傅立叶变换的原理、意义和应用
从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法
从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.傅里叶变换的概念和意义1.傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法2.在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用II.快速傅里叶变换（FFT）的基本原理1.傅里叶变换的乘法运算导致计算效率低下2.快速傅里叶变换利用了周期函数的周期性性质，将乘法运算转化为加法运算3.FFT的基本算法思想：基于递归的方式，将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题III.FFT的具体实现方法1.迭代实现方法：主要用于离散傅里叶变换（DFT）的实现2.迭代实现方法的优化：使用蝶形图表示FFT的运算过程，便于理解和计算3.直接实现方法：对于特定的离散序列，可以直接计算其FFT结果，不需要进行迭代正文（篇1）一、傅里叶变换的概念和意义傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法。
它可以将一个时域信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，使得信号的频域分析变得更加方便。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
二、快速傅里叶变换（FFT）的基本原理傅里叶变换的乘法运算导致计算效率低下，快速傅里叶变换（FFT）利用了周期函数的周期性性质，将乘法运算转化为加法运算。
FFT的基本算法思想是：基于递归的方式，将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题。
FFT算法可以分为迭代实现方法和直接实现方法，其中迭代实现方法主要用于离散傅里叶变换（DFT）的实现。
三、FFT的具体实现方法1.迭代实现方法：迭代实现方法的主要思想是将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题，通过递归的方式逐步求解。
迭代实现方法可以使用蝶形图表示FFT的运算过程，便于理解和计算。
2.迭代实现方法的优化：迭代实现方法的优化主要是为了减少计算量，例如使用树形结构来存储中间结果，减少重复计算。
3.直接实现方法：对于特定的离散序列，可以直接计算其FFT结果，不需要进行迭代。
傅里叶变换的物理意义是
傅里叶变换的物理意义是
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法。
在物理学中，傅里叶变换非常重要，因为它可以用来描述和分析许多物理现象。
具体而言，傅里叶变换的物理意义包括以下几个方面：
1. 频域分析：傅里叶变换可以将一个信号分解成不同频率的成分，
这在物理学中非常有用。
例如，当我们研究声波、光波、电磁波等波动现象时，可以通过傅里叶变换将信号分解成不同频率的谐波，从而更好地理解和分析它们的特性。
2. 滤波和去噪：在信号处理和通信领域，傅里叶变换可以用来实现
滤波和去噪。
通过对信号的傅里叶变换，我们可以找到信号中频率较高或较低的成分，并根据需要进行滤波，从而去除不必要的噪声。
3. 热传导：傅里叶变换在热传导方程中也有重要的应用。
通过对温
度分布的傅里叶变换，可以将热传导方程转化为一组独立的方程，从而更好地描述物体的热分布。
4. 量子力学：傅里叶变换在量子力学中也有广泛的应用。
例如，在
描述波函数时，傅里叶变换可以将波函数从位置空间转换为动量空间，
这对于研究原子和分子的行为非常重要。
总之，傅里叶变换在物理学中具有广泛的应用，它不仅能够帮助我们更好地理解和分析物理现象，还可以为我们解决一些实际问题提供有力的数学工具。
傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换的物理意义首先，傅里叶变换揭示了信号的频谱特性。
在物理世界中，许多信号都可以表示为振荡的形式。
傅里叶变换可以将时间域中的信号分解成不同频率的正弦波的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号中包含的各个频率分量的信息，从而了解信号的频谱结构。
频谱分析对于研究声音、光谱、电磁波以及其他振动现象都非常重要。
其次，傅里叶变换可以用于信号处理和系统分析。
在物理学中，我们经常需要对信号进行处理和分析，以了解系统的特性和行为。
傅里叶变换可以将复杂的信号分解成简单的频率成分，从而更好地研究和理解信号的性质。
例如，在光学中，傅里叶变换可以用于分析并控制光波传输中的干涉和衍射现象。
在电子学中，傅里叶变换可以用于滤波器设计，信号压缩和调制解调等应用。
此外，傅里叶变换还有助于解决物理学中的微分方程和积分方程。
许多物理现象可以由微分方程或积分方程进行描述，而傅里叶变换可以将这些方程转化为简单的代数方程。
通过傅里叶变换，我们可以更方便地解决和分析这些方程，从而研究和预测物理系统的行为。
例如，在量子力学中，傅里叶变换可以用于求解薛定谔方程，研究粒子的波动性质。
此外，傅里叶变换在波动光学、地震勘探、信号处理、图像处理等领域中也有广泛的应用。
在波动光学中，傅里叶变换可以用于研究衍射、干涉和光波传播等现象。
在地震勘探中，傅里叶变换可以用于分析地震信号，确定地下结构和地震源特性。
在信号处理和图像处理中，傅里叶变换可以用于噪声滤波、图像压缩和频域滤波等应用。
总之，傅里叶变换在物理学中具有重要的意义。
它不仅揭示了信号的频谱特性，还为信号处理和系统分析提供了有力的工具。
