完全数是什么
人教版数学五年级下册复习讲义
人教版五年级下册《数学》复习讲义绿峨小学◆各单元知识要点◆------ 第一单元 ----------------------------------1第二单元 ----------------------------------2第三单元 ----------------------------------5第四单元 ----------------------------------9第五单元 ----------------------------------12第六单元 ----------------------------------13第七单元 ----------------------------------15◆各单元测试题◆---------第一单元 ----------------------------------16第二单元 ----------------------------------19第三单元 ----------------------------------21第四单元 ----------------------------------23第五单元 ----------------------------------27第六单元 ----------------------------------31第七单元 ----------------------------------34◆期末测试卷◆ -------------期末测试卷 1------------------------------38期末测试卷 2------------------------------43期末测试卷 3------------------------------48期末测试卷 4------------------------------ 51◆答案◆ -------------第一单元答案 ----------------------------------55 第二单元答案 ----------------------------------56 第三单元答案 ----------------------------------57 第四单元答案 ----------------------------------58 第五单元答案 ----------------------------------59 第六单元答案 ----------------------------------60 第七单元答案 ----------------------------------61 期末测试卷 1 答案 ----------------------------62 期末测试卷 2 答案 ----------------------------63 期末测试卷 3 答案 ----------------------------64 期末测试卷 4 答案 ----------------------------65人教版五年级数学下册知识点归纳总结一、图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
什么是多完全数？
什么是多完全数？ 什么是多完全数？有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数〔本身不包括在内〕加起来，正好等于这个自然数自己。
例如，6的除数有1、2、3〔6不包括在内〕，且有6=1+2+3。
又如，28的所有的除数为1、2、4、7、14〔28不包括在内〕，且有28=1+2+4+7+14。
象这样的数，我们就称之为〝完全数〞〔〝完数〞〕。
〝完数〞这个名称具有神秘的色彩，意思是〝完美的数〞。
如古代意大利人就把6看做属于爱神维纳斯的数，它象征着美满的婚姻。
完数在自然数中很少。
据统计，在一到四千万这么多的自然数里，只有七个完数，它们是6，28，496，8128，120816，2096128，33550336。
如果一个正整数全部因子〔包括它本身〕之和等于这个数的某个整数倍，我们就称这个数为多完全数。
如120全部因子为1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
这些因子之和为360，360正好是120的三倍。
所以，120是一个多完全数，而倍数3称为这个完全数的指标。
早在古希腊时期，数学家欧几里得曾得出一个表达部分完全数的公式：N=2n-1〔2n-1〕。
多完全数规律性比完全数差，难以找到一定的公式，只有用计算机来寻找较大的多完全数。
过去，人们竭尽全力只找到大约700个多完全数，其中最大的具有〝指标〞8。
最近美国科罗拉多州的数学家弗雷德·海仑尼乌斯编制了一套计算机程序，将多完全数的个数扩大到了1288个。
其中包括14个天文数字的大数，它们的〝指标〞为9，而最大的数有588位。
据理论研究，对于每一个〝指标〞，只有有限多个多完全数。
〝指标〞为3的多完全数只有6个；〝指标〞为4的多完全数只有36个；〝指标〞为5的多完全数只有65个。
然而〝指标〞为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们几乎都是海仑尼乌斯发现的。
人们在探索中发现，随着多完全数数字的变大，它的分布密度越来越稀疏。
苏教版五年级最大公因数及最小公倍数
9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100
个位上是____ 0 或____ 5 的数，是 5 的倍数。
下面哪些数是 2 的倍数? 哪些数是 5 的倍数? 哪些数既是 2 的倍数也是 5 的倍数?
24 35 67 90 99 15 60 75 106 130 521 280
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
偶数: 98、988、0、3 678、1 000、5 656。
5 的倍数的特征
学号是 5 的倍数 的同学请举手。
哪些数是 5 的倍数?
在下表中找出 5 的倍数，并涂上颜色。看看有
什么规律。
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
可能是 7，14， 21，42。
我知道了， 是____ 42 。
( 2)
我的最大因 数和最小倍 数都是 18。
18
( 3)
1
我的最小 倍数是 1。
14 是 7 的倍数，21 是 7 的倍数。
14 和 21 的和是 7 的倍数吗?
18 是 9 的倍数，27 也是 9 的倍
数。18 和 27 的和是 9 的倍数吗?
你有什么发现?
