正方形的性质与判定经典例题练习复习过程
2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习正方形的判定与性质中考真题演练2（附答案）1．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），请你直接写出BM、DN和MN的数量关系：__________．（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出直接写出结论．2．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．3．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．5．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．6．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．7．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．（1）求证：DE＝DF；（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．8．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．9．如图（1），已知四边形ABCD的四条边相等，四个内角都等于90°，点E是CD边上一点，F是BC边上一点，且∠EAF=45°．（1）求证：BF+DE=EF；（2）若AB=6，设BF=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点A作AH⊥FE于点H，如图（2），当FH=2，EH=1时，求△AFE的面积．10．取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN．第二步：点G在线段 MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP．（1）判断△PBC的形状，并说明理由；（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连接PC′、DC′．①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数；②猜想∠PC′D的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接AC′、CC′，研究图形中特殊的三角形）11．问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM ．试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB ，∴AE=2AB ．∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ． ∴EM EB DM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EM DM =．∴EM=DM ． 即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2）∴AM 垂直平分DE ．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案1.解：（1）BM+DN=MN．理由如下：如图4，把△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，则由题意可得：点C、B、F三点共线，∴由旋转的性质可得：BF=DN，AF=AN，∠BAF=∠DAN，∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAF+∠BAM=45°=∠MAF=∠MAN，又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN，∴MF=MN，又∵MF=BM+BF，BF=DN，∴MN=BM+DN；（2）成立，理由如下：如图5，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可得E、B、M三点共线．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，AE=AN，BE=DN，又∵∠NAM=45°，∴∠EAM=∠NAM，∴在△AEM与△ANM中，，∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（3）DN-BM=MN．理由如下：如图6，在DC上截取DE=BM，连接AE，∵∠ADE=∠ABM=90°，AD=AB，∴△ADE≌△ABM，∴AE=AM，∠DAE=∠BAM，∵∠BAM+∠BAN=∠MAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=45°，∴∠EAN=90°-∠DAE-∠BAN=45°=∠MAN，又∵AN=AN，∴△EAN≌△MAN，∴EN=MN，又∵DN-DE=EN，∴DN-BM=MN.2．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BFA＝90°＝∠AED，∴AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．3．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．4．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．6．（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．7．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝DF；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴四边形AFDE是正方形．22.解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形．∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，②CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，∴AC=AE+CE=2AB=2×22=4，∴CE+CG=4 是定值．解:（1）如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，∴∠FAH=∠FAE=45°，∵AF=AF，AH=AE，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF=FH，∵FH=BH+BF=DE+BF，∴EF=BF+DE；（2）∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，∴EF=x+y，FC=6=﹣x，EC=6﹣y，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴（x+y）2=（6﹣x）2+（6﹣y）2，∴y=3662+6xx（0≤x≤6）；（3）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．由（1）可知△AFM≌△AFH，∵AB⊥FM，AH⊥EF，∴AB=AH，设AB=BC=CD=AD=x，∵∠ABF=∠AHF=90°，∵AF=AF．AB=AH，∴Rt△AFB≌Rt△AFH（HL），∴BF=FH=2，同理可证：DE=EH=1，∴CF=x﹣2，EC=x﹣1，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴32=（x﹣2）2+（x﹣1）2，∴x=317 +或317-（舍弃），∴S△AEF=12•EF•AH=12317+9317+8.