第1讲 有理数的认识
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(一)有理数的分类:
????????
??????? 正整数
正数 正分数有理数零 (常用分类) 负整数 负数 负分数 ????????????????? 正整数 整数 零 负整数有理数 正分数 分数 负分数 类型1:对于数集的认识。
数集:把具有相同性质的一类数放在一起,所组成的整体叫数集(或集合)。 例:将下列各数填入到对应的集合内。 14-
、0、3+、1.2、1
23
-、1、4.5、0.5-、9-、20%、()2--、4。 正数集合
}{ 正分数集合}{ 整数集合}{
非正数集合}{
类型2:对于正负数实际含义的理解。
例:若把火车站记作基准点,把火车站向东5千米处,记作5+,那么把火车站向西12千米处,应记作: ;那么20-所表示的实际意义是 。 (二)数轴:(为了直观地把有理数呈现出来,引出数轴。) 数轴的三要素:正方向、原点、单位长度(如图)。
例1:在数轴上画出2-、5这两个点,观察这两个点的位置有怎样的特点?
例2:灵活利用单位长度,在数轴上画出点a 和点3a (其中0a >)?
(三)有理数的比较大小:
类型1:数轴比较法。(把一组数在数轴上表示出来,越靠右,值越大;反之值越小。) 例:把下面一组数按从大到小....排列。 2.5-、54、3、32-、5+、1-、1
2
、0、4。
类型2:法则比较法。(负数<0<正数;两个负数,绝对值大的反而小。) 例:在空格处填入适当的符号。
0.01- 0.01; 1.5- 0.1; 0 2-; 4-- 0; ()
2--
2
-。
1、下列说法正确..
的是 ( ) A 、所有的整数都是正数 B 、不是正数的数一定是负数
C 、0不是最小的有理数
D 、正有理数包括整数和分数
2、如果水位下降3m 记作3m -,那么水位上升4m 记作 ( )
A 、4m -
B 、7m -
C 、4m
D 、7m
3、下列四个数中,在2-和0之间的数是 ( )
A 、1-
B 、1
C 、3-
D 、3
4、在
1
2
、0、 1.2-、2-、2、1- 这几个数中,最小的数是 ( ) A 、
1
2
B 、0
C 、1.2
D 、2- 5、在有理数中,最大的负整数是 ,最小的正整数是 ,最小的自然数是 。 、 和 统称有理数。
6、数轴上表示数2的点在原点的 边,距原点 个单位长度;若a 为任意一个正数,则a -点在原点的 边,距原点 个单位长度。
7、在 2.5-、
227、34-、0、3-、()1--、|2|--、1-、12??
- ???
这一组数中,属于正数集合的数有 ,属于负分数集合的数有 。
8、在145 的45个正整数中,先将45个整数的因数全部删除,再将剩下的整数由小到大排列,则第10个整数是 。
9、在数轴上表示出()1--、2-、3-、4-这四点,并把这组数从小到大....用“<”号连接起来。
10、把下列各数填在相应的大括号里。 2+、()1-+、()2+-、0、32、()10--、13-、107、34+、0.5、7、3
2
--。 正整数集合:}{ 负整数集合:}{ 整数集合:
}{
正分数集合:}{
(一)找规律填数:
在小学的时候,我们就接触到数字的找规律题目。但我们现在已经把数的概念扩展到了有理数的范畴,下面我们就来了解有理数中的找规律问题。 类型1:“逐个运算”
例:1、4、7、10、
()、()、()、()。
类型2:“隔行跳”
例:1、2、5、4、9、6、
()、()、()、()。
类型3:“连续运算”
例:1、1、2、4、7、13、()、()、()、()。 其它:(1)1、4、9、16、25、
()、
()、
()、()。 (2)1-、1、1、1-、1-、1、1、1、1-、
()、
()、
()、
()。
练习:观察下面几组数的规律,在括号中填入适当的数。
(1)4、7-、10、13-、()、()、()、()。 (2)2-、3、4-、6、8-、9、()、()、()、()。 (3)0、1、3、4、8、15、27、
()、
()、
()、
()。
(4)
(二)有理数的比较大小:
我们已经学到了两种比较数值大小的方法(数轴比较法、法则比较法),下面我们再来了解一下几种比较数值大小的方法。
类型1:作差法(把两数值做减法运算,再与0比较大小。若0a b -=,则a b =;若0a b ->, 则a b >;若0a b -<;则a b <。) 例:在空格上填上恰当的符号:
34 23;57- 2
3
-。 类型2:作商法(把两数值做除法运算,再与1比较大小。若两数同正时,商大于1,则分子大;反之分母大。若两数同负时,商大于1,则分子小;反之分母小。 例:在空格上填上恰当的符号:89-
910-;20112012 20102011
。 以上是我们常见的几种方法,当然数的比较大小还有同分子法、倒数法、中间值法、凑整余数法、赋值法等等,这些方法我们会在以后的学习中相继遇到。
第1讲 有理数的认识习题训练
1、在1
2
-
、|3|+-、3-、()2--、2π、20%-这一组数中,正数的个数 ( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
2、在2
2-、()23-、()2--、3--、()3
2-这一组数中,负数个数为 ( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、在5-、0.1-、 2.5-、0.01-、2-、21-这一组数中,最大的数是 ( )
A 、21-
B 、0.1-
C 、0.01-
D 、5-
4、下列有理数大小关系判断正确..
