淮阴中学高三数学一轮复习学案：导数与函数的单调性
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导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程： 一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？ 填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1） （2） （3） （4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。
高三一轮总复习理科数课件：--导数与函数的单调性 .ppt..
A．2 和－2
B．2 和 0
C．0 和－2
D．1 和 0
解析：由 f(x)＝x3－3x， 求导得 f′(x)＝3x2－3，由 3x2－3＝0，得 x＝±1，在[－1，2]上有一个极值， 且 f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2. 则可得最大值和最小值分别为 2 和－2.故选 A.
答案：A
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3．函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x 的极值点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－x2x＋1，由 f′(x)＝0 得 6x2－2x＋1＝0，方程无解， 因此函数无极值点．故选 A.
答案：A
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4．给出下列命题： ①f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
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3
考点疑难突破
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第一课时 导数与函数的单调性
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判断或证明函数的单调性
[典 例 导 引] 已知函数 f(x)＝x－2x＋a(2－ln x)，a＞0.讨论 f(x)的单调性． 【解】 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2. 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8.
求函数的单调区间
(江苏专版)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性实用课件文
4.[考点一]已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数 f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a(x＞0)， ①当 a≤0 时，f′(x)＝1x－a＞0， 即函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a＞0 时，令 f′(x)＝1x－a＝0，可得 x＝1a， 当 0＜x＜1a时，f′(x)＝1－xax＞0；当 x＞1a时，f′(x)＝1－xax＜0，
课时(kèshí)达标检测
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01 突破点（一） 利用导数讨论(tǎolùn)函 数的单调 性或求函数的单调区间
第三页，共34页。
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)为这个区间上的 增函数 ； (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)为这个区间上的 减函数 ； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间上是 常数函数 ．
(k∈Z )；
对于②，f′(x)＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数； 对于③，f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＞0，得 x＞ 33或 x＜－ 33， ∴函数 f(x)＝x3－x 在－∞，－ 33和 33，＋∞上单调递增； 对于④，f′(x)＝－1＋1x＝－x－x 1，令 f′(x)＞0，得 0＜x＜1， ∴函数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．答案：②
根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标 和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成 若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从
高考数学江苏版1轮复习课件：第2章 基本初等函数、导数的应用 11 第11讲 导数与函数的单调性
当 x∈ 1a，1时 g′(x)＜0，g(x)＝－a2x－21x为单调减函数，
所以当
x＝
1 时，g(x)最大，最大值为 a
g
1a＝－
a.
所以 b≥－ a. 当 0＜a≤1 时， 1 ≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0，1]恒成立，
a 所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0，1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1， 综上，当 a＞1 时，b≥－ a；当 0＜a≤1 时，b≥－a＋2 1.
【解】 (1)函数 f(x)＝x－13sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)单调
递增，等价于 f′(x)＝1－23cos 2x＋acos x＝－43cos2x＋acos x＋53
≥0 在(－∞，＋∞)恒成立．设 cos x＝t，则 g(t)＝－43t2＋at＋53
g（1）＝－43＋a＋53≥0
f(x)的单调递增区间是__－__π_，__－__π2__和___0_，__π2___．
【解析】 (1)y＝12x2－ln x， y′＝x－1x＝x2－x 1 ＝（x－1）x（x＋1）(x>0)． 令 y′<0，得 0<x<1， 所以单调递减区间为(0，1)．
(2)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 令 f′(x)＝xcos x>0，
求函数 f(x)＝ln x－12x2＋x－12的单调区间．
解：因为 f(x)＝ln x－12x2＋x－12，
且定义域为(0，＋∞)，
所以 f′(x)＝1x－x＋1＝－（x－1－2
5）（x－1＋2 x
5） .
令 f′(x)＝0，所以 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5(舍去)． 当 x∈(0，1＋2 5)时，f′(x)>0； 当 x∈(1＋2 5，＋∞)时，f′(x)<0， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，1＋2 5)， 单调递减区间为(1＋2 5，＋∞)．
高中数学一轮复习导数与定积分：第4节 导数与函数的单调性
第4节 导数与函数的单调性【基础知识】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．【规律技巧】1.导数法证明函数()f x 在(,)a b 内的单调性的步骤(1)求'()f x ；(2)确认'()f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x ≥时为增函数；'()0f x ≤时为减函数．2.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．4.已知函数单调性，求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f(x)在(a ，b)上单调，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b)都有f′(x)≥0且在(a ，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【典例讲解】例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．【答案】(1)(2,2a ) (2)(0,3]【针对训练】1、设a ∈[－2,0]，已知函数3325,0()3,0.2x a x x f x a x x ax x ⎧-+≤⎪=⎨+-+>⎪⎩ 证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1, ＋∞)内单调递增．2、如图，是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在区间（－2，1）上)(x f 是增函数B ．在区间（1，3）上)(x f 是减函数C ．在区间（4，5）上)(x f 是增函数D ．当4=x 时，)(x f 取极大值．【答案】C3、已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-【答案】C4、若21()(2)ln 2f x x b x =--+在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 【答案】C5、已知)(x f 的定义域为),0(+∞，)()(x f x f 为'的导函数，且满足)()(x f x x f '-<，则不等式)1()1()1(2-->+x f x x f 的解集是 （ ）A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．（1，2）D ．),2(+∞【答案】D6、已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间．【答案】（1） 3.a b ＝＝（2）单调递增区间是,,,26a a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减区间为,)26a a －(－.综合点评：解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法. 【变式一】已知向量2=(e ,-x)2x x a + ，1()b t ＝，，若函数()·f x a b ＝在区间(－1,1)上存在增区间，则t 的取值范围为________．【答案】()1e ∞－，＋7、已知函数()ln (1)2ex f x f x '=-⋅，32()()2x a g x f x x=--（其中a R ∈）.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()g x 在区间[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围；【答案】（1）单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2,)+∞.（2）3a ≥-.【综合点评】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．。
2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)解析版
专题4.2 应用导数研究函数的单调性（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）导数与函数的单调性1.在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f ′(x)；③由f ′(x)>0（或f ′(x)<0）解出相应的x 的取值范围，当f ′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．（二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．【常考题型剖析】题型一：判断或证明函数的单调性例1.（2017·山东·高考真题（文））若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是（ ）A ．()2xf x -= B ．()2f x x = C ．()-3xf x = D ．()cos f x x =【答案】A 【解析】 【详解】对于A,令()e 2x x g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A.例2．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.例3.（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==， 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎣⎦上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 题型二：求函数的单调区间例4．（2012·辽宁·高考真题（文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ） A ．（-1,1] B ．（0,1] C ．[1，+∞） D ．（0，+∞）【答案】B 【解析】 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B例5.（2016·北京·高考真题（理））设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b 的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断1()1x g x x e -=-+的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为()a x f x xe bx -=+，所以()(1)a x f x x e b -=-+'. 依题设，(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()x f x xe ex -=+. 由21()(1)x x f x e x e --=-+'及20x e ->知，与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+，则1()1x g x e -=-+'. 所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.【总结提升】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f ′(x )结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 题型三： 利用函数的单调性解不等式例6．（2015·全国·高考真题（理））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f xg x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f xg x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数.例7．（2017·江苏·高考真题）已知函数()3x x 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1[1,]2-【解析】 【详解】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+，所以数()f x 在R 上单调递增，又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．题型四：利用函数的单调性比较大小 例8.（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A例9．（2007·陕西·高考真题（理））已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )． A ．af (b )≤bf (a ) B ．bf (a )≤af (b ) C ．af (a )≤f (b ) D ．bf (b )≤f (a )【答案】A【解析】 【详解】因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以()f x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝2'()()xf x f x x -≤22()f x x -≤0， 则函数()f x x在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a <b ，则()()f a f b a b≥，即af (b )≤bf (a ) 例10．