通过傅里叶变换，我们可以更好地理解和研究波动现象、物质结构和机械振动等物理现象。
傅里叶变换的应用广泛，对于物理学的发展和应用具有重要的推动作用。
傅里叶变换的物理意义
傅里叶变换的物理意义傅里叶变换是数学中最著名的变换之一，在物理、无线电、信号处理等学科中都有广泛应用。
物理意义上来说，傅里叶变换是一种将时域函数转化为频域函数的技术，可以更加方便地对于复杂的波形进行分析和处理。
一般情况下，如果我们想要表达一个事件，就需要函数来描述它，称为时域函数。
但是这些函数中存在着很复杂的信号，根据它们的特征我们可以把它们分成不同的频率成分。
这个任务可以很容易地完成，只需要把时域函数作为输入，然后使用傅里叶变换。
傅里叶变换就是一种将时域函数转换成频域函数的工具，可以将时域函数分解成不同的频率成分。
同时，傅里叶变换也可以反过来，把频域函数转换回时域函数，这就是所谓的逆变换。
因此，傅里叶变换可以实现从时域到频域的信息的转换，也可以从频域到时域的信息的转换。
这种单向变换有助于我们更加容易地理解时域函数，也可以帮助我们分析频率成分。
傅里叶变换在传输信号与信号处理方面有着重要的应用，如在数据通讯和线性系统中，傅里叶变换可以帮助我们实现模拟信号与数字信号之间的转换，从而实现迅速准确的信号处理。
同时，傅里叶变换也可以使我们更好地理解波形的频率成分，这样就可以更准确地处理和测量信号。
此外，傅里叶变换也在信号压缩技术中发挥了重要作用。
傅里叶变换可以把信号分割为不同频率成分，这些成分中可能存在很多冗余成分，可以利用傅里叶变换将这些冗余成分去掉，从而实现信号压缩，从而节省空间和费用。
总之，傅里叶变换的物理意义是将时域函数转换为频域函数，利用傅里叶变换我们可以很容易地提取复杂信号的特征，并利用傅里叶变换实现信号压缩，从而在物理、无线电、信号处理等学科中都有广泛应用。
因此，我们可以断定傅里叶变换是解决众多物理问题的重要工具之一。
%傅里叶变换,直流分量搬移到频谱中心
傅里叶变换，直流分量搬移到频谱中心一、概述傅里叶变换是一种重要的数学工具，在信号处理、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
傅里叶变换的一个重要性质是将时域中的直流分量移动到频谱中心，这一特性对于频谱分析和滤波等应用具有重要意义。
二、傅里叶变换的基本概念1. 时域信号和频域信号在信号处理中，我们常常需要分析和处理时域信号，如音频信号、图像信号等。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，能够帮助我们更好地理解和处理信号。
2. 傅里叶变换的定义傅里叶变换将一个时域函数表示为一系列频率的复指数的线性叠加。
具体地，一个信号的傅里叶变换可以表示为：其中F(ω)为信号的频谱，X(t)为信号的时域表示，ω为频率。
3. 直流分量和频谱中心在进行傅里叶变换时，直流分量（即信号的均值部分）被移动到了频谱中心，这意味着在频谱中心附近会出现一个峰值，对于处理和分析信号具有重要意义。
三、傅里叶变换的物理意义1. 频域分析傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，能够帮助我们进行频域分析。
通过分析信号在频域中的分布和特性，可以更好地理解信号的频率成分和谱特性。
2. 滤波和去噪利用傅里叶变换，我们可以在频域中对信号进行滤波和去噪处理。
通过识别和去除频谱中的噪声成分，可以改善信号的质量和准确度。
3. 通信和调制在通信系统中，傅里叶变换有着重要的应用。
通过将信号转换为频谱信号，可以进行调制和解调，实现信号的传输和接收。
四、直流分量搬移到频谱中心的数学原理1. 形式化表达对于一个具有直流分量的时域信号X(t)，其傅里叶变换为F(ω)。
直流分量会被移动到频谱中心，即在ω=0处出现一个峰值。
2. 数学推导根据傅里叶变换的定义和性质，可以推导出直流分量搬移到频谱中心的数学原理。
通过对信号的复指数函数进行变换和叠加，可以得到频谱中的直流分量。
3. 物理意义直流分量搬移到频谱中心的物理意义在于，我们可以更加直观地观察信号的均值部分。
这对于分析信号的基本成分和特性具有重要意义。
傅里叶变换及反变换课件
• 傅里叶变换概述 • 傅里叶正变换 • 傅里叶反变换 • 傅里叶变换的应用 • 傅里叶变换的实践操作
目录
01
傅里叶变换概述
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时间域的信号转换为其频域表示。在数 学上，它被定义为函数f(t)与其复指数函数e^(iωt)之间的积分变换。
定义函数
定义需要变换的函数 ，例如正弦函数、余 弦函数等。
进行傅里叶变换
使用fft库中的fft函 数进行傅里叶变换。
绘图
使用matplotlib库将 变换后的结果绘制成 图形。
感谢观看
THANKS
通过傅里叶正变换，可以将一个复杂的信号分解成多个简 单的正弦波分量，每个分量都有自己的频率、幅度和相位 。这种分解方式有助于更好地理解信号的组成和特性，在 信号处理、通信、图像处理等领域有广泛应用。
03
傅里叶反变换
傅里叶反变换的定义
傅里叶反变换是数学和工程领域中常用的工具，用于将频域函数转换回时域函数。 它与傅里叶变换是逆操作，通过傅里叶反变换可以将频域信息还原为时域信息。
积分运算的取值范围是整个实数 轴，代表着所有可能的频率成分
。
傅里叶反变换的物理意义
傅里叶反变换的物理意义在于将频域 信息还原为时域信息，从而可以分析 信号的时域特性。
例如，在音频处理中，傅里叶反变换 可以将音频信号从频域转换回时域， 以便更好地感知声音的细节和变化。
通过傅里叶反变换，可以了解信号在 不同时间点的强度和相位变化，这对 于信号处理和通信系统等领域非常重 要。
数值计算和绘图。
定义函数
定义需要变换的函数，例如正 弦函数、余弦函数等。
进行傅里叶变换
一维傅里叶变换 二维傅里叶变换
