矩阵的概念及其线性运算
..
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的概念及其线性运算
学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念
矩阵是一张简化了的表格,一般地
??????
? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素
用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或()
i j
m n
a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行
列式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。
两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。
如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。
在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即
??????
?
?
?=10
0010001Λ
ΛΛΛΛΛΛE n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列
向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。
二．矩阵的加、减运算
如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
..
???? ??--=230321A ， ????
??-=035234B
???? ??-=???? ??+--+++++-=+20555302)3(35023324
1B A
???
? ??----=???? ??---------=-26511502)3(35023324
1B A
三．矩阵的数乘
矩阵A 与数k 相乘记为A k 或A k 。A k 表示将k 乘A 中的所有元素得到的矩阵。例如
?
??
?
? ??=150342A ，?????
??=????? ????????=315091261353033343233A
当1-=k 时，我们简记(1)A A -=-，称为A 的负矩阵。
矩阵的加减与数乘统称为线性运算。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律，这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、移项变号、正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。
例 2.1 设????? ??-=864297510213A ，???
?
? ??--=612379154257B ，已知
B X A =+2，求X 。
解 在等式中移项得 A B X -=2，再除以2得 )(2
1
A B X -=。通过心算立得
????
? ??------=12712111222232
X
例2.2 设A 为三阶矩阵。已知2-=A ，求行列式A 3的值。
解 设???
?
?
??=32
1
321
321
c c c b b b a a a A ，则????
?
??=32
1321
321
3333333333c c c b b b a a a A 。 显然行列式A 3中每行都有公因子3，因此
5427333
2
1
321
3
21
3-===A A c c c b b b a a a 。
..
§2.2 矩阵的乘法与转置
一．矩阵的乘法
如果矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相同，即A 是s m ?矩阵，B 是n s ?矩阵，那么A 、B 可以相乘，记为AB 或B A ?，称为矩阵A 、B 的乘积。C AB =表示一个n m ?矩阵，矩阵C 的构成规则如下：
B 的第1列元素依次与A 的各行元素相组合，形成
C 的第1列元素；B 的第2列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第2列元素；……以此类推，最后B 的第n 列元素依次与A 的各行元素相组合，形成C 的第n 列元素。这里
的“组合”表示两两相乘再相加。
若记()
s
m j
i a ?=A ，()
n
s j
i b ?=B ，()
n
m j
i c ?=C ，且AB C =，则乘积矩阵C
的元素可用公式表示为
∑==s
k j k k i j i b a c 1
（i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n ） （2.1）
例如 ???
?
??-??????
?
??-01232112413013 ??????? ???+??+-??+??+??+-??+??+??+-??+??-+??-+-??-+?=013211)2(22112043114)2(12411033013)2(023100)1(331)1()2(32)1(13??????
?
??--=
63
4329036971 利用矩阵的乘法可以简化线性方程组的表示形式。设
??????
?=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
22221211
1212111 （2.2） 是含有m 个方程、n 个变量的线性方程组，若记
???
???? ??=mn m m n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ21
22221
11211A ，????
?
?
?
??=n x x x M 21x ，??????? ??=m b b b M 21b 则方程组可表示为矩阵方程
b Ax = （2.3）
这个矩阵方程两端都是1?m 矩阵，因此相当于m 个等式，恰好是（2.2）
式的m 个方程。（2.3）式称为线性方程组（2.2）的矩阵形式。以后，矩阵形式（2.3）将成为我们表示线性方程组的主要形式。其中A 称为线性方程组的系数矩阵，x 称为变量列，b 称为常数列。
..
二．矩阵乘法的性质
两个矩阵相乘要求行、列数相匹配，即在乘积AB 中，矩阵A 的列数必须等于矩阵B 的行数，因此当AB 有意义时，BA 未必有意义。即使AB 和BA 都有意义，它们也可能表示不同阶数的矩阵。比如A 是n ?1矩阵（行向量），B 是1?n 矩阵（列向量）时，AB 是11?矩阵而BA 为n n ?矩阵。当A 、B 都是n 阶方阵时，情况又怎样呢？
例2.3 设????
??--=2142A ，???? ??--=6342B ，?
??
?
??-=4088C ，求AB 、BA 、AC 。
解 利用乘积的构成规则容易得到
???? ??--=???? ??--???? ??--=16832166342
2142AB ???? ??=???? ??--???? ??--=000021426342
BA
????
?
