2014-2015年湖南省怀化三中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，22．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．1C．2D．﹣24．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′=sinx B．C． D．5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．16．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集，则a﹣b值是（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．147．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（5分）函数y=x4﹣4x+3在区间上的最大值为（）A．11 B．8C．12 D．09．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=2006，则i、j的值分别为（）A．64，53 B．63，53 C．63，54 D．64，54二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x≤0”的否定是．12．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为．13．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦值等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n=+1（n≥2），若a7=，则a5=．15．（5分）抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．17．（12分）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2x+lg8y=lg4，求z=的最小值．19．（13分）设椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．20．（13分）已知函数在x=1时取得极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的单调减区间．21．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求T n的最小值．湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．∴首项a1和公差d的值分别为1，4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．2．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：判断出“a=1”成立能推出“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，反之“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，推不出“a=1”一定成立，利用充要条件的有关定义得到选项．解答：解：若“a=1”成立则有“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，反之若“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，得到a=1或a=2，推不出“a=1”一定成立，所以“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后前后相互推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题．3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．1C．2D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，目标函数取最大值，代值计算可得．解答：解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，目标函数取最大值，代值可得z=x﹣y的最大值为1﹣0=1，故选：B点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′=sinx B．C． D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用求导公式对四个选项分别分析，选择正确答案．解答：解：对于A，（cosx）′=﹣sinx；A错误；对于B，（sin）′=0；B错误；对于C，；C错误；对于D，；D正确；故选D．点评：本题考查了求导公式的运用；对于根式形式的求导，一般化为幂的形式再求导．5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，，即可求出a的值．解答：解：由题意，，∴a=2，故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．6．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集，则a﹣b值是（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据不等式的解集得到方程的解为，进而求出a与b的数值，即可得到答案．解答：解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2=0的解为，所以a﹣2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=﹣12，b=﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．7．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知等式，变形后利用二倍角的正弦函数公式化简，得到A与B 相等或互余，即可判断出三角形ABC的形状．解答：解：由正弦定理得：==，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8．（5分）函数y=x4﹣4x+3在区间上的最大值为（）A．11 B．8C．12 D．0考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：先对函数进行求导，然后判断函数在上的单调性，进而确定最值．解答：解：∵y=x4﹣4x+3，∴y′=4x3﹣4当y′=4x3﹣4≥0，即x≥1时，函数y=x4﹣4x+3单调递增，∴在区间上，当x=2时函数取到最大值11，当y′=4x3﹣4＜0，即x＜1时，函数y=x4﹣4x+3单调递减∴在上，当x=﹣1时函数取到最大值8．∴函数y=x4﹣4x+3在区间上的最大值为11．故选：A．点评：本题主要考查利用导数求函数的最值的问题．属基础题．9．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=2006，则i、j的值分别为（）A．64，53 B．63，53 C．63，54 D．64，54考点：归纳推理．专题：规律型；等差数列与等比数列．分析：第一行有一个数，第二行有两个数…，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，表示出等差数列的前项和，使得和大于或等于2006，解出不等式，做出n 的值，在满足条件的数字附近检验，得到结果．解答：解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，…，第62行有62个数，第63行有63个数，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，∴前n项的和是，∴≥2006，∴（n+64）（n﹣63）≥0∴n≥63或n≤﹣64（舍去）当n=63时，=2016∴a63，53=（1+2+3+…+62）+53=（1+62）+53=2006．故i、j的值分别为：63；53，故选：B点评：本题考查数列的性质和应用，本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列，后面的问题按照等差数列来解题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x≤0”的否定是∀x∈R，x2+x＞0．考点：命题的否定．专题：常规题型．分析：根据命题“∃x∈R，x2+x≤0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“≤“改为“＞”即可得答案．解答：解：∵命题“∃x∈R，x2+x≤0”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈R，x2+x＞0故答案为：∀x∈R，x2+x＞0．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．12．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y=﹣3x+2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出函数y=x3﹣3x2+1在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．解答：解：由曲线y=x3﹣3x2+1，所以y′=3x2﹣6x，曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3（1）2﹣6=﹣3．此处的切线方程为：y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故答案为：y=﹣3x+2．点评：本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力．13．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦值等于﹣．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知比值设出a，b，c，利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，将设出的三边长代入求出cosC的值即可．解答：解：根据题意设a=k，b=2k，c=k，∴最大角为C，利用余弦定理得：cosC===﹣，则最大角的余弦值为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}满足a n=+1（n≥2），若a7=，则a5=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得，解得a6=，再由+1，能求出a5=．解答：解：∵数列{a n}满足a n=+1（n≥2），a7=，∴，解得a6=，∴+1，解得a5=．故答案为：．点评：本题考查数列的第5项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．15．（5分）抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由抛物线的定义可得d1+d2的最小值为抛物线的焦点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，由点到直线的距离公式计算可得．解答：解：∵抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，∴点P到抛物线焦点（，0）的距离为d1，又点P到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，∴d1+d2的最小值为点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，由点到直线的距离公式可得=故答案为：．点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及抛物线的定义，转化是解决问题的关键，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）首先根据同角三角函数的关系求出sinA的值，然后由sinC=sin（A+B）利用两角和与差展开，并将值代入即可；（2）根据正弦定理求出a的值，然后由三角形的面积公式即可得出结果．解答：解：（1）∵，∴∴…（6分）（2）由正弦定理得∴…（12分）点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．17．（12分）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：先求出两个命题参数所满足的范围，再根据“p或q”为真，p且q”为假判断出两命题的真假情况，然后求出实数m的取值范围．解答：解：当P为真时，有，即m2＞0且﹣m＜0，解得m＞2（4分）当q为真时，有△=16（m﹣2）2﹣16＜0得，1＜m＜3 （6分）由题意：“P或Q”真，“P且Q”为假等价于（1）P真q假：得m≥3 （8分）（2）q真P假：，得1＜m≤2（11分）综合（1）（2）m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}（12分）点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是对两个命题时行化简，以及正确理解“p或q”为真，p且q”为假的意义．本题易因为对此关系判断不准出错．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2x+lg8y=lg4，求z=的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数运算法则求出x+3y=2，然后利用基本不等式求解z的最小值即可．解答：解：由lg2x+lg8y=lg4可得xlg2+3ylg2=2lg2∴x+3y=2则“=”在即时成立．z=的最小值：2+．点评：本题考查基本不等式的应用，对数的运算法则，考查计算能力．19．（13分）设椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）写出过点F且倾斜角为的直线l的方程，与椭圆C联立，通过韦达定理利用弦长公式求解弦长|AB|．解答：解：（1）∵左焦点为F（﹣1，0）∴c=1又∵，∴∴椭圆C的方程为（2）直线l的方程为y=x+1由消去y，得9x2+10x﹣15=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则∴点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的相交的性质，弦长公式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知函数在x=1时取得极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的单调减区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）依题意，得f′（x）=ax2﹣（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，得b=1．（2）由（1）得；f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，，②当a＞1时，，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．解答：解：（1）依题意，得f′（x）=ax2﹣（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，解得b=1．（2）由（1）得；f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，，令f′（x）＜0，∴不等式的解集为；②当a＞1时，，令f′（x）＜0，∴不等式的解集为；综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，）；当a＞1时，f（x）的单调减区间为（，1）．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．21．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求T n的最小值．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件求出数列{a n}首项，判断是等比数列，即可求出通项公式，利用P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上，图象数列是等差数列，即可求解{b n}的通项公式b n；（2）化简c n=a n•b n，利用错位相减法直接数列{c n}的前n项和T n，通过单调性即可求T n的最小值．解答：解：（1）∵S n=，当n=1 时S1=a1=，解得a1=3；当n≥2时，得，又a2=3a1=9，所以；…（4分）∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上，∴b n﹣b n+1+1=0，即b n+1﹣b n=1，所以数列{b n}是等差数列，又b1=1可得b n=n．…（6分）（2）∵，∴，，两式相减得，即，因此：…．（11分）∵T n单调递增∴当n=1时{T n}最小值为3…（13分）点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，数列求和的方法错位相减法的应用，基本知识的考查．。