一维傅里叶变换和二维傅里叶变换是信号处理和图像处理中非常重要的数学工具，它们能帮助我们分析和理解信号和图像中包含的信息。
在本文中，我们将深入探讨一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及它们在实际中的意义。
1. 一维傅里叶变换一维傅里叶变换是将一个实际的信号在频域进行分解的技术。
它的数学表达式为：\[F(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-i2\pi kn/N}\]在这个公式中，\(f(n)\)表示信号在时域上的取值，而\(F(k)\)表示信号在频域上的频谱。
一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中包含的频率成分，从而理解信号的特性和结构。
一维傅里叶变换在很多领域都有广泛的应用，比如音频信号处理、通信系统、生物医学工程等。
在音频信号处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号分解成不同的频率成分，从而实现音频滤波、频谱分析等功能。
2. 二维傅里叶变换二维傅里叶变换是将一个二维图像在频域进行分解的技术。
它的数学表达式为：\[F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y)e^{-i2\pi (ux/M + vy/N)}\]在这个公式中，\(f(x, y)\)表示图像在空间域上的像素值，而\(F(u, v)\)表示图像在频域上的频谱。
二维傅里叶变换可以帮助我们分析图像的纹理、边缘、轮廓等特征。
二维傅里叶变换在图像处理、计算机视觉、模式识别等领域都有重要的应用。
在图像处理中，我们可以利用傅里叶变换进行图像增强、滤波、压缩等操作，从而改善图像的质量和准确度。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们了解了一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及在实际中的意义。
一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中的频率成分，而二维傅里叶变化则可以帮助我们分析图像中的纹理特征。
这两种变换在信号处理和图像处理领域发挥着重要作用，为我们理解和处理现实世界中的信息提供了有力的数学工具。
傅里叶变换的定义式
傅里叶变换的定义式1. 引言傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于分析和处理周期性信号。
它由法国数学家傅里叶于19世纪初提出，经过数学家韦尔逊、阿贝尔的完善，成为现代信号处理领域中的核心方法之一。
傅里叶变换的定义式是描述信号在频域上的表示的数学公式。
频域是指信号在不同频率上的成分信息，通过傅里叶变换可以将信号从时域（时间上的波形）转换到频域（频率上的成分）。
在本文中，我们将详细介绍傅里叶变换的定义式、其意义以及应用。
2. 傅里叶级数在讨论傅里叶变换之前，我们先介绍傅里叶级数的概念。
傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期信号的方法。
任何一个周期为T的连续信号都可以表示为无穷级数的形式：f(t)=a02+∑[a n cos(2πnTt)+b n sin(2πnTt)]∞n=1其中，a0是直流分量，a n和b n是信号频率为nT的余弦和正弦分量的振幅。
傅里叶级数的引入为傅里叶变换奠定了基础，因为周期为T的信号可以看作是频率为nT的成分的线性组合。
傅里叶变换是将这种思想推广到非周期信号的方法。
3. 傅里叶变换的定义式假设我们有一个连续信号f(t)，它在时域上表示为一个函数f(t)。
傅里叶变换的定义式可以表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)是信号f(t)在频域上的表示，ω是角频率，j是虚数单位。
这个定义式实际上是一个积分，它描述了信号f(t)在不同频率ω上的成分。
通过将信号与复指数函数e−jωt相乘，并在整个时间域上进行积分，我们可以得到信号在频域上的频谱表示。
傅里叶变换的定义式是一个复数函数，它包含两部分：实部和虚部。
实部表示信号在不同频率上的幅度，虚部表示信号在不同频率上的相位差。
4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质使得它在信号处理和通信系统中得到广泛应用。
以下是一些常见的性质：4.1 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意的常数a和b，以及两个信号f1(t)和f2(t)，有：ℱ{af1(t)+bf2(t)}=aℱ{f1(t)}+bℱ{f2(t)}这意味着信号的线性组合的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换的线性组合。
傅里叶变换存在的条件和物理意义
傅里叶变换存在的条件和物理意义傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于物理学和工程学领域。
它的存在条件和物理意义对于理解信号处理、波动现象以及电磁场等问题具有重要意义。
傅里叶变换存在的条件主要是信号的绝对可积性和周期性。
绝对可积性表示信号的能量是有限的，而周期性则表示信号在一定时间间隔内重复出现。
在实际应用中，绝对可积性通常是被满足的，因为大多数物理信号能量有限。
而周期性则是一个较为特殊的情况，不是所有信号都具有周期性。
但即使信号不具有周期性，我们也可以通过将其延拓为周期信号来应用傅里叶变换。
傅里叶变换的物理意义主要体现在频域和时域之间的转换关系上。
