例谈直觉思维在数学解题中的应用
直觉思维在小学数学教学中的应用
一
、
直 觉思维 的整体 性在小学 数学教 学 中的应 用
直 觉恩 维是 在 实践 经验 的基 础 上 ．由高度 的 思 维 活动 而彤 成 对 客观 事 物 一种 比 较 迅 速 的 综 旮 丰 ４ 断 ．它是 在 已有 理性 知 识 的基础 上 ，模 糊 认识 与 直
繁 ， 具 体 茔 抽 象， 豫一 定 步骤 循序 渐进 地 推 导 ， 从 ５ 按 而 直觉 思 维则 是从 整体 入手 ，以学 习过 的 知识 领域 和知 识 结构 为依 据进 行 思 堆 ，县 有跃 进 、越 粳 和取 捷 径 等 思 雏特征 。 目此 ，直 觉思 维 能 够迅 速接 近 问
直 觉 思 维 突 如 其 采 的 领 悟 、理 辉 ，与 善 于 联 想 和 想 象 是 分 不 开 的 ，而 联 想 与 想 象 叉 必 须 以 丰 富 的 实 践 经 验 为 基 础 。 为 此 ，我 们 应 该 充 分 运 用 直 观 教
也 辑 思 维 是 由局 部 入 手 ， 由 浅 入 翠 ， 由 简 到
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维的 思路 ， 能迅 速抓 住 问题 的关键 。这说 明 ， 岳脑 巾 “ 在 的 末西”越 多，直 觉 思维 的基础 就越 雄 厚 。 潜 导 致 的 成 果就越 丰 富。 二 、 觉思 维跳 跃 性在 小 学数 学教 学 中的应 用 直 直 觉思维 的间隔性 、 跳跃 性 ， 常是 一种 突如 其来 的领悟 和理解 ， 而不是按 一 定的逻 辑步骤进 行 的＝
例谈直觉思维在初中数学中的作用与培养策略
从 这道题 ． 我 们可 以发现 ， 学 生 要
掌握此直 角三 角形斜边是 较短 直角边 的二倍 ， 并能发现这个原理是这道题的 解题关键． 由此可见 ，数学中的直觉思
维离不开基础知识 ， 打 牢 基 础 是 直 觉 思 维 培 养 的前 提 ．
２
Ｄ ． ３ 或
３
４ ． 重 视 学 生 观 察 能 力 和 直 觉 思 维 的培 养 直觉思维与逻辑思维不 同． 它 是 一
解 析 ：答 案 为 Ｃ ． 观 察 选 项 并 带 入
可迅速得 出答案 ， 感受数 学的对称美． 值得 注意 的是 ， 一般来说 ， 利用 直
觉 思 维 解 题 时 还 可 以利 用 特 殊 法 、 极 限
Ｂ Ｃ Ｄ
种综合 的方法 ． 是依靠对 事物 或问题的 全 方位判 断来进行解 题 的一 种思维 方 式． 同时 ， 也要求学生具有一定 的观察 、 分 析和总结 的能力． 从整体 掌握 问题 ，
观察 各 元 素 之 间 的关 系 ， 分 析 其 中 的 规 律， 进 行直觉判 断 ， 这 也 是 直 觉 思 维 解
位 “ １ ” ． 可 列 方 程 ５ ０ ％ ｘ ７ ０ ％ ＋
思维 的培养是从问题开始 的． 不怕
学 生 有 问题 ，就 怕 学 生 无 问题 ． 所以 ， 教 师 在 课 堂 上 应 充 分 重 视 学 生 的 问
硬背 ，但需要学生对所学知识能够进行 正确的应用与推理 。这需要学生具有较
辑， 可以帮助学 生快速答 题 ， 节 约答 卷 时间 ， 这在初中数学教学 中尤其适用． 选 择题是 直觉思 维经 常应用 的范
例谈直觉思维与数学解题
、
直 觉 思 维 与数 学 解 题
前 苏联 数学 教育 家斯 托 利亚 尔认 为 ， 学教 数
学 是 数 学（ 维 ） 动 的 教学 ， 学 教 学 在某 种 程 思 活 数
度 上 要 反 映 出数 学 的 创 造 过 程 。 那 么 ， 视 直 觉 重
思 维在教 学 中的作用 ， 并反 映在教学 内容体 系 中 ， 即： 既要 体 现 逻辑 演 绎 的特 征 ， 要 展 示 数学 发 又
现 的过 程 ， 学 生 在 逻 辑 思 维 与 直 觉 思 维 两 方 面 让
同时 得 到 培养 与 提 高 ， 者 不 可 偏废 ， 对认 识 二 这 数学 与发 展数 学都 至关 重 要 。所 以 ， 认识 到 直 觉
【 关键 词 】 直 觉 思 维 数 学 解 题 猜 想
【 中图分类号】Ｃ ３ ． ， ３６ ６
【 文献标识码】 Ａ