湖南省怀化三中2014-2015学年度高二上学期期中考试数学文试题
湖南省怀化三中2014-2015学年度高二上学期期中考试数学文试题时量：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知等差数列{}n a 中，34-=n a n ，则首项1a 和公差d 的值分别为（ ） A ．１，３ B ．－３，４ C ．１，４ D ．１，２2、“1a =”是“(1)(2)0a a --=”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3、已知y x ,满足,100⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥y x y x 则y x z -=的最大值是 ( )A ．1-B ．1C ．2D ．2- 4、下列求导运算正确的是：（ ） A ．x x sin )(cos =' B ．3cos)3(sin ππ='C ．x x 1)1(2-=' D ．xx x 21)1(='- 5、设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ,则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6、不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a -等于 ( ) A ．10- B ． 4- C ．10 D ．147、在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 8、.函数344+-=x x y 在区间[]2,1-上的最大值为（ ）A ．11B ．8C ．12D ．09、设21,F F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使︒=∠12021PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 ( ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0 B ．⎥⎦⎤⎝⎛23,0 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2310、把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．若,i j a ＝2014，则i 、j 的值分别为（ ）A ．64，61B ．63，61C ．64，62D ．63，62 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分,请将正确答案填空在答题卡上）11、命题p ：“2,10∃∈+<x R x ”的否定是 ．12、曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 ．（化成“直线的一般式方程”）13、在△ABC 中,若::1:a b c =则最大角的余弦值是 ．14、已知数列{}n a 满足),2(1)1(1≥+-=-n a a n n n 若1177=a ,则=5a .15、抛物线x y 22=上的点p 到抛物线的准线的距离为1d ,到直线0943=+-y x 的距离为2d ,则21d d +的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,,3,53cos ,3===b A B π, (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．17、已知命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的负根．．. 命题q ：关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．18、已知x >0, y >0, 且,4lg 8lg 2lg =+yx 求yx z 11+=的最小值．12 34567 8 9 10 ……………………19、设椭圆C: 22221x y a b += (a >b >0)的离心率为55,若左焦点为F (－1,0)(1)求椭圆C 的方程； (2)若过点F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,求弦长|AB|．20、已知函数),()1(2131)(23R b a bx x a ax x f ∈++-=在x ＝1时取得极值． (1)求b 的值；(2)求)(x f 的单调递增区间．21、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且))(1(23*∈-=N n a S n n ，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线01=+-y x 上．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式n a 和n b ； (2) 设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求n T 的最小值．2014年上期期中考试高二年级数学试题答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分,请将正确答案填空在答题卡上） 11、2,10x R x ∀∈+≥ 12、320x y +-= 13、41-14、74 15、1021三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上） 16、解：（1）54sin ,53cos =∴=A A 103343sin cos 3cossin )sin(sin +=+=+=∴ππA AB AC ．．．．．．．．．6分 （2）由正弦定理得5823543sin sin =⨯==BAb a5036316sin 21+==∴∆C ab S ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 17、解：由210x mx ++=有两个不相等的负根,则2400m m ⎧->⎨-<⎩，, 解之得 2.m >即命题: 2.p m >由244(2)10x m +-+=无实根, 则216(2)160m --<, 解之得13m <<. 即命题q: 13m <<.p q ∧∵为假，p q ∨为真，则p 与q 一真一假.若p 真q 假, 则2,3,1,≥≤m m m >⎧⎨⎩或所以 3.≥m若p 假q 真, 则2,13,≤m m ⎧⎨<<⎩ 所以1 2.≤m <所以m 取值范围为{}123m m m <，或|≤≥.18、解：由4lg 8lg 2lg =+yx 可得2lg 22lg 32lg =+y x ∴23=+y x则32)324(21)34(21)11)(3(2111+=+≥++=++=+=x y y x y x y x y x z “=”在x y y x 3=即331,13-=-=y x 时成立。
湖南省怀化市湖天中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
湖南省怀化市湖天中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知a，b，c∈R，下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．⇒a＞b C．a＞b＞0⇒D．a＞b⇒a2＞b22．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）A．B．C．D．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=﹣，则等于（）A．B．﹣3 C．D．34．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，a=7，b=8，cosC=，则边c2是（）A．6B．7C．8D．95．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜76．（5分）等差数列{a n}的前3项和为30，前6项和为100，则它的前9项和是（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解8．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2} D． {x|x＜﹣3或x＞2}9．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．钝角三角形10．（5分）已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．B．C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}，a1=1，a n=2a n﹣1，则a n=．12．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=，则c等于．13．（5分）已知数列{a n}，其前n项和为s n，且s n=n2+n，则通项公式a n=．14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值．15．（5分）设变量x、y满足约束条件，则x2+y2的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16．（12分）解不等式：（1）9x2+1≥6x（2）﹣x2+＞0．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．18．（12分）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为多少？19．（13分）等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20．20．（13分）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N+）（1）若b n=a n+1﹣2a n，求b n；（2）若，求{c n}的前6项和T6；（3）若，证明{d n}是等差数列．湖南省怀化市湖天中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知a，b，c∈R，下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．⇒a＞b C．a＞b＞0⇒D．a＞b⇒a2＞b2考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：A．c=0时不成立；B．c＜0时不成立；C．利用不等式的性质即可得出．D．取a=﹣1，b=﹣2，即可判断出．解答：解：A．c=0时不成立；B．c＜0时不成立；C．a＞b＞0⇒，正确；D．取a=﹣1，b=﹣2，不正确．故选：C．点评：本题查克拉不等式的基本性质，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．解答：解：∵a=8，B=60°，A=45°，∴根据正弦定理得：b===4．故选：C．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=﹣，则等于（）A．B．﹣3 C．D．3考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式化简=，代入数据求值．解答：解：由题意得，公比q=﹣，所以===﹣3，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，注意整体思想的应用．4．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，a=7，b=8，cosC=，则边c2是（）A．6B．7C．8D．9考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosC的值代入计算即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，a=7，b=8，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=49+64﹣2×7×8×=113﹣104=9，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；转化思想．分析：将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．解答：解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．点评：本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．6．（5分）等差数列{a n}的前3项和为30，前6项和为100，则它的前9项和是（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，从而可求得答案．解答：解：∵等差数列{a n}的前3项和为30，前6项和为100，即S3=30，S6=100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=（S9﹣S6）+S3，即140=S9﹣100+30，解得S9=210，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，熟练利用S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列是关键，属于中档题．7．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．解答：解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选B点评：此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．8．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2} D． {x|x＜﹣3或x＞2}考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}得到a、b的值，代入到不等式中确定出不等式，求出解集即可．解答：解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0解得a=﹣5，b=30．