2. 2、5、3 的
高中数学各种数的概念如质数
高中数学各种数的概念如质数
质数是指大于1的整数中，除了1和它本身外没有其他因数的数。
换句话说，质数只能被1和它本身整除，不能被其他整数整除。
质数在数论中起着重要的作用。
它们具有独特的性质，不仅在数学中有一些特殊的应用，而且在密码学等领域也有广泛的应用。
数学家们一直在研究质数的性质和规律，但至今仍有很多未解之谜。
质数的概念可以进一步拓展到素数和完全数。
素数是指只有1和它本身两个因数的数。
与质数类似，素数也是数论中的重要概念。
事实上，素数是质数的一个子集，即质数也是素数，但素数不一定是质数。
例如，9是素数，但不是质数，因为它有三个因数：1、3和9。
完全数是指除它本身之外的所有因数之和等于它本身的数。
例如，6是一个完全数，因为它的因数为1、2、3，它们的和恰好等于6。
完全数的研究可以追溯到古希腊时期，欧几里得对完全数的研究做出了重要贡献。
质数、素数和完全数都是数论中的重要概念，它们的研究对于理解数学的性质和规律具有重要意义。
同时，质数和素数在密码学和安全通
信中起着关键作用，因为它们的特性可以用于构建加密算法和安全协议。
因此，了解和掌握这些数的概念和性质对于高中数学学习是必要的。
人教版五年级下册-因数和倍数
( ×) (√ )
1﹑一种数旳最大因数是17,这个数是( ),它旳最 小旳因数是( ),17旳因数旳个数是( ), 一共有 ( )个.
2﹑一种数旳最小倍数是17,这个数是( ),它( )最 大旳倍数,17旳倍数旳个数是( ).
3﹑在4、8、16、32、64、84、100这些数中， 40旳因数有（ ），80旳因数有（ ）， 16旳倍数有（ ）。
11 × 4＝44 12 × 5＝60 9 × 8＝ 72 45 ÷ 3＝15 12 ÷ 5＝2.4 8 × 2.5＝20 13 ÷ 4＝3……1
0 3 4 7 15 16 77 3.1 中,选择两个数,说一说谁是谁旳因数,谁 是谁旳倍数.
为了以便，我们在研究 倍数和因数时，所说旳数一 般指不是0旳整数。
28也是完全数，而8则不是，因为1+2+4=7。完全数非常稀少，到2023年，人们在 无穷无尽旳自然数里，一共找出了40个完全数，其中较小旳有6，28，496，8128等。
你懂得吗？
12345689 10 12 15 18 20 24 30 36 60
36旳因数
选一选
60旳因数
圈出下列数中8旳倍数。
为了以便，在研究因数和倍数旳时候，我 们所说旳数一般指旳是整数（不涉及0）。
下面旳每一组数中，哪个数是哪个 数旳倍数，哪个数是哪个数旳因数， 说出为何？
16和2 4和24
99和33 20和5
判断：
1、2.4是0.6旳倍数。X
2、因为72÷8=9，所
以72是倍数，9是因 X
数。
25÷4=6······1 问：25是4旳倍数吗？
（2）15旳倍数一定不小于15。………………………×（ ）
（3）1是除0以外全部自然数旳因数。 ……………（√ ）
趣味数学086：完全数公式
完全数公式前面，在“从一个数的约数谈起”一文中，介绍了求一个数的约数总和的公式：如果一个数N ＝ɑi b j …c k ，其中ɑ、b 、…、c 是N 的质因数，i 、j 、…、k 是这些质因数的幂指数。
N 的所有约数的总和等于：111--+a a i ×111--+b b j ×…×111--+c c k 同时，还介绍了求偶完全数的欧几里得公式。
2n-1(2n －1)式中，n 是大于1的自然数，并且2n －1是质数。
其实，偶完全数欧几里得公式，可以从约数和公式推出来。
下面就是推导的过程：完全数的定义是：如果一个数的真约数之和等于这个数，或者一个数的所有约数之和等于这个数的2倍，这个数就是完全数。
按照完全数的定义，最小的完全数是6。
6是偶数，把6分解质因数6＝2×3。
进而推想，偶完全数分解质因数后，一定等于若干个2与若干个奇质数乘幂的积。
如果把若干个2的积记作2m ，(m ≥1)，把若干个奇质数乘幂的积记作p ，那么，偶完全数就可以记作2m p 。
根据约数总和公式，2m 的约数总和等于12121--+m ＝2m+1－1。
设p 的真约数之和是q ，那么，p 的约数总和就是p ＋q 。
于是，偶完全数2m p 的约数总和就是(2m+1－1)(p ＋q)。
因为完全数的约数总和等于完全数的2倍，所以，(2m+1－1)(p ＋q)＝2×2m p ＝2m+1p 。
化简，(2m+1－1)(p ＋q)＝2m+1p2m+1p ＋2m+1q －p －q ＝2m+1p (乘开)2m+1q －q ＝p (消项，移项)2m+1－1＝p/q (除以q)2m+1－1是一个整数，p/q 等于一个整数，并且，因为m ≥1，所以2m+1－1≥3，说明q 是p 的真约数。
而前面已经假设q 是p 的真约数之和，这就意味着，q是p唯一的真约数。
那么，什么样的数只有一个真约数呢？只有质数，并且这个真约数只能是1，即q＝1。