【 文章编号】 １０ —４ ９２ ０ ）４ ０ ９ — ６ ０ ９ １５ （０ ８ － ０ ４ ０ ０
直 觉 是 一个 人 面 向对 象 时 能 够直 接 认 识 与
在数 学研究 里 面 ， 先猜测 后证 明 ， 几乎 是一 条 规 律 。人 们 面临一个课 题 时 ， 或者解 一道难 题 时 ，
往 往先对 结果 或解题 途径作 一种大 致 的估 量与猜
【 收稿 日 】 ０—７ １ 期 ２ ８０— １ ０ 【 作者简介】 高丽， 南通广播电视大学。 女，
的基础 上 ， 自己的直 觉 想象 力 ， 致地 、 模 糊 凭 大 模
糊 地 确 定 一 下 问 题 的结 果 或 解 题 途 径 。
审美 等方 面作 判 断 、 想或 假设 。在 一 瞬 间迅 速 猜 解决 问题 ， 现为 一种 解题 的“ 表 直接 性 ” 。直 觉 往 往会成 为解决 数学 问题 的关 键 因素 。爱 因斯坦 曾 直截 了 当地说 ：我信 任直觉 。”真 正可 贵 的因素 “ “
直觉思维在数学教学应用论文
直觉思维在数学教学中的应用数学思维按照思维过程中是否遵循一定的逻辑规则可划分为分析思维和直觉思维。
分析思维，就是逻辑思维，它主要是以逻辑规则对事物按部就班地认识，对其过程主体有清晰的意识。
在中学数学中，由于数学知识的严谨性，抽象性和系统性，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，因而在目前教学中往往偏重于演绎推理的训练，过分强调形式论证的严密逻辑性，而忽视了直觉思维的突发性理解与顿悟作用。
在新课程标准深入课堂的今天，加强学生直觉思维能力的培养是非常有必要的。
本文拟从以下三个方面谈谈个人的看法。
一、数学直觉思维的涵义及其特性数学直觉思维是人脑对教学对象，结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断。
所谓判断就是人脑对于数学对象及其规律性关系的迅速认识、直接的理解、综合的判断，也就是数学的洞察力，有时也称为数学直觉判断。
根据数学直觉思维的涵义，它具有下列特性：（1）直接性。
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是数学直觉思维的本质属性。
（2）或然性。
由于数学直觉思维是一种跳跃的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出判断，因而直觉思维的结果可能正确，也可能不正确，这一特性称为数学直觉思维的或然性。
（3）不可解释性。
由于直觉思维是在一刹那时间内完成的，许多中间环节被略去了，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要对它的过程进行分析研究和追忆，往往是十分困难的，只有当得出结果并转换成逻辑语言时才能为别人所理解。
逻辑思维在数学中虽然据着主导的地位，但直觉思维是思维中最活跃，最积极，最具有创造性的成分。
逻辑思维与直觉思维形成了辨证的互补关系。
直觉思维为逻辑思维提供了动力并指引方向，而逻辑思维则对直觉思维做出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化。
二、数学直觉思维的重要地位和作用(一)数学直觉思维是学习数学与创造数学必不可少的思维形式彭加勒认为：“逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具”，“没有直觉，数学家只能按语法书写而毫无思想”。
数学直觉思维的应用举例
数学直觉思维的应用举例数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。
它是一种深层次的心理活动，这是从心理学的角度来说，而通俗点说，直觉没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考背景。
在数学教学过程中，老师过于把证明过程分的严格化、程序化。
学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖了，学生内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。
