2020届高三数学一诊模拟试题文第I卷(选择题共60分)

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广东省2020届高三普通高中招生全国统一考试模拟(一)数学(文)试题 Word版含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试题（一）本试卷5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的县（市、区）、学校、姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =，则满足{1,2}UAB =的集合B 可以是（）A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}【答案】C 【解析】【分析】由补集的定义可知，集合B 中不含元素1,2，即得答案.【详解】集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =. {1,2},u A C B =∴集合B 中不含元素1,2.故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2. 复数4334iz i+=-（i 为虚数单位）的虚部为（） A. 1- B. 2C. 5D. 1【答案】D【分析】根据复数的除法，把复数4334iz i+=-化为(),z a bi a b R =+∈的形式，即得z 的虚部. 【详解】()()()()()222433443122512253434342534i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, ∴复数z 的虚部为1.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念，属于基础题. 3. 已知向量1,12a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向量b 满足2(1,)a b m +=-，若a b ⊥，则m =（） A. 3- B. 3C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】求出b ，由a b ⊥，得0a b =，即求m . 【详解】()1,1,2(1,),2,22a a b m b m ⎛⎫=-+=-∴=-+ ⎪⎝⎭.,0a b a b ⊥∴=，即()()12202m ⨯--+=，3m ∴=-.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量垂直的坐标表示，属于基础题.4. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若四边形21AF BF 是正方形且面积为4，则椭圆C 的方程为（）A. 22142x y +=B. 2212x y +=C. 22132x y +=D.22143x y +=【解析】【分析】由题意知122,2F F c AB b ==.由四边形21AF BF 是正方形且面积为4，可得b c =，且12242c b ⨯⨯=，即2bc =，可求,b c 的值，从而求出2a ，可得答案. 【详解】由题意知122,2F F c AB b ==.四边形21AF BF 是正方形且面积为4，b c ∴=，且12242c b ⨯⨯=，即2bc =， 2222,4b c a b c ∴==∴=+=，∴椭圆C的方程为22142x y +=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.5. 如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线(0x t t =<≤2）左侧的图形的面积为()f t ，则()y f t =的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】高考资源网（）您身边的高考专家【分析】先由已知条件写出()f t 的函数关系式，即可选择其图像. 【详解】因为OAB 是边长为2的正三角形，当0t <≤1时，213()32f t t t =⨯= ；当1t <≤2时，2113()23(2)3(2)2)3222f t t t t =⨯⨯--=--+所以223,(01)()32)3,(12)t f t t t <≤=⎨⎪-+<≤⎪⎩.只有选项B 中图像符合故选：B.【点睛】此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题. 6. 若2sin()3πα+=，则sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A. 19-B. 59-C.19D.59【答案】B 【解析】【分析】由2sin()3πα+=，可求出sin α.又sin 2cos 22παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据倍角公式可求值.【详解】222sin()sin sin 333πααα+=∴-=∴=-. ()2225sin 2cos 212sin 1229πααα⎡⎤⎛⎛⎫⎢⎥∴-=-=--=--⨯=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和倍角公式，属于基础题.7. 甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（）A.14B.13C.16D.136【答案】C 【解析】【分析】利用列举法求出“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数，进而求出“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”包含的基本事件总数，以及“甲、乙两人选的2本恰好相同”包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，可求概率. 【详解】用a 、b 、c 、d 表示4种不同的图书，则事件“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),b c 、(),b d 、(),c d ，共6种，其中，事件“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数为2636=，记“甲、乙两人选的2本恰好相同”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数为6，()61366P A ∴==. 故选：C.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.8. 某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（） A.31920003cm B.31600003cm C.3160003cm D.3640003cm 【答案】B 【解析】【分析】由题意可知，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积.求出正三棱锥的体积即得答案.【详解】由题意，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积. 一个正三棱锥的体积为231140002020323cm ⨯⨯⨯=,所以石凳子的体积为33400016000040833cm -⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查空间几何体的体积，属于基础题. 9. 执行下边的程序框图，若输出A 的值为70169，则输入i 的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到,A k 的值.根据输出A 的值为70169，可求出输入的i 的值.【详解】模拟执行程序框图可得第一次执行循环，可得12,21522A k ===+第二次执行循环，可得15,321225A k ===+ 第三次执行循环，可得112,4529212A k ===+第四次执行循环，可得129,51270229A k ===+ 第五次执行循环，可得170,629169270A k ===+ 输出A 的值为70169， 6i ∴≤不成立，5i =.故选：B .【点睛】本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.10. 已知O 是坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与x轴垂直，且交双曲线C 于,A B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（） 51+ 51- 51 51【答案】A 【解析】【分析】设(),0F c .把x c =代入双曲线方程，得2by a=.由ABO 是等腰直角三角形，得2b ca.又222b c a =-，可求离心率e . 【详解】设(),0F c .把x c =代入双曲线2222:1x y C a b-=，得4222,b b y y a a =∴=.ABO 是等腰直角三角形，2b c a∴=,又2222222,,0c a b c a c c ac a a-=-∴=∴--=， 210e e ∴--=，解得15151,e e e ±+=>∴=. 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题.11. 在ABC 中，已知60A ︒=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，则ABC 面积的最大值为（） 3 332C. 23532【答案】B 【解析】【分析】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=.则1233AD c b =+，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得6b c ≤，当且仅当2c b =时，等号成立.再由三角形面积公式可求ABC 面积的最大值【详解】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=，2BD DC =. 则()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b =+=+=+-=+=+，22222212144144cos6033999999AD c b c b b c c b b c ⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭2222142142229999993c b b c c b b c b c =++≥⨯+=，即24,63b c b c ≥∴≤，当且仅当221499c b =，即2c b =时，等号成立. 1133sin 6sin 6022ABCSb c BAC ∴=∠≤⨯⨯=ABC ∴332故选：B .【点睛】本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.12. 已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数(1)0f =，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()0f x <的解集为（）A. (1,0)1,2π⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B. (1,0)(0,1)-C. ,11,22ππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,1(0,1)2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由()()tan 0f x f x x '+>，得()cos ()sin 0f x x f x x '+>.令()()sin ,,22g x f x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则()'0g x >，故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()10g =.可得()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，故()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()10g -=.故()0f x <等价于()0sin g x x <，等价于sin 0()0x g x <⎧⎨>⎩或sin 0()0x g x >⎧⎨<⎩，可求解集.【详解】由()()tan 0f x f x x '+>，得()sin ()0cos f x xf x x'+>，即()cos ()sin 0cos f x x f x xx'+>.0,,cos 0,()cos ()sin 02x x f x x f x x π'⎛⎫∈∴>∴+> ⎪⎝⎭.令()()()'sin ,,.()cos ()sin 022g x f x x x g x f x x f x x ππ'⎛⎫=∈-∴=+> ⎪⎝⎭， ()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()()11sin10g f ==.()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，()()f x f x =--∴.()()()()()()()sin sin sin g x f x x f x x f x x g x ∴-=--=--==，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数.()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()g x ∴在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且()()110g g -==.故()0f x <等价于()0sin g x x<，等价于sin 0()0x g x <⎧⎨>⎩或sin 0()0x g x >⎧⎨<⎩，即0212x x ππ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<-⎪⎩或0201x x π⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，解得12x π-<<-或01x <<，∴原不等式的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于较难的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设函数2()ln f x mx x =，若曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20200ex y ++=平行，则m =______．【答案】13- 【解析】【分析】求出'()f x .由题意知'()f e e =-，可求m .【详解】()()2'()ln ,2ln f x mx x f x m x x x =∴=+.曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线与直线20200ex y ++=平行，'()f e e ∴=-，即()12ln ,3m e e e e m +=-∴=-.故答案为：13-.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14. 若,x y 满足约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，，则2z x y =+的最大值为_____．【答案】7 【解析】【分析】约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即1122x y x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，作出可行域.由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，数形结合可求z 的最大值.【详解】约束条件12x y x ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即1122x y x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，作出可行域，如图所示由2z x y =+得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距. 平移直线2y x z =-+，当直线过可行域内的点A 时，z 最大.解方程组12x y x -=-⎧⎨=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3A ，max 2237z ∴=⨯+=.故答案为：7.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15. 如图，已知三棱锥P ABC -满足2PA PB PC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为_______．