则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x故选B点评：考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，9．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：先由正弦定理得求出sinA•cosA=sinB•cosB，利用倍角公式化简得sin2A=sin2B，因a≠b，进而求出，A+B=．解答：解：由正弦定理得，∴sinA•cosA=sinB•cosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，但a≠b，∴2A≠2B，A+B=，即△ABC是直角三角形．故选：B．点评：本题主要考查正弦定理的应用．二倍角公式的应用，属基础题．10．（5分）已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．B．C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3考点：基本不等式．分析：ab范围可直接由基本不等式得到，a2+b2可先将a+b平方再利用基本不等式联系．解答：解：由a≥0，b≥0，且a+b=2，∴，而4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2），∴a2+b2≥2．故选C．点评：本题主要考查基本不等式知识的运用，属基本题．基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}，a1=1，a n=2a n﹣1，则a n=2n﹣1．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：易得数列{a n}是首项为1公比为2的等比数列，可得通项公式．解答：解：∵数列{a n}中a1=1，a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1公比为2的等比数列，∴a n=1×2n﹣1=2n﹣1故答案为：2n﹣1点评：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．12．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=，则c等于4．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用S△ABC=即可得出．解答：解：∵A=60°，b=1，S△ABC=，∴，即，解得c=4．故答案为：4．点评：本题考查了三角形的面积计算公式，属于基础题．13．（5分）已知数列{a n}，其前n项和为s n，且s n=n2+n，则通项公式a n=2n，n∈N*．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列{a n}的其前n项和s n求通项公式a n时，通常先写出n≥2时s n﹣1的表达式，再求出a n，并且验证n=1时a n是否成立即可．解答：解：∵数列{a n}，其前n项和为s n，且s n=n2+n，∴当n≥2时，s n﹣1=（n﹣1）2+（n﹣1），∴a n=s n﹣s n﹣1=（n2+n）﹣=2n；当n=1时，a1=s1=1+1=2，满足a n；∴数列的通项公式为a n=2n，n∈N*．故答案为：2n，n∈N*．点评：本题考查了由数列{a n}的其前n项和s n求通项公式a n的问题，是基础题目．14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值18．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵正数x、y，满足+=1，∴x+2y==10+=18．当且仅当x＞0，y＞0，，，解得x=12，y=3．∴x+2y的最小值是18．故答案为18．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．15．（5分）设变量x、y满足约束条件，则x2+y2的最大值为25．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：作出变量x、y满足约束条件所表示的可行域，然后根据x2+y2的几何意义，从而得到答案．解答：解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：，∴x2+y2的最大值是C点到原点的距离的平方，∴x2+y2=25，故答案为：25．点评：本题主要考查了利用线性规划求最值，属中等题．解题的关键是做出可行域然后利用目标函数的几何意义进行求解．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16．（12分）解不等式：（1）9x2+1≥6x（2）﹣x2+＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式化为二次项系数为正整数，一边为0的形式然后解之．解答：解：（1）9x2+1≥6x⇔9x2﹣6x+1≥0⇔（3x﹣1）2≥0，解得x∈R；（2））﹣x2+＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（3x﹣2）＜0⇔＜x＜1；所以不等式的解集为（，1）．点评：本题考查了一元二次不等式的解法；首先化简不等式为ax2+bx+c≥0（a＞0）的形式，然后根据具体形式选择适当的方法解之，属于基础题．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理即可得到结论；（Ⅱ）先将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac，得．利用余弦定理求出；再根基同角三角函数之间的关系求出其正弦即可求出结论．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理，得=（2分）∵0＜B＜π，∴．（4分）（Ⅱ）：将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac，得．（6分）由余弦定理，得．（8分）∵0＜A＜π，∴．（10分）∴．（12分）点评：本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于中档题目，只要细心分体已知条件式子的特点就不难解答这类问题18．（12分）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为多少？考点：指数函数的实际应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，设第n天植树y棵，则y=2n，即2+4+8+…+2n≥100，从而求n．解答：解：由题意，设第n天植树y棵，则y=2n，则2+4+8+…+2n≥100，则n≥6，故最小需要6天．点评：本题考查了指数函数的应用，属于基础题．19．（13分）等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20．考点：等差数列的性质；数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：先设数列{a n}的公差为d，根据a3，a6，a10成等比数列可知a3a10=a62，把d和a4代入求得d的值．再根据a4求得a1，最后把d和a1代入S20即可得到答案．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则a3=a4﹣d=10﹣d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d．由a3，a6，a10成等比数列得a3a10=a62，即（10﹣d）（10+6d）=（10+2d）2，整理得10d2﹣10d=0，解得d=0或d=1．当d=0时，S20=20a4=200．当d=1时，a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7，于是=20×7+190=330．点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．20．（13分）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．解答：解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则底面积为m2，池底的造价为1600×150=240000元，则y=240000+720（x+）≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600，当且仅当x=，即x=40时，y有最小值297600（元）答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．点评：本题考查建立数学模型的能力及利用基本不等式求函数的最值注意的条件：一正，二定，三相等．21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N+）（1）若b n=a n+1﹣2a n，求b n；（2）若，求{c n}的前6项和T6；（3）若，证明{d n}是等差数列．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知利用递推关系即可得出b n+1=2b n，利用等比数列的通项公式即可得出b n；（2）利用（1）和等比数列的前n项和公式即可得出；（3）利用等差数列的定义即可证明．解答：解（1）∵a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N+），∴S n+2=4a n+1+2a n+2=S n+2﹣S n+1=4（a n+1﹣a n），∴a n+2﹣2a n+1=2（a n+1﹣2a n）即b n+1=2b n∴{b n}是公比为2的等比数列，且b1=a2﹣2a1∵a1=1，a2+a1=S2即a2+a1=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，∴b1=5﹣2=3，∴．（2）∵，∴，∴∴{c n}是首项为，公比为的等比数列．∴T6===．（3）∵，∴即，∴{d n}是等差数列．点评：熟练掌握递推关系、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、等差数列的定义是解题的关键．。
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(Word版含解析)
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞02．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+4．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4C．9D．185．（5分）在△ABC中，若a=2，，A=30°则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°6．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．（5分）若不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a、b的值为（）A．a=﹣8 b=﹣10 B．a=﹣4 b=﹣9 C．a=﹣1 b=9 D．a=﹣1 b=28．（5分）已知△ABC的顶点B、C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2B．4C．4D．89．（5分）在等比数列a n中a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（）A．B．C．或D．或10．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案直接填在答题卡上的相应横线上.11．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为．12．（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的条件．15．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知命题p方程2x2+ax﹣a2=0在上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）设椭圆方程为x2+=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．18．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．19．（13分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．20．（13分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，等差数列{b n}中，b1=2，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上；（Ⅰ）求a1和a2的值；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅲ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．（13分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0 B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0考点：命题的否定．分析：根据题意，给出的命题是全称命题，则其否定形式为特称命题，分析选项，可得答案．解答：解：分析可得，命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”是全称命题，则其否定形式为特称命题，为∃x∈R，x2﹣2x+4＞0，故选C．点评：本题考查命题的否定，应注意全称、特称命题的否定形式．2．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．解答：解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题．3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+考点：相等向量与相反向量．分析：由题意可得=+=+=+，化简得到结果．解答：解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．4．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是（）A．B．4C．9D．18考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值．解答：解：∵log3m+log3n=4∴m＞0，n＞0，mn=34=81∴m+n答案为18故选D．点评：本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值．5．（5分）在△ABC中，若a=2，，A=30°则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．解答：解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°°故选B．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC 解决角之间的转换关系．属于基础题．6．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．120°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，推出AD1⊥平面A1DC，由此能求出结果．