?--=???? ??-???? ??--=168321640882142AC 从例2.3可以看到矩阵乘法的两个重要特点：
（1）矩阵乘法不满足交换律。即一般情况下BA AB ≠。
（2）矩阵乘法不满足消去律。即从O A ≠和AC AB =不能推得C B =。特别地，当O BA =时，不能断定O A =或者O B =。
这两个特点与数量乘法的规律不同，所以在数量运算中形成的交换与消去习惯必须改变。矩阵相乘时要注意顺序，有左乘、右乘之分。不过，矩阵的自乘无需区别左乘右乘，因此，可以引入矩阵乘幂的记号，比如
3A A A A =??
这里A 是n 阶方阵。方阵的乘幂显然有下列性质
l
k l
k
+=?A A A ， l
k l
k A A =)(
其中k 、l 是自然数。但是因为A 、B 的乘积不能交换顺序，所以
222))(())(()(B A BB AA AB AB AB =≠=
一般情况下，当2≥k 时，k
k k B A AB ≠)(。这与数量的乘幂运算规则大不相同。
例2.4 设?????
??---=241030123A ，求E A A A 432)(2
+-=P 。
解 E A A 432410301232410301232)(+-???
?
? ??---????? ??---=P
????? ??+????? ??----????? ??--=100010001424103012333650905482????
? ??--=160130130131429
..
本例中，)(A P 与多项式432)(2
+-=x x x P 有类似的形式，因此称它为矩阵多项式。一般地，如果一个矩阵式的每一项都是带系数的同一方阵A 的非负整数幂，“常数项”（零次幂项）是带系数的单位矩阵，那么称这个矩阵式为关于A 的矩阵多项式。
如果矩阵A 、B 满足BA AB =，那么称A 、B 是可交换的。可交换是个很强的条件，下面介绍两种特殊情况。
一种是对角矩阵。容易验证
1122000000000000n n a b a b a b ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????L L L L L L L L L L L L L L 11
2200000
0n n a b a b a b ?? ?
?= ? ?
??L L L L L L L （2.4） 交换乘积的顺序，结果显然相同。由此可知：两个同阶对角矩阵是可交换的，它们的乘积矩阵由对应位置元素的乘积构成。
另一种是单位矩阵。设()
n
m j i a ?=A ,m E 、n E 分别为m 阶、n 阶单位矩阵，不难验证A A E m =，A AE n =。特别地，当n m =时
A AE EA == （2.5）
可见单位矩阵E 在矩阵乘法中与数1在数量乘法中有类似的作用。单位矩阵与任
何同阶矩阵可交换。
矩阵的乘法虽然不满足交换律，但仍满足下列运算规律（假设运算都是可行
的）：
（1）乘法结合律：)()(BC A C AB =
（2）左、右分配律：BC AC C B A +=+)(，CB CA B A C +=+)( （3）数乘结合律：)()()(B A B A AB k k k == 这些运算律的证明，都可以利用乘法公式（2.1）以及通过和式的乘积展开与
重组来完成，此处从略。这些运算律与数量的运算规律相同，所以在数量运算中
形成的诸如多项乘积展开、系数归并化简、因式分解、连乘重组等运算习惯，在
矩阵的运算中，仍可保留沿用，当然应该特别注意不可随意交换乘法顺序，不可
随意约简非零因子。
三．矩阵的转置
把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵，记为T
A ，即 ??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211A ，???
??
?
? ??=mn n n m m T
a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111A 矩阵的转置方法与行列式相类似，但是矩阵转置后，行、列数都变了，各元素的位置也变了，所以通常T
A A ≠。 转置矩阵有如下性质（其中A 、
B 是矩阵，k 是数）： （1）A A T
T =)( （2）T T T B A B A +=+)( （3）T T k k A A =)( （4）T
T T A B AB =)( 这里性质（1）~（3）是显然的，性质（4）可利用乘法公式（2.1）证明。
..
例2.5 设?
??
? ??-=231102A ，计算T AA 和A A T
。 解 ???
? ??=????
?
??-???? ??-=14005213012231102T
AA
????
?
??=???? ?