【答案】32327π 【解析】【分析】由题意可得，点P 在底面ABC 上的射影为ABC 的外心，即斜边AB 的中点D .由2PA PB AB ===得PAB △的外心即为三棱锥P ABC -的外接球的球心，设为O .故正PAB △的外接圆的半径即为三棱锥P ABC -的外接球的半径，求出半径，即求球的体积.【详解】,PA PB PC P ==∴在底面ABC 上的射影为ABC 的外心.,AC BC ⊥∴斜边AB 的中点D 即为ABC 的外心，即PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心在PD 上.2,PA PB AB PAB ===∴的外心即为三棱锥P ABC -外接球的球心，设为O .如图所示∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R 即为正PAB △的外接圆的半径，2222232133R PD ∴==-=， ∴三棱锥P ABC -外接球的体积33442332333V R πππ===⎝⎭. 32327π. 【点睛】本题考查空间几何体外接球的体积，属于中档题.16. 函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(2,1]3,2)--⋃ 【解析】【分析】由1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得()f x 的对称轴为16x =.由辅助角公式可得()()()21tan f x a x a πθθ=++=，故2116f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求a .求出()f x 的解析式，求出()f x 在30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域，即可求实数m 的取值范围.【详解】函数()sin cos f x x a x ππ=+满足1()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()f x ∴的对称轴为16x =.由辅助角公式可得()()()21tan f x a x a πθθ=++=，2116f a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即2sin cos 166a a ππ+=+即213122a a +=+3a =()sin 32sin 3f x x x x ππππ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]()[]11,,sin 1,1,2,23363x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫+∈∴+∈-∴∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0f x m -=恰有两个不等的实根，即方程()m f x =在30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不等的实根.21m ∴-<≤-32m ≤<，即实数m 的取值范围为(2,1]3,2)--⋃.故答案为：(2,1]3,2)--⋃.【点睛】本题考查函数与方程、三角函数的对称性和辅助角公式，属于较难的题目. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知{}n a 为单调递增的等差数列，设其前n 项和为n S ，520S =-，且35,1a a +，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值及取得最小值时n 的值．【答案】（1）112n n a -=；（2）当10n =或11时，n S 取得最小值552-【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >.由520S =-，359,1,a a a +成等比数列列方程组求1,a d ，即求数列{}n a 的通项公式；（2）根据n a 的符号，可求n 的值，根据等差数列前n 项和公式，求n S 的最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，由题意可得()()()1211154520,22841.a d a d a d a d ⨯⎧+⨯=-⎪⎨⎪+⋅+=++⎩解得12d =或72d =-（舍）．当12d =时，15a =-． 1115(1)22n n a n -∴=-+-⨯=．（2）由（1）知112n n a -=，令10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩解得1011n ≤≤．∴当110n ≤≤时，0n a <，当11n =时，0n a =，当12n ≥时，0n a >．∴当10n =或11时，()()111min11111011552222n a S a -⎛⎫⨯+ ⎪+⎝⎭===-．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和前n 项和，属于基础题.18. 某城市208年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如下频率分布表：分组频数频率 [160,180) 1n0.04[180,200)191f[200,220) 2n0.22[220,240) 250.25[240,260) 15 0.15[260,280)102f[280,300]50.05（1）求表中1212,,,n n f f 的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ；（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u （单位：千瓦时）作为统计数据，下图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令2014x t =-，195y u =-，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx=-．【答案】（1）14n =，222n =，10.19f =，20.1f =；中位数224m =千瓦时；（2）①见解析；② 6.512892.8u t =-；237.2千瓦时. 【解析】【分析】（1）根据频率等于频数与样本容量的比，求出1212,,,n n f f .根据中位数左右两侧的频率相等，求出中位数；（2）①根据折线图完成数据预处理表；②根据参考公式求出u 关于t 的线性回归方程，令2020t =，可得预测值.【详解】（1）由已知，11000.044n =⨯=，同理222n =；1190.19100f ==，同理20.1f =．设样本频率分布表的中位数为a ，则1(0.040.190.22)0.25(220)0.520a +++⨯⨯-=，解得224a =．由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数224m =千瓦时．（2）①数据预处理表如下：2014x t =- 4- 2- 0 2 4 195y u =-21- 11-1929②由①可知，0=x ， 3.2y =．设y 关于x 的线性回归方程为y bx a =+，则12222155225(4)(21)(2)(11)021********6.50(4)(20)24405i ii i i x yx yb x x==--⨯-+-+--⨯-++⨯+⨯====-+-++-∑∑，且 3.2a y bx =-=．得 6.5 3.2y x =+．代入2014x t =-，195y u =-，有195 6.5(2014) 3.2u t -=-+，则所求u 关于t 的线性回归方程为： 6.5(2014)198.2u t =-+，即 6.512892.8u t =-．可预测该市2020年居民月均用电量的中位数为 6.5202012892.8237.2u =⨯-=（千瓦时）．【点睛】本题考查频率分布表和线性回归方程，属于中档题.19. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，D 是AB 的中点，E 是1C C 的中点，且1AB =，12AA =．（1）证明：//CD 平面1A EB ；（2）求点1A 到平面BDE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）217【解析】【分析】（1）取1A B 的中点F ，连接,EF DF .证明四边形CDFE 是平行四边形，则//CD EF ，根据线面平行的判定定理，即证//CD 平面1A EB ．（2）根据体积相等，求点1A 到平面BDE 的距离．证明EF ⊥平面11A ABB ，则三棱锥1E A BD -的体积11133E A BD A BD V SEF -=⋅=.设点1A 到平面BDE 的距离为d ，由11A BDE E A BD V V --=得133BDE Sd ⋅=，可求d . 【详解】（1）证明：取1A B 的中点F ，连接,EF DF ，如图所示,D F 分别是1,AB A B 的中点，111//,2DF A A DF A A ∴=． 1111//,A A C C A A C C =，E 是1C C 的中点， //,DF EC DF EC ∴=． ∴四边形CDFE 是平行四边形，//CD EF ∴．CD ⊄平面1A EB ，EF ⊂平面1A EB ,//CD ∴平面1A EB ．（2）ABC 是正三角形，D 是AB 的中点,CD AB ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，1A A CD ⊥∴． 1A AAB A =，CD平面11A ABB ．又由（1）知，//,CD EF CD EF =，EF ∴⊥平面11A ABB ．又1AB =，12AA =，32CD ∴=，11112222A BDS =⨯⨯=．1111133332E A BD A BDV SEF -∴=⋅=⨯= 在Rt CDE △中，2272DE CD EC =+=， AB CD ⊥，AB CE ，CD CE C =，AB ∴⊥平面CDE ．AB DE ∴⊥． BD DE ∴⊥． 117722BDES∴=⨯=．设点1A 到平面BDE的距离为d ，则由11A BDE E A BD V V --=得133BDES d ⋅=3221BDE d ∴==1A 到平面BDE 的距离为217．【点睛】本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和等体积法求点面距，属于中档题.20. 动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12,x x 是方程2240x mx +-=的两根．（1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【答案】（1）222()4x m y m ++=+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据韦达定理求出圆心坐标和半径，即求动圆C 的方程；（2）设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.令0y =，则20x Dx F ++=.由题意，结合韦达定理可得2D m =，4F =-．又动圆C 过点(0,1)M ，可求E 的值. 令0x =，可求动圆C 在y 轴上截得的弦长. 【详解】（1）12,x x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x ⋅=-．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点且线段AB 是动圆C 的直径，∴动圆C 的圆心C 坐标为(,0)m -，半径为()212122214||422x x x x x x AB m +--===+∴动圆C 的方程为：222()4x m y m ++=+．（2）证明：设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，()30,N y ，令0y =，则20x Dx F ++=．由题意可知2D m =，4F =-．又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，即3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-．34y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为315y -=．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，属于中档题. 21. 已知函数2()()xf x e m e x mx =+--．（1）当0m =时，求函数()f x 的极值；（2）当0m <时，证明：在(0,1)上()f x 存在唯一零点．【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()'f x ，判断()f x 的单调性，即求函数()f x 的极值；（2）()2xf x e mx m e '=-+-，令()()2xg x f x e mx m e '==-+-,求出'()g x ，判断()g x 的单调性.根据零点存在定理可得：存在0(0,1)x ∈使得()()000g x fx '==，判断()f x 在(0,1)的单调性，即可证明.【详解】（1）当0m =时，()xf x e ex =-，()xf x ee '∴=-．令()0f x '=，得，1x =.当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 是增函数，当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 是减函数．∴当1x =时，()f x 取得极小值(1)0f =，无极大值．（2）证明：()2xf x e mx m e '=-+-，令()()2xg x f x e mx m e '==-+-，则()2x g x e m '=-．当0m <时，则()0g x '>，()()g x f x '∴=在(0,1)上单调递增．又(0)(0)10g f m e '==+-<，(1)(1)0g f m '==->，∴存在0(0,1)x ∈使得()()000g x f x '==．即当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；当()0,1x x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数．又(0)1f =，()0(1)0f x f <=，∴在()00,x 上()f x 存在一个零点，在()0,1x 上()f x 没有零点．()f x ∴在区间(0,1)上存在唯一零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和零点，属于较难的题目.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．【答案】（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. 【解析】【分析】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 【详解】（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=，将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=，化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P -5，圆心P 到直线MN 的距离为5d =，2246525255MN d ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，原点到直线MN 的距离为5h =因此，OMN 的面积为1165322555OMN S MN h =⋅=⨯=△. 【点睛】本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. [选修4—5：不等式选讲] 23. 已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈．（1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. 【解析】【分析】（1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围．【详解】（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-．35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立，当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立，当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立，即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-．【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。