的是 ( ) A 、()45-->-- B 、010>- C 、33-<+ D 、10.01->-
5、如图1所示,m 、n 是数轴上两个点,则下列判断正确..
的是 ( ) A 、0>m B 、0
6、有理数a 、b 在数轴上的位置如图2 所示,则下列式子中成立..
的是 ( ) A 、a b > B 、a b < C 、0ab > D 、
0a
b
> 7、如图3 所示,a 、b 、c 表示数轴上的三个数,则下列判断正确..
的是 ( ) A 、b c < B 、b c > C 、a b < D 、a c >
8、有一组数1-、
23、35-、47、5
9
-……。按照这样的规律,则第6个数是 ( ) A 、610-
B 、610
C 、611
- D 、6
11
9、如图4中,正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2012应标在 ( )
A 、第502个正方形的左下角
B 、第502个正方形的右下角
C 、第503个正方形的左下角
D 、第503个正方形的右下角
10、若世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2011年、2012年举办。若这三 项运动会均每四年举办一次,则这三项运动会不会在下列哪一年举办 ( )
A 、公元2070年
B 、公元2071年
C 、公元2072年
D 、公元2073年
11、在数轴上表示3-的点与表示2-的点之间的距离是 ;表示3-的点与表示2的点之间的距离是 。
12、已知点A 从原点开始移动,若向右移动3个单位长度,得到B 点为 ;若点A 先向左移动4个单位长度后,接着再向右移动5个单位长度,得到C 点为 。 13、若1
2.33
2
x -<≤,则x 的整数值有 个,它们的和是 。 14、比较大小:|3|- π;12-
13
-;()23- ()3
2-。 15.观察下列球的排列规律(其中●是实心球,○是空心球)。
从第1个球起到第2012个球止,共有实心球 个。
16.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图5 所示的规律拼成若干个图案。
(1)第4个图案中有白色地面砖 块;(2)第n 个图案中有白色地面砖 块。
17、观察图6中的数字寻找规律,在“?”处填上的数字是 。
18、把()5--、 1.5-、2
2-、0、1+-、3-、()2
2-这一组数,按从大到小....
的顺序排列。
19、将下列各数填入相应的集合内: ()2
2-、16
-
、2.5、324-、()0.5+-、0、47、5%、15-、2
1-、()23-。
整数集合:}{ 正有理数集合:}{ 分数集合:
}{
负有理数集合:}{
20、观察下列的算式,找规律,完成下面的题目。
111122=-?,1112323=-?,1113434=-?,111
4545
=-?, …… (1)则第10个算为 = ; (2)第n 个算式为 = 。 (3)求
11111
26122030
++++的值?