解答：解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1D，A1D⊥DC，A1D⊥AD1，∴AD1⊥平面A1DC，∴异面直线AD1与A1C所成的角的大小是90°．故选：C．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（5分）若不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a、b的值为（）A．a=﹣8 b=﹣10 B．a=﹣4 b=﹣9 C．a=﹣1 b=9 D．a=﹣1 b=2考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：解绝对值不等式|8x+9|＜7可得﹣2＜x＜﹣，依题意知，﹣2和﹣是方程ax2+bx ﹣2=0的两根，利用韦达定理解之即可．解答：解：|8x+9|＜7⇒﹣7＜8x+9＜7，解得﹣2＜x＜﹣，因为不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，∴﹣2和﹣是方程ax2+bx﹣2=0的两根，由韦达定理得：，解得，故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，得到﹣2和﹣是方程ax2+bx﹣2=0的两根是关键，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．8．（5分）已知△ABC的顶点B、C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2B．4C．4D．8考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．解答：解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=8，故选：D．点评：本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，解题的关键是利用椭圆的第一定义．9．（5分）在等比数列a n中a7•a11=6，a4+a14=5，则等于（）A．B．C．或D．或考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比中项的性质可知a7•a11=a4•a14求得a4•a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求．解答：解：a7•a11=a4•a14=6∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2∴=或故选C．点评：本题主要考查等比数列的性质．解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程．10．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；等比关系的确定．专题：计算题．分析：由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．解答：解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF1|，|F1F2|，|F1B|是关键，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案直接填在答题卡上的相应横线上.11．（5分）已知等差数列{a n}满足a5+a6=28，则其前10项之和为140．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由等差数列的性质可得a1+a10=a5+a6=28，代入求和公式可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a10=a5+a6=28，故其前10项之和S10===140，故答案为：140点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，整体代入是解决问题的关键，属基础题．12．（5分）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18．考点：简单线性规划．分析：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18．点评：本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．考点：共线向量与共面向量．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．解答：解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．14．（5分）设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么非p是非q的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：此题利用必要条件和充分条件的定义进行求解；解答：解：∵p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，可得非q⇒非p，所以非p是非q的必要不充分的条件；故答案为：必要不充分的条件；点评：此题主要考查必要充分条件的定义及其应用，是一道基础题；15．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知命题p方程2x2+ax﹣a2=0在上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：探究型．分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．解答：解：由2x2+ax﹣a2=0得（2x﹣a）（x+a）=0，∴，∴当命题p为真命题时．即﹣2≤a≤2，又“只有一个实数x0满足”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．∵命题“p∨q”为假命题，∴p，q同时为假命题，即，∴a＞2或a＜﹣2．∴实数a的取值范围的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题成立的等价条件是解决此类问题的关键．17．（12分）设椭圆方程为x2+=1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P为线段AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理以及=，推出4x2+y2﹣y=0，②当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程，求出轨迹方程．解答：（本小题满分12分）解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（4+k2）x2+2kx﹣3=0，…（4分）x1+x2=﹣，y1+y2=，…（6分）由=得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：…（8分）消去k得：4x2+y2﹣y=0 …（10分）②当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2﹣y=0．…（12分）点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，注意直线的斜率是否存在两种情况．18．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sinA不可能为0，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b 的值．解答：解：（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，考查了两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，其中熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．19．（13分）如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．（2）利用向量法求线面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1） (3)=（0，1，1），=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，0）=（2，0，0），∴，，∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．…（5分）（2）∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量，∵=（0，1，1），=（2，2，0），∴cos．∴=60°．∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．20．（13分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，等差数列{b n}中，b1=2，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上；（Ⅰ）求a1和a2的值；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（Ⅲ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由于a n是S n与2的等差中项，可得2a n=S n+2，分别令n=1，2即可得出a1，a2；（II）设等比数列{a n}的公比为q，则==2，利用通项公式即可得出；由于点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上，可得b n+1=b n+2，即b n+1﹣b n=2，利用等差数列的通项公式就看得出．（III），利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（I）∵a n是S n与2的等差中项，∴2a n=S n+2，当n=1时，2a1=a1+2，解得a1=2；当n=2时，2a2=a1+a2+2，∴a2=2+2=4．（II）设等比数列{a n}的公比为q，则==2，∴=2×2n﹣1=2n．∵点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上，∴b n+1=b n+2，即b n+1﹣b n=2；∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．（III），∴T n=1•22+2•23+…+n•2n+1，2T n=1•23+2•24+…+（n﹣1）•2n+1+n•2n+2，∴﹣T n=22+23+…+2n+1﹣n•2n+2=﹣n•2n+2=2n+2﹣4﹣n•2n+2=（1﹣n）•2n+2﹣4，∴．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．21．（13分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．解答：解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．。
湖南省怀化三中2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖南省怀化三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{a n}中，a1=3，a2=9，则a3的值为（）A. 15B. 6C. 81D. 92.设a∈R，则a＞1是|a|＞1的（）A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件3.椭圆的离心率是（）A. B. C. D.4.设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A. ∈，B. ∈，C. ∈，D. ∀ ∈，5.若是3a与3b的等比中项，则a+b的值为（）A. B. 0 C. 1 D.6.给出命题：若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限，在它的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（）A. 0B. 2C. 3D. 47.已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A. 8B. 6C.D.8.不等式x2+3x-4＜0的解集为（）A. B. 或C. 或D.9.在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形10.已知变量，满足，目标函数是z=2x+y，则有（）A. ，B. ，z无最小值C. ，z无最大值D. z既无最大值，也无最小值11.已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A. B. 或 C. D. 或12.点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知{a n}为等比数列，其首项a1=1，公比q=2，则它的前5项和S5=______．14.已知x+y=4，（x＞0，y＞0），则xy的最大值是______．15.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为______．16.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求不等式（x-2）（x+3）＞0解集．18.等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S10的值．19.已知p：-2≤x≤10；q：x2-2x+（1-m）（1+m）≤0（m＞0）；若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20.在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，B=60°，ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积21.设数列{a n}的前n项为S n，点（n，），（n∈N*）均在函数y=3x-2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．22.已知A，B，C均在椭圆：＞上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当时，有．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2+（y-2）2=1的任一条直径，求的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在等差数列{a n}中，由a1=3，a2=9，得2a2=a1+a3，即a3=2a2-a1=18-3=15．故选：A．由已知直接利用等差数列的性质求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题．2.【答案】D【解析】解：|a|＞1⇔a＜-1，或a＞1，∵a＞1⇒a＜-1，或a＞1，a＜-1，或a＞1推不a＞1，∴a＞1是|a|＞1的充分不必要条件．故选：D．先把|a|＞1转化为a＜-1，或a＞1，再根据小范围推出大范围可得结果．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆的长半轴长a=2，短半轴长b=1∴椭圆的半焦距c===∴椭圆的离心率e==故选：A．先根据椭圆的标准方程计算椭圆的长半轴长a和半焦距c，再利用离心率定义计算即可本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，离心率的定义和求法4.