《中国青年报》曾报道：“约30%的初中学生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”。
这种现象应该引起数学教育者的反思。
直觉思维和逻辑思维同等重要，直觉思维是逻辑思维的方向。
在数学教学中，既要注重逻辑思维的培养，也要重视直觉思维的培养，偏离任何一方都会制约一个人的思维能力的发展，不符合新课标的课程理念。
依思斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就是在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。
”受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。
本文，笔者主要谈一下数学直觉在中学数学教学中的应用。
（1）直觉猜想，严密论证在数学研究（包括中学数学的学习）里面，先猜想后论证，几乎是一条规律。
人们在解一道数学难题或证明一个数学定理之前，往往先对解题结果或定理结论作一种大致的估量或猜测，然后再作出解答或详细证明。
例1 设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAD时，△ABC是什么三角形？为什么？解析：根据已知条件：“BP=CQ,∠BAP=∠CAQ” ，无法用三段论法推知结论，必须用直觉来体会，凭直觉可猜测AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
这种猜测，理由是不是充分？结论是不是可靠？作出以下证明；∵S△ABP=S△ACQ，∴=1∴==1∴AB?BP=AC?AQ——（1）同理，∵S△BAQ=S△CAP∴AB?AQ=AC?AP——（2）由（1）×（2）得AB2=AC2，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形。
数学直觉思维在解题教学中的运用
学生 的数 学 意识 和发 现力 ．
分析 此 题若 用 纯代 数方 法求 解 ， 相 当 困 则 难 ， 而根 据此 不 等 式 的 外形 特 征及Байду номын сангаас直 角 坐 标 系 然 进 行数 形 直觉 ． 造两点 间 的距 离 ， 容 易得 到所 ． 构 很
２ 利用 数形 结 合 。 高 审 美直 觉 提 数 学美 首先 是 自然 美 ， 里 叶有 句 流 传 至 今 傅 的 名言 ： 自然 的深 入 研 究 是 数 学 发 现 的最 富 饶 对 的 源泉 ． 金 比是 自然美 的反映 ； 房 问题 也是极 黄 蜂
分 析 在 题 目的条 件 与结 构 中 ａ ｂ 地 位 ” ， 的“
有 ， 是有 于
（ ） 一 １ 一 （ 。 ３ 一 １ ｎ， ）
３ 巧设情 境 。 启发 直 觉
在 解决 数 学 问 题 中 时 刻 都 要 进 行 大 胆 的选
择、 断 、 判 去伪 存 真 ， 取一 种 最正确 、 优化 的 方 选 最 案； 同时 还要会 在 所学 内容 、 法 的基础 上创 造 出 方 新 的方 法 ， 决 新 的 问题 ． 些 都 依 赖 于 直 觉 思 解 这
人 们 的洞 察 力 、 象 力 有 密切 关 系 ． 数 学解 题 想 在
时， 如果 能 根据 题 目里 的数 学特 征 进行 直觉 思 维 ， 寻 找 突破 口， 往会 收 到很 好 的效果 ． 往
法． 解题 中应 善 于根 据数 与形 之 间关 系 ， 高我 在 提
们 的审美 直觉 ．
三边 上 取点 Ｌ， Ｎ ， （ Ｍ， 使 ２ Ｌ—Ａ， Ｒ一口 Ｒ —Ｂ， Ｌ ，Ｍ
例谈数学解题的直觉分析
易见 ， 上面 的恒等式 是关 于 Ｐ的二次 方程 ， 经过 观察 可知 ， Ｐ＝ ２和 Ｐ＝ ３都是上述关于 Ｐ的二次方程的解 ， 而二次方程 的解只有 ２ ， 个 故常数 Ｐ＝２或 Ｐ＝ ． ３
也可将 ｃ＋ － ｃ Ｉ ｐ ＝（ ｐ ２ ＋（ ｐ ３ ， ２－ ）・ ” ３一 ）・
直觉分析 （） １ 由题设知 ， ‘ （ ２ ｐ １ ｃ＋ 一 ｃ＋） ＝（ ｌ ｐ （ ３ ｐ ２ ， ｃ＋ — ｃ） ｃ＋ 一 ｃ＋）