解：（1）△PBC是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折叠的性质得：BN=NC=12BC=12PC，MN⊥BC，∴PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，sin∠NPC=12NCPC=，∴∠NPC=30°，∴∠PCB=60°，∴△PBC是等边三角形；（2）①补全图形如图2所示：由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，∵∠ABC=90°，∴∠ABP=90°﹣60°=30°，∵AB=BC，∴AB=PB，∴∠BAP=∠BPA=12(180°-∠PBC)=75°，∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，∵C关于直线AP的对称点为C′，∴∠APC'=∠APC=135°；②连接AC'，CC'，如图3所示：由对称的性质得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，∴∠CAC'=60°，∴△CAC'是等边三角形，∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，在△AC'D 和△CC'D 中，{AC CC AD CDC D C D=='='''， ∴△AC'D ≌△CC'D （SSS ），∴∠AC'D=∠CC'D=12∠AC'C=30°， ∵∠AC'P=∠ACP=15°，∴∠PC'D=15°．9.解：(1)如图1，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠PBC ＋∠CEP ＝180°，而∠CEP ＋∠PEN ＝180°，∴∠PBM ＝∠PEN ，在△PBM 和△PEN 中， { PBM PEN PMB PNE PM PN∠=∠∠=∠= ∴△PBM ≌△PEN(AAS)，∴PB ＝PE(2)如图2，PB ＝PE 还成立．理由如下：过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AC 平分∠BCD ，∵PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，∴四边形PMCN 为正方形，PM ＝PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠BPE ＝90°，∠BCD ＝90°，∴∠BPM ＋∠MPE ＝90°，而∠MPE ＋∠EPN ＝90°，∴∠BPM ＝∠EPN ，在△PBM 和△PEN 中， { PMB PNE PM PN BPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE (3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC 的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC 平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，{PMB PNEPM PNBPM EPN∠=∠=∠=∠∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE12．解：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM=EN，∠BEN=90°．∴∠1+∠2=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE=BE．∴BM=BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，AB=BE．∴BC=2BM．∴BM=MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上。
与正方形有关的性质练习题
与正方形有关的性质练习题1. 什么是正方形？- 正方形是指具有四个相等边长和四个右角的四边形。
2. 如何确定一个图形是否为正方形？- 一个图形可以通过以下条件来确定是否为正方形：- 所有边的长度相等；- 所有角都是直角。
3. 正方形的性质有哪些？- 正方形具有以下性质：- 所有边的长度相等；- 所有角都是直角；- 对角线相等且垂直；- 对角线平分四个角；- 对角线上的中点连线是正方形的对称轴；- 正方形是一种特殊的长方形。
4. 如何计算正方形的面积和周长？- 正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积 = 边长 ×边长；- 正方形的周长可以通过边长的四倍来计算，即周长 = 边长 × 4。
5. 某个正方形的边长为x cm，求其面积和周长。
- 面积 = x cm × x cm = x^2 cm^2；- 周长 = x cm × 4 = 4x cm。
6. 如果一个图形是正方形，那么它一定是长方形吗？- 是的，正方形是一种特殊的长方形，特点是所有边长相等，并且所有角都是直角。
7. 请列举一些与正方形有关的实际应用场景。
- 正方形在日常生活中有广泛的应用，例如：- 电视或计算机屏幕的形状；- 方形照片或画框；- 正方形地砖；- 游戏棋盘等。
这些练题可以帮助你巩固对正方形的性质和特点的理解。
通过解答这些问题，你可以提高对正方形相关知识的掌握程度。
以上是与正方形有关的性质练习题的文档。
希望对你有所帮助！如有其他问题，请随时提问。
1.3正方形的性质与判定(1)
O
D
B
C
例2、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E， 使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E， ∠AFC的
度数. A D F B 练习：1、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠E A E
C D
B
C
E
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
（6）正方形一定是矩形．（√ ） （7）正方形一定是菱形．（√ ） （8）菱形一定是正方形．（ ） （9）矩形一定是正方形．（ ） (10) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 边 形． （√ ）
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
1.一个菱形的两条对角线的长分别为 4cm和8cm，求它的边长。 2.如果一个四边形是轴对称图形，而且 有两条互相垂直的对称轴，那么这个四 边形一定是菱形吗？为什么？ 3.一个菱形的周长是200cm，一条对角线长 60cm,求： 1）另一条对角线的长度； 2）菱形的面积.
根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
图形 性质 对边平行且相等 四边相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 平行四边形 矩形 菱形 正方形
√
√
正方形性质与判定复习
课 后 反 思
难点 正方形的性质和判定的综合运用
学 法
指 自主学习 导
合作探究
正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方 形。
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正 方形。
正方形性质：（既有矩形的性质，又有菱形的性质） 1、对边平行且相等；2、四条边都相等；3、各角都是直角；
记忆 4、对角线相等且互相垂直平分；5、每一条对角线平分一组对 清单 角。
2、如图，正方形ABCD的边长为12 cm，在AB上有点P，且AP=5 cm，将正方形折叠，使点D与点P重合，折痕为EF，求△EAP的 周长.