有理数的简便计算练习题
小专题一) 有理数的混合运算 1.计算: (1)(-8)-(+3)+(-6)-(-17); 解:原式=-8-3-6+17 =0. (2)-1.3+4.5-5.7+3.5; 解:原式=(-1.3-5.7)+(4.5+3.5) =1. (3)-9+6-(+11)-(-15); 解:原式=-9+6-11+15 =(-9-11)+(6+15) =-20+21 =1. (4)34-72+(-16)-(-23 )-1; 解:原式=34-72-16+23 -1 =-134 . (5)113+(-25)+415+(-43)+(-15 ). 解:原式=[113+(-43)]+[(-25)+(-15)]+415 =0+(-35)+415 =-13 . 2.计算:
(1)23÷12×4; 解:原式=23×2×4 =184. (2)(-12)3×82; 解:原式=-18×64 =-8. (3)(-3)×(-56)÷(-114); 解:原式=-3×56÷54 =-3×56×45 =-2. (4)18-6÷(-2)×(-13); 解:原式=18-6×(-12)×??? ?-13 =18-1 =17. (5)2-(-4)+8÷(-2)+(-3). 解:原式=2+4-4-3 =-1. 3.计算: (1)-14-2×(-3)2÷(-16); 解:原式=-1+2×9×6 =-1+108
=107. (2)(-2)2×7-(-3)×6-|-5|; 解:原式=4×7+18-5 =28+18-5 =41. (3)8-23÷(-4)×(-7+5); 解:原式=8-8÷4×2 =8-4 =4. (4)-32+5×(-85 )-(-4)2÷(-8); 解:原式=-9-8+2 =-17+2 =-15. (5)(-43)÷29 -16÷[(-2)3+4]; 解:原式=-43×92 -16÷(-4) =-6+4 =-2. (6)(-1)3×(-12)÷[(-4)2+2×(-5)]. 解:原式=12÷(16-10) =12÷6 =2. 4.计算: (1)(-4)2×(-2)÷[(-2)3-(-4)];
第一讲六年级有理数的定义
第一讲 有理数的定义 【知识网络】 ?? ??? 有理数的定义与分类有理数的定义数轴与相反数绝对值 模块一:有理数的定义与分类 【引例】 1. 小明的姐姐在银行工作,她把存入3万元记作+3万元,那么支取2万元应记作_______, -4万元表示________________. 2. 向东行进-50m表示的意义是……………………………………………………〖 〗 A.向东行进50m B.向南行进50m C .向北行进50m D.向西行进50m 3. 任意写出5个正数:____________________;任意写出5个负数:_____________________. 【知识导航】 1. 正、负数的概念 (1) 正数: 的数叫做正数。 小学算术中学过的数(除了0)都是正数。 如:3,0.78,611 ,200%(也可写作+3,+0.78,61 1 +)等是正数。它们都比0大。 (2) 负数:在正数前面加上“-”(读作“负”)号的数,叫做负数。 如:-33,-3.141592,45 - 等是负数。它们都比0 。 2. 有理数的分类 正整数、零和负整数统称 ,正分数和负分数统称 。整数和分数统称 。 (数学上,有理数是两个整数的比,通常写作b a ,这里 b 不为零。分数是有理数的通常表达方法,而整数 是分母为1的分数,当然亦是有理数。) (1)按整数分数关系分类 (2)按正数、负数与0的关系分类
3. 生活中的有理数 具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示,另一个量就用负数来表示,到底用正数,还是用负数来表示其中的一个量,只是我们的一种规定,但也常遵守人们的习惯。比如人们习惯用正数表示零上温度,用正数表示收入等。 1)如果汽车向西行驶150m ,记做+150m ,那么向东行驶55m ,就记做 m 。 2)零度以上的气温用 表示,零度以下的气温用 表示。 3)水面比警戒线高4m ,记做+4m ,比警戒线低4m ,记做 m 。河流沿岸人们关注水位的升降,当水位为一个很大的正数,就要防洪;水位为一个很小的负数,就要抗旱。 【典型例题】 例1.(1) 下列说法正确的是( ) A. 整数,分数和负数称为有理数 B. 有理数分为正有理数和负有理数 C. 正整数都是整数,整数都是正整数 D. 0是整数,也是自然数 (2)给出下列各数:-3,0,+5,213-,+3.1,2 1 -,2004,+2008.其中是负数的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 例2.下列说法是否正确?正确的打“√”,错误的打“×”,并说明理由。 (1)前进2km 记作+2km ,那么-5km 就表示后退-5km 。( ) (2)有理数中不是正数的数就是负数。( ) (3)有一种记法,80分以上如88分记为+8,某学生得分为74分,应记为-6分。( ) (4)负整数和非负整数统称为整数。( ) 例3.下列结论中正确的是( ) A. 0既是正数,又是负数。 B. 0是最小的正数。 C. 0是最大的负数。 D. 0既不是正数,也不是负数。 例4.数学考试成绩85分以上为优秀,以85分为标准,老师将某一小组五名同学的成绩简记为:+9,-
浙教版初一奥赛培训第01讲 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性. 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算: 分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.
