北师大版七年级数学上册 第五章《一元一次方程》压轴题型：数轴上的行程问题

北师大版七上第五章《一元一次方程》 压轴题型：数轴上的行程问题 【方法梳理】
1.数学思想：数形结合思想
2.解题方法：画图法，可利用①行程问题公式解答；②一元一次方程解题；
【典型例题】
例1. 如图，点O 为原点，A,B 为数轴上两点，AB=15,且OA=2OB.
（1）A,B 对应的数分别为____、_____；
（2）点A,B 分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A 、B 相距1个单位长度；
（3）点A,B 以（2）中的速度同时向右运动，点P 从原点O 以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m ，使得4AP+3OB-mOP 为定值？若存在，请求出m 值及这个定值；若不存在，请说明理由。

解析：
（1）∵OA=2OB,∴AB=3OB,∵AB=15,∴OA=10,OB=5,∴A 、B 对应的数分别为-10、5；
（2）相向而行，即行程问题中的相遇问题，A 、B 相距1个单位长度，存在以下两种情况
（3）如图3，设A 、B 出发点分别是E 、F ，由题可知OA=4t,OP=7t ，BF=3t ，∴AP=EP-EA=OE+OP-EA=15+7t-4t=15+3t, OB=OF+BF=5+3t ，∴4AP+3OB-mOP=4（15+3t ）+3（5+3t ）- m ·7t=（21-7m ）t+75，当21-7m=0时，即m=3时，4AP+3OB-mOP 有定值，定值为75；
例 2.如图，动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点A 、B 的速度比为1：3（速度单位：1个单位长度/秒）．
（1）求两个动点运动的速度；
（2）在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动2秒时的位置；
（3）若表示数0的点记为O ，A 、B 两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，OB=2OA ．
解析：
B ①A 、B 还差1个单位长度相遇时，如图1，t 相遇=S 和÷V 和=（15-1）÷ (4+3)=2(秒)
②A 、B 相遇后相距1个单位长度时，如图2，t 相遇=S 和÷V 和=（15+1）÷ (4+3)=167
(秒)O A B 1个单位长度
15个单位长度15个单位长度1个单位长度B A
O 图2图1P B A 图3
（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，根据题意得2（x+3x）=16∴8x=16，
解得：x=2，则3x=6．答：动点A的速度是2单位长度/秒，动点B的速度是6单位长度/秒；
（2）标出A，B点如图，
（3）设x秒时，OB=2OA，当B在A的右边，根据题意得：12-6x=2（4+2x），∴x=0.4，
当A在B的右边，根据题意得：6x-12=2（4+2x），∴x=10∴0.4，10秒时OB=2OA．
例3.如图，点A、B分别在数轴原点O的两侧，且1
2
OB+8=OA，点A对应数是20.
（1）求B点所对应的数；
（2）动点P、Q、R分别从B、O、A同时出发，其中P、Q均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，点R向左运动，速度为5个单位长度/秒，设它们的运动时间为t秒，当点R恰好为PQ的中点时，求t的值及R所表示的数；
（3）当t≤5时，BP+1
2
AQ的值是否保持不变？若不变，直接写出定值；若变化，试说明理由.
解析：
（1）∵A点对应的数是20，∴OA=20,∴1
2
OB+8=OA=20，∴OB=24，∴B点对应的数为-24；
（2）由题意可得：BP=2t，OQ=t，AR=5t，OR=AR-OA=5t-20，RQ=OQ+OR=6t-20，PR=AB-AR-BP=44-7t，∵R恰好是PQ 的中点，∴PR=RQ，即44-7t=5t-20+4t，解得t=4，则5t-20=0，∴R表示的数为0.
（3）由上题可知，BP=2t，AQ=OA-OQ=20-4t，BP+1
2
AQ=10，不变，定值为10
例4．如图，点A、B都在数轴上，点A表示的数是2，且AB=6
（1）点B表示的数是；
（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；
（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．o
20+24-5t-2t
5t
4t
2t
B
A
O
R Q
P
解析：（1）点B 表示的数是﹣4；
（2）﹣4+2×2=﹣4+4=0．故2秒后点B 表示的数是0，
（3）由题意可知：
①O 为BA 的中点，（﹣4+2t ）+（2+2t ）=0，解得t=12；②B 为OA 的中点，2+2t=2（﹣4+2t ），解得t=5．
例5．已知数轴上两点A ，B 对应的数分别为﹣4，8．
（1）如图1，如果点P 和点Q 分别从点A ，B 同时出发，沿数轴负方向运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点
Q 的运动速度为每秒6个单位．
①A ，B 两点之间的距离为 ．
②当P ，Q 两点相遇时，点P 在数轴上对应的数是 ．
③求点P 出发多少秒后，与点Q 之间相距4个单位长度？
（3）如图2，如果点P 从点A 出发沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q 从点B 出发沿数轴的负方向以
每秒6个单位的速度运动，点M 从数轴原点O 出发沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度运动，若三个点同时出发，经过多少秒后有MP ＝MQ ？
解析： （1）①A ，B 两点之间的距离为8﹣（﹣4）＝12．
②12÷（6﹣2）＝3（秒），﹣4﹣2×3＝﹣10．
故当P ，Q 两点相遇时，点P 在数轴上对应的数是﹣10．
③P ，Q 两点相遇前，（12﹣4）÷（6﹣2）＝2（秒），P ，Q 两点相遇后，（12+4）÷（6﹣2）＝4（秒）．
故求点P 出发2或4秒后，与点Q 之间相距4个单位长度；
（2）设三个点同时出发，经过t 秒后有MP ＝MQ ，M 在P ，Q 两点之间，8﹣6t ﹣t ＝t ﹣（﹣4+2t ），
解得t ＝
；P ，Q 两点相遇，2t+6t ＝12，解得t ＝．故若三个点同时出发，经过或秒后有MP ＝MQ ．
例6.如图,将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下,得到一条“折线数轴”.图中点A 表示—10,点B 表示10,点C 表示18,我们称点A 和点C 在数轴上相距28个长度单位.动点P 从点A 出发,以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速；同时,动点Q 从点C 出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B 运动到点O 期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t 秒.问：
(1)动点P 从点A 运动至C 点需要多少时间?
(2)P 、Q 两点相遇时,求出相遇点M 所对应的数是多少? o 图2图1o
(3)求当t为何值时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？
解析：（1）点P运动到点C时，所需时间为t=10÷2+10÷1+8÷2=19（秒）；
（2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于点M处，设OM=x，则10÷2+x÷1=8÷1+(10-x)÷2，x=16/3，∴M所对应的数是16/3；
（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种情况可能：
①动点Q在CB上，动点P在AO上时，则8-t=10-2t，∴t=2
②动点Q在CB上，动点P在OB上时，则8-t=(t-5)×1，∴t=6.5
③动点Q在BO上，动点P在OB上时，则2(t-8)= (t-5)×1，∴t=11
④动点Q在OA上，动点P在BC上时，则(t-13)×1+10=(t-15)×2+10，∴t=17
∴求当t为2、6.5、11、17时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.。