【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为：x0∈R，x+1≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：因为是3a与3b的等比中项，所以3a•3b=3，所以a+b=1，故选：C．根据等比中项的性质，以及指数幂的计算可得答案．本小题考查等比中项的问题，以及指数幂的计算，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：原命题：“若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限”，是真命题；逆命题：“若函数y=f（x）的图象不过第四象限，则函数y=f（x）是幂函数”，是假命题；否命题：“若函数y=f（x）不是幂函数，则函数y=f（x）的图象过第四象限”，是假命题；逆否命题：“若函数y=f（x）的图象过第四象限，则函数y=f（x）不是幂函数”，是真命题；所以，真命题有2个．故选：B．原命题若p，则q与逆否命题若￢q，则￢p同真同假；逆命题若￢p，￢q则与否命题若q，p则同真同假；判定出真命题的个数．本题考查了四种命题的相互关系及其真假的判定，是基础题．7.【答案】C【解析】解：∵x+2y=1，则2x+4y=21-2y+22y≥2，当且仅当21-2y=22y时，等号成立，故选：C．利用基本不等式得 2x+4y=21-2y+22y≥2，求得最小值．本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．8.【答案】D【解析】解：不等式x2+3x-4＜0可化为（x-1）（x+4）＜0，解得-4＜x＜1，∴不等式的解集为{x|-4＜x＜1}．故选：D．把不等式化为（x-1）（x+4）＜0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，又b2=ac，∴a2+c2-ac=ac，∴（a-c）2=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2-ac，再由b2=ac，得a2+c2-ac=ac，得a=c，得A=B=C=60°，得△ABC的形状是等边三角形本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好．是基础题．10.【答案】A【解析】解：先根据约束条件画出可行域当直线z=2x+y过点B（2，1）时，z最大是5，当直线z=2x+y过点C（1，1）时，z最小是3，故选：A．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过C、B时，z最小、最大，从而得出结论．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】由P在椭圆7x2+4y2=28上，知P点坐标，点P到直线3x-2y-16=0的距离，由此能求出点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值．本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用．【解答】解：∵P在椭圆7x2+4y2=28上，椭圆7x2+4y2=28的标准方程是，可设P点坐标是，（0≤α＜360°）∴点P到直线3x-2y-16=0的距离，=，（0≤θ＜360°）∴．故选C.13.【答案】31【解析】解：∵{a n}为等比数列，其首项a1=1，公比q=2，则它的前5项和S5==31．故答案为：31．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：根据基本不等式：，由于：x+y=4，（x＞0，y＞0），所以：，故：xy的最大值是4，故答案为：4．直接利用基本不不等式求出结果．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】【解析】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．本题主要考查等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度一般．16.【答案】，【解析】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞-a则，整理得e2+2e-1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a-ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．17.【答案】解：由（x-2）（x+3）＞0得：x＜-3或x＞2，所以原不等式的解集为{x|x＜-3或x＞2}．【解析】二次项系数为正时，解一元二次不等式的口诀是大于大根，小于小根．本题考查了一元二次不等式及其应用．属基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a10=30，a20=50．∴ ，解得a1=12，d=2，∴a n=12+（n-1）×2=2n+10．（Ⅱ）S10=10×12+×2=210．【解析】（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出等差数列{a n}的通项公式{a n}．（Ⅱ）由等差数列的首项和公差，能求出S10．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．19.【答案】解：由x2-2x+（1-m）（1+m）≤0（m＞0），得1-m≤x≤1+m．∴q：B={x|1-m≤x≤1+m}，又p：A={x|-2≤x≤10}，∵q是p的必要不充分条件，且m＞0，∴A⊊B．∴ ＞，即m≥9，∴m的取值范围是[9，+∞）．【解析】利用不等式的解法化简p，根据q是p的必要不充分条件，且m＞0，可得 A⊊B．即可得出．本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.【答案】解：由题意，B=60°，BC=3，ADC=150°，可知ABD是直角三角形，∴AB=1，AD=在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+DC2-2AD•DC cos150°=7∴AC=；△ABC的面积为==．【解析】在△ABC中，根据B=60°，BC=3，ADC=150°，可得AB=1，结合正弦定理可得AC的长．利用面积公式求△ABC的面积．本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题．21.【答案】解：（1）依题意，点，在y=3x-2的图象上，得=3n-2，∴s n=3n2-2n；当n≥2时，a n=S n-S n-1=（3n2-2n）-[3（n-1）2-2（n-1）]=6n-5 ①；当n=1时，a1=S1=3×12-2=1，适合①式，所以a n=6n-5（n∈N*）（2）由（1）知，b n===；故T n===；因此，使＜∈成立的m，必须且仅须满足，即m≥10；所以满足要求的最小正整数m为10．【解析】（1）由点在y=3x-2的图象上，求得s n的解析式，再求通项公式a n；（2）求出b n与前n项和T n，利用转化法求得m的值．本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以有所以△AF1F2为直角三角形；∴则有所以，又，∴，在△AF1F2中有即，解得a2=2所求椭圆M方程为（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，设E（x0，y0），则F（-x0，4-y0）有，∴=x2-x02+4y0-4y-y02+y2=x2+2y2-（x02+（y0-2）2）-y2+4-4y=-（y+2）2+9P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，所以当y=-1时，的最大值为8．【解析】（Ⅰ）根据判断出可知△AF1F2为直角三角形，进而可知第12页，共13页进而根据．求得，进而根据椭圆的定义联立求得根据勾股定理建立等式求得a，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）根据题意通过E坐标求出F坐标，代入椭圆的方程，化简的表达式，利用P是椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值．本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题，向量的基本计算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．。
湖南省怀化三中2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖南省怀化三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{a n }中，a 1=3，a 2=9，则a 3的值为（ ）A. 15B. 6C. 81D. 92.设a ∈R ，则a ＞1是|a |＞1的（ ）A. 既不充分也不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 充分不必要条件3.椭圆的离心率是（ ）x 24+y 2=1A. B. C. D.323434124.设命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞0，则￢p 为（ ）A. ，B. ，∃x 0∈R x 20+1>0∃x 0∈R x 20+1≤0C. ，D. ，∃x 0∈R x 20+1<0∀x ∈R x 2+1≤05.若是3a 与3b 的等比中项，则a +b 的值为（ ）3A. B. 0 C. 1 D.‒1126.给出命题：若函数y =f （x ）是幂函数，则函数y =f （x ）的图象不过第四象限，在它的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（ ）A. 0B. 2C. 3D. 47.已知x +2y =1，则2x +4y 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. D. 22328.不等式x 2+3x -4＜0的解集为（ ）A. B. 或{x|‒1<x <4}{x|x >4x <‒1}C. 或 D. {x|x >1x <‒4}{x|‒4<x <1}9.在△ABC 中，B =60°，b 2=ac ，则△ABC 一定是（ ）第2页，共15页A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形10.已知变量，满足，目标函数是z =2x +y ，则有（ ）⃗x ⃗y {x ≥1y ≥1x +y ‒3≤0A. ， B. ，z 无最小值z max =5z min =3z max =5C. ，z 无最大值D. z 既无最大值，也无最小值z min =311.已知△ABC 中，a =4，b =4，A =30°，则B 等于（ ）3A. B. 或 C. D. 或30∘30∘150∘60∘60∘120∘12.点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x -2y -16=0的距离的最大值为（ ）A. B.C.D.13161313241313281313二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知{a n }为等比数列，其首项a 1=1，公比q =2，则它的前5项和S 5=______．14.已知x +y =4，（x ＞0，y ＞0），则xy 的最大值是______．15.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB =1，BC =4，则边BC 上的中线AD 的长为______．16.已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），若x 2a 2+y 2b 2椭圆上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为asin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F1______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求不等式（x -2）（x +3）＞0解集．18.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10=30，a 20=50．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求S 10的值．19.已知p ：-2≤x ≤10；q ：x 2-2x +（1-m ）（1+m ）≤0（m ＞0）；若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20.在△ABC 中，D 在边BC 上，且BD =2，DC =1，∠B =60°，∠ADC =150°，求AC 的长及△ABC 的面积21.设数列{a n }的前n 项为S n ，点（n ，），（n ∈N *）均在函数y =3x -2的图象上．S nn （1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n=，Tn 为数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜对所有n ∈N *都成立3a n ⋅a n +1m20的最小正整数m ．第4页，共15页22.已知A ，B ，C 均在椭圆上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左M ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)右焦点F 1、F 2，当时，有．⃗AC⋅⃗F 1F 2=09⃗AF 1⋅⃗AF 2=⃗AF 12（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设是椭圆M 上的任一点，EF 为圆N ：x 2+（y -2）2=1的任一条直径，求的最大值．⃗PE ⋅⃗PF答案和解析1.【答案】A【解析】解：在等差数列{a n}中，由a1=3，a2=9，得2a2=a1+a3，即a3=2a2-a1=18-3=15．故选：A．由已知直接利用等差数列的性质求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题．2.【答案】D【解析】解：|a|＞1⇔a＜-1，或a＞1，∵a＞1⇒a＜-1，或a＞1，a＜-1，或a＞1推不a＞1，∴a＞1是|a|＞1的充分不必要条件．故选：D．先把|a|＞1转化为a＜-1，或a＞1，再根据小范围推出大范围可得结果．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：椭圆的长半轴长a=2，短半轴长b=1∴椭圆的半焦距c===∴椭圆的离心率e==故选：A．先根据椭圆的标准方程计算椭圆的长半轴长a和半焦距c，再利用离心率定义计算即可本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，离心率的定义和求法4.【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p 为：∃x0∈R，x+1≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：因为是3a与3b的等比中项，所以3a•3b=3，所以a+b=1，故选：C．根据等比中项的性质，以及指数幂的计算可得答案．本小题考查等比中项的问题，以及指数幂的计算，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：原命题：“若函数y=f（x）是幂函数，则函数y=f（x）的图象不过第四象限”，是真命题；逆命题：“若函数y=f（x）的图象不过第四象限，则函数y=f（x）是幂函数”，是假命题；否命题：“若函数y=f（x）不是幂函数，则函数y=f（x）的图象过第四象限”，是第6页，共15页假命题；逆否命题：“若函数y=f（x）的图象过第四象限，则函数y=f（x）不是幂函数”，是真命题；所以，真命题有2个．