注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算. 例2计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算. 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789 =211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000. 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n. 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n. 下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有 当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有 例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1. 现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然
第一讲有理数分类练习题
有理数练习题 1 1、有理数的分类: (1)按定义分类: (2)按性质符号分类: ???????????? ?????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ???????????? ??? 负分数 负整数 负有理数正分数 正整数 正有理数 有理数0 2、把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里. 一、选择题 1、下面说法中正确的是( ) A 、在有理数中,0没有意义 B 、正有理数和负有理数组成全体有理数 C 、0.3既不是整数,也不是分数,因此它不是有理数 D 、0既不是正数,也不是负数 2、下列各数: 中( ) A 、只有1,–7,+101,–9是整数 B 、其中有三个数是正整数 C 、非负数有1,8.6,+101,0, D 、只有是负分数 3、下列说法正确的是( ) A 、3.14不是分数 B 、正整数和负整数统称为整数 C 、正数和负数统称为有理数 D 、正数和分数统称为有理数 4、下列四种说法,正确的是( ) A 、所有的正数都是整数 B 、不是正数的数一定是负数 C 、正有理数包括整数和分数 D 、0不是最小的有理数 5、0是( ) A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数 9,05.0,101,32 4,650,76.8,1,54--+---,,
2 .0,722,1,213,27,6.5,618.0,7----6、 下列说法中正确的是( ) A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数 二、填空题 1、最小的自然数是 ,最大的负整数是 , 最小的非负整数是 。 2、把下列各数填入相应的集合中: 正有理数集合:; 负有理数集合:; 整数集合:; 自然数集合:; 分数集合:; 非负整数集合: 非正数集合: 3、如果“–2”表示比95小2的数,那么“+1”表示的数是_____;" –5"表示的数是______. 4、有理数中,最小的正整数是______;最大的负整数是______. 5、有理数中.是正数而不是正数的数是______;是整数向不是负数的数是______. 6、如果a 表示正数,那么–a 表示什么数?如果a 表示负数,那么–a 表示什么数? 字母a 除了可以表示正数和负数外,还可以表示哪些有理数? 7、观察下面的每列数,按某种规律在横线上填上适当的数,并说明你的理. (1)–1,2,–3,4, _______, ________; (2), 161,81,41,21 _______, ________; (3)–11,–7,–3,1,_______, _________; }{...}{... }{... }{ ...}{ ... }{...}{...
有理数的认识
第二讲 有理数的认识 【知识要点】 一、正数、负数和零: 1、概念:象1、2.5、133、48等大于零的数叫正数;象-1、-2.5、13 3-、-48等小于零的数叫负数;0叫做零,0既不是正数也不是负数。 2、负数的表示方法:数字前带一个负号。如:-1、-2.5等。 注意:①正数,负数的“+”、“-”的符号是表示性质相反的量,符号写在数字前面,这种符号 叫做性质符号,负号不是减号。 ②不能简单的理解为:带“+”号的数是正数,带“-”的数是负数。例如:a -,当a 表示正数时,a -是负数;当a 表示负数时,a -是正数;当a 表示0时,a -仍是0,既不是正数也不是负数。 3、负数的重要意义: ①使数字系统得到扩充:3、2、1、0、-1、-2、-3等; ②使表示起来更方便: 例1:温度比0℃低2度记为:-2℃ 例2:山峰高于海面300m 叫海拔300m ,记为:+300m ,盆地低于海面50m 记为:-50m ; ③使计算起来更容易:3-4=-1等。 4、正数、负数与0: ①0是表示正与负的分界,表示数值上既不是正也不是负,表示比任何正数小,比任何负数大。 ②正数:表示在数值上不等于0,且总比0大。 ③负数:表示在数值上不等于0,且总比0小。 例:A 、B 、C 三个商店,A 店在今年8月份赢利,B 店在今年8月份亏损,C 店在该月上正好不赢利也不亏本。则从利润上看:A P >0,B P <0,C P =0 ;A P :正数,B P :负数,0C P =; 负数<0<正数 二、有理数: 1、有理数的概念: ①从小数的角度看: 整数、有限小数(有限位小数)、无限循环小数叫有理数;而无限不循环小数叫无理数。如:??321.0, 3.14159是有理数;???=1415926.3π是无理数。 ②从分数角度看: 整数和分数总称为有理数。 若m 和n 为整数(n ≠0),无理数不能表示为n m 的形式;有理数总能表示为n m 的形式。
初一奥数数学竞赛第一讲_有理数的巧算