最全面人教版数学五年级下册知识点归纳总结(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。
一、图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，学过的轴对称平面图形：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
※圆有无数条对称轴。
①对称点到对称轴的距离相等；②对对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
对称图形包括轴对称图形中心对称图形。
平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、旋转要注意：顺时针、逆时针、度数因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
3、大数是小数的倍数， 小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
数字知识测试题及答案大全
数字知识测试题及答案大全一、选择题1. 数字0在自然数中属于哪一类？A. 奇数B. 偶数C. 素数D. 合数答案：B2. 以下哪个数字是最小的素数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 100以内最大的两位数是哪一个？A. 99B. 100C. 98D. 97答案：A4. 以下哪个数字是2的倍数？A. 7B. 9C. 10D. 11答案：C5. 什么是数字的因数？A. 能被该数字整除的数B. 该数字的平方根C. 该数字的立方D. 该数字的倒数答案：A二、填空题6. 一个数的最小倍数是______。
答案：它本身7. 两个连续的自然数的最小公倍数是______。
答案：这两个数的乘积8. 一个数的约数的个数是奇数个，这个数一定是______。
答案：素数9. 一个数的质因数分解是指将这个数分解成______。
答案：若干个素数的乘积10. 一个数的平方根是它本身的数有______。
答案：0和1三、判断题11. 所有的偶数都是合数。
（）答案：错误12. 任何数的0次幂都是1。
（）答案：错误（0除外）13. 一个数的平方根有两个值。
（）答案：正确14. 一个数的绝对值总是非负数。
（）答案：正确15. 奇数加奇数的结果总是偶数。
（）答案：正确四、简答题16. 什么是完全数？答案：一个数恰好等于它的所有正除数（除了它本身）的和，这个数就被称为完全数。
17. 请解释什么是斐波那契数列。
答案：斐波那契数列是一个每一项都是前两项和的数列，以0和1开始，之后每一项都是前两项的和。
18. 什么是欧拉函数？答案：欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
19. 什么是素数定理？答案：素数定理描述了素数在自然数中的分布，它指出小于或等于x的素数的数量大约是x/ln(x)。
20. 什么是欧拉恒等式？答案：欧拉恒等式是e^(iπ) + 1 = 0，它被认为是数学中最美的公式之一，因为它简洁地联系了五个基本数学常数：e、i、π、1和0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
完全数是什么？
王锦根 皖黄山市黄山区装饰局 245700
摘要：通过完全数的求证和推导，推导出完全数公式，并利用完
全数公式得出奇完全数是不存在的，并且证明完全数的尾数为6或8。
关键词：完全数 完全数公式
一、概 念
已知自然数 a 和 b ，如果 b 能够整除 a ， 就是说 b 是 a 的
一个因数，
也称为约数。显然，任何自然数 a ，总有因数 1 和 a ，我们
把小于 a 的因数叫做 a 的真因数。
完全数：一个自然数等于它的真因数之和，这个数便称为完全数。
如：
6 的真因数 1，2，3， 且有 6=1+2+3，
28 的真因数 1，2，4，7，14， 且有 28 = 1+2+4+7+14
……
二、完全数的几个性质
完全数有许多有趣的性质：
2
1、它们都能写成连续自然数之和。
如： 6 = 1+2+3 ；
28 = 1+2+3+4+5+6+7 ；
496 = 1+2+3+……+30+31；
……。
2、它们的全部因数的倒数之和都是2。
如： 1/1+1/2+1/3+1/6 = 2，
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2，
……。
3、完全数公式：
设
)(
2211Nakpppppiiknnkiikk
为素数，
依据定义
akkiaknnkiikkknnkiikkppppppppppppppp)21()
1
)2111)
211
1
11(