?-????? ??-=560693035231102213012A A T
若方阵A 满足T A A =，则称A 为对称矩阵。比如例2.5所求的两个矩阵都是对称矩阵。
四．方阵行列式的乘积定理
设A 、B 都是n 阶方阵。一般地BA AB ≠，但它们的行列式相等，并且
B A BA AB ?== （2.6）
定理2.1 方阵乘积的行列式等于各因子行列式的乘积。
这个定理的结论简明、自然，但它的证明很复杂，并且需要用到特殊的构造性技巧，此处从略。
§2.3 逆矩阵
一．逆矩阵的概念
设A 是n 阶矩阵（方阵），如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并称B 是A 的逆矩阵。
矩阵A 可逆时，逆矩阵B 必唯一。事实上，若另有一逆矩阵1B ，则由E AB =和E A B =1得到111()==B B E B AB 1()=B A B =
EB =B 。这样，逆矩阵可以有唯一的记号。记A 的逆矩阵为1-A ，即
E A A AA ==--11 （2.7）
比如不难验证
???????
??=1331012100110001
A ， ??????
?
??----=-1331012100110001
1
A 逆矩阵相当于矩阵的“倒数”，但是因为矩阵的乘法有左乘、右乘之分，所以
不允许以分数线表示逆矩阵。
如果三个矩阵A 、B 、C 满足AC AB =，且A 可逆，那么在等式两边左
乘逆矩阵1
-A ，可得AC A AB A 1
1
--=，即EC EB =，从而C B =。这说明利用逆矩阵可以实现“约简”，换言之，矩阵的乘法并非没有消去规则，但消去规则
必须通过逆矩阵的乘法来实现，可逆才有消去律。当然，在等式两边乘逆矩阵时应当注意分清左乘还是右乘。
逆矩阵为求解矩阵方程带来了方便。比如线性方程组b Ax =中，若A 可逆，
..
则b A x 1
-=，事先求出逆矩阵1-A ，只要做一次乘法，即可求得所有变量的值。又如矩阵方程C AXB =中，若A 、B 均可逆，则未知矩阵直接可求：11--=CB A X 。
二．矩阵可逆的条件
设有n 阶方阵
??
????? ??=nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ2122221
11211A 它的行列式A 有2
n 个代数余子式j i A （j i ,=1，2，…，n ），将它们按转置排列，得到矩阵
1121112222*12n n n n nn A A A A A A A A A ??
?
?= ? ?
??
L L L L L L L A 称*
A 为矩阵A 的伴随矩阵。利用第一章的定理1.2（代数余子式组合定理）容易验证
E A A A A A A AA =??????
? ??==ΛΛΛΛΛΛΛ000000** 如果0≠A ，则上式两端除以非零数A ，可得
E A A A A A A =?
??
?
??=???? ??**11 这说明矩阵A 可逆，并且
*11
A A A =- （2.8）
定理2.2 方阵A 可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零：0≠A 。 证 （2.8）式已给出充分性证明，现证必要性。如果矩阵A 可逆，则由
E AA =-1取行列式，根据定理2.1的（2.6）式得11
1===--E AA A A ，
因而必有0≠A 。 行列式非零的方阵又叫做非奇异矩阵。显然，非奇异矩阵和可逆矩阵是等价的概念。行列式等于零的矩阵自然叫做奇异矩阵。奇异矩阵即不可逆矩阵有无数多个，这与数量中唯有数0没有倒数大不相同。 例2.6 设???
? ??=4321A ，求1
-A 。
解 显然02≠-=A ，A 的代数余子式都是一阶行列式，不需要计算，只
..
要附上适当的符号，并注意转置排列即可：
???
? ??--=???? ??---==
*-212312
13242111A A A 公式（2.8）给出了求逆矩阵的方法，但是求伴随矩阵*A 要计算2
n 个)1(-n 阶行列式，当n 较大时，计算量非常大。我们将在下一节介绍更好的方法。
定理2.3 设A 、B 都是n 阶矩阵，则1-=A B 的充分必要条件是E
AB =或者E BA =。
证 必要性显然，只证充分性。若E AB =，取行列式得1=B A ，故0≠A ，则根据定理 2.2，1-A 存在。等式两端左乘1-A ，立得111---===A E A AB A B 。E BA =的情况相同，证毕。
定理2.3表明，检验或者证明B 是否A 的逆矩阵，只要做一个乘法即可。比如从公式（2.4）很容易求得对角矩阵的逆矩阵。
????
??
?
?
?=??????
?
?
