第2章§5简单复合函数的求导法则
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =（内函数），则()y f u =（外函数） ②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅ ③回代()u g x =规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数例：1．设()()2ln 333f x x x =+-，则()1f '=（ ）A ．112-B ．356-C ．0D ．3562．设()0sin 2cos2f x x x =+，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2022f x =（ ） A ．()20212cos2sin 2x x - B ．()20222cos2sin 2x x -- C ．()20212cos2sin 2x x +D ．()20222cos2sin 2x x -+3．函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其导函数为函数()'f x ，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________．4．函数212e ()x f x x -=在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程是_________． 5．求下列函数的导数： (1)()cos 34y x =+； (2)214x y -=； (3)()521y x =-； (4)()3log 51y x =-.举一反三：1．已知函数()cos 2f x x =，那么()6f π'的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．3-2．已知函数()f x 及其导函数()f x '，若存在0x 使得()()00f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )A ．()2f x x = B ．()ln f x x = C ．()e xf x -= D ．()cos f x x =3．已知函数()()()2e 0ln 4xf f x x '=++，则()0f '=______．4．求下列函数的导数：(1)222e e x x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)22x y a x =+； (3)43sin 3cos 4y x x =⋅； (4)()ln ln 11x xy x x =-++． 5．如图，一个物体挂在铅直的弹簧下面，已知其位移sin y A t ω=，其中t 为时间，A 为振幅，ω为常数.(1)求物体的速度与加速度关于时间的函数； (2)试讨论物体的位移、速度与加速度的关系.巩固提升一、单选题1．已知()21x f x x e -+，则()0f '=（ ） A ．0B ．2C ．32D ．12-2．下列关于函数()21ny x =-的复合过程与导数运算正确的是（ ）A ．()1n y u =-，2u x =，()21ny nx u '=- B ．n y t =，()21nt x =-，()121n y nx t -'=-C ．n y u =，21u x =-，()1221n y nx x -'=-D ．n y u =，21u x =-，()121n y n x -'=-3．已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．24．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()2402tN t N -=，其中0N 为0=t 时钍234的含量.已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()96N =（ ） A ．12B ．12ln2C ．24D ．24ln25．已知0a b >>，函数axy e =在0x =处的切线与直线20x by -=平行，则22a ba b+-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()()ln e f x x x =+，()()2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e8二、多选题7．下列各式正确是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1ln x x'-=C ．()222x x e e '=D ．()12x x '=-8．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数()()()1*7sin 212N 1i i x f x i i =-⎡⎤⎣⎦=∈-∑的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）为周期函数，且最小正周期为π B ．函数f （x ）为奇函数C ．函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2π对称 D ．函数()'f x 有最大值为7三、填空题9．函数()e cos2xf x x =的导函数()f x '=___________.10．某个弹簧振子在振动过程中的位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的关系516sin 62y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该振子在6s t =时的瞬时速度为___________mm/s .四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()()521f x x =+；(2)()2sin f x x =；(3)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(4)()()ln 1f x x =+．12．某港口在一天24h 内潮水的高度S （单位：m ）随时间t （单位：h ，024t ≤≤）的变化近似满足关系式π5π()3sin 126S t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求18点时潮水起落的速度．。
新教材适用2023_2024学年高中数学第2章5简单复合函数的求导法则课件北师大版选择性必修第二册
2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝__1___. [解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)， 又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20， 解得a＝1.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
复合函数的概念
典例 1 函数 y＝2x＋1 12可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数 y＝2x＋1 12可以看成函数 y＝1u与函数 u＝(2x＋1)2 的复
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进 行，导致求导不完全.
课堂检测•固双基
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( A ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 [解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝ x2－1 复合而成．
即 y′＝18x－24. (2)设 y＝cos u，u＝2x－π4， 则 yu′＝－sin u，ux′＝2， 于是 yx′＝yu′·ux′＝－2sin2x－π4， 即 y′＝－2sin2x－π4.
(3)设 y＝ln u，u＝4x－1，则 yu′＝1u，ux′＝4， 于是 yx′＝yu′·ux′＝4x－4 1， 即 y′＝4x－4 1. (4)设 y＝eu，u＝x2，则 yu′＝eu，ux′＝2x， 于是 yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即 y′＝2xex2.
知识点 2 复合函数的求导法则
复 合 函 数 y ＝ f(φ(x)) 的 导 数 为 ： y′x ＝ ______[f_(φ__(x_)_)]_′___________ ＝ _________f′__(_u_)_φ_′__(x_)_，__其__中__u_＝__φ_(_x_) ___________.