时域是我们通常所熟悉的时间轴上的信号表示，而频域则是将信号表示为频率的分布情况。
傅里叶变换能够将时域上的信号转换为频域上的信号，通过分析信号在频域上的特性，我们可以更好地理解信号的频率成分、频谱分布以及频域上的滤波和相位等信息。
在物理学中，傅里叶变换的应用非常广泛。
例如，在光学中，我们可以通过傅里叶变换来分析光的频谱成分，从而研究光的颜色和频率特性。
在声学中，傅里叶变换可以帮助我们分析声音的频谱特征，对音乐、语音等进行处理和合成。
在电磁学中，傅里叶变换可以用来研究电磁场的频谱分布和电磁波的传播特性。
傅里叶变换还在信号处理领域起着重要作用。
通过将信号从时域转换为频域，我们可以对信号进行滤波、降噪、压缩等处理。
傅里叶变换还可以用于图像处理，通过分析图像的频谱特征可以实现图像的增强、去噪和压缩等操作。
傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在物理学和工程学领域具有广泛的应用。
通过将信号从时域转换为频域，傅里叶变换帮助我们分析信号的频率成分和频谱特征，理解信号的性质和行为。
同时，傅里叶变换也为信号处理、波动现象以及电磁场等问题提供了有效的数学工具和方法。
因此，掌握傅里叶变换的存在条件和物理意义对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
fft结果的物理意义
fft结果的物理意义摘要：一、引言二、傅里叶变换（FFT）的基本原理三、FFT结果的物理意义1.频域分析2.时域分析四、FFT在实际应用中的案例五、结论正文：一、引言傅里叶变换（FFT）是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的算法。
它是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法，可以帮助我们更好地分析信号的频率特性。
本文将详细介绍FFT结果的物理意义，以及它在实际应用中的案例。
二、傅里叶变换（FFT）的基本原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
其基本原理是将复杂的信号分解为多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
在频域中，这些正弦和余弦函数分别表示信号的不同频率分量。
傅里叶变换的核心思想是将时域信号分解成不同频率的成分，以便于分析和处理。
三、FFT结果的物理意义1.频域分析FFT结果中的频域表示信号的频率成分。
通过观察频域图，我们可以了解信号在不同频率下的能量分布情况。
这对于分析信号的稳定性、谐波失真等方面具有重要意义。
此外，通过对频域信号进行滤波等处理，我们还可以改善信号的性能。
2.时域分析FFT结果中的时域表示信号的脉冲响应。
通过观察时域图，我们可以了解信号在时间上的变化趋势。
这对于分析信号的传输、系统的稳定性等方面具有重要意义。
同时，时域分析还可以帮助我们识别信号中的周期性成分，从而进一步进行滤波和降噪等处理。
四、FFT在实际应用中的案例1.信号处理：在通信系统中，FFT被广泛应用于基带处理、频带压缩等领域。
通过FFT，我们可以将复杂的信号分解为简单的正弦和余弦函数，从而降低信号处理的复杂度。
2.图像处理：在图像处理中，FFT被用于频域滤波、图像增强、去噪等任务。
通过对图像进行FFT，我们可以更好地分析图像的频率特性，从而设计出更有效的滤波器。
3.音频处理：在音频处理领域，FFT被用于音频分析、均衡、降噪等任务。
通过对音频信号进行FFT，我们可以了解音频信号的频率成分，从而调整音频系统的性能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习文档 仅供参考 傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比方正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t〕是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下列图①式成立。称为积分运算f(t〕的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F〔ω〕的傅里叶逆变换。F〔ω〕叫做f(t〕的像函数，f(t〕叫做 F〔ω〕的像原函数。F〔ω〕是f(t〕的像。f(t〕是F〔ω〕原像。 ①傅里叶变换
②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏学习文档 仅供参考
变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用〔例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小〕。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字电脑快速地算出〔其算法称为快速傅里叶变换算法〔FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数 学习文档 仅供参考
和 的傅里叶变换 和 都存在， 和 为任意常系数，则有 尺度变换性质 假设函数
的傅里叶变换为 ，则对任意的非零实数 ，函数 的傅里叶变换 存在，且等于
对于 的情形，上式说明，假设将 学习文档 仅供参考
的图像沿横轴方向压缩 倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽 倍，同时高度变为原来的 。对于 的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。 平移性质 假设函数