?-n n a a a a a a 10001000100000021
1
21Λ
ΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛ （2.9） 其中021≠n a a a Λ。
三．逆矩阵的性质
（1）若A 可逆，则1
-A 也可逆，且A A =--1
1)
(。
证 根据定理（2.3），只需做一个乘法：因为E AA =-1
，故得证。
（2）若A 可逆，则T
A 也可逆，且T T A A )()(11--=。
证 因为E E A A A A T
T T T ===--)()(11，故得证。
（3）若A 、B 是同阶矩阵且都可逆，则1
11)(---=A B AB 。
证 因为E AA AEA A
BB A A B AB ====------111
1
1
1
)())((，故得证。
§2.4 矩阵的初等变换
一．矩阵的初等行变换
在第一章中，我们已经看到了行（列）变换在行列式计算中的重要作用。对矩阵也有类似的变换。
对矩阵施行下列三种变换，统称为矩阵的初等行变换： （1）换行变换：将矩阵的两行互换位置。
（2）倍缩变换：以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素。
（3）消去变换：把矩阵某一行所有元素乘同一数k 加到另一行对应的元素上去。
例如对下列矩阵作初等行变换：先将第3行乘2-加到第1行，再将第1、3
行互换，得到????? ??521310132→????? ??--52131
0910→???
?
? ??--91031052
1
..
由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素，因此初等变换前后的矩阵是不相等的，应该用“→”连接而不可用“=”连接。矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行，以便达到简化矩阵的目的。
类似地可引入初等列变换的概念。
二．初等变换的标准程序
例2.7 已知???
?
? ??=421310132A ，求1-A 。
解 将矩阵A 和单位矩阵E 拼成一个63?矩阵()E A 。类似于行列式的
降阶变换（参看§1.2），对()E A
施行一系列初等行变换：
()????? ??=10042]1[010*********E A →???
??
??---1004210103]1[0201710
?→?*
????? ??----12020101031
0211]4[00→????? ??-----22521001234743010214141100 →???
?
? ??-----21414110023474
301022521001 可以验证，最后的矩阵中，右侧的矩阵就是逆矩阵，即
????
? ??-----=-21414123474
322
5211
A 本例的结果不是偶然的。在论证这一方法之前，我们先结合例2.7介绍矩阵
初等变换的标准程序：
（1）变换分步进行，每步选一非零元素，称为主元。利用行倍缩变换把主元变为1，并且通过行消去变换把主元所在列的其它元素全都变为0。
（2）所选的主元必须位于不同的行。逐步重复上述变换，直至选不出新的主元为止。
（3）穿插换行变换，使主元呈左上到右下排列。
简单地说，标准程序就是通过初等行变换（不允许做列变换），变出一个一个不同的基本单位列，直至变不出新的基本单位列为止。基本单位列是指一个元素为1其余元素全都为0的列向量。
比如在例2.7的运算中，带“*”号的第二步是以元素1为主元，将第2行乘1和2-分别加到第1、3行上去；最后一步（第四步）并未选主元，而是作了一个互换第1、3行的换行变换。在所有的行消去变换中，主元都用“[ ]”号作了标记。
标准程序体现了初等变换的目的性和条理性。矩阵的初等变换将贯穿本书的始终，初等变换的标准程序也将反复多次得到应用。
..
三．用初等变换法求逆矩阵
设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，对n n 2?矩阵()E A
按标准程序作
初等行变换，主元在左半部分（即前n 列）的范围内选取。当把子块A 变成单位矩阵E 的同时，右半部分必然变成了1-A （参看例2.7）。
例2.8 设???
?
?
??=987654321A ，问1-A 是否存在？
解 运用初等变换法
()????? ??=10098701065400132]1[E A →???
?
? ??------10712600146]3[0001321
→????
? ??----1210000313421003235101 标准程序已执行完毕，但子块A 未变成单位矩阵，即在未选主元的行中没有非零
元素，无法选出新的主元，此时可以断定A 不可逆。其理由如下：
设想对行列式A 施行初等变换。如果将换行变换、倍缩变换或消去变换施加于行列式，则行列式的值仅仅是改变符号、非零倍缩或保持不变，总之初等变换不改变行列式的非零性，因此能通过初等变换检验矩阵的可逆性（参看定理2.2）。
例2.8说明用初等变换法求逆矩阵，不必事先知道矩阵是否可逆。
四．初等矩阵
对单位矩阵E 施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。例如下面三个矩阵
??
?
?
?
??
??1000010000010010
??
?
?
?
??
??1000010000300001
??
?
?
?
?
?
