冲激函数匹配法
冲激函数系数平衡法
冲激函数系数平衡法引言冲激函数系数平衡法是一种处理一般线性微分方程的方法，它可以被认为是拉普拉斯变换的一种替代方法，但是两者之间有细微的差别。
冲激函数系数平衡法是一种数学工具，它非常重要，可以应用于电气、电子、控制工程以及其他工程领域中。
本文将阐述冲激函数系数平衡法的概念、应用、计算方法等相关知识，为读者提供一定的参考。
概念冲激函数系数平衡法是一种通过冲激函数对输入函数进行分解及对系统的冲击响应进行计算的线性微分方程的方法。
这种方法在设计控制系统时非常有用，它可以通过对系统的可调参数进行调整，使系统的行为满足预期的要求。
应用冲激函数系数平衡法被广泛应用于电气、电子、控制工程以及其他工程领域中。
其中，应用最广泛的领域当属控制系统的设计。
控制系统的目标就是要经过某种控制手段使得被控对象的输出符合预期的要求。
常见的控制系统包括PID控制器、滑模控制器等。
而冲激函数系数平衡法则是控制系统中经典的一种方法，它通过输入和输出之间的关系，来分析和设计控制系统。
计算方法冲激函数系数平衡法的计算方法包括了对线性微分方程的解析和对冲击响应的计算。
通过对输入的冲击信号进行分解，得出冲击响应函数及其对应的系数，然后再通过对系数的求解来找到系统的可调参数。
在进行具体的计算时，需要将系统的微分方程转化成为一个冲激函数的形式。
假设输入信号为单位冲击函数，然后我们可以计算出系统的冲击响应，并据此得到系统的状态响应。
系统的状态响应，是一个常数乘以冲击响应函数的线性组合，这个系数就是冲激函数系数平衡法所需要的系数。
计算时，我们还需要知道原系统的状态和输入响应，这些都可以看作是已知的数据，我们可以使用这些数据来计算出相应的系数值。
最后得出的系数值就可以用于对控制系统进行调整。
总结本文介绍了冲激函数系数平衡法的概念、应用及计算方法，控制系统的设计中经典的一种方法。
在实际的工程项目中，务必要了解和熟悉这种方法的具体使用，以便能够更加有效地处理控制系统中的复杂问题。
冲激函数
一冲激函数的定义在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。
对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。
1 单位冲激函数的普通数学定义定义有多种方式，其中定义1设有一函数P(t)当n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。
这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。
定义2 狄拉克（Dirac）定义上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。
2 单位冲激函数的广义定义选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。
根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。
按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。
如将(1)式中的函数看做广义函数，则有：当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得比较以上两式，得按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如:δ(t)=高斯钟形函数δ(t)=取样函数δ(t)=双边指数函数等等而对于离散的δ[n]定义很简单:δ[n]=1,(n=0)δ[n]=0,(n 0)二 冲激函数的性质 1.微分性质冲激函数δ(t)的一阶导数可定义为:通常称δ‘(t )为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示冲激偶信号两个重要性质n 阶导数为:由于选好了性能良好的检验函数空间中，广义函数的各阶导数存在并属于缓增广义函数空间中，广义函数的求导运算和求极限运算可以交换次序，这就摆脱了普通函数求导求极限运算的限制，分析更加灵活简便。
第6讲 系统的单位冲激响应与单位样值响应
( t ) Em 1 ( t ) Em ( t )
1
8
(2) h(t)解答的形式
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次 解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
n it h( t ) Ai e u( t ) i 1 ②与n， m相对大小有关 当n m时，h t 不含 t 及其各阶导数；
ˆ(t ) ˆ(t ) d n h d n 1 h ˆ(t ) (t ) a a h n 1 0 dtn d t n 1
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。 可以由此定初始条件
( n 1 ) ( n 2 ) h (0 ) 1, h(0 ) h(0 ) (0 ) h (0 ) 0
冲激响应的求解至关重要。
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应会 简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
17
2 离散系统单位样值响应的确定
一．单位样值响应
( n)
系统
h( n)
即 n作用下，系统的零状态 响应，表示为 hn
h k 0 k 1,2,3, N
1 RC
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
已知方程
d vC ( t ) RC vC ( t ) ( t ) dt
冲激响应
求导 代入原方程
vC ( t ) Ae
t RC
u( t )
t t 1 RC RC RC A e u ( t ) R CA ( t ) A e u( t ) ( t ) RC 整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
信号和系统
t
ht
H
二．阶跃响应 1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响 应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。
ut
gt
H
系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程 的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶 跃响应关系求阶跃响应。
f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0)dt f (t0)
2、δ(t) 的尺度变换
(at) 1 (t)
a
(at t0)
1 a
(t t0 )
a