2020年高考全国1卷数学(文科)模拟试卷(含答案)

2020年高考全国1卷数学（文科）模拟试卷考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B 2C 2D ．22、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、以下判断正确的个数是（）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．14、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（） A ．12B ．25C ．38D ．1312、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)(含答案解析)

2020年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，则A. B. C. D.2.若复数是虚数单位，则A. B. C. D.3.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为A. 20B. 16C. 14D. 124.已知平面向量满足，且，则A. 3B.C.D. 55.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为A. B. C. D.6.已知，则A. B. C. D.7.为了弘扬中国优秀传统文化，某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，其中中秋节被选中的概率为A. B. C. D.8.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.9.已知抛物线经过点，焦点为则直线MF的斜率为A. B. C. D.10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥中，若E为侧棱PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正弦值为A. B. C. D.11.在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则的周长是A. B. C. D.12.若函数为奇函数其中a为常数，则不等式的整数解的个数是A. 1011B. 1010C. 2020D. 2021二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在处的切线方程为______．14.实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．15.设m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：若，，，则；若，，，则；若，，，则；若，，，，则．其中正确的是______填序号．16.设函数时，若时，存在零点和极值点，则整数a的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列满足，是与的等差中项．证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；求数列的前n项和．18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各50人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如表所示：感兴趣无所谓合计男性262450女性302050合计5644100根据以上数据能否有的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？参考公式：，其中k在感兴趣的会员中随机抽取10人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数满分10分，如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”分数不低于分、“满意”分数不低于平均分且低于分、“基本满意”分数低于平均分三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．19.如图，正方体的棱长为2，E为棱的中点．画出过点E且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线不必说明画法及理由；求点B到该平面的距离．20.椭圆C：的右焦点，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．求椭圆C的方程；过点的直线与椭圆C交于M，N两点．O为坐标原点，若，求的面积．21.函数，且．若，判断函数的单调性；当时，求证：的图象恒在函数的图象的下方．22.在平面直角坐标系xOy，曲线的参数方程为：为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点，求取得最大值时直线l的直角坐标方程．23.已知函数，不等式的解集为．求实数m，n的值；若，，，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，则故选：D．找出A与B的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．【解答】解：复数，则，故选：A．3.答案：B解析：解：高二年级学生占的比例为，故应抽取的高二年级学生人数为人，故选：B．由题意利用分层抽样的定义和方法，用样本容量乘以高二年级学生所占的比例，即可得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：B解析：解：平面向量满足，且，，求得，，则，故选：B．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．5.答案：B解析：解：双曲线的一个焦点为，可得，解得，所以渐近线方程为：．故选：B．利用双曲线方程求出焦点坐标，列出方程求出m，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．6.答案：A解析：解：，．故选：A．利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：某班打算召开中国传统节日主题班会，在春节、清明节、端午节、中秋节、重阳节中随机选取两个节日来学习其文化内涵，基本事件总数，其中中秋节被选中包含的基本事件个数，其中中秋节被选中的概率为．故选：C．求出基本事件总数，其中中秋节被选中包含的基本事件个数，由此能求出其中中秋节被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：A解析：解：，，，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9.答案：A解析：解：由题意可得所以，所以抛物线的方程为：，所以焦点，所以，故选：A．由点M在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点F的坐标，由两个点的坐标求出直线MF的斜率．本题考查抛物线方程的求法及抛物线的性质和有两点求斜率的方法，属于基础题．10.答案：A解析：解：如图，连接AC，BD，设，则O为BD的中点，连接OE，则，或其补角为异面直线PD与AE所成角．设侧棱长与底面边长为2a，可得，，，得，即，则．即异面直线PD与AE所成角的正弦值为．故选：A．由题意画出图形，连接AC，BD，设，连接OE，则，可得或其补角为异面直线PD与AE所成角．设侧棱长与底面边长为2a，求解三角形得答案．本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．11.答案：D解析：解：，，，，，，由余弦定理可得，即，，，的周长是为，故选：D．利用三角恒等变换可求B的值，由正弦定理可求的值，利用余弦定理即可求得a的值，根据三角形周长公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：解：由奇函数的定义域关于原点对称，可得，经验证，此时的定义域为：，且，满足题意，所以，所以，，，，即，，解得：，整数解的个数则不等式的整数解的个数为1010，故选：B．利用奇函数的定义域关于原点对称可得，所以，所以原不等式等价于，解得，所以，从而得到不等式的整数解的个数．本题主要考查了函数的奇偶性，对数函数导的单调性，是中档题．13.答案：解析：解：由已知得：，所以，，故切线为：，即．故答案为：．先求出函数的导数，然后分别求出和的值，利用点斜式求出切线方程．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程组解决问题．属于基础题．14.答案：10解析：解：实数x，y满足约束条件，画出可行域，如图：由可得，则直线在y轴上的截距越小，z越大然后平移直线L：，当直线过点A时z最大由可得时，z最大值为10故答案为：10．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：解析：解：由m，n是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面．知：在中，若，，，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若，，，则由面面垂直的性质定理得，故正确；在中，若，，，则或，故错误；在中，若，，，，则线面垂直的判定定理得，故正确．故选：．在中，m与n相交、平行或异面；在中，由面面垂直的性质定理得；在中，或；在中，线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：2021解析：解：，所以，根据正弦型函数的性质，时，存在零点和极值点，所以，整理得，所以，即，故整数a的最小值为2021．故答案为：2021．直接利用整体思想的应用，利用函数的零点和单调性的应用建立不等式组，进一步求出a的最小值．本题考查了三角函数图象与性质、函数的零点与极值点，考查了计算能力，属于基础题．17.答案：解：证明：是与的等差中项，可得，即，可化为，又，故数列是首项和公比均为2的等比数列，即有，所以数列的通项公式为；由可得，则．解析：运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；求得，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和数列的分组求和法，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：、由列表可得：，所以没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，故答案为：没有的把握认为“健身促销活动感兴趣”与“性别”有关，由茎叶图知，这10个数据的平均数为：，依题意这10人中满意的有4人，记为a，b，c，很满意的有2人，记为1，2．从这6人中任取2人共含，，，，，，，，，，，，，，个基本事件，记A为从满意和很满意的会员中随机抽取两人至少有一人很满意，则A中包含，，，，，，，，个基本事件，所以，故答案为：这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率为，解析：根据题目所给的列联表即可计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．利用列举法和古典概型可得两人中至少有一人是“很满意”会员的概率，本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：解：截面图如图所示：其中F，G，H，I，J分别为，，AD，AB，，的中点．设点B的到平面的距离为h，则由可知：，所以．解析：由平面的基本性质，画出截面图形即可．利用等体积法，转化求解点B到该平面的距离．本题考查平面的基本性质的应用，空间几何体的体积的求法，等体积法的应用，是基本知识的考查．20.答案：解：由题可得，点在椭圆上，带入可得，又，解得，，所以椭圆的方程为；设，，由，可得，由题知MN的斜率存在，所以不妨设直线MN的方程为，带入椭圆方程整理可得，则，，将代入上式可得，解得，则的面积．解析：将点带入方程可得a，b关系，结合即可求出a，b，进而得到方程；设，，由条件得到，联立直线MN与椭圆，利用跟鱼系数关系，结合条件可求得k，进而可求出面积本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：当时，，．，当或时，；当时，，所以的减区间为，增区间为，．令，．，由得，由得，所以在上递增，在上递减．故，又因为，所以恒成立，即当时，的图象恒在函数的图象的下方．解析：直接对函数求导，然后判断导数在定义域内的符号；只需要证明恒成立即可，然后求的单调性、极值以及最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性、最值以及不等式恒成立问题，同时考查学生运用方程思想、转化思想的解题意识以及运算能力和逻辑推理能力．属于中档题．22.答案：解：曲线的参数方程为：为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为与曲线交于O，A两点，所以，得到，曲线交于O，B两点，所以，则，所以，当时，取得最大值．此时l的极坐标方程为，即直角坐标方程为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：即为，等价为或或，解得或或，所以原不等式的解集为，由题意可得，；证明：由可得，由，，可得，当且仅当时等号成立，故，即．解析：由题意可得，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，即可得到原不等式的解集，进而得到m，n的值；由可得，运用乘1法和基本不等式，证得，本题考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．。

2020届高三数学上学期一诊模拟考试试题文(含解析)

高三数学上学期一诊模拟考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lg x≤0}，则M∪N=（）A. B. C. D.2.已知点，向量，则向量=（）A. B. C. D.3.已知α∈（π，π），cosα=-，则tan（-α）等于（）A. 7B.C.D.4.若a，bc为实数，则下列命题中正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则5.设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A. B. C. D.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）=e|x|+cos x，若f（2x-1）≥f（x），则实数x的取值范围为（）A. B.C. D.8.已知正项等比数列的公比为3,若,则的最小值等于( )A. 1B.C.D.9.已知函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象可由函数y=cos x的图象（纵坐标不变）（）A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位10.已知函数,则“”是“在上单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11.定义在R上的函数f(x)满足：＞恒成立，若x1＜x2，则与的大小关系为（）A.B.C.D. 与的大小关系不确定12.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题）13.设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x•（1+x），则=______．14.已知直线y＝kx-2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为_________．15.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是______．三、解答题（本大题共8小题）16.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为______．17.设f（x）=2sin（π-x）sin x-（sin x-cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．18.设{a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求++…+．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．20.已知函数f（x）=e x-x2+2ax．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．21.已知函数f(x)＝ln x +a(1-x)．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．22.已知直线l的参数方程为（t为参数）．椭圆C的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．（1）求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标；（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．23.已知函数f（x）=|2x-1|-|x-a|，a≤0．（1）当a=0时，求不等式f（x）＜1的解集；（2）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lg x≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选A．2.【答案】A【解析】【分析】求出有向线段，然后由=求之．本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（-4，-3），则向量==（-7，-4）；故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵α∈（π，π），cosα=-，∴sinα=-=-，∴tanα==，则tan（-α）===．故选：B．由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：对于A：若a＞b，则ac2＞bc2，当c=0时不成立，对于B：根据不等式的性质1，若a＜b，则a+c＜b+c，故成立，对于C：若a＜b，则ac＜bc，当c=0时不成立，对于D：若a＜b，则ac＜bc，当a=-1，b=1时不成立，故选：B根据不等式的基本性质，判断每个选项即可本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（-）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6.【答案】B【解析】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1=5（尺），S31=9×40+30=390（尺），设公差为d（尺），则31×5+d=390，解得d=．则==•=•=．故选：B．由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，设公差为d（尺），运用等差数列的通项公式和的求和公式即可得出．本题考查等差数列在实际问题中的运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：f（x）是R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=e x+cos x，f′（x）=e x-sin x≥0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴由f（2x-1）≥f（x）得，f（|2x-1|）≥f（|x|），∴|2x-1|≥|x|，∴（2x-1）2≥x2，解得或x≥1，∴实数x的取值范围为．故选：A．可看出f（x）是R上的偶函数，并且x≥0时，得出f（x）=e x+cos x，根据导数符号即可判断出f（x）在[0，+∞）上单调递增，从而根据f（2x-1）≥f（x）可得出|2x-1|≥|x|，两边平方即可解出x的范围．本题考查了偶函数的定义，根据导数符号判断函数的单调性的方法，根据函数的单调性解不等式的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，函数的最值的求法，考查计算能力,属于较易题.利用等比数列的性质推出m、n的关系，然后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为3，若=a32，可得m+n=6,m,n∈．当且仅当m=2n,即m=4,n=2时，的最小值等于．故选：C．9.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，==，解得w =2．再把点（，1）代入函数的解析式可得1=sin（2×+φ），即sin（+φ）=1．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．把函数y=cos x的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y=cos2x的图象，再向右平移个单位可得y=cos2（x-）=cos（2x-）=sin[-（2x-）]=sin（-2x）=sin[π-（-2x）]=sin（2x+）=f（x）的图象．故选：B．由函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，求出w=2，φ=，可得函数f（x）=sin（2x+）．再由函数y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由y=A sin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′（x）=x2+a≥0恒成立，即a≥0，∴“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，故选：A．利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则，∴函数g（x）单调递增，∵若x1＜x2，∴g（x1）＜g（x2），即，∴f（x 2）＞ef（x1），故选：A．12.【答案】B【解析】解：（i）当a=0时，f（x）2舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜-2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．故选：B．（i）当a=0时，f（x）=-3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-），令f′（x）=0，解得x=0或．对a 分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得，=．故答案为：．由奇函数的性质可得，，由周期性可得，进而得解．本题考查函数奇偶性及周期性的综合运用，考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】1+ln2【解析】【分析】本题给出直线是曲线y=x lnx的切线，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题设切点为（x0，x0ln x0），对y=x lnx求导数得y′=ln x+1，从而得到切线的斜率k=ln x0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（ln x0+1）x-x0，对照已知直线列出关于x0、k的方程组，解之即可得到实数k的值．【解答】解：设切点为（x0，x0ln x0），对y=x lnx求导数，得y′=ln x+1，∴切线的斜率k=ln x0+1，故切线方程为y-x0ln x0=（ln x0+1）（x-x0），整理得y=（ln x0+1）x-x0，与直线y=kx-2比较，得：，故k=1+ln2，15.【答案】2【解析】解：由已知条件知：==x2-xy+y2=（x+y）2-3xy；∴（x+y）2-1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故答案为：2．对两边平方并根据已知条件可得到：x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=1，所以（x+y）2-1=3xy，因为根据向量加法的平行四边形法则可知，x，y＞0，所以，所以，所以得到x+y≤2，所以x+y的最大值是2．考查向量数量积的运算及计算公式，向量加法的平行四边形法则，基本不等式．16.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象知当直线y=-x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6，故答案为：617.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）sin x-（sin x-cos x）2 =2sin2x-1+sin2x=2•-1+sin2x =sin2x-cos2x+-1=2sin（2x-）+-1，令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x-）+-1的图象；∴g（）=2sin+-1=．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．（Ⅱ）利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．可得：2a1+3d=5ln2，可得d=ln2，{a n}的通项公式；a n=a1+（n-1）d=n ln2，（Ⅱ）==2n，∴++…+=21+22+23+…+2n==2n+1-2．【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．19.【答案】解：（Ⅰ）∵•=2，cos B=，∴c•a cos B=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos B，即9=a2+c2-4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sin B===，由正弦定理=得：sin C=sin B=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cos C===，则cos（B-C）=cos B cos C+sin B sin C=×+×=．【解析】本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．（1）运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；（2）由余弦定理可得cos C，求得sin C，sin B，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．20.【答案】解：（1）∵f'（x）=e x-2x+2，∵f'（1）=e，即k=e，f（1）=e+1∴所求切线方程为y-（e+1）=e（x-1），即ex-y+1=0（2）f'（x）=e x-2x+2a，∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴在R上恒成立，令，，令g'（x）=0，则x=ln2，∵在（-∞，ln2）上g'（x）＞0；在（ln2，+∞）上，g'（x）＜0，∴g（x）在（-∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减，∴g（x）max=g（ln2）=ln2-1，∴a≥ln2-1，∴实数a的取值范围为[ln2-1，+∞）．（2）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0在R上恒成立，得e x-2x+2a≥0在R上恒成立，分离参数a后利用函数的导数求解函数的最值，然后求解实数a的取值范围；本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用单调性证明函数不等式，是压轴题．21.【答案】解：（1）f′（x）=-a（x＞0）．若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，当x∈时，f′（x）＜0，所以f（x）在上单调递增，在单调递减．（2）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为=ln+a=-ln a+a-1．因此＞2a-2等价于ln a+a-1＜0．令g（a）=ln a+a-1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0．于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，因此，a的取值范围是（0，1）．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）f′（x）=-a（x＞0），对a分类讨论即可得出单调性．（2）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为=ln+a=-ln a+a-1．因此＞2a-2等价于ln a+a-1＜0．令g（a）=ln a+a-1，利用其单调性即可得出．22.【答案】解：（1）椭圆C的参数方程为（α为参数）．转化为直角坐标方程为：．点A的极坐标为（2，）．转换为直角坐标为：（）．（2）直线l的参数方程（t为参数），转化为直角坐标方程为：x+y-1=0．则：，整理为：，解得：，故：P（0，1），Q（），所以：|PQ|=，点A（1，）到直线x+y-1=0的距离d=，则：=．【解析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方进行转化．（2）利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，两点间的距离公式的应用．23.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）＜1化为|2x-1|-|x|-1＜0．．当x≤0时，不等式化为x＞0，无解；当时，不等式化为x＞0，解得；当时，不等式化为x＜2，解得；综上，f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由题设可得所以f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为（，0），（1-a，0），，该三角形的面积为×[（1-a）-（）]×|a-|=．由题设，且a＜0，解得a＜-1．所以a的取值范围是（-∞，-1）．【解析】（1）将a=0代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的范围再合并；（2）由a≤0，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面积公式求出的代数式大于，解出a的范围即可．本题考查零点分段法解不等式以及三角形的面积公式，属于中档题．。