??1000010200100001
都是初等矩阵。与它们相对应的初等行变换分别是“互换第1、第2行”、“以3
乘第2行”、“第1行乘2加到第3行”；相对应的初等列变换分别是“互换第1、第2列”、“以3乘第2列”、“第3列乘2加到第1列”。以下定理不难验证：
定理2.4 对矩阵A 施行初等行（列）变换，相当于左（右）乘一个相应的初等矩阵。
现在对初等变换法求逆矩阵的有效性进行证明：
对n n 2?矩阵()E A
作一系列初等行变换，相当于左乘一系列n 阶初等矩
阵1G ，2G ，…，k G （定理2.4）。最后得到的矩阵是()B E ，即
()()B E E A G G G k =12Λ 需要证明1
-=A B 。令12G G G G k Λ=，G 仍是n 阶矩阵。按矩阵乘法规则， ()E A G 的前n 列由GA 给出（A 的各列与G 的各行相组合），而后n 列由
..
G GE =给出，因此
()()()B E
G GA E A G ==
由于矩阵相等意味着对应元素相等，所以应有
E GA =，B G = 根据定理2.3知1
-=A G ，从而1-=A B 。证毕。
对矩阵()E A 作初等变换，实际上初等变换的“对象”是左半部分，而右半部分则起到了“记录”这些变换过程的作用，1-A 是所有这些初等变换的总结果。
由此可知，一系列初等变换（初等矩阵的乘积）构成可逆矩阵；反之可逆矩阵能分解为一系列初等变换（初等矩阵的乘积）。
§2.5 分块矩阵
一．分块矩阵的概念
上节中曾把矩阵A 和E 拼成一个大矩阵()E A
，反过来可以看作把矩阵
()E A 划分成两部分，这就是分块矩阵的概念。对于一个矩阵，可以根据需要
用贯穿整个矩阵的横线或竖线把它划分成若干子块（或称子矩阵），便形成了分块矩阵。分块的方式有许多，例如对于矩阵
??
?
?
?
??
?
?-=10000100101030
01
A
可例举出以下三种不同的分块方式：
??
?
?
?
?? ?
?-10000100101030
01
??
?
?
?
?? ?
?-10000100101030
01
??
?
?
?
?? ?
?-10000100101030
01
在第一个分块矩阵中，左上角和右下角子块都是二阶单位矩阵2E ，左下角子块是零矩阵，若记???? ?
?-=10
30
1A ，则???
?
??=212
E O A E A 。 在第二个分块矩阵中，左上角子块和右下角子块分别是三阶单位矩阵3E 和
一阶单位矩阵1E ，左下角子块是零矩阵，若记?
???
? ??-=0132A ，则???
? ??=123
E O
A E A 。 在第三个分块矩阵中，若记?
?
??
??
? ??=00
011e ，??????? ??=00102e ，??????? ??=01003e ，?????
??
??-=1013u ，则
..
()u e e e A ,,,321=，这里1e ，2e ，3e 都是一个分量为1、其余分量为0的列向量，这种向量称为基本单位向量。
对矩阵A 的分块，当然不止这三种方式。分块矩阵也可以理解为是以若干子块为元素组成的矩阵。
二．分块矩阵的运算
上节得到过简单分块矩阵的乘法规则()()GE GA E A G =，相当于把G 、A 、
E 都当作数量看待。对于一般的分块矩阵有同样的结论：分块矩阵运算时，可以
把子块当作数量元素处理。例如
???
?
??++++=???? ??+???? ??22222121121211
11222112112221
1211
Y X Y X Y X Y X Y Y Y Y X X X X
???
?
??++=???? ?????? ??222121************
1211
Y X Y X Y X Y X Y Y X X X X 不过在把子块当作元素对待时，还须遵循以下规则：
（1）矩阵的分块方式要与运算相配套。
具体而言：两个矩阵相加时，它们的行、列划分方式应完全相同，以保证相加的子块有同样的行、列数；两个矩阵相乘时，左矩阵列的划分与右矩阵行的划分方式应一致，以保证相乘子块的行、列数相匹配。
（2）对子块的乘积要分清左、右顺序，不能随意交换。 比如上面运算中的111Y X 不能写作111X Y 。
（3）分块矩阵转置时，除子块的位置转置外，子块本身也要转置。比如
()
???
?
??=T T T
A A A A 2121
例2.9 设???
? ?
?=321
A O
A A A ，其中1A 、3A 是可逆矩阵。试用1A 、2A 、3A 及其运算式构造出逆矩阵1
-A 。
解 将1
-A 分块，令???