高中数学知识点精讲精析 简单复合函数的求导法则
5 简单复合函数的求导法则1． 设函数)(u f y =与函数)(x u ϕ=构成复合函数))((x f y φ=；如果 ① 函数)(x u ϕ=在点x 处可导；② 函数)(u f y =在对应点)(x u ϕ=可导；则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导，且)()())((x u f x f x u x ϕ''='，即 x u x u y y ''='，或 . 证 设x 有增量0Δ≠x ，则相应地函数u = φ (x )有增量Δu ，从而函数y = f (u )有增量Δy ，由②及极限与无穷小的关系知 )(u f u 'α+∆∆=∆∆=→∆uy u y u 0lim （其中00→⇒→∆αu ）, 当0≠∆u 时有 uu u f y u ∆+∆'=∆α)(；(1)当0=∆u 时，规定α = 0，上式仍成立。
两边同除以x Δ，得 ⑵由于)(x u ϕ=点x 可导，必定在点x 连续，于是00)()(0→⇒→-∆+=∆⇒→∆αϕϕx x x u x ；再由①知，(2)式令0Δ→x 取极限，即得 x u x u u f xy x x x u x ∆∆⋅+∆∆'=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim )(lim α)()(x u f x u ϕ'⋅'=， 即x d u d u d y d x d y d ⋅=. xu x u u f x y u ∆∆α∆∆∆∆+'=)(xd u d u d y d x d y d ⋅=复合函数的求导法则也形象地称为链式法则——函数对自变量的导数=函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
它是微分运算技巧的重要基础。
1．2sin x y =，求xd y d . 【解析】设 2x u =，则u y sin =，所以 22cos 22)(cos )()(sin x x x u x u xd u d u d y d x d y d =⋅=''=⋅=. 注 熟练后不必写出中间变量了，但一定注意不能漏掉对中间变量的求导：. 2．x y tan ln =，求xd y d . 【解析】 x x x u x u xd u d u d y d x d y d tan sec sec 1)(tan )(ln 22=⋅=''=⋅=. 注 链式法则可以推广到有限多个函数：设函数)(,)(,)(x h v v g u u f y ===均可导，则有)()()(x h v g u f dx dv v d u d u d y d x d y d '⋅'⋅'=⋅⋅=. 3． )e cos(ln x y =，求y d . 【解析】 . 4．x y 1sin e =，求xd y d . 【解析】.5． μx y = ( x > 0 )，求y '.x x x x x x x e x d y d e tan e )()e sin ()e (cos 1)e (cos )e (cos 1-='⋅-='=2222cos 22cos )(cos x x x x x x x d y d =⋅='⋅=x x x x x x x x d y d x x x x 1cos e 1)1()1(cos e )1(1cos e )1(sin e 1sin 221sin 1sin 1sin ⋅-=-⋅⋅='⋅⋅='⋅=【解析】1ln ln ln )ln ()()(-=='='='='μμμμμμμμx x e x e e x y x x x .注 将幂函数转化为指数函数，和将幂指函数转化为指数的复合函数的方法是求极限和导数常用的方法。
第二章 5 简装复合函数的求导法则
§5 简单复合函数的求导法则 课时目标 1.理解复合函数的变量之间的关系，会将复合函数分解成简单函数.2.理解复合函数的求导法则，会求形如y ＝f (ax ＋b ) (a ≠0)的函数的导数．1．复合函数对于两个函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )＝ax ＋b ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，记作y ＝f (φ(x ))．其中u 为中间变量．2．复合函数的导数函数y ＝f (φ(x ))的导数为y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )·φ′(x )．一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝(x －1)3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<04．函数y ＝sin(4x ＋5)的导数是( )A ．y ′＝cos(4x ＋5)B ．y ′＝4cos(4x ＋5)C ．y ′＝4sin(4x ＋5)D ．y ′＝－4cos(4x ＋5)5．函数y ＝(3x －6)5的导数是( )A ．y ′＝5(3x －6)4B ．y ′＝15(3x －6)4C ．y ′＝5(3x )4D ．y ′＝－15(3x －6)46．函数y ＝(2 010－8x )8的导数为( )A ．8(2 010－8x )7B ．－64xC ．64(8x －2 010)7D ．64(2 010－8x )7二、填空题7．已知函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝2x ，则函数y ＝f (2x －1)的导数是__________．8．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在点P ⎝⎛⎭⎫π3，－1处的切线斜率为________． 9．函数y ＝log 3(2x 2＋1)的导数是______________．三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x ； (2)y ＝(sin x ＋1)2.11．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4e－x＋1－2在点M(1，－3)处的切线平行的直线方程．能力提升12．曲线y＝(2x－2)3在点(2,8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为多少？13．求函数y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．