（2013·天津·高考真题（文））设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：对函数()2x f x e x =+-求导得()=1x f x e '+，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<.例11．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C. 【总结提升】1.在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．2.构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e. 题型五：根据函数的单调性求参数范围例12．（2014·全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．例13．（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞例14．（2014·全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围． 题型六：利用导数研究函数的图象例15．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.例16．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.例17.（2017·浙江·高考真题）函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 题型七：与函数单调性相关的恒成立问题例18．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 ()e xf x x =-，则 ()f x 的单调递增区间为________； 若对任意的()0,x ∞∈+， 不等式 ln 2e 1xx ax+-≥恒成立， 则实数 a 的取值范围为________．【答案】 (0,)+∞(填[)0,∞+亦可) 1(,]2-∞【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数()e ln x g x x x x =⋅--的最小值，令ln t x x =+换元后可根据单调性求最值. 【详解】 ()1x f x e =-',令()0f x '>,可得()f x 的单调递增区间(0,)+∞ (或[)0+∞，亦可); ln 2e 1x x ax+-≥可化为2e ln x a x x x ≤⋅--. 令()e ln x g x x x x =⋅--=ln e e ln x x x x ⋅--=ln e (ln )x x x x +-+， 设ln t x x =+，则()e =-t h t t ，由()e xf x x =-在[)0+∞，上单调递增可知， 0()(0)e 01h t h ≥=-=，则21a ≤， 故解得12a ≤.故答案为：(0,)+∞(填[)0,∞+亦可)；12a ≤例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[)0,∞+ 【解析】 【分析】令()()g x f x x =-，进而原题等价于()g x 在()0,∞+单调递增，从而转化为()e 10x mg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．故答案为：[)0,∞+.例20．（2010·全国·高考真题（理））设函数()21x f x e x ax =---.(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a 的取值范围为(－∞，12]. 【解析】 【分析】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0可求()f x 的单调区间；(2求导得到)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故问题转化为f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而对1－2a 的符号进行讨论即可得出结果. 【详解】 (1)a ＝0时，()1x f x e x＝－－，()1x f x e '＝－.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加 (2)()12x f x e ax'-＝－.由(1)知1x e x ≥＋，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由1x e x ≥＋ (x ≠0)得1x e x -≥- (x ≠0)，从而当a >时，f ′(x )< 1x e -＋2a (1x e --)＝x e - (1x e -)(x e －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0， 综上可得a 的取值范围为(－∞，]． 【规律方法】处理此类问题，往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.。
2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第14讲 导数与函数的单调性
第2讲导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数导师提醒1．关注两个易错点(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．2．理清三组关系(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a ，b)上的任何子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f (x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．()答案：(1)×(2)√(3)√如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是() A．在区间(－3，1)上f(x)是增函数B ．在区间(1，3)上f (x )是减函数C ．在区间(4，5)上f (x )是增函数D ．在区间(3，5)上f (x )是增函数解析：选C.由图象可知，当x ∈(4，5)时，f ′(x )>0，故f (x )在(4，5)上是增函数． (教材习题改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数D ．减函数解析：选D.因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：由f ′(x )＝1－1x <0，得1x >1，即x <1，又x >0，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)．答案：(0，1)已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又因为x ∈[1，＋∞)，所以a ≤3，即a 的最大值是3. 答案：3不含参数函数的单调性(自主练透) 1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：选B.由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，所以函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B.2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上递增B ．在(0，＋∞)上递减C ．在(0，1e )上递增D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上递减 解析：选D.因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为(1e，＋∞)；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调递减区间为(0，1e)，故选D.3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间．[提醒] 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．含参数函数的单调性(师生共研)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .讨论f (x )的单调性． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . (1)0<a <2时，2a>1， 当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0， f (x )单调递增． (3)a >2时，0<2a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0<a <2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．解决含参数的函数单调性问题应注意的2点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a2a ，＋∞上单调递增．函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小或解不等式(1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)(2)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( )A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3【解析】 (1)由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B.(2)令g (x )＝f （x ）sin x，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos xsin 2x ，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332，所以3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. 【答案】 (1)B (2)A角度二 已知函数的单调性求参数已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝(1x －1)2－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a ＞－1.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x －1)2－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，即a 的取值范围是[－716，＋∞)． [迁移探究1] (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围． 解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1，4]时，(1x 2－2x )min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．[迁移探究2] (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )＜0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a ＞1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，(1x 2－2x)min ＝－1，所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．[迁移探究3] (变条件)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围． 解：因为h (x )在[1，4]上不单调， 所以h ′(x )＝0在(1，4)上有解， 即a ＝1x 2－2x有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1，4)，则－1<m (x )<－716， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－716.(1)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．[提醒] f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任意一个非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．1．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C.令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，所以F (x )在R 上单调递减．又a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ）.又f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．2．已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x 在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在区间[1，2]上为单调函数，即在[1，2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0， 即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在[1，2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x. 令h (x )＝4x －1x ，因为函数h (x )在[1，2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a <0或0<a ≤25或a ≥1.分类与整合思想在研究函数单调性中的应用已知函数f (x )＝(x －2)·e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 【解】 f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (1)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (2)设a <0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ②若a >－e2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))和(1，＋∞)上单调递增， 在(ln(－2a )，1)上单调递减． ③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)和(ln(－2a )，＋∞)上单调递增， 在(1，ln(－2a ))上单调递减．含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2019·山东枣庄调研)已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫12x 2＋x (a ∈R )． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程； (2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝2e.又f (1)＝e ，所以y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln a .①当a＝1e时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．②当0<a<1e时，ln a<－1，由f′(x)>0，得x<ln a或x>－1；由f′(x)<0，得ln a<x<－1，所以单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)．③当a>1e时，ln a>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a；由f′(x)<0，得－1<x<ln a，所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．