初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算: 分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化. 注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算. 例2计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算. 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000. 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧. 例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n. 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法. 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n. 下面需对n的奇偶性进行讨论: 当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有 当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有 例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1. 现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0. 这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即
第1讲:认识有理数
第一讲:认识有理数 模块一 正数与负数 在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、 32、4 36这样的数,在小学时,老师给我们说,它们分别是整数、小数、分数,进入初中以后,我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫 ;如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”,比如像这些数,-3,-2,-1,-0.58,41- ......,我们把它们叫 。 把下列具有相反意义的量有用线边起来: (1)收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米 (2)零上10C ? 运出50筐梨 高于海平面8848米 低于海平面392米 运进80筐梨 零下5C ? 学习与归纳: ①为了表示具有相反意义的量,我们通常把其中一个数前面加上 号,把另一 个数前面加上 号来进行区分;前面带 号的数叫做正数,前面 的 号经常可以省略不写,前面带 号的数叫做负数,前 面的 号不可以省略; ② 既不是正数也不是负数,是正数和负数的分界点; ③ 大于零, 小于零,正数 一切负数。 现在我们就把正数与负数的概念总结如下: 像5,2.1,2 1,???这样的数叫做正数,它们都比0大。 在正数前面加上“—”号的数叫做负数,如:13-,6.1-,32- ,??? 0既不是正数,也不是负数。
典型例题讲解(理解新知识) 例1:填空: (1)如果收入50元记作50+元,那么支出50元,记作 ,80-元表 示 。 (2)手表的指针顺时针旋转?90记作?-90,那么逆时针旋转?60则记作 。 (3)如果比海平面高规定为正,那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ,吐鲁 番盆地海拨155-米表示 。 变式练习: 判断题:(1)前进100米和前进-30米是两个相反意义的量( ) (2)前进100米和后退-100米是两个相反意义的量( ) (3)零上10C ?和支出20元是两个相的反意义的量( ) 解题方法点拨: (1)用正数和负数表示具有相反意义的量时,可以根据实际,规定哪种意义的量为正 数,那么具有相反意义的量就为负数。 (2)一般情况下,正、负规定如下: 模块二 有理数及其分类 试一试:把下列各数分别填在相应的大括号内 7, 25.9-, 109- , 274, 106, 15-, 15 7, 31.25, 301-, 5.3- 0 , 2.1 , 10% , 314-。 正整数集合{ …}; 负整数集合{ …}; 整数集合{ …}; 正分数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 有理数集合{ …}; 学习归纳: ①像1,2,3,4,5,…这样的数叫 ,像5-,4-,3-,2-,1-这样的 数叫 ; 0, 统称为整数; ②像21,0.8,45,327的数叫 ,像21-,—0.8,45-,3 27-的数叫 ; , 统称为分数; ③ 和 统称为有理数;
七年级上册奥数提高班讲义 有理数的巧算
第一讲有理数的巧算 【学习导航】 有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性。 1.括号的使用 在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单. 例1计算下式的值: 211×555+445×789+555×789+211×445. 试一试 (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011;(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100; 例2在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少? 2.用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值: 这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算. 例3计算3001×2999的值.
