3）在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|

A 2＋

B 2

时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．

考向二 圆的方程和性质