3、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一 侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
实验中学八年级数学教学通案
课 题
18.2.3正方形的性质与判定复习
课
型
新授 课
课时
主备 教师
审核 教师
使用教 师
上
备课
课
日期
日
期
1．掌握正方形的概念和性质、判定，并会用它们进行有关的论证和
学习 计算．
目标 2．熟练运用正方形性质和判定，进一步体会数学的数形结合思想，
提高学生的逻辑思维能力．
重点 正方形的性质和判定
1.正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系图：
个案补充
2.正方形特征： 3.正方形的识别方法：
4.正方形还有许多有趣的性质．例如，如果要用给定长度
的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这个区
域的形状选成Leabharlann 方形． 3、 练习巩固1、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
正方形经典题型(培优提高)
正方形的性质及判定知识归纳1. 正方形的定义: 有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形. 它具有前三者的所有性质: ① 边的性质: 对边平行, 四条边都相等． ② 角的性质: 四个角都是直角.③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等, 每条对角线平分一组对角. ④ 对称性：正方形是中心对称图形, 也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系: （如图） 3. 正方形的判定判定①: 有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。
难点: 正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1: 如图, 已知正方形 的面积为 , 点 在 上, 点 在 的延长线上, 且, 则 的长为FE D CBA变式1: 如图, 在正方形 中, 为 边的中点, , 分别为 , 边上的点, 若 , ,, 则 的长为 .变式2: 将 个边长都为 的正方形按如图所示摆放, 点 分别是正方形的中心, 则 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为例2: 如图, 是正方形 对角线 上的一点, 求证: .EDCBA变式1: 如图, 为正方形 对角线上一点, 于 , 于 .求证: .F EPDCB A例3: 如图, 已知 是正方形 内的一点, 且 为等边三角形, 那么PDCBA变式1: 如图, 已知 、 分别是正方形 的边 、 上的点, 、 分别与对角线 相交于 、 , 若 ,则 .变式2: 如图, 四边形 为正方形, 以 为边向正方形外作正方形 , 与 相交于点 ,则FEDCBA例4: 如图, 正方形 的边 在正方形 的边 上, 连接 , 求证: .GC FEDBA变式1: 如图, 在正方形 中, 为 边上的一点, 为 延长线上的一点, , , 求的度数.BDCAEF变式2: 已知: 如图, 在正方形 中, 是 上一点, 延长 到 , 使 , 连接 并延长交 于 .（1）求证: ；（2）将 绕点顺时针旋转 得到 , 判断四边形 是什么特殊四边形？并说明理由．例5: 若正方形 的边长为 , 为 边上一点, , 为线段 上一点, 射线 交正方形的一边于点 , 且 , 则 的长为 .ABCDEF EG变式1: 如图1, 在正方形 中, 、 、 、 分别为边 、 、 、 上的点, , 连接 、 , 交点为 .⑴ 如图2, 连接 , 试判断四边形 的形状, 并证明你的结论；⑵ 将正方形 沿线段 、 剪开, 再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形 的边长为 , , 则图3中阴影部分的面积为_________ ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA变式2: 如图, 正方形 对角线相交于点 , 点 、 分别是 、 上的点, , 求证: （1）；（2） . BO D CAQP例6: 如图, 正方形 中, 是 边上两点, 且 于 , 求证:G FEC DBA变式1: 如图, 点 分别在正方形 的边 上, 已知 的周长等于正方形 周长的一半,求 的度数NMDCBA变式2: 如图, 设 正方形 的对角线 , 在 延长线上取一点 , 使 , 与交于 , 求证: 正方形的边长.HEGCDFBA例7: 把正方形 绕着点 , 按顺时针方向旋转得到正方形 , 边 与 交于点 （如图）.试问线段 与线段 相等吗？ 请先观察猜想, 然后再证明你的猜想.GCHF EDB A变式1: 如图所示, 在直角梯形 中, , , 是 的垂直平分线, 交 于点 , 以腰为边作正方形 , 作 于点 , 求证 .lPM FE DC BA二、正方形的判定例1: 四边形 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形 , 求证: ⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形 为平行四边形, 则四边形 为矩形.⑶四边形 为长方形, 则四边形 为正方形．HEFG DCBA变式1: 如图, 已知平行四边形 中, 对角线 、 交于点 , 是 延长线上的点, 且 是等边三角形. ⑴ 求证: 四边形 是菱形；⑵ 若 , 求证：四边形 是正方形．OEDCBA变式2: 已知: 如图, 在 中, , , 垂足为点 , 是 外角 的平分线, , 垂足为点 .⑴ 求证: 四边形 为矩形；⑵ 当 满足什么条件时, 四边形 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA例2: 如图, 是边长为 的正方形, 是内接于 的正方形, , 若 则 =H GFEDCBA例3: 如图, 若在平行四边形 各边上向平行四边形的外侧作正方形, 求证: 以四个正方形中心为顶点组成一个正方形.PRQ S NMFEDCBA1. 附加题:如图, 在线段 上, 和 都是正方形, 面积分别为 和 , 则 的面积为GFEDCB A如图, 在正方形 中, 、 分别是 、 的中点, 求证: .MFEDCBA如图, 正方形 中, 是对角线 的交点, 过点 作 , 分别交 于 , 若 , 则 OFE DC BA如图所示, 是正方形, 为 上的一点, 四边形 恰好是一个菱形, 则 ______.ABCDEF。
1.3 正方形的性质与判定(二)
定理:对角线垂直的矩形是正方形
正方形的判定方法：
1、定义 判定没有固定方法， 2、对角线相等的菱形是正方形。 只要既是矩形又 3、有一个角是直角的菱形是正方形。 是菱形就可判定。 4、对角线垂直的矩形是正方形。 5、有一组邻边相等的矩形是正方形。
注意：正方形的
有一组邻边相等且 有一个角是直角
第二环节
E
F
A
C
H
D
G
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH会有怎样的变化呢？先猜一猜，再证明。 原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形,AB=AD ∵ ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形（正方形定义 ）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形。
证明:对角线相等的菱形是正方形。
已知: 四边形ABCD是菱形, AC=BD
求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形．（正方形的定义）
