2020三视图学案

1.(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()

A．1B．2

C．3D．4

解析将三视图还原为直观图，几何

体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面

垂直的四棱锥，如图所示。易知，BC∥

AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，

P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，因为P A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB ＝A，所以BC⊥平面P AB，又PB?平面P AB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形。故选C。

答案C

2．(配合例3使用)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为()

A．8 B．4

C．4 3 D．42

解析

由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP＝12，

S△BCD＝1

2×42×2＝42。故选D。

【典例1】如图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图。

【解】第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图①。

第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角。

第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可。所求几何体为三棱锥A－BCD，如图②。

①②

【变式训练1】如图是几何体的三视图，还原其直观图。

解按照三步骤去做。第一步，画出长方体，并在长方体内画出俯视图，如图所示。

第二步，在正视图和侧视图中找直角。正视图中直角在左侧，侧视图是矩形。第三步，将点M与点P向上垂直拉起，分别至点C，点D。注意三视图中的虚、实线，连接PC、PD，可得几何体P－ABCD。如图所示。

【典例2】一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为()

A.1

6 B.

2

6 C.

3

6 D.

1

2

【解析】几何体还原说明：①画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线。

②俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一个直角。正视图和侧视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(下图中D 点上方顶点)，将该顶点下拉至D 点，连接DA ，DB ，DC 即可。该几何体即下图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD ，

其体积为13×12×1×1×

1＝16。故选A 。

【答案】 A

【变式训练2】 如图是一个棱锥的三视图，还原其直观图。

解

俯视图中有三个直角，∠BAC 、∠CDA 和∠BDA ，正视图和

侧视图中没有直角。由此，可以判断俯视图中的D 点是棱锥顶点在底面上的射影，所以，将D 点向上拉起。下图中的棱锥V －ABC 即为所求。

6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )

A ．2 B.92 C.32 D ．3

解析 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，

则体积V ＝13×1＋22×2×x ＝3，解得x ＝3。故选D 。

3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.18

B.17

C.1

6 D.

1

5

解析由三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥。设

正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝1

3×

1

2×1×1×1＝

1

6，

剩余部分的体积V2＝13－1

6＝5

6。所以

V1

V2＝

1

6

5

6

＝

1

5。

答案D