《精品》2020届高三入学调研考试试卷文科数学(一)-解析版

2020届高三入学调研考试卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|15}A x x =-<，则R A =ð（） A ．{|4}x x >- B ．{|4}x x ≤ C ．{|4}x x <-D ．{|4}x x ≤-【答案】D【解析】集合{15}{|4}A x x x =-<=>-，则{|4}R A x x =≤-ð． 2．2(3)i -=（） A ．86i -- B ．86i +C ．86i -D ．86i -+【答案】C【解析】22(3)9686i i i i -=-+=-．3．已知平面向量(1,2)a =-，(2,)b y =，且//a b ，则32a b +=（） A ．(1,7)- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(1,2)-【答案】D【解析】∵(1,2)a =-，(2,)b y =，且//a b ， ∴1220y -⨯-⨯=，解得4y =-，故可得323(1,2)2(2,4)(1,2)a b +=-+-=-．故选D ． 4．已知数列{}n a 为等差数列，若26102a a a π++=，则39tan()a a +的值为（） A ．0 B．3C ．1 D【答案】D【解析】∵数列{}n a 为等差数列，26102a a a π++=，∴2610632a a a a π++==，解得66a π=．∴39623a a a π+==，∴39tan()tan3a a π+==D ．5．设a ，b 是非零向量，“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b ．而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ⋅=-，故“||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A ．6．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】D【解析】由题意可得：(2018)(20186733)(1)2f f f =-⨯=-=，(2019)(20196733)(0)0f f f =-⨯==，则(2018)(2019)2f f +=．故选D ．7．若函数32()236f x x mx x =-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（） A ．(,1]-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】C【解析】2()666f x x mx '=-+；由已知条件知(1,)x ∈+∞时，()0f x '≥恒成立；设2()666g x x mx =-+，则()0g x ≥在(1,)+∞上恒成立；问题转化为1m x x ≤+在(1,)+∞恒成立，而函数12y x x=+>，故2m ≤，故选C ．8．已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（） A ．0.25B ．0.2C ．0.35D ．0.4【答案】A【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．共5组随机数， ∴所求概率为510.25204==． 9．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知(cos )3b a C C =+，2a =，3c =，则角C =（） A ．3π B ．6π C ．34π D ．4π 【答案】D 【解析】∵(cos )3b a C C =+，∴由正弦定理可得：sin sin cos sin B A C C A =+，又∵sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos A A =，可得：tan A = ∵(0,)A π∈，∴3A π=，可得：sin A =，又∵2a =，3c =，∴由正弦定理可得sin 32sin 22c A C a ⋅===，∵c a <，C 为锐角，∴4C π=．故选D ． 10．已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线21,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与C 交于点11,B A ，2l 与C 交于点22,B A ，若使得||||2211B A B A =成立的直线21,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（） A ．]2,1( B ．]2,1( C ．]2,2[D ．),2(+∞ 【答案】D【解析】不妨设双曲线的方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>，由||||2211B A B A =及双曲线的对称性知12,A A 与12,B B 关于坐标轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与x 轴夹角为45︒时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于45︒，双曲线与直线才能有交点1212,,,A A B B ，且满足条件的直线只有一对，可得tan 451ba >︒=，即有c e a ==>则双曲线的离心率的范围是)+∞．故选D ．11．下列命题：①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题； ②命题p ：2x ≠或3y ≠，命题q ：5x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+>”； ④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；其中正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题为“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”，若A B >，则a b >，根据正弦定理可知，sin sin A B >，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠或3y ≠，得不到5x y +≠，比如1x =，4y =，5x y +=，∴p 不是q 的充分条件；由等价转换的思想易得p 是q 的必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>”，所以③不对；对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ．123sin x =的根的个数是（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】大致图形如图所示，接下来比较()f x =()3sin g x x =在0x =处的切线斜率，()0f x x '=→时，()f x '→+∞即()f x 在0x =处的切线方程为y 轴，又()3cos g x x '=，在(0)3k g '==，因此在y 轴右侧()g x 图象较缓，由图象可知，共有5个交点．故选C ．【答案】4或12- 【解析】抛物线2y ax =的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，1|1()|24a --=，解得14a =或112-．故答案为14或112-．14．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，sin()243βπ+=，则cos(2)αβ+= ．【答案】2327【解析】∵1cos()sin )43πααα+=-=，可得cos sin αα-=①∴两边平方可得，21sin 29α-=，解得：7sin 29α=，∵02πα<<，可得：4cos sin 3αα+==，②面上，则球的表面积等于．【答案】84π【解析】如图，点1O ，2O 分别为BAD ∆，CBD ∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，所以1163O G ==1tan603OO ︒=，16AO == ∴22221121R OA AO OO ==+=，2484S R ππ==，故答案为84π．16．已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是________．【答案】322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，若()1g x mx =+关于直线1y =对称的直线为1y mx =-+，则直线1y mx =-+与2ln y x =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点，直线1y mx =-+过定点()0,1，当直线1y mx =-+经过点1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，则直线斜率3m e -=-，3m e =，若直线+1y mx =-与2ln y x =相切，设切点为(),x y ，则+1 22y mx y lnx m x⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得323232x e y m e ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩，22m e e ∴-≤≤时直线1y mx =-+与2ln y x =在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点，即()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，实数m 的取值范围是322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{}n a 满足：11a =，2131a a -=，且11112n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列112b =，14n n n b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T ．证明：1n T <．【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析．【解析】（1）∵数列{}n a 满足：11a =，2131a a -=，且11112n n n n n a a a a a -+-++=(2)n ≥，∴11211n n n a a a -+=+，又11a =，2131a a -=，∴111a =，2132a =，∴211112a a -=， ∴1{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，∴1111(1)(1)22n n n a =+-=+，∴21n a n =+．（2）证明：∵数列112b =，14n n n b a a -=，∴111(1)1n b n n n n ==-++，∴12111111(1)()()1122311n n T b b b n n n =+++=-+-++-=-<++．故1n T <．18．（12分）已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵甲每天生产的次品数为x ，∴损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，因而y 与x 的函数关系式为()2010030200050y x x x =--=-，其中04x ≤≤，x ∈N ．（2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x ∈N ．由2000501950x -≥，得1x ≤，∴X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为204031005+=，乙1天中生产的次品数不超过1的概率为30251110020+=， ∴()299052050P X ==⨯=，()39211491520520100P X ==⨯+⨯=，()311332520100P X ==⨯=， ∴随机变量X 的分布列为∴()0125010010020E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）已知椭圆C ：223412x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称．【答案】见解析．【解析】设存在两点11(,)A x y 、22(,)B x y 关于l 对称，中点为00(,)C x y ，则AB 所在直线为14y x b =-+．与椭圆联立得2213241204x bx b -+-=，∴1201112124404213122213x x b x x b x b y y b y +⎧==⎪⎪⎨-+-++⎪===⎪⎩， ∵C 在4y x m =+上，∵124134,13134b b m b m=⨯+=，又∵22221344(412)452131204Δb b b b =-⨯-=-+⨯>，故2134b <，即216913164m <，解得m <<20．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且E ，F 分别是BC ，11A B 的中点．（1）求证：11BC A C ⊥；（2）求证：//EF 平面11A C CA ；（3）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出AP AB的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12AP AB =．【解析】（1）∵11BC C C ⊥，又平面11A C CA ⊥平面11BCC B ，且平面11A CCA 平面111BCC B C C =，∴1BC ⊥平面11ACC A ．又∵1A C ⊂平面11A C CA ，∴11BC A C ⊥．（2）取11A C 中点G ，连FG ，连GC ．在111A B C △中，∵F ，G 分别是11A B ，11A C 中点，∴11FG B C ∥，且1112FG B C =．在平行四边形11BCC B 中，∵E 是BC 的中点，∴11EC B C ∥，且1112EC B C =．∴//EC FG ，且EC FG =．∴四边形FECG 是平行四边形．∴//FE GC ．又∵FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，∴//EF 平面11A C CA ．（3）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ．取AB 的中点P ，连PE ，连PF ．∵1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，CG ⊂平面11ACC A ， ∴1BC AC ⊥，1BC CG ⊥．在ABC △中， ∵P ，E 分别是AB ，BC 中点，∴//PE AC ．又由（2）知//FE CG ，∴1BC PE ⊥，1BC EF ⊥．由PE EF E =得1BC ⊥平面EFP ．故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP ．此时，12AP AB =． 21．（12分）已知函数2()ln f x x ax a x =--()a R ∈．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）在（1）的条件下，求证：32511()4326x x f x x ≥-+-+．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）()2a f x x a x'=--，由题意可得(1)0f '=，解得1a =．经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极值，所以1a =．（2）证明：由（1）知，2()ln f x x x x =--，令332511311()()(4)3ln 326326x x x g x f x x x x x =--+-+=-+--，由33211(1)()333(1)x x g x x x x x x x--'=-+-=--=(0)x >，可知()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g ≥=，所以32511()4326x x f x x ≥-+-+成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．【答案】（1）30x -=，22(2)4x y -+=；（2）2．【解析】（1）将2t y =代入3x =+，整理得30x --=，所以直线l的普通方程为30x -=．由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．（2）设A ，B 的参数分别为1t ，2t ．将直线l 的参数方程代入曲线C的角坐标方程得221(32)()42t +-+=，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=1222P t t t +==-．设00(,)P x y，则0093(41(224x y ⎧==⎪⎪⎨⎪=⨯-=-⎪⎩，即9(,4P ．所以点P 到原点O2=．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈．（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围．【答案】（1）2(,4][,)3-∞-+∞；（2）[4,10]-．【解析】（1）①当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--，由()2f x ≥解得4x ≤-；②当112x -<<时，()(21)(1)3f x x x x =++-=，由()2f x ≥解得23x ≥，∴213x ≤<； ③当1x ≥时，()(21)(1)2f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，∴1x ≥．综上可得()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞．（2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]， ∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立．原式可变为21||3x x m x +--≥-即||4x m x -≤+，∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立，显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[4,10]-．。