综上所述，当a＝1e 时，f(x)在R上单调递增；当0<a<1e时，单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)；当a>1e时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．[基础题组练]1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是()A．单调递增B．单调递减C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：选A.f′(x)＝1－cos x>0恒成立，所以f(x)在R上递增，在(0，2π)上单调递增．2．(2019·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：选C.由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0，3]解析：选A.因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，由x －9x ≤0，得0<x ≤3，所以f (x )在(0，3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )， 所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C. 6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x －ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)7．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝⎛⎭⎫12，2上小于0， 所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎨⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎨⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又因为f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x ，设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， 又f (x )的单调递减区间为(－1，1)， 所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3，所以实数a 的取值范围为(0，3)．[综合题组练]1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)<f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2>0B ．x 1＋x 2>0C ．x 21－x 22>0D ．x 21－x 22<0解析：选D.由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以当f (x 1)<f (x 2)时，有f (|x 1|)<f (|x 2|)，所以|x 1|<|x 2|，x 21－x 22<0，故选D.2．(应用型)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A.因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0， 所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．3．(应用型)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________． 解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)4．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析：设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以 g ′(x )<0，所以 g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.因为 f (x )为奇函数，所以 g (x )为偶函数， 所以 g (x )的图象的示意图如图所示． 当x ＞0，g (x )＞0时，f (x )＞0，0＜x ＜1， 当x ＜0，g (x )＜0时，f (x )>0，x ＜－1，所以 使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)． 答案：(－∞，－1)∪(0，1) 5．(综合型)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)，此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a.由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a>0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增． 6．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′（x ）＋m2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的单调增区间为(0，1)， 单调减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .所以g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， 所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373. 所以－373<m <－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第三章 3.2 导数与函数的单调性 (含解析)
§3.2导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数概念方法微思考“f (x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．(√)(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f (x)在此区间内单调递增．(×)(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内是减函数．(√) 题组二教材改编2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f (x)是增函数B．在区间(1,3)上f (x)是减函数C．在区间(4,5)上f (x)是增函数D．在区间(3,5)上f (x)是增函数答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )是增函数． 3．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数 D ．减函数答案 D解析 因为在(0，π)上恒有f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.4．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案 (0，＋∞) (－∞，0)解析 由f ′(x )＝e x －1>0，解得x >0，故其单调递增区间是(0，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <0，故其单调递减区间为(－∞，0)．题组三 易错自纠5．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4的单调减区间为[－1,4]，则实数a 的值为________．答案 －4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )的单调减区间为[－1,4]，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根， 则a ＝(－1)×4＝－4.6．若y ＝x ＋a 2x (a >0)在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (0,2]解析 由y ′＝1－a 2x2≥0，得x ≤－a 或x ≥a .∴y ＝x ＋a 2x 的单调递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤2.又a >0，∴0<a ≤2. 7．已知函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f (x )在(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是________________； (2)若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)(－∞，3]∪⎣⎡⎭⎫92，＋∞ (2)⎝⎛⎭⎫3，92 解析 由f (x )＝x 3－ax 2，得 f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －2a 3.(1)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a3，若f (x )在(2,3)上单调递减，则有2a 3≥3，解得a ≥92；若f (x )在(2,3)上单调递增，则有2a3≤2，解得a ≤3，所以若f (x )在(2,3)上单调，实数a 的取值范围是(－∞，3]∪⎣⎡⎭⎫92，＋∞. (2)若f (x )在(2,3)上不单调，则有⎩⎨⎧2a3≠0，2<2a3<3，可得3<a <92.不含参函数的单调性1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D. 3．函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________． 答案 (－∞，0) (0,1)解析 f (x )的定义域为{x |x ≤1}， f ′(x )＝1－11－x.令f ′(x )＝0，得x ＝0. 当0<x <1时，f ′(x )<0.当x <0时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f (x )＝x sin x ＋cos x ，则 f (x )的单调递增区间是______________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．含参数的函数的单调性例1 已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解 函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x＝(ax －1)(x －1)x.①当0<a <1时，1a>1，∴x ∈(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当a >1时，0<1a<1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 若将本例中参数a 的范围改为a ∈R ，其他条件不变，试讨论f (x )的单调性？ 解 a >0时，讨论同上； 当a ≤0时，ax －1<0，∴x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．综上，当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1 (2020·重庆一中模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，试讨论f (x )的单调性． 解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝⎛⎭⎫－2a3，0时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2a3，0上单调递减； 当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a3时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a3上单调递减． 综上，当a ＝0时，f (x )在R 上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减． 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A解析 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. (2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b 答案 D解析 设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以g (x )为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．由0<ln 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a <b ，故选D.命题点2 根据函数单调性求参数例3 已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 因为f (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立． 设G (x )＝1x 2－2x，x ∈[1,4]，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．本例中，若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解 因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则f ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．本例中，若f (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．解 因为f (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，f ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立， 又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若 f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ， 得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )， 所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2， 当且仅当x ＝0时取等号，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2， 解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. (2)(2020·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 ∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x， ∵函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x 在(t ，t ＋1)上有变号零点，∴x2＋3x－4x＝0在(t，t＋1)上有解，∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)，∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)．。
高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性课件
【常用结论】 1.利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x) >0或f′(x) <0求出单调区间. (2)当方程f′(x)=0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间， 确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间. (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质 确定f′(x)的符号，从而确定单调区间.