故选：B．原命题若p，则q与逆否命题若￢q，则￢p同真同假；逆命题若￢p，￢q则与否命题若q，p则同真同假；判定出真命题的个数．本题考查了四种命题的相互关系及其真假的判定，是基础题．7.【答案】C【解析】解：∵x+2y=1，则2x+4y=21-2y+22y≥2，当且仅当21-2y=22y时，等号成立，故选：C．利用基本不等式得 2x+4y=21-2y+22y≥2，求得最小值．本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．8.【答案】D【解析】解：不等式x2+3x-4＜0可化为（x-1）（x+4）＜0，解得-4＜x＜1，∴不等式的解集为{x|-4＜x＜1}．故选：D．把不等式化为（x-1）（x+4）＜0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，又b2=ac，∴a2+c2-ac=ac，∴（a-c）2=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2-ac，再由b2=ac，得a2+c2-ac=ac，得a=c，得A=B=C=60°，得△ABC的形状是等边三角形本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好．是基础题．10.【答案】A【解析】解：先根据约束条件画出可行域当直线z=2x+y过点B（2，1）时，z最大是5，当直线z=2x+y过点C（1，1）时，z最小是3，故选：A．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过C、B时，z最小、最大，从而得出结论．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，第8页，共15页解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B 的值．本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】由P在椭圆7x2+4y2=28上，知P点坐标，点P到直线3x-2y-16=0的距离，由此能求出点P 到直线3x-2y-16=0的距离的最大值．本题考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用．【解答】解：∵P在椭圆7x2+4y2=28上，椭圆7x2+4y2=28的标准方程是，可设P点坐标是，（0≤α＜360°）∴点P到直线3x-2y-16=0的距离，=，（0≤θ＜360°）∴．故选C.13.【答案】31【解析】解：∵{a n}为等比数列，其首项a1=1，公比q=2，则它的前5项和S5==31．故答案为：31．利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：根据基本不等式：，由于：x+y=4，（x＞0，y＞0），所以：，故：xy的最大值是4，故答案为：4．直接利用基本不不等式求出结果．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】3【解析】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得第10页，共15页故答案为：先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．本题主要考查等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度一般．16.【答案】(2‒1，1)【解析】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞-a则，整理得e2+2e-1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a-ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭第12页，共15页圆考查的一个亮点，多数是用a ，b ，c 转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．17.【答案】解：由（x -2）（x +3）＞0得：x ＜-3或x ＞2，所以原不等式的解集为{x |x ＜-3或x ＞2}．【解析】二次项系数为正时，解一元二次不等式的口诀是大于大根，小于小根．本题考查了一元二次不等式及其应用．属基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10=30，a 20=50．∴，{a 1+9d =30a 1+19d =50解得a 1=12，d =2，∴a n =12+（n -1）×2=2n +10．（Ⅱ）S 10=10×12+×2=210．10×92【解析】（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出等差数列{a n }的通项公式{a n }．（Ⅱ）由等差数列的首项和公差，能求出S 10．本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．19.【答案】解：由x 2-2x +（1-m ）（1+m ）≤0（m ＞0），得1-m ≤x ≤1+m ．∴q ：B ={x |1-m ≤x ≤1+m }，又p ：A ={x |-2≤x ≤10}，∵q 是p 的必要不充分条件，且m ＞0，∴A ⊊B ．∴，即m ≥9，{m ＞01‒m ≤‒21+m ≥10∴m 的取值范围是[9，+∞）．【解析】利用不等式的解法化简p ，根据q 是p 的必要不充分条件，且m ＞0，可得 A ⊊B ．即可得出．本题考查了不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.【答案】解：由题意，∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可知ABD 是直角三角形，∴AB =1，AD =3在△ADC 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+DC 2-2AD •DC cos150°=7∴AC =；7△ABC 的面积为=S =12AB ⋅BC ⋅sin60°12×3×1×32=．334【解析】在△ABC 中，根据∠B=60°，BC=3，∠ADC=150°，可得AB=1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式求△ABC 的面积．本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题．21.【答案】解：（1）依题意，点在y =3x -2的图象上，(n ，s nn )得=3n -2，∴s n =3n 2-2n ；s n n 当n ≥2时，a n =S n -S n -1=（3n 2-2n ）-[3（n -1）2-2（n -1）]=6n -5 ①；当n =1时，a 1=S 1=3×12-2=1，适合①式，所以a n =6n -5（n ∈N *）（2）由（1）知，b n=3a n a n +1=3(6n ‒5)[6(n +1)‒5]=；12(16n ‒5‒16n +1)故T n =∑n i =1b i =12[(1‒17)+(17‒113)+…+(16n ‒5‒16n +1)]第14页，共15页=；12(1‒16n +1)因此，使成立的m ，12(1‒16n +1)＜m 20(n ∈N ∗)必须且仅须满足，即m ≥10；12≤m 20所以满足要求的最小正整数m 为10．【解析】（1）由点在y=3x-2的图象上，求得s n 的解析式，再求通项公式a n ；（2）求出b n 与前n 项和T n ，利用转化法求得m 的值．本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n 项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）因为，所以有⃗AC ⋅⃗F 1F 2=0⃗AC ⊥⃗F 1F 2所以△AF 1F 2为直角三角形；∴|⃗AF 1|cos∠F 1AF 2=|⃗AF 2|则有9⃗AF 1⋅⃗AF 2=9|⃗AF 1||⃗AF 2|cos∠F 1AF 2=9|⃗AF 2|2=⃗AF 12=|⃗AF 1|2所以，|⃗AF 1|=3|⃗AF 2|又，|⃗AF 1|+|⃗AF 2|=2a ∴|⃗AF 1|=3a 2，|⃗AF 2|=a 2在△AF 1F 2中有|⃗AF 1|2=|⃗AF 2|2+|⃗F 1F 2|2即，解得a 2=2(3a 2)2=(a 2)2+4(a 2‒1)所求椭圆M 方程为x 22+y 2=1（Ⅱ）由题意可知N （0，2），E ，F 关于点N 对称，设E （x 0，y 0），则F （-x 0，4-y 0）有，x 20+(y 0‒2)2=1∴=x 2-x 02+4y 0-4y -y 02+y 2=x 2+2y 2-（x 02+（y 0-2）2）-y 2+4-4y =-（y +2）2+9⃗PE ⋅⃗PF P 是椭圆M 上的任一点，y ∈[-1，1]，所以当y =-1时，的最大值为8．⃗PE ⋅⃗PF 【解析】（Ⅰ）根据判断出可知△AF 1F 2为直角三角形，进而可知进而根据．求得，进而根据椭圆的定义联立求得根据勾股定理建立等式求得a ，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）根据题意通过E 坐标求出F 坐标，代入椭圆的方程，化简的表达式，利用P 是椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值．本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题，向量的基本计算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．。
2014-2015年湖南省怀化市湖天中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年湖南省怀化市湖天中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知a，b，c∈R，下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．⇒a＞b C．a＞b＞0⇒D．a＞b⇒a2＞b22．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）A．B．C．D．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=﹣，则等于（）A．B．﹣3 C．D．34．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，a=7，b=8，cosC=，则边c2是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜76．（5分）等差数列{a n}的前3项和为30，前6项和为100，则它的前9项和是（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解8．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}9．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．钝角三角形10．（5分）已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．B．C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}，a1=1，a n=2a n﹣1，则a n=．12．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=，则c等于．13．（5分）已知数列{a n}，其前n项和为s n，且s n=n2+n，则通项公式a n=．14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值．15．（5分）设变量x、y满足约束条件，则x2+y2的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16．（12分）解不等式：（1）9x2+1≥6x（2）﹣x2+＞0．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．18．（12分）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为多少？19．（13分）等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20．20．（13分）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N+）（1）若b n=a n+1﹣2a n，求b n；（2）若，求{c n}的前6项和T6；（3）若，证明{d n}是等差数列．2014-2015学年湖南省怀化市湖天中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知a，b，c∈R，下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．⇒a＞b C．a＞b＞0⇒D．a＞b⇒a2＞b2【解答】解：A．c=0时不成立；B．c＜0时不成立；C．a＞b＞0⇒，正确；D．取a=﹣1，b=﹣2，不正确．故选：C．2．（5分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边为a，b，c，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a=8，B=60°，A=45°，∴根据正弦定理得：b===4．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=﹣，则等于（）A．B．﹣3 C．D．3【解答】解：由题意得，公比q=﹣，所以===﹣3，故选：B．4．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，a=7，b=8，cosC=，则边c2是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=8，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=49+64﹣2×7×8×=113﹣104=9，故选：D．5．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选：C．6．（5分）等差数列{a n}的前3项和为30，前6项和为100，则它的前9项和是（）A．130 B．170 C．210 D．260【解答】解：∵等差数列{a n}的前3项和为30，前6项和为100，即S3=30，S6=100，又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=（S9﹣S6）+S3，即140=S9﹣100+30，解得S9=210，故选：C．7．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选：B．8．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}【解答】解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0解得a=﹣5，b=30．则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x故选：B．9．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．钝角三角形【解答】解：由正弦定理得，∴sinA•cosA=sinB•cosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，但a≠b，∴2A≠2B，A+B=，即△ABC是直角三角形．故选：B．10．（5分）已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．