2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷(一)(全国3卷)数学(文)试题(解析版)

2020普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测试卷（一）数学（文科）一、选择题：1.已知集合2{|160}A x Z x =∈-<，2{|430}B x x x -=+>，则A B =IA. {|41x x -<<或34}x <<B.{}4,3,2,1,0,3,4----C. {|1x x <或34}x <<D. {3,2,1,0}---【答案】D{}2{|160}{|44}3,2,1,0,1,2,3A x Z x x Z x =∈-<=∈-<<=---Q{}{}2430|13B x x x x x x =-+=或 {}3,2,1,0A B ∴⋂=--- ，选D2.已知i 是虚数单位，则11z i=-在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【分析】分子分母同时乘以()1i +，化简整理，得出z ，再判断象限．【详解】11i 12z i +==-，在复平面内对应的点为（1122，），所以位于第一象限．故选A ．【点睛】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题. 3.已知()1f x x =，()2sin f x x =，()3cos f x x =，()41f x x=，从以上四个函数中任意取两个函数相乘得到新函数，那么所得新函数为偶函数的概率为（） A.14B.13C.12D.23【答案】C 【分析】任意两个相乘得到的函数个数有6个，得到偶函数的个数为3个，即可算出答案【详解】()1f x x =，()2sin f x x =，()41f x x=为奇函数，()3cos f x x =为偶函数，任意两个相乘得到的函数个数有6个，为：()()12f x f x ，()()13f x f x ，()()14f x f x()()23f x f x ，()()24f x f x ，()()34f x f x得到偶函数的个数为3个，为：()()12f x f x ，()()14f x f x ，()()24f x f x故概率为3162=．故选：C【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是( )注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D 【分析】根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案；【详解】对A ，可知90后占了56%，故A 正确；对B ，技术所占比例为39.65%，故B 正确；对C ，可知90后明显比80前多，故C 正确；对D ，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题. 5.函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）A.134 B.132+ C.264D.262【答案】D 【分析】()13131326πsin cos cos sin sin cos sin 2222224y x x x x x x x ++⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭，即可得出答案【详解】()13131326πsin cos cos sin sin cos sin 224y x x x x x x x ++⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭最大值为26+．故选：D【点睛】在解决本类题目时，应将函数化为基本型.6.已知曲线421y x ax =++在点()()1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=( )A. 3B.4-C.3-D. 4【答案】C 【分析】对函数求导，再根据'(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；【详解】342y x ax '=+Q ，426a ∴--=，5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.故选：C.【点睛】本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是( )A. 20B. 26C. 57D. 16【答案】B 【分析】阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案；【详解】第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=；第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=；第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=；第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=；第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；2620≤否，故输出T的值是26.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件.8.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A. 1CC 与1B E 是异面直线B. AC ⊥平面11ABB AC. AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D. 11//A C 平面1AB E【答案】C 【分析】根据异面直线定义可判断A ；由线面垂直的性质即可判断B ；由异面直线的位置关系并得11AE B C ⊥可判断C ；根据线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，所以B 错；对于C 项，因为AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，由底面111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一可知AE BC ⊥，结合棱柱性质可知11//B C BC ，则11AE B C ⊥，所以C 正确；对于D 项，因为11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11//A C 平面1AB E 不正确，所以D 项不正确. 故选C.【点睛】该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，在解题的过程中，需要对其相关的判定定理和性质定理的条件和结论熟练掌握，注意理清其关系，属于中档题 9.函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（） A. B.C. D.【答案】A分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案．详解：由函数()sin 2x f x x =-，则满足()sin()(sin )()22x x f x x x f x --=--=--=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；由当x π=时，()sin 022f ππππ=-=>，排除C ，故选A ．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10.在ABC V 中，若2π3C =，3AB =，则ABC V 的周长的最大值为( ) A. 9 B. 6C. 33+D. 33【答案】C 【分析】利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案；【详解】根据正弦定理，3232πsin sin sin sin3AB BC AC C A B ====，那么23BC A =，23AC B =，所以周长等于π3sin sin 33A B A A ⎤⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦1sin 322A A ⎫=++⎪⎪⎭ π33A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，所以当6A π=时，ABC V 的周长的最大值为3+故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.11.若椭圆()222210x y a b a b+=>>过点)，且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为个椭圆的离心率为（）A.12B.2C.D.23【答案】B 【分析】由题意知2ab =22211a b +=，然后解出即可【详解】由题意知2ab =22211a b+=，222228b a a b ∴+==，24a ∴=，22b =．2222c a b ∴=-=．2a ∴=，c =2e =．故选：B【点睛】对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线的长度相乘的一半.12.定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( ) A. ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B. ()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭UC. ()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U D. ()1,12,2⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 【详解】偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题. 二、填空题：13.已知两个单位向量1e u r ，2e u u r的夹角为60°，且满足()121e e e λ⊥-u r u u r u r ，则实数λ的值为______.【答案】2 【分析】根据向量垂直，数量积为0，可得()1210e e e λ⋅-=u r u u r，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；【详解】由单位向量1e u r ，2e u u r 的夹角为60°，则12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=u r u u r ，由()121e e e λ⊥-u r u u r u r，可得()1210e e e λ⋅-=u r u u r ，∴()21210e e e λ⋅-=u r u u r u r ，则102λ-=，解得2λ=故答案为：2.【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题.14.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是______．【答案】π3- 【分析】利用()f x 的周期求ω，过点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭求ϕ 【详解】由图象可知，35ππ9π412312T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2π2Tω==． 5π,212⎛⎫⎪⎝⎭Q 在图象上，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，()π2π3k k ϕ=-∈Z ，π2ϕ<Q ，ππ22ϕ-<<，0k ∴=，π3ϕ=-．故答案为：π3-【点睛】本题考查的是利用函数的图象求其解析式，较简单.15.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．【答案】2213y x -=由题意知，2c a =，即2c a =，则3b a =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径32r =，不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则223baa b=+233a =1a =，则3b =为2213yx-=.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.16.如图，正三棱柱111ABC A B C-的各棱长都等于2，D在1AC上，F为1BB中点，且1FD AC⊥，则1ADDC=______.【答案】1【分析】由F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，可证得D为1AC中点，即可得答案；【详解】FQ为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，2215AF FC AB BF∴==+=1AFC∴△为等腰三角形，又1FD AC⊥Q，D∴为1AC中点，11AD DC∴=. 故答案为：1 【点睛】本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.为了了解某高校全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和中位数a （a 的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)6.5,7.5，[)7.5,8.5的学生中抽取9名参加座谈会．你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由．【答案】（1）9x =，8.99a ≈；（2）每周阅读时间为[)6.5 ,7.5的学生中抽取3名，每周阅读时间为[)7.5 ,8.5的学生中抽取6名，理由详见解析．【分析】（1）利用频率分布直方图中的数据直接计算即可（2）利用分层抽样原理抽取【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[)8.5,9.5a ∈．由()0.030.10.28.50.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈．（2）每周阅读时间为[)6.5 ,7.5的学生中抽取3名，每周阅读时间为[)7.5 ,8.5的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[)6.5 ,7.5与每周阅读时间为[)7.5 ,8.5是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本;因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．【点睛】本题考查的是由频率分布直方图计算平均数和中位数，考查了分层抽样，属于基础题.18.如图所示，在多面体111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，1CC 的中点，4AC BC ==，42AB =12CC =，四边形11BB C C 为矩形，平面ABC ⊥平面11BB C C ，11//AA CC ．（1）求证：平面DEF ⊥平面11AAC C ；．（2）若11AA =，求多面体111ABC A B C -的体积．【答案】（1）详见解析；（2）403．【分析】（1）首先证明1BC CC ⊥，BCAC ⊥，即得BC ⊥平面11AAC C ，然后由//DE BC 得出DE ⊥平面11AAC C即可（2）取1BB 中点G ，连1A F ，FG ，1A G ，多面体111ABC A B C -由四棱锥111A FGB C -与棱柱1ABC AGF -组成，然后分别求出体积即可.【详解】（1）D Q ，E 分别为AC ，AB 的中点 //DE BC ∴．Q 四边形11BB C C 为矩形，1BC CC ∴⊥．4AC BC ==Q ，42AB =222AC BC AB ∴+=，BC AC ⊥，又BC AC C ⋂=，BC ∴⊥平面11AAC C ，DE ∴⊥平面11AAC C ．DE ⊂Q 平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面11AAC C（2）Q 平面ABC ⊥平面11BB C C ，且1BC CC ⊥，BC AC ⊥，1CC ∴⊥平面ABC ，AC ⊥平面11BB C C ，如图，取1BB 中点G ，连1A F ，FG ，1A G ，11//AA CC Q ，11AA =，12CC =，∴多面体111ABC A B C -由四棱锥111A FGB C -与棱柱1ABC AGF -组成． 1144182ABC A FG ABC V S CF -=⋅=⨯⨯⨯=Q △． 1111111116414333C A FGB C FGB V S A F -=⋅=⨯⨯⨯=． ∴多面体111ABC A B C -的体积为1640833+=．【点睛】求一个复杂的几何体的体积时应将其分成几个特殊的几何体的体积来求.19.已知数列{}n a 中，11a =，()*112n n n a a n N +⋅=∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列；（2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T .【答案】(1)答案详见解析；（2）213[1()]2n nT =- 【分析】（1）由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论. （2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案.【详解】因为在数列{}n a 中，()*112n n n a a n N +⋅=∈，所以221212n n n a a +⋅=①，21222112n n n a a +++⋅=②，②式除以①式得22212n n a a +=，即2(1)212n n a a +=，由2n n b a =得，2(1)121()2n n n n a b n N b a +*+==∈，又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以1212b a ==，所以数列{}n b 是12为首项以12为公比的等比数列. （2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得2122112n n n a a --⋅=，221212n n na a +⋅=，所以212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112n n n n n n a c a c a a +-++--===，又111c a ==，所以数列{}n c 是1为首项以12为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++++L1321242()()n n a a a a a a -=+++++++L L1212()()n n c c c b b b =+++++L L111[1()][1()]12223[1()]1121122n n n --=+=--- 【点睛】本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题.20.已知函数()322f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称．（1）求m 、n 的值；（2）若0a >，求函数()y f x =在区间()1,1a a -+内的极值．【答案】（1）3m =-，0n =；（2）分类讨论，详见解析．【分析】（1）由函数()f x 图象过点()1,6--，得3m n -=-，由()g x 的图象关于y 轴对称可得260m +=，（2）利用导数得出()y f x =的单调性，然后分01a <<，1a =，13a <<，3a ≥四种情况讨论即可.【详解】（1）由函数()f x 图象过点()1,6--，得3m n -=-，① 由()322f x x mx nx =++-，得()232f x x mx n '=++，则()()()26326g x f x x x m x n '=+=+++；因为()g x 的图象关于y 轴对称，所以260m +=，所以3m =-，代人①得0n =．（2）()()23632f x x x x x '=-=-．令()0f x ¢=得0x =或2x =．当x 变化时，()f x ¢、()f x 的变化情况如下表：由此可得：当01a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极大值()02f =-，无极小值；当1a =时，()f x 在()1,1a a -+内无极值；当13a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极小值()26f =-，无极大值；当3a ≥时，()f x 在()1,1a a -+内无极值．综上得：当01a <<时，()fx 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值．【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的性质，属于中档题.21.已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）4.【分析】（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程；（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；【详解】（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-，焦点到准线的距离为2，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x x y x x -=-. 由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+. 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l的距离d ==.()241AB k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥. 当0k =时，MAB △面积取得最小值4.【点睛】本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分． 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的方程为ρ=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.【答案】（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=（Ⅱ）2分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2) 设点B为()2cos ,sin θθ,再求出AB=|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由22x =-，得22x =-，代入22y =+，得1C 的普通方程4y x =-+.由ρ=2223sin 4ρρθ+=.因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2214x y +=.（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.可设点B 为()2cos ,sin θθ，由点到直线的距离公式，得AB ===其中cosϕ=sin ϕ=由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB. 点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.23.已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈.（1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1()22f x a a ≥--. 【答案】（1）1{|1}3x x x ≤-≥-或.（2）见解析. 试题分析：（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：()222a a f x x x x =+++++ 222a a x ≥-++ 22a ≥- ()122a a =-- 122a a ≥--. 试题解析：（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩ 2x ⇔≤-或21x -<≤-或13x ≥-1x ⇔≤-或13x ≥-，所以不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）()22f x x x a =+++ 222a a x x x =+++++ 222a a x ≥-++ 2222a a ≥-=- ()122a a =-- 122a a ≥-- 122a a =--.。

