泰勒中值定理
泰勒公式(泰勒中值定理)
m 1 (
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0) f (0)x
f (0) x2
f (n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
f (k) (x) ( 1) ( k 1)(1 x) k
f (k) (0) ( 1) ( k 1) (k 1, 2, )
o(x4 x4
)
7 12
第四节
n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) 若在f公(式x)成立的f区(间x0上)
f (0)x f (x0 )(x
f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (有x误差fx估(0nn计))!(2式0)
xn
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) ( x0 n!
泰勒中值定理和拉格朗日中值定理
泰勒中值定理和拉格朗日中值定理示例文章篇一：《泰勒中值定理和拉格朗日中值定理》嘿，同学们，今天咱们来聊聊数学里超厉害的泰勒中值定理和拉格朗日中值定理。
先来说说拉格朗日中值定理吧。
想象一下，你在一条弯弯曲曲的小路上走路，这小路就像一个函数图像。
拉格朗日中值定理就好像在说呢，在这条小路上啊，总能找到那么一个点，在这个点的地方，它的切线斜率就跟你从路的这头走到那头的平均速度一样。
这多神奇呀！比如说，有一次我和小伙伴比赛走路，从A点走到B点，路是弯弯曲曲的，那肯定有的地方走得快，有的地方走得慢。
拉格朗日中值定理就告诉我们，中间肯定有个瞬间，那时候的速度就和平均速度一样呢。
我有个同学小明，他就特别聪明。
有次数学老师讲拉格朗日中值定理的时候，他就举手问老师：“老师，这个定理在生活里除了走路，还有啥例子呀？”老师就笑着说：“你看，汽车在一段路上行驶，速度也是忽快忽慢的，那在这段路程里肯定有个时刻，它的瞬时速度就等于平均速度。
”我们听了都觉得好有道理呢。
那泰勒中值定理呢？这泰勒中值定理可就更厉害了。
它就像是一个魔法，能把一个复杂的函数变成一个由好多项组成的式子。
就好比把一个超级复杂的大怪兽，拆成了一个个小怪兽。
我记得我在做一道数学题的时候，那个函数长得可吓人了，我都不知道从哪儿下手。
这时候老师就说，咱们可以用泰勒中值定理呀。
然后就把那个函数按照泰勒中值定理展开，一下子就变得清楚多了。
我还有个朋友小红，她在学习泰勒中值定理的时候可费劲了。
她就跟我说：“这泰勒中值定理就像一团乱麻，我怎么都理不清。
”我就跟她说：“你看啊，就把它想象成搭积木。
每个项就是一块积木，我们按照泰勒中值定理的规则把这些积木搭起来，就可以得到原来那个复杂的函数了。
”她听了之后好像有点开窍了，说：“哦，原来是这样啊，好像没那么难了呢。
”泰勒中值定理和拉格朗日中值定理虽然都很厉害，但是它们也有不同的地方。
拉格朗日中值定理更侧重于那种平均速度和瞬时速度的关系这种比较直观的东西，就像我们走路、开车的速度问题。
泰勒中值定理的证明
泰勒中值定理的证明第一篇嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊泰勒中值定理的证明，这可有趣啦！想象一下，我们有一个函数，它弯弯曲曲的，就像一条调皮的小蛇。
那泰勒中值定理呢，就是要找出这条小蛇的一些规律。
咱们先从简单的开始说哈。
比如说一个简单的函数，像一次函数，咱们很容易就能搞清楚它的样子。
可要是复杂点的函数，就有点头疼啦。
这时候泰勒中值定理就来帮忙啦！它说呀，咱们可以把这个复杂的函数用一系列的多项式来近似表示。
就好像把一个大难题拆分成一个个小步骤，是不是很聪明？那怎么证明它呢？这可得好好琢磨琢磨。
咱们得用一些数学的小技巧，比如求导啦，还有一些巧妙的构造。
比如说，我们先假设存在一个满足条件的中间值，然后通过一系列的推导和计算，发现这个假设是合理的，这样就证明出来啦！哎呀，说起来好像有点复杂，但是只要咱们一步一步来，就会发现其实也没那么难。
小伙伴们，加油哦，相信咱们一定能搞懂这个神奇的泰勒中值定理的证明！第二篇嗨呀，亲爱的朋友们！今天咱们一起来探索泰勒中值定理的证明，准备好烧脑了吗？你看哈，函数世界就像一个神秘的大花园，充满了各种各样奇怪的曲线。
泰勒中值定理就是我们在这个花园里找到规律的一把神奇钥匙。
咱们先想想，为什么要研究这个定理呢？因为很多复杂的函数让我们摸不着头脑，泰勒中值定理能让它们变得清晰起来。
那怎么去证明呢？这就像是在玩一个解谜游戏。
我们得从函数的性质入手，利用函数的连续性、可导性这些特点。
就好像在找线索一样，一个一个地拼凑出答案。
有时候要用到一些巧妙的不等式，有时候要对函数进行多次求导，就像一层一层地剥开洋葱，找到最核心的部分。
而且哦，在证明的过程中，还得特别细心，不能放过任何一个小细节，不然就会迷路啦。
虽然过程有点曲折，但是当我们最终证明出来的时候，那种成就感，简直太棒啦！朋友们，跟着我一起加油，攻克这个有趣的数学难题吧！。
中值定理及泰勒公式
证： f 0 0 f x0 0 又 f x 在 0, x0 内可导。 由罗尔定理可知在 在 0, x0 内至少存在一个 ，使 f 4a0 3 3a1 2 2a2 a3 0
f (2) x1
(x2 2 x1 x2 , 0 1 x1)
x1 f ( )(2 1) 0 (1 2)