1．复合函数求导的关键是选择好中间变量，然后按公式求导．2．利用复合函数的导数，可以解决曲线的切线等数学问题．答案作业设计1．D[y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.]2．A[显然选项B、C、D不符合题意，对于选项A，f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)，因为f′(x)＝3(x－1)2＋3，所以f′(1)＝3.]3．B[当x<0时，－x>0，因为f(x)＝－f(－x)，g(x)＝g(－x)，所以，f′(x)＝[－f(－x)]′＝f′(－x)>0，g′(x)＝[g(－x)]′＝－g′(－x)<0.]4．B[函数可以看作是y＝sin u和u＝4x＋5的复合，所以y′＝(sin u)′(4x＋5)′＝4cos(4x ＋5)．]5．B[函数可以看作是y＝u5和u＝3x－6的复合，所以y′＝(u5)′(3x－6)′＝15(3x－6)4.] 6．C[y′＝[(2 010－8x)8]′＝8(2 010－8x)7·(2 010－8x)′＝－64(2 010－8x)7＝64(8x－2 010)7.]7．8x－4解析令u＝2x－1，f(2x－1)＝f′(u)(2x－1)′＝2u ·2＝4(2x －1)＝8x －4.8．0解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， x ＝π3时，y ′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2·π3＋π3＝0. 9.4x (2x 2＋1)ln 3解析 令y ＝log 3u ，u ＝2x 2＋1，则y ′＝(log 3u )′(2x 2＋1)′＝1u ln 3·(4x )＝4x (2x 2＋1)ln 3. 10．解 (1)引入中间变量u ＝φ(x )＝2x ，则函数y ＝sin 2x 是由函数f (u )＝sin u 和u ＝φ(x )＝2x 复合而成，因f ′(u )＝cos u ， u ′＝φ′(x )＝2，由复合函数求导法则可得，y ′＝(sin 2x )′＝f ′(u )φ′(x )＝2cos 2x .(2)引入中间变量u ＝φ(x )＝sin x ＋1，则函数y ＝(sin x ＋1)2是由函数f (u )＝u 2和u ＝φ(x )＝sin x ＋1复合而成，因f ′(u )＝2u ，u ′＝φ′(x )＝cos x ，由复合函数求导法则可得y ′＝[sin x ＋1)2]′＝f ′(u )φ′(x )＝2(sin x ＋1)cos x .11．解 因为y ′＝(3x 2－4e －x ＋1－2)′＝6x ＋4e －x ＋1，所以过点(1，－3)切线的斜率为k ＝y ′＝6＋4＝10，所以过P (－1,2)与切线平行的直线方程为y －2＝10(x ＋1)，即y ＝10x ＋12.12．解 因为f ′(x )＝[](2x －2)3′＝6(2x －2)2，所以f ′(2)＝6(4－2)2＝24，曲线在(2,8)处的切线方程为y －8＝24(x －2)，切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫53，0.所以，三角形面积为12⎪⎪⎪⎪2－53·8＝43. 13．解 因为y ＝ln(2x －1)可看成y ＝ln u 和u ＝2x －1的复合函数，所以y ′＝[ln(2x －1)]′＝(ln u )′(2x －1)′＝1u ·2＝22x －1， 设切点坐标P (x 0，y 0)，根据导数的几何意义，则有22x 0－1＝2， 所以x 0＝1，y 0＝ln(2x 0－1)＝0，所以切点为P (1,0)，故所求的最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5.。
2.5 简单复合函数的求导法则
a1x－1·(ax－1)′＝2
a， ax－1
∴f′(1)＝ 2
aa－1＝1.解得 a＝2.
答案：2
陕西省南郑中学
第二章 变化率与导数
5．设曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________. 解析：∵y′＝a·eax，且 y＝eax 在点(0,1)处的切线与 直线 x＋2y＋1＝0 垂直，∴k＝2＝f′(0)＝a，即 a ＝2. 答案：2
100 x2
2
200 (2t 1)2
∴ h(3) 200 (cm / s) 49
当
t
3
时，水面高度下降的速度是
200 49
cm /
s
。
在对法则的运用熟练后，可以不必写中间步骤。
陕西省南郑中学
第二章 变化率与导数
[例 5] 某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系
s(t)＝3sin1π2t＋56π(0≤t≤24)，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 h， 求函数在 t＝18 时的导数，并解释它的实际意义．
问题： 一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原油在海面上形
r 成一个圆形油膜，其面积 S 是半径 的函数：
S f (r) r 2
油膜半径r 随着时间 t的增加而扩大，其函数关
系为：
r (t) 2t 1
问：油膜面积 S关于时间 t的瞬时变化率是多
少？
陕西省南郑中学
第二章 变化率与导数
>
������, ������
≠
������) y
1 x ln a
特别地，(ln x)
简单复合函数求导法则
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
分析复合函数的结构，找准中间变量是
反思与感悟
求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个 整体，并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再 写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由
外及内逐层求导.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ). 解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋
3的复合函数. ∴yx′＝ yu′· ux′ ＝ (u2)′· (2x＋ 3)′＝ 2u· 2 ＝ 4(2x＋ 3) ＝8x＋12.