解题新思维 构造法的应用 【结论】构建新函数解答比较大小和不等式问题 分析已知条件的特点构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进 行大小的比较.
【典例】(2020·凉山模拟)若0<x1<x2<a都有x2ln x1-x1ln x2<x1-x2成立,则a的 最大值为 ( )
A. 1
B.1
提示:(1)√.
(2)×.不一定,如函数y= 的1 导函数y′=- <0恒1 成立,但是函数y= 的图1象
x
x2
x
不是恒下降的.
(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.
【易错点索引】
序号 1 2
3
易错警示 忽视定义域优先的原则 分类讨论时分类标准出错
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.
() (2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减. () (3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立. ( )
第二节 利用导数研 究函数的单调性
内容索引
高考数学一轮复习 导数与函数的单调性讲义
专题4.2 导数与函数的单调性1. 以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合凸显数学运算、逻辑推理等核心素养；2.与函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等综合考查.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力1.函数的单调性与导数的关系(1)函数()y f x =在某个区间(),a b 内可导.①如果在区间(),a b 上()0f x '>恒成立，则()f x 在区间(),a b 内单调递增； ②如果在区间(),a b 上()0f x '<恒成立，则()f x 在区间(),a b 内单调递减； (2) 函数()y f x =在某个区间(),a b 内单调①在某个区间内，()0f x '>()()0f x '<是函数()f x 在此区间内单调递增（减）的充分条件．．．．，而不是必要条件.如函数()2f x x =在R 上单调递增，但()230f x x '=≥.②如果函数()f x 在(),a b 内单调递增(减)，则()()()00f x f x ''≥≤在区间(),a b 内恒成立，且在其任意的子区间内()0f x '=不能恒成立，即在个别点处导函数等于零，不影响函数的单调性.2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数()f x 的定义域； (2)求导数()f x '；(3)在函数()f x 的定义域内解不等式()0f x '>或()0f x '<； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．求函数的单调区间【方法储备】1.利用导数求函数的单调区间的一般步骤为： （1）确定函数()f x 的定义域； （2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<； （4）根据（3）的结果确定函数()f x 的单调区间．2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解．．．．．．．．．，方便后面求根和判断导函数的符号．【精研题型】1.已知函数()2ln f x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为________． 2.函数()=1+sin f x x x -在()0,2π上的单调情况是 ．3.已知0a <，函数()322=2f x x ax a x +-+的单调递减区间是 ．【特别提醒】1. 先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对x 取值的限制，对解不等式有时会起到简化．．的作用，方便单调区间的求解；2.在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式；3.一般可令()0f x '>，解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x 不存在常值函数部分，那么减区间即为增区间在定义域上的补集；4.若()0f x '>的解集为定义域，那么说明()f x 是定义域上的增函数，若()0f x '>的解集为∅，那么()f x 是定义域上的减函数.给定区间求参数的取值范围【方法储备】已知函数单调性求参数的值或参数的范围： (1)已知函数()y f x =在区间(),a b 上单调 ①在区间(),a b 上单调递增：转化．．为()0f x '≥在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间上不恒为0； 也可转化．．．．为区间(),a b 是单调增区间的子区间； ②在区间(),a b 上单调递减：转化．．为()0f x '≤在(),a b 上恒成立，且在(),a b 的任意子区间上不恒为0； 也可转化．．．．区间(),a b 是单调减区间的子区间. (2)已知区间(),a b 是函数()y f x =的单调区间：①函数()y f x =的增区间是(),a b ，可转化．．．为(),a b ＝增区间， 也可转化．．．．为()0f x '>的解集是(),a b ； ②函数()y f x =的减区间是(),a b ，可转化．．．为(),a b ＝减区间，也可转化．．．．为()0f x '<的解集是(),a b ． (3)已知函数()y f x =在区间(),a b 上存在递增或递减区间：①利用正难则反思想，转化为函数()y f x =在区间(),a b 上不存在递增或递减区间，即()0f x '≤或()0f x '≥；②转化为()0f x '>或()0f x '<在区间(),a b 上有解. (4) 已知函数()y f x =在区间(),a b 上不单调：即函数()y f x =在区间(),a b 上有极值点，转化为()f x '在区间(),a b 上有零点.【精研题型】6.若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是A. (],2-∞-B. 1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. ()2,-+∞【思维升华】7. 若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是 A. 13a <≤ B. 4a ≥ C. 3a ≤ D. 14a <≤ 8.设函数()ln 2ln xf x a x x=+. （1）若12a =-，求()f x 在x e =处的切线方程；（2）若()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.函数单调区间的讨论【方法储备】1.求函数的定义域；2.明确讨论点依据：（1）导函数有无零点的讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域内的讨论； （3）二次项系数讨论；（4）导函数多个零点时大小的讨论.【精研题型】9.（导函数有一零点）已知函数()=ln f x ax x -，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性；10.（导函数有两个零点且能因式分解）已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，1a >． （1）若'(2)0f = ，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性．12.（构造函数再求导）已知函数()=2ln 1f x x +． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()g x =【思维升华】（1）若，求()f x 的零点；【特别提醒】1.导函数有一个零点：①定义域为R 时，讨论零点有无意义；②定义域不是R 时，讨论零点在不在定义域内；2.导函数有两个零点：①定义域为R 时：讨论零点的大小关系；②定义域不是R 时，讨论两个零点在不在定义域内，若都在，讨论零点的大小关系；③不能因式分解时，利用判别式讨论根个数，或构造函数研究零点.构造函数研究单调性【方法储备】比较大小或解不等式的思路方法1.根据导数计算公式和已知的不等式．．．．．．．．．．．．．构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数. 