f (x1 x2) f (x1) f (x2)
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三、柯西(Cauchy)中值定理 及 满足 :
证： f x cos x f 0 f 2 0 f x sin x 在 [0, 2 ] 上满足罗尔定理的三个条件
且使 f x cos x 0 的点在 [0, 2 ] 是
x x 3
2
2
则有
1
2
2
3
2
使得 f 0
x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为 故
1 ln(1 x) ln1 1
1 x
x0
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例5. 证明不等式
x
tan
x
x cos2
x
证: 设 f (t) tan t
第六节
第二章
微分中值定理及泰勒公式
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、泰勒 ( Taylor )公式
泰勒中值定理教案
泰勒中值定理教案教案标题：泰勒中值定理教案教案目标：1. 了解泰勒中值定理的概念和原理；2. 掌握泰勒中值定理的应用方法；3. 培养学生的数学推理和问题解决能力。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾导数的概念和应用，以及泰勒展开式的相关知识。
2. 提出问题：当我们用泰勒展开式近似计算一个函数的值时，我们如何确定近似值的准确性呢？探究：3. 介绍泰勒中值定理的概念和原理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
4. 通过示例和图示解释泰勒中值定理的几何意义和应用场景。
实践：5. 给出一些具体函数的问题，要求学生利用泰勒中值定理计算近似值，并评估近似值的准确性。
6. 组织学生进行小组讨论，分享解题思路和结果，并互相评价和纠正。
7. 指导学生在实际问题中应用泰勒中值定理，例如在物理、经济等领域中的应用。
拓展：8. 引导学生思考泰勒中值定理的局限性和适用范围，并与其他数学理论进行比较和讨论。
9. 鼓励学生进一步探究和研究泰勒中值定理的相关拓展内容，如带余项的估计等。
总结：10. 总结泰勒中值定理的概念、原理和应用方法。
11. 强调泰勒中值定理在数学和实际问题中的重要性，并鼓励学生继续深入学习和应用。
教学资源：1. 教材：根据教学大纲和学生的学习水平选择合适的教材章节和习题；2. 多媒体：投影仪、电脑等设备，用于展示示例和图示；3. 小组讨论材料：提供给学生进行小组讨论和分享的问题和解题思路。
评估方式：1. 参与度评估：观察学生在课堂讨论和活动中的积极程度；2. 解题能力评估：布置作业或小测验，考察学生对泰勒中值定理的理解和应用能力；3. 问题解决能力评估：设计开放性问题，要求学生运用泰勒中值定理解决实际问题，并评估解决方案的合理性和准确性。
教案建议和指导：1. 在引入部分，可以通过提出问题引发学生的思考和兴趣，激发学习动力；2. 在探究部分，可以通过图示和实例来帮助学生理解泰勒中值定理的几何意义和应用场景；3. 在实践部分，可以设计一些具体的问题，让学生进行实际计算和评估，加强对泰勒中值定理的应用能力；4. 在拓展部分，可以引导学生进行更深入的探究和研究，培养学生的自主学习和探索能力；5. 在评估方式中，可以结合不同形式的评估，全面考察学生的学习情况和能力发展。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件
Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证 设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!
高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学
代入⑹式, 得
ex 1 x 1 x2 2!
1 n!
xn
e x
n 1!
xn1
0 1.
因而相应的近似表达式为
ex 1 x 1 x2 2!
1 xn. n!
当 x 0 时, 相应的误差估计式为
Rn x
e x xn1
n 1!
ex xn1,
n 1!
如果取 x 1, 即得到 e的近似表达式:
2!
f n 0 xn.
⑺
n!
上式称为函数 f x的n阶麦克劳林多项式. 而相应的误
差估计式为
Rn x
M
n 1!
x
n1 .
⑻
例2 求出函数 f x ex 的n 阶麦克劳林展开式.
解 因 f x f x f x f n x ex ,
所以: f 0 f 0 f 0 f n 0 1,
来近似表示 f x 并给出误差的具体表达式.
为了使所求出的多项式与函数 f x在数值与性质方 面吻合得更好, 进一步要求 Pn x 在点 x0处的函数值以 及它的n 阶导数值与 f x在 x0处的函数值以及它的n
阶导数值分别相等. 即
Pnk x0 f k x0 k 0,1, ,n.
e 11 1 1 . 2! n!
例3
求
y
x
x
1
在
x0
2 处的三阶泰勒展开式.
解因
y x 1 1 , y2 2,
x 1 x 1
y
x
1
12
,
y2 1, y2 2,
y
2
6,
y4
x
x
4!
15
,
y4 2 24 4!