B．C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3【解答】解：由a≥0，b≥0，且a+b=2，∴，而4=（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2），∴a2+b2≥2．故选：C．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}，a1=1，a n=2a n﹣1，则a n=2n﹣1．【解答】解：∵数列{a n}中a1=1，a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1公比为2的等比数列，∴a n=1×2n﹣1=2n﹣1故答案为：2n﹣112．（5分）在△ABC中，∠A，∠B∠C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，S△ABC=，则c等于4．【解答】解：∵A=60°，b=1，S=，△ABC∴，即，解得c=4．故答案为：4．13．（5分）已知数列{a n}，其前n项和为s n，且s n=n2+n，则通项公式a n=2n，n∈N*．【解答】解：∵数列{a n}，其前n项和为s n，且s n=n2+n，=（n﹣1）2+（n﹣1），∴当n≥2时，s n﹣1∴a n=s n﹣s n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n；当n=1时，a1=s1=1+1=2，满足a n；∴数列的通项公式为a n=2n，n∈N*．故答案为：2n，n∈N*．14．（5分）已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值18．【解答】解：∵正数x、y，满足+=1，∴x+2y==10+=18．当且仅当x＞0，y＞0，，，解得x=12，y=3．∴x+2y的最小值是18．故答案为18．15．（5分）设变量x、y满足约束条件，则x2+y2的最大值为25．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：，∴x2+y2的最大值是C点到原点的距离的平方，∴x2+y2=25，故答案为：25．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16．（12分）解不等式：（1）9x2+1≥6x（2）﹣x2+＞0．【解答】解：（1）9x2+1≥6x⇔9x2﹣6x+1≥0⇔（3x﹣1）2≥0，解得x∈R；（2））﹣x2+＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（3x﹣2）＜0⇔＜x＜1；所以不等式的解集为（，1）．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=3a，求tanA的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理，得=（2分）∵0＜B＜π，∴．（4分）（Ⅱ）：将c=3a代入a2+c2﹣b2=ac，得．（6分）由余弦定理，得．（8分）∵0＜A＜π，∴．（10分）∴．（12分）18．（12分）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）为多少？【解答】解：由题意，设第n天植树y棵，则y=2n，则2+4+8+…+2n≥100，则n≥6，故最小需要6天．19．（13分）等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则a3=a4﹣d=10﹣d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d．由a3，a6，a10成等比数列得a3a10=a62，即（10﹣d）（10+6d）=（10+2d）2，整理得10d2﹣10d=0，解得d=0或d=1．当d=0时，S20=20a4=200．当d=1时，a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7，于是=20×7+190=330．20．（13分）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【解答】解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为y元，则底面积为m2，池底的造价为1600×150=240000元，则y=240000+720（x+）≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600，当且仅当x=，即x=40时，y有最小值297600（元）答：当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．21．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N+）（1）若b n=a n+1﹣2a n，求b n；（2）若，求{c n}的前6项和T6；（3）若，证明{d n}是等差数列．【解答】解（1）∵a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N+），∴S n+2=4a n+1+2a n+2=S n+2﹣S n+1=4（a n+1﹣a n），∴a n+2﹣2a n+1=2（a n+1﹣2a n）即b n+1=2b n∴{b n}是公比为2的等比数列，且b1=a2﹣2a1∵a1=1，a2+a1=S2即a 2+a1=4a1+2，∴a 2=3a1+2=5，∴b1=5﹣2=3，∴．（2）∵，∴，∴∴{c n}是首项为，公比为的等比数列．∴T6===．（3）∵，∴即，∴{d n}是等差数列．。
湖南省怀化市怀化三中高二数学上学期期中考试(文)试题湘教版
湖南省怀化市怀化三中2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文科）试题时量：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号涂在答题卡上. 1. 在△ABC 中，5a =，3b =，则sin sin AB的值是 （ ） A ．53 B ．35C ．37D ．572．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a -=-，则2a = （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3. 在△ABC 中，2a =，b =A=45°，则B= （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．关于x 的不等式253x x x -->的解集是 （ ） A.或{x 1,5}x x ?? B.或{x 1,5}x x <-> C.{1x 5}x -<<D.{1x5}x -＃5．数列1，2，4，8，… 的一个通项公式是 （ ）A ．2n n a =B ． 12n n a -=C ．21n n a =-D ． 21n n a =+6. 若x ＞0,则4x x+（ ） A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最小值4 D.有最大值-4 7．若b <0，a ＋b >0，则a －b 的值 ( )A ．大于或等于0B ．小于或等于0C ．等于0D ．大于0 8. 已知等比数列{}n a 的公比3q =，则2413a a a a ++等于 ( )A.13-B.3-C.13D.39. 在△ABC 中，A ＝60°，c ＝1，面积为2a 的长度为 ( ) A ．．2 D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10. 函数y =_____________________．11．等差数列{}n a 的通项公式是31n a n =-，则其前5项和5S =______ 12. 设01x <<, 则(1)x x -的最大值是____________．13. 已知点（2，2）在不等式3x -2y +a>0表示的平面区域内，则a 的取值范围是____________. 14．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．15．若不等式(－1)na ＜2＋1(1)n n+-对任意正整数n 恒成立， 则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，首项11a =，公差3d =，求通项n a 及前n 项的和n S17.（本小题满分12分）设变量x ，y 满足约束条件0333y x y x y ìï³ïïï+?íïïï+?ïïî（1求其面积。
湖南省怀化市质量监测高三上期中——数学(文)(1)数学(文)
湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2015届高三上期中考试数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2．考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将答题卡收回。
4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.1. 已知全集,集合, ,则为A. B. C. D.2. 给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数的序号是A．①②B．③④C．②③ D.①④3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 函数的最小正周期是A．B．2 C．D．5.―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是6. 运行如图1的程序框图，则输出的结果是A. B. C. D.7. 已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围A．B．C．D．8. 已知,直线与直线互相垂直，则的最大值为A．0 B．C．4 D．29. 已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为A ．或B ．C ．或D ．以上都不对10.已知函数11,0()2(1),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，为曲线在处的切线方程，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.11.已知，满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数的最大值为 .12.已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么 的值为 . 13.函数单调增区间为 .14.已知正项等比数列的公比，若存在两项，使得，则的最小 值为 ．15.定义在上的函数满足，当时， 当时，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++= .三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）函数()s i 2f x A xωφωπ=+>部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值．17．（本题满分12分）已知向量，．（Ⅰ）若，且，求满足的概率．（Ⅱ）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.18．（本小题12分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．19．（本小题13分）设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线 上.(Ⅰ) 求数列的通项公式； （Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切． （Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．21．（本小题13分） 已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++.（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；（Ⅱ）当时，设函数，若，都有恒成立，求的取值范围.第18题图参 考 答 案一、选择题（）二、填空题（）11.6； 12.； 13.； 14.； 15.336. 三、解答题 16解：（Ⅰ）由图可得，，所以…………2分所以………3分 当时，，可得，因为， 所以 …………5分所以的解析式为……………………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-s i n 2c o s c o s 2s i n266x x x ππ=+-12cos 22x x =-…………………9分因为，所以…………10分当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．……12分 17解：（Ⅰ）用表示事件“”，即…………1分试验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，………3分构成事件的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，如图所示…………5分所以所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯………6分 （Ⅱ）设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5）， （6，6）， 共36个．……………8分 用表示事件“”，即……………9分 则包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个………………10分 ∴……………12分 18解：（Ⅰ）连接，如图， ∵、分别是、的中点，是矩形， ∴四边形是平行四边形， ∴--------2分∵平面，平面，∴平面------------------6分 （Ⅱ）连接，∵正方形的边长为2，，∴，，，题号 1 23 4 5 67 8 9 10 答案 B C A D C BCDCA则，∴-------------------8分 又∵在长方体中，，，且， ∴平面，又平面， ∴，又∴平面，即为三棱锥的高-----------------10分∵1111222AB C S AC OB ∆=⋅⋅=⨯=，∴111111233D AB CAB C V S D O -∆=⋅⋅=⨯=分19解：(Ⅰ)由题意可得：①时, ② ……………… 2分 ①─②得()22102211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ， 2122,12121=⇒=+=a a a a ………………… 4分 是首项为，公比为的等比数列， ………… 6分（Ⅱ）解法一:.2122112111--=--=n n n S ……………… 7分 若为等差数列， 则3322123,22,2λλλλλλ++++++S S S 成等差数列,……………… 8分,82547231492328252349312λλλλλλ+++=⎪⎭⎫⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S 得 ……………… 11分 又时，22222+=++n n S n n ，显然成等差数列， 故存在实数，使得数列成等差数列.……………… 13分 20解：（Ⅰ）设圆的半径为，因为直线与圆相切，所以2r ==………………3分所以圆的方程为………………5分（Ⅱ）方法一：因为直线：与圆相交于，两点，所以，所以或……………7分假设存在点，使得……………8分 因为，在圆上，且，而，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且平分 ……………9分 所以原点到直线：的距离为…………10分 即，解得，，经验证满足条件…………12分所以存在点，使得…………13分方法二：假设存在点，使得．记与交于点因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形， 因为直线斜率为，显然，所以直线方程为…………7分31y kx y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得02023131k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 所以点坐标为………9分 因为点在圆上，所以，解得…………11分即，经验证满足条件…………12分 所以存在点，使得…………13分 21解：（Ⅰ）当时，22()(2)ln 2f x x x x x =-⋅-+，定义域()(22)ln (2)2f x x x x x '=-⋅+--……………3分，又，在处的切线方程……………6分 (Ⅱ)当时，22()(2)ln g x xx x x x =-⋅+-，若，，只需证明， ……………7分()(1)(32ln )g x x x '=-⋅+，令得……………9分又，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ……………10分又333221()22g e e e ---=-+ ，333322213()2222()()22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=即2max ()()23g x g e e e ==- ……………13分。