已知: 四边形ABCD是矩形, AB=AD 求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90° ∵ AB=AD ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）
定理:有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形的性质与判定知识点及例题
FED CB一．知识要点：一．知识要点：1．正方形的定义：．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．二．例题讲解二．例题讲解1. 正方形的性质 【铺垫】正方形有【铺垫】正方形有 条对称轴．条对称轴．【例1】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ^=，，则BE 的长为的长为【例2】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...nA A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．【例3】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ^于E ，PF CD ^于F 求证：AP EF =. 正方形菱形矩形平行四边形E DC BAFEP D CBA AA 5A 4A 3A2A 1正方形的性质与判定PDCBA G C FE D BA BD CAEF【巩固】☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且A B P D 为等边三角形，那么DCP Ð=【例4】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =. 【例5】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC Ð=°，求B E F Ð的度数. 【例6】如图4.64.6－－6，已知E 为正方形ABCD 的边BC 的中点，的中点，EF EF EF⊥⊥AE AE，，CF 平分∠平分∠DCG DCG DCG，，求证：证：AE AE AE＝＝EF EF．．解析：可取AB 中点M ，连结ME ME，证△，证△，证△AME AME AME≌△≌△≌△ECF ECFF A B C DE 2.正方形的判定【例1】如图所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，试说明四边形CEDF 为正方形。
正方形的性质及判定典型题(精选)
、正方形的性质例1】正方形有条对称轴．例2】已知正方形BD EF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则S正方形BDEF :S正方形ABCD例3】如图，已知正方形ABCD 的面积为256 ，点 F 在CD 上，点 E 在CB 的延长线上，且AE AF ，AF 20，则BE 的长为例4】如图，在正方形ABCD 中， E 为AB 边的中点，G ， F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG 1，BF 2 ，GEF 90 ，则GF 的长为．例5】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，...，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为如图，正方形 ABCD 中， O 是对角线 A C ，B D 的交点，过点 O 作OE OF ，分别交 AB ，CD 于 E ，F ，若 AE 4，CF 3，则 EF如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm ，以 B 为圆心， BC 长为半径画弧交对角线 BD 于点E ，连接C E ， P 是C E 上任意一点， PM BC 于M ，PN BD 于N ，则PM PN 的值为如图所示，正方形 ABCD 对角线 AC 与BD 相交于 O ，MN ∥ AB ，且分别与 AO 、BO 交于 M 、N ．试探讨 BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．例 6】例 7】 例 8】 如图， E 是正方形 ABCD对角线 BD 上的一点，求证： AE C E ． 例 9】 如图， P 为正方形ABCD对角线上一点， PE BC 于E ，PF CD 于F .求证： AP EF. 例 10】例 11】如图，已知 P 是正方形 ABCD 内的一点，且 ABP 为等边三角形，那么 DCP例 13】如图，已知 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，AE于M 、N ，若 EAF 50 ，则 CME CNF例 14】 如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向正方形外作正方形则AF D例 12】 已知正方形 ABCD ，在AD 、 等腰直角三角形． AC 上分别取 E 、 F 两点，使 ED∶AD 2FC∶AC ，求证： BEF 是AF 分别与对角线 BD 相交ABE ， CE 与 BD 相交于点 F ，D CB例15】如果点 E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BEDF 吗？并阐明理由．DF DE ．D N AN ，求证KL M N ，K L M N例16】如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD 是等腰三角形．例17】如图，过正方形顶点A 引AE ∥ BD连结BF 分别E ，F ，使DE AD ， D F BD，且 B E BD ．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证，你能判断四边形AECF 的形状例18】如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是 A 内的两条射线，BK AK ，BL AN ，D M AK ，D C第 5 页 共 10 页例19】如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边CE 上，连接 BE , D G ，求证： BE DG .例 20】 （ 2007 年三帆中学期中考试）如图，在正方形 上的一点， CE CF ， FD C 30 ，求 BEFABC D 中， 的度数 . E 为 CD 边上的一点，AF 为 BC 延长线DEBC F例21】已知：如图，在正方形 ABCD 中，G 是CD 上一点，延长 BC到E ，使CE CG ，连接 BG 并延 长交 D E 于 F ．（1）求BC G ≌ D CE ；2）将 △ DCE 绕点 D 顺时针旋转 90 得到 DAE ，判断四边形 E BG D 是什么特殊四边形？并说明 理由．例22】若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为BC 边上一点， BE 3，M 为线段 AE 上一点，射线 BM 交正 方形的一边于点 F ，且 BF AE ，则 BM 的长为 ．例 23】如图 1，在正方形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为边 AB 、 BC 、 CD 、 D A 上的点，HA EB FC GD ，连接 EG 、FH ，交点为 O ．⑴ 如图 2，连接 EF ，FG ，GH ，H E ，试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形 ABCD 沿线段 EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图例 26】如图，正方形 ABCD 中， E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF AE FC ，DG EF 于 G ，求证：3 的方式拼接成一个 四边形．