且 ［ ＋３ 一 （ 。 ３ ） ｐ ２ ｐ２ ＋ ］
＝
［ １ ３“一 （ ＋ ］ ＋＋ ｎ ｐ ＋＋ ” ）． ＋ ＋ ｒ ｐ ２ ）［ ３ ３”一 （ ２ ３ ］ Ｉ －
培养学生直觉思 维的一个有效 办法 是让 学生主动去观 ２ 几 何直观是 直觉的平台 特征之一就是从 整体上把握 研究 的 内容 与方 向， 寻找 问题 的内在规律 ， 从整体结构上进行调节和转化 ， 摆脱 解题常规
“ ” 数学的两大基 石 ， 关系借助 于 图形 的性质 可以 形 是 数量 直观化 、 形象化 、 简单化． 因此 ， 目的地 帮助学生将 抽象 要有
・
１ ４・
中学教研 （ 学） 数
２０ ０ ８年第 １ １期
例 谈 数 学 解 题
●赵 思林 吴立 宝 Fra bibliotek的 直 觉 分 析
（ 内江师范学院数学系 四川内江 ６１１） ４ １２
数学直觉思维是 指人们 不受 固定 的逻辑规 则约束 ， 对
数学对象直接领悟和洞察 ， 它是 人们 运用 已有的知识 组块 和形象直感 ， 对当前 问题进 行敏锐 的观察 、 细致 的分 析、 透 彻的理解 ， 并能迅速地作 出判 断的一种思维 形式． 数学直觉 简称为直觉思维或直觉． 钱学 森认为 ： 直觉是一 种人们没 “ 有意识到的对信息的加 工活动 ， 是在 潜 意识 中酝 酿问题而 后与显意识 突然沟通 ， 于是 一下子得 到了 问题 的答案 ” 数 ． 学直觉 思维具 有整 体性 、 直接 性 、 发性 、 突 非逻 辑性 、 跳跃 性、 创造性 、 灵活性等特 点． 直觉思 维可 以帮助学 生洞察数 学本质 、 猜想数学结 论、 分析解题思路 、 简化思维过程 、 培育 数学灵感 、 发现数学规律等． 直觉思维是数学思维 活动 中最 活跃 、 最积极 、 最具有创 造性 的成分 ， 直觉思维 是数学 创造 的法宝． 数学问题的解决离不开直觉思维 ， 培养学 生的数学 创新意识也依赖 于 良好的数 学直觉． 直觉分析 是用直 觉思
例谈数学直觉与直觉思维能力
后 ， 就 有 ｝ Ｃ Ｏ Ｓ 卢 ＝ 一 ｘ ｌ ／ － ｕ ￣ － － Ｎ 一 丁 ２ ＂ ｋ ／ － （ ｓ ｉ ｎ 卢 ＝ 一 这 射影 面积最小 ． 所 以取值
样 的结论 ，这个过程是没有 “ 具体进程 ”的，是在潜
意识 中发生 “ 直觉 、灵感”的思维活动 ，这种思维活
动就具 备 了上面 说到 的特征 ．
对应 的具体进程 ，则没有意识到” ． 钱教授这一番话 已
经道 明了数学直觉思维的涵义 ，因此 ，数学直觉思维
一
即 ｝ ｃ 。 ｓ 卢 一 丁 ２ Ｘ ／ ６ ｓ ｉ ｎ Ｊ Ｂ ＝ — Ｘ ／ Ｔ １ － ４ Ｘ 一 ／ － ３ － ，
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ９ — １ ５
一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一
、
缘起
“ 两角和与差的正弦 、余弦 、正切公
语道破 ：这是好事 啊，这就是学生解题的直觉与直 是啊 ！我们怎么能忽视这一能力的存在 呢？不但
觉 思维 能力 啊 ！
笔者在上完
式”课后 ， 立 即给高一学生布置了一道引例作业．
引 例 已 知 、／ ３均 为 锐 角 ， 且 ｃ ｏ ｓ ＝ ｃ 。 ｓ （ ／＋ ｏ ／ ３ ） ＝— Ｘ ／ － ］－ ｆ ４ Ｘ ／ ３
，
要正视它的存在 ，而且还要大力培养．
，
二 、直 觉与直 觉思维能力
前几年 国内、国外 曾讨论 中国的基础教育与美 国
求角卢 ．
学生上交 的作业 大多数 （ 约 占三分之二）是这样
做 的： 解 ：由题 条件 得 ｓ ｉ ｎ ： ２ Ｘ ／ ６
，
的基础教育区别在 哪里 ，许多人认为区别在美 国的基
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例谈直觉思维在数学解题中的应用
数学直觉思维是人们在分析解决问题时快速动用自己所有经验和知识，在对对象作过总体上的观察分析之后，直接触及事物本质，作出假设，然后再对假设作出检验或证明的一种思维方法。