构造函数常见形式： （1）加乘型①()()()xf x f x e f x '+⇒②()()()f x xf x xf x '+⇒ ③()()()nnf x xf x x f x '+⇒（2）减除型 ① ()()()xf x f x f x e '-⇒② ()()()f x xf x f x x '-⇒③()()()n f x xf x nf x x'-⇒ （3）带常数型① ()()()xxf x f x k e f x ke '+±⇒±②()()()xf x kf x f x k e'-±⇒2.含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系.【精研题型】15.实数33,3,,e e πππ中的最大值和最小值分别为A. 33,e πB. 33e π，C. 3,e e πD. 3,e ππ16.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()11,f f x =的导数()()2f x x R '<∈ ，则不等式()21f x x <-的解集为A. (),1-∞B. ()1+∞，C. ()12，D. ()(),11,+-∞-∞17.已知()f x 的定义域是()0+∞，，()f x '是()f x 的导数，且满足()()f x f x '>，则不等式()()2222x x ef x x e f +⋅->⋅的解集是 ______ ．【思维升华】20.(多选)已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，导函数为()f x '，()()ln xf x f x x x '-=，且11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A.10f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭B. ()f x 在1x e =处取得极大值C.()011f <<D. ()f x 在()0+∞，单调递增 单调性的应用【方法储备】先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小，或者解不等式.【精研题型】21.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()=2f x f x -，且当(),1x ∈-∞时，22.设函数()21cos 2f x x x =+，若()()0.2153log 2,log 2,a f b f c f e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c的大小为A. b a c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a b c << 23.函数()f x 是定义是在R 上的可导函数，其导函数()f x '满足()()20f x xf x '+<，则【思维升华】25.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()+0f x f x -=．设26a f π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<26.定义在R 上的函数()f x ,满足()()24f x f x x +-=,且当0x >时, ()40f x x '-<,专题4.2导数与函数的单调性答案和解析考点一1.【答案】(]0,2 【解析】 【分析】本题考查利用函数的导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，然后令导函数大于等于零，解集即为函数的单调增区间. 【解答】 解：()f x =-()1-x ⎛'=- ⎝()0x '≥，又可得(]0,2x ∈， 故答案为(]0,2.2.【答案】()f x 在()0,2π上单调递增 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，导数在给定的区间上恒大于0，则函数在区间上单调递增. 【解答】解：由题意得()1cos f x x '=-当()0,2x π∈时，()1cos 0f x x '=->恒成立，()f x ∴在()0,2π上单调递增.3.【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数()f x '，解不等式()0f x '<，即可得出函数的单调递减区间. 【解答】考点二4. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题.因为()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()0x f x ke x '=-恒成立，即x x k e 在(0,)+∞上恒成立.令()(0)x x g x x e=>，求得()g x 在(0,)+∞的最大值，即可得答案． 【解答】解：21()2x f x ke x =-， ().x f x ke x '∴=-函数()212x f x ke x =-在(0,)+∞上单调递增， ()0x f x ke x '∴=-在(0,)+∞上恒成立，即x x k e 在(0,)+∞上恒成立. 令()(0)x x g x x e =>，则()1(0)x x g x x e -'=>， ∴当01x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.max 1()(1)g x g e∴==， 1.k e∴ 故选.C5. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属根据题意可知当2()30f x x a '=-或2()30f x x a '=-时，()f x 为单调函数，从而可得函数()f x 在(2,2)-上不单调时a 的取值范围，进而可得充分不必要条件．【解答】解：由已知，当(2,2)x ∈-时，2()3f x x a '=-，当2()30f x x a '=-或2()30f x x a '=-时，()f x 为单调函数，则0a 或12a ，故()f x 在(2,2)-上不单调时，a 的范围为(0,12)，故C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选.D6. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．求出函数的导数，问题转化为()0f x '>在1(,2)2x ∈有解，转化为存在1(,2)2x ∈，使得212a x >-，，而21()2g x x =-在1(,2)2单调递增，求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【解答】解：根据题意得，()12f x ax x'=+， ()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，()0f x '∴>在1(,2)2内有解， 即211202ax a x x +>⇔>-在1(,2)2内有解 故存在1(,2)2x ∈，使得212a x >-， 令21()2g x x =-，则()g x 在1(,2)2单调递增， 所以1()(2,)8g x ∈--，故选.D7. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了用导数研究函数的单调性，是基础题.利用导数求出函数的单调减区间，然后转化为集合之间的关系即可.【解答】 解：因为299()x f x x x x-'=-=， 所以在(0,3)x ∈上()0f x '<，()f x 单调递减；在(3,)x ∈+∞上()0f x '>，()f x 单调递增， 函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,]a a -上单调递减， 于是103a a ->⎧⎨⎩，解得1 3.a <故选.A8.【答案】解：(1)当12a =-时，ln ()ln x f x x x =-+，21ln ()x x f x x '-+-=， 所以1()f e e '=-，又因为1()1f e e =-+，所以切线方程为11.y x e e=-+ (2)因为()f x 在定义域上单调递增，所以当(0,)x ∈+∞时，221ln ln 1()02ax x x f x a x x+--'=⇒， 令2ln 12ln (),()x x g x g x x x--='=，2()0(0,),g x x e '>⇒∈2()0(,)g x x e '<⇒∈+∞，所以2max 21()()g x g e e ==， 所以21.2a e - 【解析】本题考查函数的导数，求函数中未知量的取值范围，首先分离参变量，再根据新构建的函数的性质求得未知量范围．(1)将a 的值代入()f x ，求出()f e 和()f e '，即可得切线方程；(2)函数单调递增则()0f x '，即21ln 0ax x +-，整理分离未知量a ，再根据x 取值范围求得实数a 的范围．