若正方形 ABCD 的边长为 3 cm ，H A EB FC GD 1cm ，则图 3 中阴影部分的面 积为 2cm例24】如图，正方形 ABCD 对角线相交于点 O ，点 P 、Q 分别是 BC CD 上的点， A Q D P ，求证：1）OP OQ ；（2）O P OQ. 例25】如图，在正方形 ABCD 中， E 、F 分别是 AB 、BC 的中点，求证：AM ADA EB 图2D G C图AD例27】如图，点 M ，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC ，CD 上，已知 MCN 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半，求 M AN 的度数例28】如图，设 EF ∥ 正方形 ABCD 的对角线 AC ，在D A 延长线上取一点 G ，使 AG AD ，EG 与DF交于 H ，求证： AH 正方形的边长．例29】把正方形 ABCD 绕着点 A ，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG ，边 FG 与 BC 交于点 H（如 图）．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．例30】如图所示，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC ， ADC 90 ，l 是 AD 的垂直平分线，交 AD 于点M ，以腰 AB 为边作正方形 ABFE ，作 EP l 于点 P ，求证 2EP AD 2CD.Fl例33】如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，E 是BD 延长线上的点，且 ACE是等边三角形．⑴ 求证：四边形 ABCD 是菱形；⑵ 若 AED 2 EAD ，求证：四边形 ABCD 是正方形．例31】如图所示， A BC D 是正方形， E 为B F 上的一点，四边形 AEFC 恰好是一个菱形，、正方形的判定四边形 ABC D 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形 ⑴四边形 EFG H 对角互补；⑵若四边形 ABCD 为平行四边形，则四边形 EFG H 为矩形． ⑶四边形 ABCD 为长方形，则四边形 EF GH 为正方形．例 32】EF GH ，求证：D则 EAB __________AB例34】已知：如图，在ABC 中，AB AC ，AD BC ，垂足为点 D ，AN 是ABC 外角CAM 的平分线，CE AN ，垂足为点 E ．⑴ 求证：四边形AD CE 为矩形；⑵ 当ABC 满足什么条件时，四边形AD CE 是一个正方形？并给出证明．l例 35】如图，点 M 是矩形 ABCD 边 AD 的中点， 2AB AD ，点 P 是 BC 边上一动点， PE M C ，PF BM ，垂足分别为 E 、 F ，求点 P 运动到什么位置时，四边形 PEM F 为正方形．例36】如图， ABCD 是边长为 1的正方形， EFGH 是内接于 ABCD 的正方形， AE a ，AF b ，若 SEFGH 3，则b a =例37】如图， A 在线段 BG 上， ABCD 和 DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则 CDE的面积为例 38】如图，在正方形 ABCD 中，点 P ，P 1为正方形内的两点，且 PB PD ，P 1B AB ， CBP P 1BP ，则 B P 1PDE第 11 页 共 10 页例40】已知： PA 2，PB 4，以 AB 为一边作正方形 ABCD ，使 P 、D 两点落在直线 AB 的两侧.（1）如图，当∠ APB= 45 °时，求 AB 及 PD 的长；（ 2）当∠ APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应∠ APB 的大小 .D C例 39】 如图，若在平行四边形 顶点组成一个正方形． ABC D 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为A DM。
正方形的性质与判定经典例题练习
正方形 正方形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 正方形的判定方法：（1） （2） （3） 性质练习： 1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62 3、下面的命题是真命题的有 。 A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C、正方形是一组邻边相等的矩形。D、正方形是有一个角为直角的菱形。 4、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。
（第4题） （ 第6题）
5.正方形的面积是31，则其对角线长是________. 6.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数. 7、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。 变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF. (1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
判定练习： 1．不能判定四边形是正方形的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形 C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形 2、（绵阳）四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（ ）
A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA 3、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。（ ） （2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ ） （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（ ） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ） 4、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B.AB∥CD，AC=BD
正方形的性质与判定
正方形的判定:
矩形 菱形 一 个 角 是 直 角
平行四边形
正方形
一组邻边相等、一个角是直角
想一想
1、判断以下说法是否正确，并说明理由：
① 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③对角线相等的菱形是正方形 ④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小 路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等 的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？ （至少说出三种）
八年级 数学
第十九章 四边形
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
）个
多
多
多
第n个图中正方形有
3n-1 个
再见
D
C
合作探究
（4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成 四个全等的等腰直角三角形。