的傅里叶变换为 ，则对任意实数 ，函数
也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换 等于 也就是说， 可由 向右平移 学习文档 仅供参考
得到。 微分关系 假设函数
的傅里叶变换为 ，且其导函数 的傅里叶变换存在，则有 即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。更一般地，假设 的 阶导数
的傅里叶变换存在，则 即 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 。 卷积特性 学习文档 仅供参考
假设函数 以及 都在 上绝对可积，则卷积函数
的傅里叶变换存在，且 Parseval定理以及Plancherel定理 假设函数
以及 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 与 ，则有
上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数 ，有
上式被称为Plancherel定理。这两个定理说明，傅里叶变换是平方可积空间 学习文档 仅供参考
上的一个运算符〔假设不考虑因子 〕。 3特殊变换编辑 连续傅里叶变换 一般情况下，假设“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数
表示成复指数函数的积分形式：
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数
的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数 表示为时间域的函数 的积分形式。一般可称函数 为原函数，而称函数 为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对〔transform pair〕。 当 学习文档 仅供参考
为奇函数〔或偶函数〕时，其余弦〔或正弦〕分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换〔或正弦变换〕。 傅里叶级数 主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数〔Fourier series〕表示被定义为：
其中 为函数的周期， 为傅里叶展开系数，它们等于
对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： 其中 和 是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 学习文档 仅供参考
离散时间傅里叶变换〔discrete-time Fourier transform, DTFT〕针对的是定义域为
的数列。设 为某一数列，则其DTFT被定义为
相应的逆变换为 DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。 离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用电脑进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列
的离散傅里叶变换〔discrete Fourier transform, DFT〕为
其逆变换为 直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为 学习文档 仅供参考
，而快速傅里叶变换〔fast Fourier transform, FFT〕可以将复杂度改良为
。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群〔dual group〕。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时〔频〕域的离散对应于其像函数在频〔时〕域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。 变换 时间域 频率域 连续傅里叶变换 连续， 非周期性 连续， 非周期性 傅里叶级数 连续， 周期性 离散， 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散， 非周期性 连续， 周期性 离散傅里叶变换 离散， 周期性 离散， 周期性 4相关编辑 [2] 变换提出 学习文档 仅供参考
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差异，基于此，傅里叶是对的。 用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如学习文档 仅供参考
此我们才不用方波或三角波来表示。 变换分类 根据原信号的不同类型，我们可以把傅里叶变换分为四种类别： 1非周期性连续信号傅里叶变换〔Fourier Transform〕 2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series) 3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换〔Discrete Time Fourier Transform〕 4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform) 下列图是四种原信号图例：
这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于电脑处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