考点三9. 【答案】解：(1)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-， 由于a R ∈，0x >，所以当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递减【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)函数()ln ()f x ax x a R =-∈的定义域为(0,).+∞求导后对a 分类讨论即可得出单调性．10. 【答案】解：（1）由题意得()1a f x x a x-'=-+ ()12202a f a -'∴=-+= 3a ∴=（2）由（1）得()()()21111=x x a a x ax a f x x a x x x---⎡⎤--+-⎣⎦'=-+=1a >，10a ∴->①当11a -=即2a =时，()()210x f x x -'=≥()f x ∴在区间()0+∞，上单调递增②当11a -<即02a <<时，令()0f x '>时，01x a <<-或1x >()f x ∴在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减③当11a ->即2a >时，令()0f x '>时，01x <<或1x a >-()f x ∴在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减综上可得：当2a =时，()f x 在区间()0+∞，上单调递增；当02a <<时，()f x 在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减； 当2a >时，()f x 在区间()()01,1,a -+∞，上单调递增，在区间()11a -，上单调递减.【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．（1）先求导，结合已知条件带入可求a ；（2）结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论，即可求解函数的单调性.11. 【答案】解：2221(1)()1(0)a x x a f x x x x x '+-=-+=>， 若0a ，则()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增；若0a >，方程20x x a +-=的判别式为140a +>，所以方程有两根分别为10x =<，20x =>， 所以当2(0,)x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上递减；在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增. 【解析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属于拔高题.(1)求导数可得2221()1(0)a x x a f x x x x x '+-=-+=>，对a 进行分类讨论可得函数单调性； 已知函数()2ln 1.f x x =+(1)若()2f x x c +，求c 的取值范围;(2)设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性. 12.【答案】解：(1)()2f x x c +等价于2ln 21x x c --，设()2ln 2h x x x =-， 则22(1)()2x h x x x-'=-=， 所以()h x 在()0,1上递增，在(1,)+∞递减，max ()(1)2h x h ==-，所以12c --，即1c -，因此c 的取值范围是[1,).-+∞(2)因为2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-， 所以22()2ln 2ln ()()x a x a x g x x a --+'=- 222ln 2ln 2()a x a x x a --++=-， 令2()2ln 2ln 2(0),a x x a x x ϕ=--++> 则22222()()a a x x x x x ϕ-'=-=， 令()0x ϕ'>，得0x a <<；令()0x ϕ'<，.x a >所以，()x ϕ在(0,)a 上递增，在(,)a +∞上递减；因此，()()0x a ϕϕ=，即()0g x '，所以()g x 在(0,)a 和(,)a +∞都是单调递减的．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)不等式等价于2ln 21x x c --，设()2ln 2h x x x =-，求导判断()h x 单调性及最值，即可求得c 的范围;(2)对()g x 求得，再令()g x '的分子为2()2ln 2ln 2(0),a x x a x xϕ=--++>对()x ϕ求导，判断单调性及最值，进而可得()g x 的单调性. 13.【答案】解：(1)若1a =，则2()(1)12xx f x x e =--+，()(1)x x f x xe x x e '=-=-， 当(,0)x ∈-∞时，10xe -<，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，10x e ->，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．又因为(0)0f =，所以()f x 的零点为0.x =(2)()()x f x x e a '=-，①若0a ，由于0x e a ->，令()0f x '=，则0x =，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,0)-∞上单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．②若01a <<，令()0f x '=，则0x =或ln x a =，且ln 0a <，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增；当(ln ,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(ln ,0)a 上单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增．③若1a =，由(1)知，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．④若1a >，令()0f x '=，则0x =或ln x a =，且ln 0a >，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞上单调递增；当(0,ln )x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,ln )a 上单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增．综上，当0a 时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)a +∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点和不等式恒成立问题，涉及的主要思想是分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于拔高题．(1)当1a =时，()(1)x f x x e '=-，易证得()f x 在R 上单调递增，而(0)0f =，故()f x 有唯一零点0.x =(2)求导得()()x f x x e a '=-，然后分四类：0a ，01a <<，1a =和1a >，逐一讨论()f x '与0的关系，从而得函数()f x 的单调性．14.【答案】解：22221(1)((1))(1)(1)()(1)a a x x a a x a x f x a x x x x '-+--+-=-+-==，(0)x >①当1a =时，21()x f x x '-=，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. ②当1a >时，101a x a=<-，210x =>，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增. ③当01a <<时，10a -<，101a x a =>-，210x =>， )11a i a<-，即102a <<时()f x 在(0,)1a a -单调递减，在(,1)1a a -单调递增，在(1,)+∞单调递减.)11a ii a =-，即12a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减. )11a iii a >-，即112a <<时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)1a a -单调递增，在(,)1a a +∞-单调递减.