高考数学(理)(新课标)考前冲刺复习课件：第1部分第1讲函数与方程、数形结合思想

二
数形结合思想
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述 借助于数的精确性和规范 数之间的关系，把数转化为形， 性及严密性来阐明形的某 即以形作为手段，数作为目的的 些属性，即以数作为手段， 解决数学问题的数学思想 形作为目的的解决问题的
数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助
【解】
1 (1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ －1， x
令 f′(x)＝0 解得 x＝1. 当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x＞1 时，f′(x)＜0， f(x)单调递减． (2)证明：由(1)知 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 最大值为 f(1)＝0. 所以当 x≠1 时，ln x＜x－1. x－1 1 1 故当 x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln ＜ －1，即 1＜ ＜x. x x ln x
2a ＝ 2
4
2
a2 12－ ， 2
1 2 1 所以体积 V＝ a h＝ 3 3
1 6 4 1 6 12a － a .设 y＝12a － a (a＞0)， 2 2
则 y′＝48a3－3a5.令 y′＞0，得 0＜a＜4；令 y′＜0，得 a＞4. 故函数 y 在(0，4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可 知当 a＝4 时，y 取得最大值，即体积 V 取得最大值， 此时 h＝ a2 12－ ＝2，故选 C. 2
易得直线 y＝b 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，
2 4m－m ＜m， 不符合题意；②当 即 m＞3 时，函数 f(x)的图 m＞0，
象如图 2 所示，则存在实数 b 满足 4m－m2＜b≤m，使得直 线 y＝b 与函数 f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意，综 上，m 的取值范围为(3，＋∞)．
【解析】
|x|，x≤m， f(x)＝ 2 当 x＞m 时， x －2mx＋4m，x＞m，
f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m，4m－m2)； 当 x≤m 时，函数 f(x)的图象与直线 x＝m 的交点为 Q(m，m)．
m＞0， ①当 即 0＜m≤3 时，函数 f(x)的图象如图 1 所示， 2 4m－m ≥m，
于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机
结合
|x|，x≤m， (2016· 高考山东卷)已知函数 f(x)＝ 2 x －2mx＋4m，x＞m，
其中 m＞0.若存在实数 b， 使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的
(3，＋∞) 根，则 m 的取值范围是________ ．
2 为 E 的两个焦点， 且 2|AB|＝3|BC|， 则 E 的离心率是________ ．
2b2 【解析】 如图， 由题意知|AB|＝ ， |BC|＝2c. a 又 2|AB|＝3|BC|， 2b2 所以 2× ＝3×2c，即 2b2＝3ac， a 所以 2(c2－a2)＝3ac，两边同除以 a2，并整理得 2e2－3e－2＝0，解得 e＝2(负值舍去)．
数形式，利用函数的有关性质，使问 对方程 ( 组 ) 进行研究，以
题得到解决 求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相 成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在 动中求静，研究运动中的等量关系
x2 y2 (2016· 高考山， a b b＞0)．若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点
[名师点评] 本题第(3)问证明的关键是构造函数 g(x)＝1＋(c－1)x－cx，利用导数判定 g(x)的单调性，从而证 明不等式成立．
[变式训练] 2．已知正四棱锥 SABCD 中，SA＝2 3，那么当该棱锥的体 积最大时，它的高为( A．1 B． 3
C
) C．2 D．3
[解析] 设正四棱锥 SABCD 的底面边长为 a(a＞0)， 则高 h＝ SA2－
C
) B．99 D．97
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，因为{an}为等差数列，且 S9＝9a5＝27，所以 a5＝3.又 a10＝8，解得 5d＝a10－a5＝5， 所以 d＝1，所以 a100＝a5＋95d＝98.
(2016· 高考全国卷丙)设函数 f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论 f(x)的单调性； x－1 (2)证明当 x∈(1，＋∞)时，1＜ ＜x； ln x (3)设 c＞1，证明当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.
[名师点评]
本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离
心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类 是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双 曲线中 a，b，c 的关系式，求值试题就是建立关于 a，b，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于 a，b，c 的不等式．
[变式训练] 1．(2016· 高考全国卷乙)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27， a10＝8，则 a100＝( A．100 C．98
第1部分
数学思想方法
第1讲
函数与方程、数形结合思想
一 函数与方程思想
函数思想
方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的 方程思想的实质就是将所 非数学特征，用联系和变化的观点提 求的量设成未知数，根据 出数学对象，抽象其数学特征，建立 题中的等量关系，列方程 各变量之间固有的函数关系，通过函 ( 组 ) ，通过解方程 ( 组 ) 或
(3)证明：由题设 c＞1，设 g(x)＝1＋(c－1)x－cx， c－1 ln ln c x 则 g′(x)＝c－1－c ln c，令 g′(x)＝0，解得 x0＝ . ln c 当 x＜x0 时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x＞x0 时，g′(x)＜0， g(x)单调递减． c－1 由(2)知 1＜ ＜c，故 0＜x0＜1.又 g(0)＝g(1)＝0， ln c 故当 0＜x＜1 时，g(x)＞0. 所以当 x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.