2020届湖南省常德市高三高考模拟考试(一)数学(文)试题(解析版)

2020届湖南省常德市高三高考模拟考试（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =U （） A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}-- 【答案】D【解析】根据并集的定义求解. 【详解】因为集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，所以A B =U {2,1,0,1,2}--. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知,a b 为实数，i 为虚数单位，若2ia bi i++=，则a b +=（） A ．3- B ．1- C ．1D ．3【答案】B【解析】根据2ia bi i++=，转化为2b ai i -+=+，再利用复数相等求解. 【详解】因为2ia bi i++=，所以2b ai i -+=+，所以2,1b a =-=，所以1a b +=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算及复数相等，属于基础题.3．针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（）人附表：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．20 B ．40 C ．60 D ．80【答案】C【解析】设男女生人数共有n 人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，算出a ，b ，c ，d 的值，代入公式解得2K ，然后根据有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有23. 6.638415K <<求解. 【详解】设男女生人数共有n 人，则男生喜欢欢抖音的人数有25n ，男生不喜欢欢抖音的人数有110n ，女生喜欢欢抖音的人数有310n ，男生不喜欢欢抖音的人数有15n ，所以22()2113551010117322101021n n n n n n n n K n n -=⨯⨯=⨯⨯⨯，因为有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，所以3.841 6.63521n<<，解得80.661139.335n <<，所以40.3369.6672n<<，所以调查人数中男生可能有60人. 故选：C 【点睛】本题主要考查独立性检验，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．平面向量a r 与b r 的夹角为120,(2,0),||1a b ︒==r r ，则|2|a b +=r r （）A ．4B ．3C ．2D．3【答案】C【解析】根据条件，得出向量b r的坐标，进行向量的和的计算，遂得到所求向量的模．【详解】由题目条件，两向量如图所示：可知132b ⎛=- ⎝⎭r则(|2||3|2a b +==r r∴答案为2.【点睛】本题考查了向量的坐标和线性加法运算，属于基础题．5．已知函数()|sin |cos f x x x =，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 最大值为12C ．()f x 在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()f x 的最小正周期为2π【答案】D【解析】去绝对值，转化为分段函数，作出函数图象，利用二倍角公式和三角函数的性质逐项判断. 【详解】1sin 2,[2,2]sin cos ,[2,2]2()sin cos sin cos ,[2,22]1sin 2,[2,22]2x x k k x x x k k f x x x x x x k k x x k k ππππππππππππππ⎧∈+⎪∈+⎧⎪===⎨⎨-∈++⎩⎪-∈++⎪⎩如图所示：A. 因为()()()()|sin |cos |sin |cos f x x x x x f x -=--==，故()f x 为偶函数.B.如图，()f x 最大值为12. C. 当33,,2,2,sin 242x x y x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递增，故()f x 在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.D. ()f x 是偶函数，故()f x 不具有周期性.，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查二倍角公式和三角函数的性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.6．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是62，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（） A ．2π B ．4πC ．8πD ．16π【答案】B【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大．此时6AP PM =6PM =△PBC 中，26··123PB PC BC PM PC PC PC =⇒=+⨯⇒=．三棱锥P ABC -扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为244R ππ=．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()54,n a a =r ，()78,m a a =u r ，且4m n ⋅=u r r，则2122211log log log a a a ++⋯+=（） A ．5 B ．112C ．132D ．22log 5+【答案】B【解析】根据{}n a 是等比数列，由 4m n ⋅=u r r，得到1112a a ⋅=，再由对数运算求解.【详解】已知向量()54,n a a =r ，()78,m a a =u r，所以57484m n a a a a ⋅=⋅+⋅=u r r，因为{}n a 是等比数列，所以1112a a ⋅=，所以()11112221222112111211log log log log log 22a a a a a ++⋯+==⋅=. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，等比数列的性质，以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为（）A ．(22+B ．()22 C ．()15,-+∞ D ．()15,2-【答案】D【解析】根据圆的半径大于零可求得2a <；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离d ，利用弦长6<可求得15a >-；综合可得a 的取值范围. 【详解】由题意知，圆的方程为：()()22112x y a -++=-，则圆心为()1,1-则：20a ->，解得：2a <圆心到直线40x y +-=的距离为：d ==6∴<，解得：15a >-综上所述：()15,2a ∈- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于易错点是忽略半径必须大于零的条件.9．已知在ABC V 中，34B π=，1AB =，角A 的平分线AD =AC =（）A B ．C 1D 3【答案】C【解析】先在ABD △中，利用正弦定理得到ADB ∠，进而得到BAD ∠，从而得到BAC ∠，然后在ABC V 中，利用正弦定理求解.在ABD △中，由正弦定理得1sin sin ADB B=∠∠，所以3sin1sin 2ADB π∠===，因为34B π=，所以6ADB π∠=，,,12612BAD BAC ACB πππ∠=∠=∠=，sinsin sin cos cos sin 123434344πππππππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，在ABC V 中，由正弦定理得：sin sin AB ACACB B=∠∠，所以31sinsin 41sin sin 12AB BAC ACB ππ⋅⋅∠====∠. 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有1(2)()f t f t +=，且(0,4]x ∈时，()'()f x f x x>，则6(2017)f ，3(2018)f ，2(2019)f 的大小关系是（） A ．6(2017)3(2018)2(2019)f f f << B ．3(2018)6(2017)2(2019)f f f << C ．2(2019)3(2018)6(2017)f f f << D ．2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<【答案】A【解析】函数f （x ）满足f （t+2）=()1f t ，可得f （x ）是周期为4的函数．6f （2017）=6f （1），3f （2018）=3f （2），2f （2019）=2f （3）．令g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，则g′（x ）=()()2'xf x f x x -＞0，利用其单调性即可得出．函数f （x ）满足f （t+2）=()1f t ，可得f （t+4）=()12f t +=f （t ），∴f （x ）是周期为4的函数．6f （2017）=6f （1），3f （2018）=3f （2），2f （2019）=2f （3）．令g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，则g′（x ）=()()2'xf x f x x-，∵x ∈（0，4]时，()()'f x f x x＞，∴g′（x ）＞0，g （x ）在（0，4]递增， ∴f （1）＜()22f ＜()33f ，可得：6f （1）＜3f （2）＜2f （3），即6f （2017）＜3f （2018）＜2f （2019）．故答案为：A 【点睛】本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，并求出函数的单调性.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是（）A ．2B ．2C ．5D【答案】D【解析】先求得A 点的坐标，根据中点坐标公式求得B 点坐标，将B 点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率. 【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b ，所以,AF b OA a ==，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，由于B是AF的中点，故2,22a abcc cB⎛⎫+⎪⎪⎪⎪⎝⎭，代入双曲线方程并化简得222c a=，即222ca=，e=【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值b，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.12．已知函数()()21ln10210x xf xx x x⎧-+≤=⎨-++>⎩，函数()()g x f x x m=--在定义域内恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．513,11,44⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．131,4⎛⎫⎪⎝⎭C．131,4⎛⎫-⎪⎝⎭D．513,44⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()()g x f x x m=--在定义域内恰有三个不同的零点，则函数()f x的图象与y x m=-的图象恰有三个不同的交点,数形结合找到临界位置,平移函数y x m=-即可得解【详解】函数()()g x f x x m=--在定义域内恰有三个不同的零点，则函数()f x的图象与y x m=-的图象恰有三个不同的交点.由221x x x m-++=-得: 210x x m---=,相切时有: 14(1)0m∆=++=得54m=-;由221x x m x-++=-得2310x x m-+-=,相切时有: 94(1)0m∆=--=得134m=.()()10,1ln 1,'()1x f x x f x x ≤=-+=-+ 在(0,1)处切线斜率为'(0)1f =-. 如图所示，函数134y x =-的图象与函数()f x 的图象相切，函数|1|y x =-的图象过点()0,1，函数1y x =+的图象过点()0,1，函数54y x =+的图象与函数()f x 的图象相切，从而结合图象可知实数m 的取值范围为513,11,44⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选:A. 【点睛】本题主要考查了利用数形结合研究函数的零点,将其转化为两个函数的交点,准确作图是解题的关键,属于中档题.二、填空题13．已知sin20cos202cos130m ︒+︒=︒，则m =_____ 【答案】3【解析】根据2cos1302cos50︒=-o ()2cos 2030=-+o o，再利用两角和的余弦公式展开，与sin 20cos20m ︒+︒建立方程求解. 【详解】已知sin 20cos 202cos1302cos50m ︒+︒=︒=-o ，()2cos 2030sin 20320=-+=︒︒o o ，所以m =3.故答案为：3- 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了转化变形运算求解的能力，属于基础题. 14．如图，圆柱1OO 中，两半径OA ，1O B 等于1，且1OA O B ⊥，异面直线AB 与1OO 所成角的正切值为24，则该圆柱1OO 的体积为______．【答案】4π【解析】过B 作BH O ⊥e 于点H ，则2tan 4ABH ∠=，由OH 平行等于1O B ，且OH OA ⊥得2AH =，所以圆柱的高4tan AHBH ABH==∠，圆柱的体积为4π．【详解】过B 作BH O ⊥e 于点H ，则ABH ∠即为异面直线AB 与1OO 所成角，则2tan 4ABH ∠=，由OH 平行等于1O B ，且1OA O B ⊥，可得OH OA ⊥，得22112AH =+=又tan AHABH BH∠=, 所以圆柱的高4tan AHBH ABH==∠，所以圆柱的体积为214πOA OO π⋅⋅=．故答案为：4π. 【点睛】本题考查圆柱的体积的计算，同时也考查了异面直线所成的角，考查空间推理能力，属于中等题.15．已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 12a =且6542a a a =+，则14m n+的最小值是_______ 【答案】94【解析】设公比为q ，根据6542a a a =+，解得2q =，在根据两项,m n a a 满足12a =，得到4m n +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】在正项等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为6542a a a =+，所以220q q --=，2q =或1q =-（舍去），因为存在两项,m n a a 12a =，所以24m n q+-=，所以4m n +=，所以()141141419554444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4m n +=，4n m m n=，即48,33m n ==时取等号.所以14m n+的最小值是94.故答案为：94【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．给出下列五个命题：①已知直线a 、b 和平面α，若//a b ，//b α，则//a α；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线；③双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则直线b y x m a =+()m R ∈与双曲线有且只有一个公共点；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；⑤过()2,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于1P 、2P 两点，线段12PP 中点为P ，设直线l 斜率为1k ()0k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于12-. 