f (t) (at)dt 1 f (0)
a
f (t) (at t0 )dt
Hale Waihona Puke 1 af (t0 ) a
这里 a 和 t0为常数，且a0。
y(t) e2t 3 yx (t) y f (t) (2e2t 4et ) (e2t 4et 3)，t 0
强迫响应
自由响应
零状态响应 零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响
应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表
2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所
信号与系统习题
因为方程（1）在t>0时，可写为
d2 r(t ) + 3 d r(t ) + 2r(t ) = 6u(t )
dt2
dt
（2）
显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程 （2）求得
D=3
所以方程（1）的解为
( ) r t = A1 e−t + A2 e−2t + 3
（3）式的特征根为 α1 = −1，α2 = −2
方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为
( ) rzi t = B1 e−t + B2 e−2t
第 22页
（3）
X
11
第 23页
( ) rzi t = B1 e−t + B2 e−2t
( ) ( ) 由rzi 0+ = 2，rzi′ 0+ = 0，代入(4)式解得
下面由冲激函数匹配法定初始条件。
X
第
由冲激函数匹配法定初始条件
20页
据方程（1）可设
d2 r(t
dt2
)
=
aδ
(t
)
+
bΔu(t
)
d r(t ) = aΔu(t )
dt
r(t )无跳变
代入方程（1），得
aδ (t)+ bΔu(t) + 3aΔu(t) + 2r(t) = 2δ (t) + 6u(t) 匹配方程两端的 δ (t ) ，及其各阶导数项，得
(t
)
+
6u(t
)
方法一：利用r′(0 + ), r(0 + )先来求完全响应，再求零输入
第二章 连续LTI系统微分方程式的建立
齐次解的形式
Aet
A1et A2tet Ak t e k 1 t A1eatcosbt A2eatsinbt
7
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
8
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为
9
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
rzs
(t)
2et
1 2
e2t
3 2
,
t 0
r(t)
rzi (t)
rzs (t)
4et
3e2t
2et
1 2
e2t
3 2
零输入响应
2et 5 e2t 3
2
2
零状态响应
暂态响应 稳态响应
自由响应 强迫响应
41
信号与系统
四、全响应
习题2-6（2）
分析过程
ut :
表示0 到0 相对单位跳变函数
29
信号与系统d r(t) 3r(t) 3 (t)
dt
数学描述
方程右端含 (t) 项，它一定属于 d r(t)
dt
设
d r(t) a (t) b (t) cu(t)
dt
则
r(t) a (t) bu(t)
信号与系统
§2.1 引言
一、系统数学模型的时域表示法
输入输出描述： 一 元 N 阶微分方程 状态变量描述： N 元 一 阶微分方程
1
信号与系统
二、系统分析过程
列方程 解方程
经典法： 全解=齐次解+特解
冲激响应和阶跃响应
2e(t)
解： 将 e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d2 h(t ) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t) dt
2
(t)
求特征根 2 4 3 0 1 1, 2 3
n 2, m 1, n m
ht 中不包含冲激项
冲激响应
h(t ) ( A1et A2e3t )u带(t )u(t)
1 2
hˆ(t ) 1 et e3t u(t )
2
则由系统的线性时不变特性
h(t) dhˆ(t) 2hˆ(t) dt
ht 1 et 3 e3t u(t ) 1 et 1 e3t (t ) et e3t u(t )
2
2
2
2
1 et e3t u(t) 2
系统框图
e RC u t
方法 2：奇异函数项相平衡原理
已知方程
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
(t)
冲激响应
t
vC (t) Ae RC u(t)
求导
d vC (t) A (t)
A
1t
e RC u(t )
dt
RC
注意其中 (t) 项！
RC
1
t
Ae RC
u(t )
RCA
(t)
t
Ae RC
u(t )
(t)
奇异函数项相平衡原理已知方程冲激响应求导注意其中rcrcrcrcrc整理方程左右奇异函数项系数相平衡波形注意其中时有一冲激这就是电容电压突变的原因3n阶系统的冲激响应1冲激响应的数学模型对于线性时不变系统可以用一高阶微分方程表示响应及其各阶导数最高阶为n2ht解答的形式由于时都为零因而方程式右端的自由项恒等于零这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同
信号与系统课件(郑君里版)第二章
e ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= 2 t ，t≥0；y(0)= 1， e
t
-1
y’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为
2 + 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为
yh (t ) C1e2t C2e2t
由表2-2可知，当f(t) = 2 e t
y fh (t ) C f 1e
2t
C f 2e
t
其特解为常数 3 ， 于是有
y f (t ) C f 1e2t C f 2et 3
C1 1 C 2 4
根据初始值求得:
y f (t ) e2t 4et 3，t 0
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响 应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表 示。
t
ht
H
[例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其 冲激响应h(t)。
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。
y (t ) e 2t 3 y x (t ) y f (t ) (2e 2t 4e t ) (e 2t 4e t 3)，t 0