1(1(
111
1
221
1
如果
)21()1)2111)2111211(1(1(11112211knnkiikkknnkiikkpppppppppppppppkkia
则 a 便是完全数，上述公式便是完全数公式。
3
三、完全数公式的应用
有了完全数公式，对于一个数是否是完全数，只要代入公式一试
即可。
例1、 a = 2n×p k 是完全数的条件是什么？（p为奇素数，k∈N ）
解：按完全数公式得
2 ×2n × pk =（ 1 +2 + 22 + … + 2n ）×（1+ p + p2 + … +
pk ）
= 2n+1 × pk =（ 2n+1 - 1 ）×(pk+1-1) / (p-1)
∵ ( 2n+1，2n+1- 1 ) = 1, ( pk ，1+ p+ p2+…+ pk ) = 1，
当且仅当 2
n+1= ( pk+1-1 ) / ( p-1 ) ， p k= 2n+1
- 1 ，→ p
( pk-1- 1 ) = 0。
∵ p ≠ 0 ，1。 ∴ k = 1 ， p = 2n+1 - 1 。
∴ a = 2n×pk 是完全数的条件是 k = 1 ， p = 2n+1 - 1 ，即
是人们所说的偶完全数。
从 2
n+1
- 1分解看，n+1 必为素数，因此偶完全数还可表示为 a
= 2 p-1 ×（2p-1），其中：2 p -1 为素数。
由于2
p
- 1 为是梅森素数，所以有多少梅森素数，至少有多少
偶完全数。
现在我们解释一下，为什么完全数有性质1现象，因为1+2+3…
4
+（2p-1）＝（1+2p-1）×（2p–1）/2＝2 p-1 ×（2p-1），所以有性
质1现象。
（注：其实2
n+1= ( pk+1
-1 ) / ( p-1) ，根据不可约原理。
当K=4L+1时，左边为2因子，右边含有奇数因子。
当K=4L-1时，得出p=3是不符合条件
当且仅当 k＝1时，p = 2
n+1
– 1
例2、a = 2×p k 是完全数的条件是什么？
解：按完全数公式得
2 ×2 × pk =（ 1 +2 ）×（1+ p + p2 + … + pk ）
pk=3 ，k=1，p=3，a=6 ，是偶完全数的一个特例。
例3、 求 22112kknppa 为完全数的条件（P1 ，P2 为奇素数，k1，
k2∈N）。
解：按完全数公式有
)1)1()1(212122111111221122ppppppkknkkn
按不可约原理设
第一种情形：
111221111111111212211111122
ppppppppknkkkkn＝，＝，
＝
化简整理得：
)1(
2
21121
ppppk＝，
5
k2=1， p2=1 (不符合题意)，即分解后只能有一个奇素数，又回
到例1的情形，故该题无解。
第二种情形：
121121111122121221111＝，
k
k
n
p
p
ppp
p
n
kk
一样得到无解的结果。
由例1、例2得出偶完全数形式只能是a = 2p-1 ×（2 p - 1 ），
其中 2p -1 为素数。
例4、 求 a = p k 是否为完全数？（ p 奇素数，k ∈N ）
解：按完全数公式
2×p k = （1 +p + p 2 +… + pk）= (pk -1)/(p-1) + pk
∵左边＝2×p k，右边＝(pk -1)/(p-1) + pk＜2×p k
∴ 该题无解， a = pk 不是完全数。
例5、求2211kkppa（P1，P2 为奇素数，k1，k2∈N）
是否为完全数？
解：按完全数公式
)
1)1(212122111112211ppppppkkkk
设
6
)2(1122)1(1111112122112ppppppkkkk＝
，＝
将（1）式代入（2）式整理得
P1×P2k2+1= （2×P2k2-1) ×( P1+ P2-1)
按不可约原理得
P1=2×P2k2-1， P2k2+1=P1+P2-1，→(P2k2-1) ×(P2-2)=0。
∵P2 ≠2，∴k2＝0，P1＝1不符合题意，所以2211kkppa不是完
全数。
从例4，例5 情形可以得出奇完全数是不存在的。
例6、为什么完全数的末尾数不是6就是8？
解：由于n＝1不是素数，这里分析时不予以考虑，对于特殊素
数2，完全数6是偶完全数的一个特例，我们可以从3开始分析。
对于2n来说，随着n的增加，末尾数呈现2，4、8，6的循环，
对n为奇数来说， 2n-1、2n、2n-1（2
n
-1）的末尾数如下：
n 2n-1 2n 2n-1 2n-1（2n-1）
3 4 8 7 8
5 6 2 1 6
7 4 8 7 8
9 6 2 1 6
7
11 4 8 7 8
13 6 2 1 6
…… …… …… …… ……
因为p∈n，所以2p-1（2
p
-1）末尾数为6或8。
参考资料：
1、《中国少年儿童百科全书 》（科学、技术） P142-143， 浙江教
育出版社 。
二〇〇六年九月九日修改