其中，正确命题的序号为_______. 【答案】④⑤【解析】利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断②的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误. 【详解】①线面平行的前提条件是直线a α⊄，所以条件中没有a α⊄，所以①错误； ②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误； ③因为双曲线的渐近线方程为by x a=±，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误； ④若αβ⊥，a αβ⋂=，l α⊂，且l 与a 不垂直，假设l β⊥，由于a β⊂，则l a ⊥，这与已知条件矛盾，假设不成立，则l 与β不垂直，所以④正确；⑤设()111,P x y 、()222,P x y ，中点()00,P x y ，则12112y y k x x -=-，0122012y y y k x x x +==+，把()111,P x y ，()222,P x y 分别代入椭圆方程2212x y +=，得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得()2222121220x x y y -+-=，整理得1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，即1212k k =-，所以⑤正确.所以正确命题的序号为④⑤. 故答案为：④⑤. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的运算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题 17．已知数列中，满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)直接利用等比数列的定义证明；（2）先求出，再利用分组求和求数列的前项和.【详解】（1）∵ ∴又因为，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）知， ∴，∴.故. 【点睛】本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列求和和分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．某学校为了了解学生对《3.12植树节》活动节日的相关内容，学校进行了一次10道题的问卷调查，从该校学生中随机抽取50人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]五组，得到如下频率分布直方图.（1）若答对一题得10分，答错和未答不得分，估计这50名学生成绩的平均分；（2）若从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.【答案】（1）63.5（2）815【解析】（1）先根据频率分布直方图得到答对题数的平均数，再乘以10即可.（2）根据频率分布直方图得到答对题数在[0,2)内和在[2,4)内的学生人数，利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）答对题数的平均数为(10.0230.0450.1270.2290.10)2 6.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以这50人的成绩平均分约为10 6.3563.5⨯=.（2）答对题数在[0,2)内的学生有0.022502⨯⨯=人，记为,A B答对题数在[2,4)内的学生有0.042504⨯⨯=人，记为a b c d ,,,从答对题数在[0,4)内的学生中随机抽取2人的情况有(,)A B ，(A,a)，(A,b)，(,)A c ，(,)A d ，(,a)B ，(,b)B ，(,)B c ，(,)B d ，(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d 共15种其中恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有8种所以恰有1人答对题数在[2,4)内的概率815P =. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体和古典概型的概率，还考查了识图理解辨析运算求解的能力，属于中档题.19．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 与侧面PAB 均为正三角形，2AB =，6PC =，M 为AB 的中点．（Ⅰ）证明：平面PCM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）N 为线段PA 上一点，且34CMN S ∆=，求三棱锥P CMN -的体积．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）38P CMN V -=【解析】（Ⅰ）要证平面PCM ⊥平面PAB ，即证CM ⊥平面PAB ，转证CM PM CM AB ⊥⊥，；（Ⅱ）利用等体积法即可得到三棱锥P CMN -的体积．【详解】解法一：（Ⅰ）因为ABC ∆ 是边长为2的正三角形，M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥，3CM =同理，3PM =，又6PC =因为222CM PM PC +=，所以CM PM ⊥又AB PM M =I ，所以CM ⊥平面PAB ，又CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得CM ⊥平面PAB ，所以CM MN ⊥，CMN ∆ 为直角三角形，所以1324CMN S CM NM ∆=⋅=g ，且3CM =，解得3MN =在AMN ∆ 中，由222cos 2AN AM MN A AN AM+-=⋅，22231cos602AN AN +-⎝⎭︒=．解得12AN =，即32PN =即34PN PA =,3333334888PNM PAM PAB S S S ∆∆∆====，13P CMN C PMN PMN V V S CM --∆== 1333338==解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）由（Ⅰ）可得CM ⊥平面PAB ，所以CM NM ⊥，即31342NM ，3NM =，所以12NM AM PM PA ==，得ANM APM ∆∆∽，则90ANM AMP ∠=∠=︒，所以NM PA ⊥，又CM PA ⊥，NM CM M =I 所以PA ⊥平面CNM ，在Rt PNM ∆中，32PN ==，所以11133332228P CMN CMN V S PN -∆=⋅=⨯=．【点睛】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1(1,0)F -为其左焦点，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若A B 、是椭圆C 上不同的两点，以AB 为直径的圆过原点O ，求||AB 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2 【解析】（1）设椭圆的右焦点为2(1,0)F ，根据31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，利用椭圆的定义得到a ，又1c =得解.（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性，可知45AOx BOx ∠=∠=︒，求得A ，B 坐标求解||AB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据以AB 为直径的圆过原点O ，则0OA OB ⋅=u u u r u u u r，再利用直角三角形中线定理有||2||AB OP =，将韦达定理代入，两式联立求解. 【详解】（1）设椭圆的右焦点为2(1,0)F ，根据椭圆的定义：1224PF PF a +==， 2a ∴=又1c =Q ，b ∴=∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知45AOx BOx ∠=∠=︒，不妨设()00,A x y ，则2200143x y +=，0x =，此时||AB =当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()()2222644434120k m k m ∆=-+->，得22430k m +->，()*由韦达定理得122843km x x k -+=+，212241243m x x k -=+，因为以AB 为直径的圆过原点O ，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即()()2222121212122712121034m k x x y y k x x km x x m k --+=++++==+，即2212127k m +=，满足()*式.设AB 的中点是()00,P x y ，则12024234x x km x k +-==+，022433434km my k m k k -=+=++，||2||AB OP ====，()()221691212kk +++≤=221691212k k +=+时等号成立，即k =，<||AB . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知直线:(1)l y k x =-与函数()ln f x x =. （1）若()(1)f x k x ≤-恒成立，求k 的取值的集合. （2）若210x x >>，求证：()()2121212f x f x x x x x ->-+.【答案】（1）{1}（2）见解析【解析】将()(1)f x k x ≤-恒成立，转化为()ln (1)0g x x k x =--≤恒成立，只要max ()0g x ≤，先通过当x e =时也成立，得到0k >，再用导数法求解.（2）将212121ln ln 2x x x x x x ->-+，令21x t x =，转化为ln 211t t t >-+成立，令()ln ln 22(1)F t t t t t t =+-+>，只要min ()0F t >，再用导数法求解.【详解】令()()(1)(0)g x f x k x x =--> 则依题意()ln (1)0g x x k x =--≤恒成立所以当x e =时也成立，则1()ln (1)001g e e k e k e =--≤⇒≥>- 又11()00g x k x x k '=->⇒<<，1()0g x x k'<⇒>；所以()g x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以max 111()ln ln 10g x g k k k k k k k ⎛⎫==-⋅+=--+≤⎪⎝⎭令()ln 1(0)h x x x x =--+> 则11()101x h x x x x-'=-+=>⇒>，()001h x x '<⇒<< 所以()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()(1)0h x h ≥=，故()ln 10h k k k =--+≤的解为1k = 所以满足题意的K 的取值的集合为{1}（2）证明：要证()()2121212f x f x x x x x ->-+，即证212121ln ln 2x x x x x x ->-+ 令21x t x =则210x x >>Q ，1t ∴> 即可转证：212211ln211x x x x x x >-+，即证ln 211t t t >-+因为1t >所以即证(1)ln 2(1)t t t +>-即证ln ln 220(1)t t t t t +-+>>令()ln ln 22(1)F t t t t t t =+-+> ()* 则11111()ln 2ln 1ln 1F t t t t t t t t t '=+⋅+-=+-=-+-由（1）中结论易知10h t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11ln 10t t -+->即得()0F t '>所以()ln ln 22F t t t t t =+-+在(1,)+∞上递增所以()ln ln 221ln1ln12120F t t t t t =+-+>⨯+-⨯+=即()*式得证.所以原不等式得证.【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立及证明不等式问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x 轴的非负半轴重合．曲线C 的极坐标方程是22612sin θρ+=，直线l 的极坐标方程是cos 04πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2,0P ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11PM PN+的值．【答案】（1）22162x y +=，20x y +-=；（2. 【解析】（1）利用222sin y x y ρθρ=⎧⎨+=⎩，将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）写出直线l 过点()2,0P 的参数方程，代入曲线C ，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果．【详解】（1）曲线C 化为：2222sin 6ρρθ+=，将222sin y x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入上式，即2236x y +=，整理，得曲线C 的直角坐标方程22162x y +=.由cos 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得cos sin 022ρθρθ+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简得20x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程20x y +-=.（2）由（1）知，点()2,0P 在直线l 上，可设直线的参数方程为32cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），即222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的直角坐标方程，得221143622t t -++⨯=，整理，得210t -=，所以24160∆=+⨯=>，1210t t =-<，由题意知，1212121111t P N t P t t t M t -+=+====【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题．23．设函数()214f x x x =+--.（1）解不等式()0f x >；（2）若()342f x x m +->-对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 解集为{1x x 或5x <-};(2) m 的取值范围为()7,11-.【解析】分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）要使()342f x x m +->-成立，只需函数的最小值大于2m -即可，利用绝对值三角不等式可得2124x x ++-的最小值.详解：（1）当4x ≥时，()2145f x x x x =+-+=+，原不等式即为50x +>，解得5x x >-，∴4x ≥；当142x -≤<时， ()21433f x x x x =++-=-，原不等式即为330x ->，解得1x >，∴14x <<；当12x <-时， ()2145f x x x x =--+-=--，原不等式即为50x -->，解得5x <-，∴5x <-；综上，原不等式的解集为{1x x 或5x <-}.（2）()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=. 当142x -≤≤时，等号成立. ∴()34f x x +-的最小值为9，要使()342f x x m +->-成立， ∴29m -<，解得711m -<<，∴m 的取值范围为()7,11-.点睛：（1）含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. （2）不等式恒成立问题通常转化为求函数最值来处理.。