?
??=-43
21
1
X X
X X A ，则应有 ???
?
??=???? ?????? ??E O O E X X X X A O A A 4321
321
等式右端是分块的单位矩阵。矩阵相等意味着所有对应子块都相同，即
E X A X A =+3211，O X A O =+33，
O X A X A =+4221，E X A O =+43
因为1
1-A 、13-A 存在，所以可逐个解得O X =3，134-=A X ，111-=A X ，
1
32112---=A
A A X ，于是
???
? ?
?-=-----1313
2111
11A O
A A A A A
..
线性代数第五章 相似矩阵
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
矩阵行列式的概念与运算
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
第一讲 矩阵的概念、运算
第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求： 理解矩阵概念； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点： 矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵 定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵） ，简记为n A 。 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即
),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是 不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵
矩阵的各种运算详解
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律： 设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有
命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。 命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：
线性代数矩阵性及应用举例
线性代数矩阵性及应用举例
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，
线性代数第五章 相似矩阵
第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时，
矩阵的概念和运算
1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容： 前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性： 1.0 2. D ≠?? ?所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数） 同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念 123123123 23124621x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??+-=? 它的系数行列式 1 232 4601 1 1 D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示： 123124621111A ?-? ?=--- ? ?-?? 这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。 123246111A -?? ?=-- ? ?-?? 这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组：
线性代数-相似矩阵
第五章相似矩阵及二次型 §1 向量的内积、长度、正交性一、向量空间的内积、长度和夹角1．内积的定义： 内积的符号：括号或方括号
: : 证（3）
二、向量空间的单位正交基 1．正交向量组定义 2．定理1 正交向量组线性无关 P113 解设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足 （a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0 即x1 ＋x2 ＋x3 = 0, x1－2x2 ＋x3=0
这是一个齐次线性方程组AX= 0, 即??? ? ??=???? ? ?????? ??-00121111321x x x ， 由??? ? ?????? ??-???? ??-=010101~030111~121111A ， 得???=-=0231x x x ，方程组的通解为??? ??==-=c x x c x 3210，即????? ??-=????? ??101321c x x x 取c = 1, 则a3=??? ? ? ??-101即为所求。 3．正交基、规范正交基（单位正交基） 正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。 规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。 4．向量正交化 施密特方法：将基改造为正交基（P114）
例2 用施密特方法把基正交化（P114） 例3 已知 T a )1,1,1(1=，求一组非零向量32,a a ，使32,1,a a a 两两正交。 解 32,a a 应满足01 =x a T ，即 0321=++x x x 解这个齐次线性方程组得213 x x x --=，通解为 ?????--===2 13221 1c c x c x c x ，即? ?? ?? ??-+????? ??-=????? ??11010121321c c x x x ，基础解系为 ??? ? ? ??-=????? ??-=110,10121ξξ，把基础解系正交化 111212312) ,(),(,ξξξξξξξ-==a a ，于是得 ?? ???? ? ? ??--=??? ?? ??--????? ??-=????? ??-=2112110121110,101232a a 三、正交矩阵 1．定义4 因为 1A A E -= 所以 A 是正交矩阵←→1 T A A -= （充分必要） 2．正交矩阵的构造
矩阵行列式的概念与运算(标准答案)
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
线性代数习题相似矩阵及二次型
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.; .; .; .1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关 条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=10 01,10 01 B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特 征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。
矩阵的概念及其线性运算
第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ???? ?? ? ??=100010001 E n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y …… 表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
判定线性代数中矩阵相似关系的原理和方法
