2018年秋八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.3 反证法习题课件 (
华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系
第14章 勾股定理
14．1 勾股定理
1．直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点：勾股定理 1．下列说法正确的是( D) A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
解：(1)∵AE＝BE，∴S△ABE＝12AE·BE＝12AE2.又∵AE2＋BE2＝ AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝14AB2＝14×32＝94.
(2)同理可得 S△AHC＋S△BCF＝14AC2＋14BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为14AB2＋14AB2＝12AB2＝12 ×32＝92.
易错点：斜边不确定时，应用勾股定理求边长漏解 9．已知直角三角形两边长分别为3和5，则第三边的长为____3_4_或__4_．
10．如图，直线l同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C ) A．4 B．6 C．16 D．55
11．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C) A．5 B．6 C．8 D．10
2．利用如图所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一个十分著名的定理，这个定理称为___勾__股__定__理____，该定理中结 论的数学表达式是____a_2_＋__b_2_＝__c_2 _____．
3．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝___1_5__，b＝___1_2__．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB， 对角线AC⊥CD，求CD的长．
14.1.1勾股定理证明
14.1.1勾股定理的证明教学目标：1．体验勾股定理的图形证明．2．能利用勾股定理解决实际问题．3．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．4.通过问题的发现解决，使学生有成就感、培养学生的合作精神．复习导学：1.试一试：(小组共同完成)如图，如果每一个小方格面积1平方厘米那么可以得到：正方形P的面积=_________平方厘米正方形Q的面积=_________平方厘米正方形R的面积=_________平方厘米我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是________________由此，我们得出直角三角形ABC的三边长度之间存在关系_______________4.做一做(独立完成)：在图中的方格中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个三角形是否成立。
（每一小格代表1平方厘米）课堂研讨：如图：你能不能用左图中的三角形拼出右图中的图形。
（小组展示）结论：________________________________________ 运用图形的面积证明勾股定理：运用大正方形的面积：C AB P QR运用梯形的面积品味尝试——趁热打铁储能量…1．在Rt △ABC 中，AB=c ，BC=a ，AC=b ，∠B=90°，①已知a=6，b=10，则c=_________;②已知a=24，c=25，则b=_________。
2．已知在△ABC 中，∠B=90°，AC=13cm ，BC=5cm ，则AB=_________3．若直角三角形的三边长分别是3cm 与5cm ，那么这个三角形的周长是________cm 。
整合提升——拾级而上达顶峰…1．如图①字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则 字母C 代表的正方形的边长是（ ） A 、36 B 、18 C 、6 D 、202.一直角三角形的斜边长比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A 、4B 、8C 、10D 、12 3.如图在△ABC 中AD ⊥BC ，AB=AC=13m ，AD=5m ，则BC=____________m课堂小结： 1、勾股定理应用的前提是直角三角形，也就是说只能在直角三角形中才能运用;2、要分清里面的a,b 代表两条直角边，c 代表斜边;AB CABCD课堂作业：课后反思：。
[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理141勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
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1１.2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图Ｋ-38－10①所示.在图②中，若正方形ＡＢCD的边长为14，正方形IJKＬ的边长为2,且ＩＪ∥AＢ，则正方形ＥFＧH的边长为__＿＿_＿__.
图Ｋ-３8-10
三、解答题
１２．如图K－３8-11,在由边长为１的小正方形组成的网格中,△ＡBC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
根据题意，得
解得
由勾股定理得直角三角形的弦（斜边)为 ＝ ＝１0，
即正方形ＥFGＨ的边长为1０.
12.[解析] （1)根据AＤ=ＢC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，ＣＤ，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出ＡC，CD，AD的长．
解:（1)如图．
(２) 5
13．解：根据图中的数据得ＡC＝9０－40＝５0(mm)，BＣ＝160-40＝120（ｍm)，根据勾股定理，得AB＝ =130(ｍm）．
图K-38－７
9．如图Ｋ－３8－8，学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_＿_＿＿___步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
图K-3８-8
1０.如图K-38-９,已知在Rt△ABC中,∠BＣＡ＝９0°，AB=10,分别以ＡC,ＢC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______＿_．
图K－３8－１４
问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理）”用探索飞船带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第2课时
A.30cm2B．130cm2C．120cm2D．60cm2
3.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
图14－1－
图14－1－
4.如图14－1－，受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高.
在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为()
A.600米；B．800米；C．1000米；D．不能确定
情感态度
在勾股定理的应用过程中，培养探究能力和合作精神，感受勾股定理的作用，培养数学素养．
Hale Waihona Puke 教学重点应用勾股定理解决简单的实际问题．
教学难点
将实际问题转化为数学问题中数形结合的思想．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
上节课的勾股定理是怎么得到的？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法
活动
一：
创设
情境
导入
新课
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
14.1勾股定理——直角三角形三边的关系
Z=625-576=49 Z=7
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．
（1） 已知a＝6， b＝10， 求c；
（2） 已知a＝24， c＝25， 求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米?