探究点一
思考1
复合函数的定义
观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，
说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；
而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复
合”得到的，
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
2x＋ 1
1 例 3 求曲线 y＝e 在点(－ ，1)处的切线方程. 2 解 ∵y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′ ＝ 2，
2x＋ 1
∴曲线 y＝e
1 在点(－ ，1)处的切线方程为 2
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 §5 简单复合函数的求导法则
∴yx'=f'(u)φ'(x)=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
2
(2)∵函数 y=ln(6x+4)可看作是由函数 f(u)=ln u 和 u=φ(x)=6x+4 > - 3 复合
6
√10
f'(40)=
2√40
=
1
(mm/min).
4
答案:D
4.若f(x)=ecos x,则f'(x)=
答案:-sin x·ecos x
.
5.求曲线 y=f(x)=
1
2 -3
1
在点 4, 处的切线方程.
2
3
1 2
解:由复合函数的求导法则,可得 f'(x)=- (x -3x) 2 ·(2x-3),
综上,[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
3.一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到
了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数
y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y= f(φ(x)) ,其中u为中间变量.
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'= f'(u)φ'(x) ,其中u=φ(x).
e
-2t
9
9
(2)y=5(x+32)=5(16e-2t+36),
9×16 -2t
288 -2t
y'= 5 e ×(-2)=- 5 e .
高中数学简单复合函数的求导法则
2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 （1） y sin (1 ) （2） y (1 sin 2 x)4 x （3） y cos ln( x 1)
2
（4） y ae
2 x2 1
例：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x)' [ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' f ( x) f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)]
§5 简单复合函数的求导法则
一、基本初等函数的求导公式
1.若y c(c是常数),则y / 0; 2.若y x (是实数),则y / x 1; 3.若y a x (a 0, a 1),则y / a x ln a 特别地(e x ) / e x ; 4.若y log x(a 0, a 1),则y /
想一的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：2.5 简单复合函数的求导法则
【解析】1.y′= ，2 k= =22 ，
x 1
0 1
所以切线方程为y-0=2(x-0)，即y=2x.
答案：y=2x
2.(1)因为f(x)=(2x-3sin 3x)4， 所以f′(x)=[(2x-3sin 3x)4]′ =4(2x-3sin 3x)3·(2x-3sin 3x)′ =4(2x-3sin 3x)3·[(2x)′-(3sin 3x)′] =4(2x-3sin 3x)3·[2-3cos 3x·(3x)′] =4(2x-3sin 3x)3·(2-9cos 3x).
【思考】
(1)已知函数f(x)=sin (2x ) .这个函数是复合函数吗？若是，由哪两个函数
6
复合而成？
提示：是复合函数.函数f(x)=sin (2x 是由) 函数f(u)=sin u和函数u=φ(x)
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=2x+ 复合而成的.
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(2)函数f(x)=sin (2x ) 分步求导数的过程是什么？
§5 简单复合函数的求导法则
必备知识·自主学习
复合函数的定义及求导法则 (1)定义：对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b，给定x的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数 y=f(u)和u=φ(x)的复合函数. (2)记法：函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数，记作y=f(φ(x))，其中u为中间 变量. (3)求导法则：y′x=[f(φ(x))]′=f′(u)φ′(x).
2.(ln 2x)′等于
()
A. 1
B. 1
2x
x
C. 1 xln 2
D. ln 2 x
【解析】选B.(ln 2x)′= 1 (2x)′= 1 .
数学北师大版选修2-2教材基础第二章§5简单复合函数的求导法则含答案
§5 简单复合函数的求导法则
前面我们学习了简单函数的求导和导数的四则运算,但如果我们遇到层次关系较多的函数，这样的函数我们怎样求它的导数呢？ 高手支招1细品教材
一、复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=φ（x ），如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数。
如:y=2
x e ，y=lntanx 都是复合函数. 状元笔记 复合函数y=f （φ（x)）对自变量x 的导数等于函数y=f （u)关于中间变量u 的导数与中间变量u 关于自变量x 的导数的乘积。
二、复合函数的求导法则
如果函数u=φ(x)在点x 可导，而函数y=f(u)在对应点u=φ(x）可导，则复合函数y=f （φ(x ）)在点x 可导,且其导数为:y′=（f （u ））′=f′(u）·φ′（x).
三、利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤
1。
分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;
2。
求每一层基本初等函数的导数，注意是对哪一个变量求导;
3。
每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数；
4.对于层数比较多的复合函数,可由外向里逐层求导.
【示例】求y=655-
x 的导数. 解：y′=[（5x 65-21)]′=21·(5x 65-21)-·5=65
525-x .
高手支招2基础整理
本节的主要内容是复合函数的概念,复合函数的求导法则及其应用。
本节的知识结构如下:。