成都市2020届高三一诊数学试题及答案(文理)12月23日考

(D)4
数学（理科） ”一诊“考试题第2页（共4页）
成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测
数
子 � （文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4 页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
围是
CA) C— 2,0) LJ (2,十=)
(B) (—2,0) LJ (0,2)
CC) C— e,O) U (e,十oo)
CD) C— e,O) U (0,e)
12. 如图，在边长为 2的正方形AP 1 贮凡中，线段BC的端点B, C分别在边P1P 2 P, 2P 3 _t
滑动，且P 2B=P心 = x. 现将丛AP B 1 ,6AP 3 C分别沿AB,A C折起使点P1,凡重合，
(A)f(x)= sin(2x+6互）
CB)f(x)=sin(2x —一穴3 ）
(C)f(x)= sin(8x+岊)
(D)f(x)
=sin(8x
—
亢
一3 ）
9. 已知抛物线沪= 4x的焦点为 F,M,N是抛物线上两个不同的点．若IMF+ l INFl = 5则 , 线
段 MN的中点到y轴的距离为
CA)3
(D)若m_la,nll /3且 , a_l/3则 , m_l n
7. (x2 +2)(x— —)6的展开式的常数项为
(A)25
(B)-25
(C)5
(D)— 5

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2020届高三数学一诊模拟试题文第I 卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为A ．13B ．12C ．23D ．343．设121iz i i+=--，则||z = A ．0B ．1CD ．34．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．516B ．54C ．52D ．56．设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．已知曲线1:2sin 2C y x =，2:sin 2cos 2C y x x =+，则下面结论正确的是 A ．把曲线1C 向右平移8π个长度单位得到曲线2C B ．把曲线1C 向左平移4π个长度单位得到曲线2C C ．把曲线2C 向左平移4π个长度单位得到曲线1CD ．把曲线2C 向右平移8π个长度单位得到曲线1C8．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为：（参考数据：32.0946≈）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.14139．函数32xx x y -=的图象大致是A ．B ．C ．D ．10．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于 A ．23B ．43C ．13D ．21311．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为A ．31-B ．312+ C ．22D ．512- 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 A ． (,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e -∞D ．()4,e +∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是__________．14．函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程为_______.15．如图，求一个棱长为2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体ABCD ，其三对棱长分别为5,13,10AB CD AD BC AC BD ======，则此四面体的体积为_______；16．在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅的取值范围是______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为12,cos 4b c A -==-．(1) 求a 和sin C 的值；（II ）求cos(2)6A π+的值．18．（12分）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史.某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得重量（单位：kg ）数据如下表：[)2.50,2.60 28 b[)2.60,2.70 10[)2.70,2.802合计100（I ）求出频率分布表中实数a ，b 的值；（II ）若从仿制的100件工艺品重量范围在[)2.60,2.80的工艺品中随机抽选2件，求被抽选2件工艺品重量均在范围[)2.70,2.80中的概率.19．（12分）如图1，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PD 垂直于底面ABCD ，已知四棱锥的正视图，如图2所示.（I ）若M 是PC 的中点，证明：DM ⊥平面PBC ；（II ）求棱锥A BDM -的体积.20．（12分）已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.21．（12分）已知函数ln(1)()x f x x+=（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若0x >，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0>（I ）设t 为参数，若12y =-，求直线l 的参数方程；（II ）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x x =-++. （I ）求不等式()15f x ≤的解集；（II ）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.文科数学试题参考答案1．B 2．C3．B4．B5．A6．B7．D8．A9．C10．B11．A 12．B13．014．2e e y x =-15．216．3[,0]4-17．（1）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin ,4A =由1sin 2bc A =得24,bc =又由2,b c -=解得6, 4.b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得a=8.由sin sin a cA C=,得sin 8C =. （2）)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 6662A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,16-=18．解：（1）()1004262810230a =-++++=；280.28100b ==. （2）100件仿制的工艺品中，重量范围在[)2.60,2.70的工艺品有10件，重量范围在[)2.70,2.80的工艺品有2件，所以从重量范围在[)2.60,2.80的工艺品中随机抽选2件方法数66m =（种），所以所求概率166p =. 19．(Ⅰ)由正视图可知，2PD DC ==∵PD⊥平面ABCD ，∴ PD⊥BC 又∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD. ∵PD CD D ⋂=，∴BC⊥平面PCD ∵DM ⊂平面PCD ，∴DM⊥BC.又PCD ∆是等腰三角形，E 是斜边PC 的中点，所以∴DM⊥PC 又∵BC PC C ⋂=，∴DM⊥平面PBC.(Ⅱ)在平面PCD 内过M 作MN//PD 交CD 于N ，所以112MN PD ==且MN ⊥平面ABCD ，所以棱锥M －ABD 的体积为111112221332323M ABD ABD V S MN AB AD MH -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=又∵棱锥A －BDM 的体积等于棱锥M －ABD 的体积， ∴棱锥A －BDM 的体积等于23. 20．解：（1）设(),P x y ，由题意得：()()1,,0,A x y B y ，由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点，故102x x +=，所以12x x =，又因为点A 在圆上，所以得2214x y +=，故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114x y +=，当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=；当10x ≠时，11,OP y k x =因为OP OQ ⊥,即11,OQ x k y =-故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，OP ∴=OQ ==221111322POQx y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114x y +=代入① 2111143334322POQy S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭()101y <≤设()()4301f x x x x=-<≤ 因为()24f x 30x'=--<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数，当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥,综上：POQ S ∆的最小值为3.221．解：（1）函数的定义域为()()1,00,-⋃+∞，求导得()()2ln 11'xx x f x x -++=，令()()()()()2211ln 1,'1111x x g x x g x x x x x =-+=-=-++++，令g’(x)＞0，解得-1＜x ＜0，令g’(x)＜0解得x ＞0，所以()g x 单调增区间为()-1,0，减区间为()0+∞，。