它主要表现在对数学对象的敏锐洞察，从而直接猜断和总体把握在我们找到解答和证明之前，直觉先已协助我们对结论或解题思路产生预见不过，在当前中学数学教学中往往偏重于演绎推理的训练，强化形式论证的逻辑的严密性，忽视了直觉思维在解题中预知导向和顿悟作用，也失去了数学思维形成过程中直观生动的一面这在一定范围上限制了学生思维素质的提升，与现代素质教育要求背道而驰，所以在中学培养学生的直觉思维是中学数学教学的目标之一。
1. 联想和猜想。
联想是由当前感知的事物回忆起相关另一事物的心理过程。
在数学思维活动中，联想能够沟通数学对象和相关知识间的联系。
而联想思维是人们在理解事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联想到另一事物的心理过程。
它是一种由此及彼的思维活动。
联想思维在理解活动过程中起着桥梁和纽带的作用。
对于一些未知的数学知识，通过已知知识和未知知识之间的联系，从而使一些有未知知识的数学问题得以解决。
在数学的具体解题过程中，通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到相关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。
本文将对在数学中使用的联想思维实行研究，包括其作用以及如何培养。
爱因斯坦认为：科学研究真正可贵的因素是直觉思维，同样，数学解题中联想灵感迸发也离不开直觉思维。
对问题在作全面的思考之后，不经详尽的推理步骤，直接触及对象的本质，迅速得出预感性判断。
能够说联想是灵感诱发而产生的。
特别地，在一些若干问题往往无从下手，着不到边。
这时就需由联想来产生解题灵感。
使本来困难、受阻的题目，迎刃而解。
例1：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1
求证：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1
分析：联想a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ
则能够令。
从而从问题很容易得到解决。
通过以上的理论和例子我们发现，联想思维在具体的解题过程中，有着非常重要的作用。
其思维方式不但能够使很多数学题目,特别是着手较难的数学题目，能够通过这种思维形式得到轻而易举的解决。
而这样的联想思维是在具体的学习过程中逐步培养起来的。
而数学是一门有着与现实生活密切联系的学科。
在日常的生活、工作以及学习中培养这种思维是无意识，也是潜意识。
联想是产生直觉的先导。
猜想则是直觉的结果，所谓直觉，信息加工的原理来看，就是将零散、孤立的信息快速联系和重组，从中产生新的有价值信息，联系和重组的水平依赖于每个人的联想空间，所以不时地引导学生对面临的问题实行联想。
O.K.吉霍米曾说过：在心理中，思维被看作解题活动虽然思维并不是总等于解题，但能够断言，形成最有效办法是通过解题来实现。
而联想灵感是创造性思维中最富有创造性特征的重要组成部分，所以联想灵感在解题中有着不可低估的作用。
再者，在中学数学的教学中对联想思维的培养是很重要的，中学数学教师在授课的同时要注重对这些思维的培养。
2. 经验和规律。
数学直觉思维在解题中应用较多都是利用长期积累经验和掌握的规律，它是一种理性直觉，虽然有时抛弃了常规的推理和论证，但它又有迹可寻，决非空穴来风有时又不受任何模式限制, 思维空间的广度和深度较大较深，它就要我们具备丰富的经验和掌握
常见数学规律、大胆的预测，探索解题的方向。
下面再举个例子来继续探讨。
例2：过抛物线y=ax2（ａ＞０）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、FQ 的长度分别是p、q。
则■+■=（）。
A. 2a
B. ■
C. 4a
D. ■
本题是圆锥曲线中最典型的焦点弦问题，看似很难，其实只要看下答案，四个答案都是定值。
经验告诉我们一个直觉：结论与直线的位置无关，所以只要取PQ垂直x轴这个特殊情况就能够啦。
通过这个例子，说明在解决数学题时，有时经验也是能够帮上忙的。
当然，这个经验的获得可能需要经过大量的实践才能获得。