一[收稿日期]２０１８Ｇ０９Ｇ２８;一[修改日期]２０１８Ｇ１２Ｇ０４一[基金项目]国家自然科学基金青年项目(１１６０１４７０);云南省高等学校卓越青年教师特殊培养计划项目(C ６１５２７０４) ;云南大学校级教改项目(WX １６２０７２);云南大学校级本科教材建设项目(WX １６２０７２ )一[作者简介]李源(１９７８－),男,硕士,副教授,从事计算数学和大学数学课程的教学和研究．E m a i l :l i y u a n ＠y n u ．e d u ．c n 第３５卷第２期大一学一数一学V o l ．３５,?．２２０１９年４月C O L L E G E MA T H E MA T I C S A p r ．２０１９判定线性代数中矩阵相似关系的 原理和方法 李一源１,一郝小枝２(１．云南大学数学与统计学院,昆明６５０５００;一２．云南中医药大学信息学院,昆明６５００２１ )一一[摘一要]指出教育部考试中心２０１９版考研数学考试分析中关于矩阵相似试题解答中的一个错误． 系统梳理了高等代数和线性代数课程中关于相似矩阵刻画的角度和方法,明确了在线性代数课程体系中３类可以作出相似判定的矩阵类别及其对应的判别方法,给出不能一般判定相似关系的第４类矩阵的基本特征,并结合实例给出在特殊情形下解决第４类矩阵相似关系判定的方法．[关键词]线性代数;相似矩阵;相似对角化;特征多项式[中图分类号]O １７７．５一一[文献标识码]C 一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０２Ｇ０１２２Ｇ０５ １一引一一言 矩阵相似的判定是近年考研数学命题的热点问题,也是线性代数教学中的难点之一．由于所需方法 具有较高的综合性,学生在判定矩阵相似时的各种错误逻辑频现,甚至在教育部考试中心２０１９年版的数学考试分析中对２０１８年全国硕士研究生招生考试数学科考试( 数学一二二二三)中的一道试题的解答均出现疏误!为明确起见,将其摘录如下: 下列矩阵中,与矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷相似的为[１](一一)(A )１１－１０１１００１?è?????÷÷÷．一(B )１０－１０１１００１?è?????÷÷÷．(C )１１－１０１０００１?è?????÷÷÷．一(D )１０－１０１０００１?è????? ÷÷÷．解一易知矩阵１１００１１００１?è?????÷÷÷的特征值为λ＝１(３重),其线性无关的特征向量只有１个,即ξ１＝１００?è????? ÷÷÷．对于选项中的４个矩阵,都是以λ＝１为３重特征值的矩阵．选项(A )中的矩阵１１－１０１１００１?è?????÷÷÷只有１个线性无关的特征向量ξ１＝１００?è????? ÷÷÷;
4 矩阵的概念与运算
上海市莘庄中学高三数学训练 板块二：向量矩阵行列式 4 矩阵的概念与运算 一.填空题 1.方程组21 320x y x y +=?? -=?对应的增广矩阵为 . 2.若0ln 1a b π?? ??? 是单位矩阵，则a b -= 3．矩阵A=121037695804-?? ? ? ?-?? ，则23a = ， 32a = ，22a = ，第二行的行向量为 ， 第四列的列向量为 . 4．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是? ?? ? ??-210211，则y x +=_________. 5.关于 x y 、的方程组 { 2542 x my nx y +=-=的增广矩阵经过变换后得到 ()103011，则() m n = . 6.已知 1 4 1 4x+3 y 2y+7 y x y -+???? = ? ????? ，则x y += . 7.已知32 x-3y 1 7,x+y x-y a b x y A B +-????== ? ????? ，若A=B ，则x y a b +++= 8．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23?矩阵表示该路口的时间设置为 . 9.已知A=754312541?? ? ? ???，B=121211111?? ? ? ?-?? ，则2A+B= 10.设矩阵A 为33?矩阵，且规定其元素,,ij ij i j a i j i j =?=? +≠?，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为 . 11．若二元一次方程组的增广矩阵为 6 -4 58 -3 2? ? ??? ，则以该方程的解为坐标的点和圆C ：2 24x y +=的位置 关系为 . 12.定义 1* 111,11n n n n x x n N y y ++-??????=∈ ? ? ???????， 为向量(,)n n n op x y = 到向量111(,)n n n OP x y +++= 的一个矩阵变换，设向量1(1,0)OP = ，O 为坐标原点，则2013OP 的坐标为 13．已知一个九行九列的矩阵中的元素是由互不相等的 81 个数组成: ? ?? ??a 11 a 12 ? a 19 a 21 a 22 ? a 29 ? ? ? ?a 91 a 92 ? a 99 , 若每行9个数 与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间的一个数a 55=7则矩阵中所有元素之和为_____________. 14.设n 阶方阵??????? ? ? ? -+-+-+--+++-+++-=125)1(23)1(21)1(2165434141452321 2125312n n n n n n n n n n n n n n n n A n ， 任取n A 中的一个元素，记为1x ；划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1-n 阶方阵 1-n A ，任取1-n A 中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为n x ， 记n n x x x S +++= 21，则n n x x x S +++= 21，则1 lim 3+∞ →n S n n =______________. 二.选择题 15.关于x 、y 的二元一次方程组1, 323,mx y mx my m +=-??-=+? 的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件 16.已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为（ ） A 、21?? ? ?? B 、21-?? ?-?? C 、 3 51 2?? ??? D 、 5 32 1?? ? ?? 三.解答题 17.已知矩阵A=3021?? ?-??，矩阵B=2122-?? ??? ，求矩阵X ，使期满足2A －3X-=B. 18.已知(4)n n ≥阶方阵1112131212223 2123 n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ?? ? ? ??? 中的各元素均为正数， 其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列．已知23348 20a a ==， ， (1) 求11a 和ik a 的值； (2) 计算行列式 1112 2122 a a a a 和im ik jm jk a a a a ；
线性代数 第四章 相似矩阵 习题