3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
正方形R的面积＝ 25 平方厘米．
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是
SP+ SQ= SR
．
（每一小方格表示1平方厘米） 直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
分“割”成若存干在个关系直A角C边2+RBC212=AB32 4 4．1 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平2方5也成立！
？
2.16
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝ ５４. １ 2 －２１. ６ 2 ≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
勾股定理ppt课件
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定教案华东师大版(2021
八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.2 直角三角形的判定教案（新版）华东师大版
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直角三角形的判定。
[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时
[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时[14.1 1. 第2课时勾股定理的验证及简单应用]一、选择题1．如图K－38－1，△ABD的面积是( )A．18 B．30 C．36 D．60图K－38－12．如图K－38－2，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，则AD的长为( )图K－38－2A．1 B．2 C. 5 D. 33．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )图K－38－5A．6 B. 6C. 5 D．4二、填空题7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A，B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC ＝90°，并测得AC的长为18 m，BC的长为30 m，则最宽处A，B两点间的距离为________．图K－38－68．在如图K－38－7所示的图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是________．图K－38－79．如图K－38－8，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．图K－38－810．如图K－38－9，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝________．图K－38－911．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K－38－10①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________.图K－38－10三、解答题12．如图K－38－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD；(2)线段AC的长为______，CD的长为______，AD的长为________．图K－38－1113．在如图K－38－12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm).图K－38－1214．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K－38－13摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程.图K－38－1315．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地，A，E，B三点在同一条直线上，如图K－38－14所示，有C，D两个农庄，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD＝8千米，BC＝2千米，要使C，D两农庄到基地的距离相等，那么基地E应建在距离A 地多远的位置？图K－38－14问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．定理表述请根据图K －38－15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．图K －38－15尝试证明以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a ，b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形(如图②)，请你利用图②验证勾股定理．知识拓展利用图②中的直角梯形，我们可以证明a ＋b c <2，其证明如下：∵BC＝a＋b，AD＝________．又∵在直角梯形ABCD中，有BC________AD(填“>”“<”或“＝”)，即______________，∴a＋bc＜ 2.详解详析【课时作业】[课堂达标]1．B2．D3．D4．[解析] C设旗杆的高度为x m，则绳子的长为(x＋1)m，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12.5．[解析] B由题意知∠AOB＝90°，由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝322＋242＝40(m)．6．[解析] B∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴由勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝32－22＝ 5.又∵DC＝1，∴AC ＝DC 2＋AD 2＝ 6.7．24 m8．[答案] 49 cm 2[解析] 如图，∵a 2＋b 2＝x 2，c 2＋d 2＝y 2， ∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝x 2＋y 2＝72＝49(cm 2).9．410． 12.5π11．10 [解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a ，股(较长的直角边)为b.根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＝14，b －a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝8.由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62＋82＝100＝10，即正方形EFGH的边长为10.12．[解析] (1)根据AD＝BC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，CD，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出AC，CD，AD的长．解：(1)如图．(2)20 5 513．解：根据图中的数据得AC＝90－40＝50(mm)，BC＝160－40＝120(mm)，根据勾股定理，得AB＝502＋1202＝130(mm)．即两孔中心A和B的距离为130 mm.14．证明：如图，∵S 五边形＝S 左边梯形＋S 右边梯形＝S 大正方形＋2S 直角三角形，∴12(b ＋a ＋b)·b＋12(a ＋a ＋b)·a＝c 2＋2×12ab ， 即12ab ＋b 2＋a 2＋12ab ＝c 2＋ab ， ∴a 2＋b 2＝c 2.15．解：∵C，D 两农庄到基地E 的距离相等，∴CE ＝DE.在Rt △CBE 和Rt △DAE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴BE 2＋BC 2＝AD 2＋AE 2.设AE ＝x 千米，则BE ＝(10－x)千米，而BC ＝2千米，AD ＝8千米，所以(10－x)2＋22＝82＋x2，解得x＝2，即基地应建在距离A地2千米的位置．[素养提升]解：[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD ＝S Rt△ABE＋S Rt△ECD＋S Rt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.[知识拓展]2c ＜a＋b＜2c。
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理2直角三角形三边的关系__验证勾股定理授课新华东师大1
知1－讲
3．用拼图法证明命题1的思路： (1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面
积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质变换证明结论成立，即拼出图形→写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推出 命题1的结论．
知1－讲
例1 图14.1-1是用硬纸板做成的四个两直角边长分别 是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个 边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明 命题1的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)证明命题1.
知2－讲
(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系； (3)证明含有平方关系的几何问题； (4)作长为n(n≥1，且n为整数)的线段； (5)一些非直角三角形的几何问题、日常生活中的
应用问题，对于这些问题，首先要将它们转化， 建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方 程或方程组解决．
知2－讲
例2 如图，Rt △ABC的斜边AC比直角边 AB长 2cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.
知2－讲
本题运用建模思想解题，根据实际问题画出直 角三角形，再运用勾股定理解答．当图形不是直角 三角形时，常常通过作垂线构造直角三角形．
知2－讲
例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折 叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD 的长．
导引：利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等， 通过勾股定理列方程，在Rt△BDE中求出线段 DE的长，从而得到CD的长．
解： 由已知AB=AC － 2, BC =6cm， 根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 = (AC － 2)2 +62 = AC2, 解得AC= 10(cm).