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形， A ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等， 并且互相垂直平分）． ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等 腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
合作探究
例题1、如图，四边形ABCD是正方形，两条对 角线相交于点O。 二 （1）一条对角线把它分成_______ 个全等的 等腰直角 ________ 三角形； 八 A （2）图中一共有________个等 腰直角三角形;两条对角线把它分 O 四 等腰直角 成_______个全等的___________三 角形； 90 度，∠OAB＝ （3）∠AOB＝_____ B 45 _____度． （4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成 四个全等的等腰直角三角形。
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正方形
1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，
MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）
A.12+122
B.12+62
C.12+2
D.24+62
3、下面的命题是真命题的有。
A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。
C、正方形是一组邻边相等的矩形。
D、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练
例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD 的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
例2、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（
三、用中学习
1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD
= 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。
A
P
D
E
3.正方形的面积是3
1，则其对角线长是________. 4.E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数.
5、如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
6、（2012义乌）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。
探究：线段MD、MF的关系。
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45 ，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD 的边BC的延长线上，M为AE的中点。
试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
自学生疑
1、判定四边形为矩形的方法：（1）
（2）
（3）
2、判定四边形为菱形的方法：（1）
（2）
（3）
二、合作学习
● 合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？
练一练： 1．不能判定四边形是正方形的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的四边形
B ．对角线互相垂直的矩形
C ．对角线相等的菱形
D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形
2、（绵阳）四边形ABCD 的对角线相交于点O ，能判定它是正方形的条件是（ ）
A ．AB=BC=CD=DA
B ．AO=CO ，BO=DO ，A
C ⊥BD
C ．AC=B
D ，AC ⊥BD 且AC 、BD 互相平分 D ．AB=BC ，CD=DA
3、如图，已知四边形ABCD 是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形ABCD 是正方形．
● 精讲精练
例1、已知Rt ABC V 中，90C ∠=︒，CD 平分ACB ∠,交AB 于D ，
DF//BC,DE//AC ，求证：四边形DECF 为正方形。
例2、E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，,,EF CD EG AD ⊥⊥垂足分别为F 、G ，求证：BE=FG 。
例3：（淄博）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
例4、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .
(1)求证：EO =FO
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
(3) 当点O 运动到何处时，四边形AECF 是有可能是正方形？并证明你的结论
.
三、用中学习
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。
（
） A M
N
E
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。
（ ）
（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。
（
） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
（ ）
2.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A.OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD
B.AB ∥CD ，AC =BD
C.AD ∥BC ，∠A =∠C
D.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC
3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延
长线上的点，且ACE △是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）
1、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC 。
试判断EFG V 的形状，并说明理由。
2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，(1)若PQ=BP+DQ ，求PAQ ∠。
（2）若45PAQ ∠=︒,求证：PQ=BP+DQ.
E D
B
A
O
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDE BCF ≅V V .(2)判断BEF V 的形状。
4、如图，ABC V 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN//BC ，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F 。
（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系，并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）当点O 运动到何处，且ABC V 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？。