试一试 (1)103×97×10009 (2) (3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) (4) 3.观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88. 例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值. 例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值. 例7 计算:
六年级寒假班-第1讲:有理数-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容.重点是有理数的相关 概念辨析,利用对数轴的理解对有理数进行大小比较,绝对值的化简等.难点是绝对值的化简及运算.预习阶段,我们会针对基础知识部分进行着重讲解,相关难点会在春季班课程中讲解. 1、 正数和负数 在现实生活中,用正数和负数表示具有相反意义的量. 2、 有理数的概念 整数和分数统称为有理数. 3、 有理数的分类 按意义分:???? ?????? ???????正整数 整数零负整数 有理数正分数分数负分数;按符号分:????????? ?????? 正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数. 注意:(1)零既不是正数,也不是负数,零是正数和负数的分界; (2 )零和正数统称为非负数;零和负数统称为非正数. 有理数 内容分析 知识结构 模块一:有理数的意义 知识精讲
【例1】如果把收入80元记作80元,那么下列各数分别表示什么意义? (1)10元;(2)3.5元;(3)100 -元;(4)0元. 【难度】★【答案】(1)收入10元;(2)收入3.5元; (3)支出100元;(4)没有收入也没有支出. 【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性,确定一对具有相反意义的量,常见的具有相反意义的量:收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等.【总结】本题考查了正数和负数的意义. 【例2】下列说法错误的是() A.收入200元和支出300元是相反意义的量 B.向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量 C.节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量 D.存款2000元和取款3160元是相反意义的量 【难度】★【答案】C 【解析】粮食和水是两回事,故C错误. 【总结】本题考查了具有相反意义的量. 【例3】下列说法中正确的是() A.正有理数和负有理数组成了全体有理数 B.在有理数中,零的意义仅表示没有 C.所有的小数都是有理数 D.0既不是正数也不是负数 【难度】★【答案】D 【解析】有理数按正负可分为:正有理数、零、负有理数;有理数按意义可分为:整数和分数;无限不循环小数是无理数. 【总结】本题考查了有理数的分类及意义. 【例4】把下列各数填入它所属的圈内: 10 -,69, 1.7 -,4 5 , 2 7 9 ,0,46%,0.76, 2 3 -, 15 8 . 例题解析 正数负数
人教版七年级数学第一章有理数教案
第一章有理数 1.1正数和负数(2课时) 第1课时正数和负数的概念 了解正数和负数的产生;知道什么是正数和负数;理解正负数表示的量的意义;知道0既不是正数,也不是负数. 重点 正、负数的意义. 难点 1.负数的意义. 2.具有相反意义的量. 一、新课导入 活动1:创设情境,导入新课 教师投影展示教材第2页图片,让学生体验自然数的产生,分数的产生离不开生产和生活的需要,可以让学生自由发表意见和感想. 二、推进新课 活动2:体验负数的引入的必要性 教师出示温度计: 安排三名同学进行如下活动:研究手中的温度计上刻度的确切含义,一名同学手持温度计,一名同学说出其中三个刻度,一名同学在黑板上速记. 教师根据活动情况,如果学生不能引入符号表示,教师也可参与活动,逐步引入负数.强调:0既不是正数,也不是负数. 活动3:分组活动,感受正负数的意义 各组派一名同学进行如下活动:按老师的指令表演,看哪一组获胜. 1.老师说出指令:向前2步,向后3步,向前-2步,向后-3步,学生按老师的指令表演. 2.各小组互相监督,派一名同学汇报完成的情况. 活动4:深入理解正负数的意义,提高分析解决问题的能力
师投影展示问题,讲解课本例题. 例:1.一个月内,小明体重增加2千克,小华体重减少1千克,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值. 2.某年,下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是: 美国减少6.4%,德国增长1.3%, 法国减少2.4%,英国减少3.5%, 意大利增长0.2%,中国增长7.5%. 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率. 学生讨论后解决. 活动5:练习与小结 练习:教材第3页练习. 小结:这堂课我们学习了哪些知识?你能说一说吗? 活动6:作业 习题1.1第4,5,6,8题 本课是有理数的第一课时,引入负数是数的范围的一次重要扩充,学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程),而负数相对于以前的数,对学生来说显得更抽象,因此,这个概念并不是一下就能建立的.为了接受这个新的数,就必须对原有的数的结构进行整理。负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量),书本的例子或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点. 第2课时正数、负数以及0的意义 进一步理解正、负数及0的意义,熟练掌握正负数的表示方法,会用正、负数表示具有相反意义的量. 重点 进一步理解正、负数及0表示的量的意义. 难点 理解负数及0表示的量的意义.