综上：①当102a <<时，()f x 在(0,)1a a -单调递减，在(,1)1a a -单调递增，在(1,)+∞单调递减.②当12a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减. ③当112a <<时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)1a a -单调递增，在(,)1a a +∞-单调递减. ④当1a 时，()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增.(2)()ln a g x x ax x=+-，(1)0g =，22()ax x a g x x '-+-=， 令2()+h x ax x a =--，214a ∆=-，①当2140a -，即12a 时，()0()0()h x g x g x '⇒⇒在()0,1单调递减， (1)0g =，()g x 在()0,1上没有零点，舍；②当2140a ->，即102a <<时，(0)0h a =-<，对称轴102x a =>，(1)120h a =->，3401x x ∃<<<，使得()()340h x h x ==，∴当3(0,)x x ∈时，()0()0()h x g x g x <⇒<⇒在()30,x 单调递减，当3(,1)x x ∈时，()0()0()h x g x g x >⇒>⇒在()30,x 单调递增，0000ln lim ()lim(ln )lim()lim()x x x x a x x a a g x x ax x xx →→→→+=+-===+∞， ∴存在唯一的03(0,)x x ∈，使得()00.g x = 综上，1(0,).2a ∈【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，由函数的零点求参数. (1)先求导，并求出()0f x '=的根，然后分1a =，1a >，01a <<进行讨论求解()f x 的单调性；(2)求出()g x 并求导22()ax x a g x x-+-'=，令2()+h x ax x a =--，对214a ∆=-的值进行讨论求解a 的取值范围.考点四15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查指数函数与幂函数的单调性，利用导数判断函数的单调性，运用指数函数与幂函数的性质求解即可.【解答】解：因为3e π<<，由x y e =在R 上单调递增，则 3e e π<，由3y x =在(0,)+∞上单调递增，则 33e π<，由y x π=在(0,)+∞上单调递增， 3e ππ<，令()()ln x f x x e x=>， 则()21ln 0x f x x -'=<， 所以()f x 在(),e +∞上单调递减， 所以3ln 3ln ln 33ln 33ππππππ>⇒>⇒>， 所以实数3e ，3π，3π，e π中的最大值和最小值分别为3π，3.e故选.A16 【答案】B【解析】【分析】本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．构造函数()()21g x f x x =-+，()()20g x f x ''=-<，从而可得()g x g （x ）的单调性，结合()1=1f ，可求得()1=0g ，然后求出不等式的解集即可．【解答】解：令()()21g x f x x =-+，∵()()2f x x R '<∈，∴()()20g x f x ''=-<，∴()()21g x f x x =-+为减函数，又()1=1f ，∴()()1=f 1210g -+=，∴不等式()21f x x <-的解集⇔()()()2101g x f x x g =-+<=的解集，即()()1g x g <，又()()21g x f x x =-+为减函数，∴1x >，即()1+x ∈∞，．故选B ．17. 【答案】(1,0)(1,2)-【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数()g x 是解题的关键，本题是一道中档题． 构造新函数()()x f x g x e=，通过求导得到()g x 的单调性，所解的不等式转化为求2()(2)g x x g ->，结合函数的单调性得到不等式，解出即可．【解答】解：设()()x f x g x e =，(0)x >，则()()()0x f x f x g x e'-'=<， ()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由222()(2)x x e f x x e f +⋅->⋅得：222()(2)x x e e f x x e f ⋅⋅->⋅，得：222()(2)x xf x x f e e -->， 2()(2)g x x g ∴->，202x x ∴<-<，解得：10x -<<或12x <<，故答案为(1,0)(1,2).-18. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题，方法是利用导数求函数的最值，构造函数()y xf x =是解题的关键.【解答】解：依题意，得12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1211222121()()()()0f x f x x f x x f x x x x x --=<， 所以1122()()x f x x f x <，则()y xf x =在(0,)+∞上单调递增， 令2()()()xx ae g x xf x x x ae x x ==-=-，则()20x g x ae x '=-恒成立，即2x x a e， 令2()x x t x e =，则2(1)()xx t x e -'=， 当()0,1x ∈时，()0t x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0t x '<，故max 2()(1)t x t e ==，所以2a e， 故选.B19. 【答案】C【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造函数()ln 1x f x x x=+，求出导数可知()f x 的单调性，由题可知()f x 在(0,)a 单调递增，即可求出a 的范围，得出答案. 【解答】解：令()ln 1x f x x x=+，0x >， 则()2ln x f x x -'=，令()0f x '=，解得1x =，则()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，对于任意的120x x a <<<，都有121221ln ln 11x x x x x x -<-，即121122ln ln 11x x x x x x +<+， 即()f x 在(0,)a 单调递增，所以01a <，即a 的最大值为1. 故选.C20. 【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题. 根据题意可设21()ln 2f x x x bx =+，根据11()f e e =求b ，再求()f x '判断单调性求极值即可.【解答】 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，导函数为()f x '，()()ln xf x f x x x '-=， 即满足2()()ln xf x f x x x x'-=， 2()()()()f x xf x f x x x ''-=， ()ln ()f x x x x'∴=，∴可设2()1ln (2f x x b b x =+为常数)， 21()ln 2f x x x bx ∴=+， 211111()ln 2b f e e e e e=⋅+=，解得12b =， 211()ln 22f x x x x ∴=+， 1(1)2f ∴=，满足0(1)1f <<， C ∴正确；22111()ln ln =(ln 1)0222f x x x x '=+++，且仅有1()0f e'=， B ∴错误，A 、D 正确，故选.ACD考点五21. 【答案】B【解析】【分析】本题考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力，属于中档题．根据()(2)f x f x =-求出()x 的图象关于1x =对称，又当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x -⋅'<，10x -<，得到()0f x '>，此时()f x 为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由()(2)f x f x =-可知，()f x 的图象关于1x =对称，根据题意又知(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数， 所以1(3)(1)(0)()2f f f f =-<<，即c a b <<， 故选.B22 【答案】A【解析】23. 