第四章 相似矩阵 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1) ????? ??=931421111),,(321a a a ； (2) ???? ?? ? ??---=011101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令? ???? ??==11111a b ，[][]???? ? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]???? ? ??-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，故得: ? ????? ?? ?? --=311132 013111),,(321b b b ． 2．下列矩阵是不是正交阵: (1) ????? ?? ? ?? --- 12 13 12 1121312 11; (2) ??????? ? ??------ 97949 4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A A T =-1，B B T =-1 E AB A B AB A B AB AB T T T ===--11)()(，故AB 也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ??-4211; (2)????? ??633312321; (3)())0(,121 21≠? ??? ??? ??a a a a a a a n n . 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ① )3)(2(42 11--=---= -λλλ λλE A 故A 的特征值为3,221==λλ． ② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系???? ??-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量． 当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由 ???? ?????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系???? ??-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量． ③ 023 121)1,1(],[2121≠=???? ??--==P P P P T 故21,P P 不正交． (2) ① )9)(1(6333123 2 1-+-=---=-λλλλ λλλE A 故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ． ② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由
矩阵的概念及其线性运算
.. 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ?????? ? ? ?=10 0010001Λ ΛΛΛΛΛΛE n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列 向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
线性代数矩阵相关练习题
向量组的线性相关性----习题课 如何正确理解线性相关（无关）的定义 判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。 (1)若有不全为0的数m λλλ,,,21Λ使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλΛΛ 成立,则m a a ,,1Λ线性相关, m b b ,,1Λ亦线性相关. 解：错。原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλΛ 取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111Λ 其中m e e ,,1Λ为单位向量,则原式成立, 而m a a ,,1Λ；m b b ,,1Λ均线性无关。 (2)若向量组m a a a ,,,21Λ 是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。 解 错。 反例1：设)0,,0,0,1(11Λ==e a ，032====m a a a Λ 满足m a a a ,,,21Λ线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a Λ线性表示. 反例2：)0,0,1(1=a ，)0,0,12-= （a ，)1,0,0(3=a (3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。 解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质： 系数全为0的线性组合一定是零向量。 若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关； 否则线性无关。 (4)若a 能表示为m m a a a λλ++=Λ11 则向量组a a a m ,,,1Λ线性相关. 解：正确。 (7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21Λ使 0αλαλm m 11≠++Λ成立,则m a a ,,1Λ线性无关. 解：错。任何一组数满足上式才行。 (6) 若021====m λλλΛ时，有 0αλαλm m 11=++Λ成立,则m a a ,,1Λ线性无关. 解：错。将“若…… ”改为“只有……”，结论才正确。 反例：)0,0,1(1=a ，)0,1,02（=a ，)0,1,1(3=a ，线性相关； )0,0,1(b 1=，)0,1,0b 2（=，)1,0,0(b 3=，线性无关。
线性代数习题 第五章 相似矩阵及二次型
5-1向量的内积与方阵的特征值 1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d 3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=?k k d 4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5、设矩阵???? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量、
6.试用施密特法把向量组????? ???????---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。 8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。 9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。 .a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件 2、对实对称阵?? ????-=??????=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交 3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。 a 、 矩阵A 有n 个特征值; b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; c 、 矩阵A 的行列式0≠A ; d 、 矩阵A 的特征多项式有重根 4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。 a 、A 与B 正交; b 、 A 与B 有相同的特征向量; c 、 A 与B 等价; d 、 A 与B 相同的特征值。 5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。 6、设方阵??????????------=12422421x A 与????????? ?-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2 35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵?? ????--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。
矩阵行列式的概念与运算标准答案
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵111213212223a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =，()212223b a a a =； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 11111221 11121222111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做 二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成