数学-高二-湖南省怀化市怀化三中2013-高二上学期期中考试数学(文)试题
湖南省怀化市怀化三中2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文科）试题时量：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号涂在答题卡上. 1. 在△ABC 中，5a，3b ，则sin sin AB的值是 （ ） A ．53 B ．35 C ．37 D ．572．已知数列{}n a 满足11a ，121nnaa ，则2a （ ）A ．0B ．1C ．2D ． 3 3. 在△ABC 中，2a，2b ，A=45°，则B= （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 4．关于x 的不等式253x x x 的解集是 （ ）A.或{x 1,5}x xB.或{x 1,5}x xC.{1x 5}xD.{1x5}x5．数列1，2，4，8，… 的一个通项公式是 （ ） A ．2n na B ． 12n n a C ．21nna D ． 21n na6. 若x ＞0,则4xx（ ） A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最小值4 D.有最大值-4 7．若b <0，a ＋b >0，则a －b 的值 ( )A ．大于或等于0B ．小于或等于0C ．等于0D ．大于0 8. 已知等比数列{}n a 的公比3q，则2413a a a a 等于 ( ) A.13B.3C.13 D.39. 在△ABC 中，A ＝60°，c ＝1，面积为2，那么a 的长度为 ( ) A ．BC ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10. 函数12yx 的定义域是_____________________．11．等差数列{}n a 的通项公式是31n a n，则其前5项和5S ______12. 设01x , 则(1)x x 的最大值是____________．13. 已知点（2，2）在不等式3x -2y +a>0表示的平面区域内，则a 的取值范围是____________. 14．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．15．若不等式(－1)n a ＜2＋1(1)nn对任意正整数n 恒成立， 则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 已知等差数列{}n a ，首项11a ，公差3d，求通项n a 及前n 项的和n S17.（本小题满分12分）设变量x ，y 满足约束条件0333yxy xy（1求其面积。
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2014-2015学年湖南省怀化三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，22．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣24．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′=sinx B．C．D．5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．147．（5分）在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（5分）函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣1，2]上的最大值为（）A．11 B．8 C．12 D．09．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第比上一行多一个数）：设a i，ji行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=2006，则i、j的值分别为（）A．64，53 B．63，53 C．63，54 D．64，54二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x≤0”的否定是．12．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为．13．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦值等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n=+1（n≥2），若a7=，则a5=．15．（5分）抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．17．（12分）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x 的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2x+lg8y=lg4，求z=的最小值．19．（13分）设椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．20．（13分）已知函数在x=1时取得极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的单调减区间．21．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求T n的最小值．2014-2015学年湖南省怀化三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．∴首项a1和公差d的值分别为1，4．故选：C．2．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“a=1”成立则有“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，反之若“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，得到a=1或a=2，推不出“a=1”一定成立，所以“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，目标函数取最大值，代值可得z=x﹣y的最大值为1﹣0=1，故选：B．4．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′=sinx B．C．D．【解答】解：对于A，（cosx）′=﹣sinx；A错误；对于B，（sin）′=0；B错误；对于C，；C错误；对于D，；D正确；故选：D．5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意，，∴a=2，故选：C．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14【解答】解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2=0的解为，所以a﹣2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=﹣12，b=﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选：A．7．（5分）在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：由正弦定理得：==，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．8．（5分）函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣1，2]上的最大值为（）A．11 B．8 C．12 D．0【解答】解：∵y=x4﹣4x+3，∴y′=4x3﹣4当y′=4x3﹣4≥0，即x≥1时，函数y=x4﹣4x+3单调递增，∴在区间[1，2]上，当x=2时函数取到最大值11，当y′=4x3﹣4＜0，即x＜1时，函数y=x4﹣4x+3单调递减∴在[﹣1，1]上，当x=﹣1时函数取到最大值8．∴函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣1，2]上的最大值为11．故选：A．9．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°=﹣=，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选：A．10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第比上一行多一个数）：设a i，ji行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=2006，则i、j的值分别为（）A．64，53 B．63，53 C．63，54 D．64，54【解答】解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，…，第62行有62个数，第63行有63个数，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，∴前n项的和是，∴≥2006，∴（n+64）（n﹣63）≥0∴n≥63或n≤﹣64（舍去）当n=63时，=2016∴a63=（1+2+3+…+62）+53=（1+62）+53=2006．，53故i、j的值分别为：63；53，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x≤0”的否定是∀x∈R，x2+x＞0．【解答】解：∵命题“∃x∈R，x2+x≤0”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈R，x2+x＞0故答案为：∀x∈R，x2+x＞0．12．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y=﹣3x+2．【解答】解：由曲线y=x3﹣3x2+1，所以y′=3x2﹣6x，曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3（1）2﹣6=﹣3．此处的切线方程为：y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故答案为：y=﹣3x+2．13．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦值等于﹣．【解答】解：根据题意设a=k，b=2k，c=k，∴最大角为C，利用余弦定理得：cosC===﹣，则最大角的余弦值为﹣．故答案为：﹣14．（5分）已知数列{a n}满足a n=+1（n≥2），若a7=，则a5=．【解答】解：∵数列{a n}满足a n=+1（n≥2），a7=，∴，解得a6=，∴+1，解得a5=．故答案为：．15．（5分）抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．【解答】解：∵抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，∴点P到抛物线焦点（，0）的距离为d1，又点P到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，∴d1+d2的最小值为点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，由点到直线的距离公式可得=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴∴…（6分）（2）由正弦定理得∴…（12分）17．（12分）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x 的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：当P为真时，有，即m2＞0且﹣m＜0，解得m＞2（4分）当q为真时，有△=16（m﹣2）2﹣16＜0得，1＜m＜3 （6分）由题意：“P或Q”真，“P且Q”为假等价于（1）P真q假：得m≥3 （8分）（2）q真P假：，得1＜m≤2（11分）综合（1）（2）m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3} （12分）18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2x+lg8y=lg4，求z=的最小值．【解答】解：由lg2x+lg8y=lg4可得xlg2+3ylg2=2lg2∴x+3y=2则“=”在即时成立．z=的最小值：2+．19．（13分）设椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．【解答】解：（1）∵左焦点为F（﹣1，0）∴c=1又∵，∴∴椭圆C的方程为（2）直线l的方程为y=x+1由消去y，得9x2+10x﹣15=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则∴20．（13分）已知函数在x=1时取得极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的单调减区间．【解答】解：（1）依题意，得f′（x）=ax2﹣（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，解得b=1．（2）由（1）得；f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，，令f′（x）＜0，∴不等式的解集为；②当a＞1时，，令f′（x）＜0，∴不等式的解集为；综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，）；当a＞1时，f（x）的单调减区间为（，1）．21．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求T n的最小值．【解答】解：（1）∵S n=，当n=1 时S1=a1=，解得a1=3；当n≥2时，得，又a2=3a1=9，所以；…（4分）∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上，∴b n﹣b n+1+1=0，即b n+1﹣b n=1，所以数列{b n}是等差数列，又b1=1可得b n=n．…（6分）（2）∵，∴，，两式相减得，即，因此：…．（11分）∵T n单调递增∴当n=1时{T n}最小值为3…（13分）。