【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用，不等式求解，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性及极值，属于中档题.设()2()g x x f x =，求导判断出()g x 的单调性及极值，利用单调性及极值，结合分类讨论即可求出不等式的解集.【解答】解：2()()0f x xf x +'<，当0x =时，()0f x <；设()2()g x x f x =，则()()()2()22()()g x xf x x f x x f x xf x '=+'=+'， 当0x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，则0x =时，()g x 有极大值为(0)0g =，所以()0g x ，又当0x =时，()0f x <；所以()0f x <的解集为.R故选.D24. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及分离参数与函数值域的求法知识点，属中等题．根据题意原不等式即sin 1m m θ>-恒成立，根据分离变量法求解.【解答】解：由3(),f x x x R =∈可知()f x 的定义域为R ，且为奇函数，2()30f x x '=，则()f x 在R 上单调递增，(sin )(1)0f m f m θ∴+->即(sin )(1)(1)f m f m f m θ>--=-，根据函数单调性有：sin 1m m θ>-①，02πθ<，∴可设sin [0,1),t θ=∈则011t <-，∴①式即1(1)11m t m t-<⇒<-恒成立， min 11m t ⎛⎫∴< ⎪-⎝⎭，当0t =时，min111t ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 1m ∴<，则实数m 的取值范围是(,1).-∞故选.D 25. 【答案】D【解析】解：设()()sin f x g x x =，2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'-∴'=， (0,)x π∈时，()sin ()cos f x x f x x '<，(0,)x π∴∈时，()0g x '<，()g x ∴在(0,)π上是减函数，又x R ∈时，()()0f x f x +-=，()f x ∴是R 上的奇函数，()g x ∴是R 上的偶函数，()(),(),()6642a g gb gc g ππππ∴=-===， ()g x 在(0,)π上是减函数， .c b a ∴<<故选：.D可设()()sin f x g x x=，根据条件即可得出(0,)x π∈时，()0g x '<，即得出()g x 在(0,)π上是减函数，并根据条件可判断出()g x 是偶函数，这样即可得出(),(),()642a gb gc g πππ===，这样即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了通过构造函数解决问题的方法，基本初等函数和商的导数的计算公式，奇函数和偶函数的定义及判断，根据导数判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．26.【答案】C 【解析】()()24f x f x x +-=，()()()()22-220f x x f x x ⎡⎤∴+---=⎣⎦. ()g x ∴为R 上的奇函数，()()=4g x f x x ''-,当0x >时, ()()400f x x g x ''-<∴<,()g x ∴在()0+∞，上单调递减.又()g x 为R 上的奇函数, ()g x ∴在R 上单调递减.()()()()()()()()2211212142g m g m f m m f m m f m f m m ⎡⎤⎡⎤---=-------=⎣⎦⎣⎦---+-f(m-1)- ()()()2410f m m g m g m -<-∴---<即()1g m -<()g x ∴是。
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第 20 课 导数与函数的单调性
课标解读
通过数形结合得方法直观了解函数的单调性与导数的关系，学会利用导数研究常见函数
的单调性。体会导数方法，在研究函数性质中的一般性和有效性。
一、基础自测
1、函数xxxfln2)(2的增区间是
2、设R的可导函数f(x)满足2(1)'()0xfx，则函数f(x)的增区间为
3、已知函数)20)(sin(cos21)(xxxexfx，则f（x）的值域为
4. 在(,)ab内f（x）>0是()fx在(,)ab内单调递增的________条件。
5、若函数)(3xxay的递减区间为（)33,33，则a的取值范围为
6、函数1)(23bxaxxxf当x=1时，有极小值1，则函数bxaxxxg23)(
的单调减区间为
7、已知a>0,函数axxxf3)(在[1， +∞)是单调增函数，则a的最大值是
8、函数1)(axexfx的增区间为
二、例题讲解
例1、 设23()252xfxxx
（1） 求函数()fx的单调区间
（2） 当[1,2]x时，()fxm恒成立，求实数m的取值范围。
例2、求证：方程1sin2xx有且只有一个根。
例3、若函数1)1(2131)(23xaaxxxf在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，
+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围。
2
-2
2
x
y
O
1
-1
-1
1
例4、已知函数1()lnsingxxx在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），
1()lnmfxmxxx
，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若()()fxgx在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
板书设计:
教后感：
三、课后作业
班级 姓名 学号 等第
1.已知0a，函数3()fxxax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是
2.已知函数432()410fxxxx，则方程
()0fx
在区间［1，2］上的根有 个
3.已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是
函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象
大致是 ( )
O -2 2 x y 1 -1 1 2 O
x
y
-2
2
1
-1
1
2
O
-2
4
x
y
1
-1
1
2
O
-2
2
x
y
2
4
3
4. 已知函数xxmxxf2ln2在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为
5、设dcxbxaxxf23)( （a>0）,则f(x)为增函数的充要条件是
6. 已知函数 21,,fxxInxaR其单调增区间是
7、若函数2(3)log(4)afxax在1,1上是单调增函数，则实数a的取值范围是
8. 已知向量2(,1),(1,),axxbxt若函数()fxab在区间（-1，1）上是增函数，
则t的取值范围为 。
9.设321()252fxxxx，当x∈［1，2］时，()fxm恒成立，则实数m的取值
范围为 。
10、若函数axexfx)1ln()(的导数为奇函数，则f(x)的增区间为
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11.已知函数3()2,0fxaxxa，若()fx在x∈（0，1］上是增函数，求a的取值
范围。
12.设函数aaxxexfx2)(其中a为实数。
(1) 若f(x)定义域为R，求a的取值范围。
（2）当f(x)定义域为R时，求f(x)的单调减区间。
13.已知函数3()1fxxax
（1）若()fx在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使()fx在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，
4
若不存在，请说明理由；
（3）证明3()1fxxax的图象不可能总在直线ya的上方。
14.已知1,0,12)(2xxaxxf
（1）、若xf在区间（0，1］是增函数，求a的取值范围；
（2）、求f（x）在区间（0，1］上的最大值。