2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训58离散型随机变量的均值与方差、正态分布含解析
2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差教师用书理PDF含解析
１ 为４．
（２） 随机变量 Ｘ 的可能取值为 ０，１，２，３，４．
Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝
１ ４
，Ｐ（Ｘ ＝ １） ＝
２ Ａ２４
＝
１ ６
，Ｐ（Ｘ ＝
２） ＝
１ Ａ２４
＋ Ａ２２ Ａ３４
＝
１ ，
６
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝
Ｃ１２ Ａ２２ ＝ Ａ３４
１ ６
，Ｐ（ Ｘ ＝ ４）＝
Ａ
３ ３
Ａ
４ ４
＝
１ ４
．
所以随机变量 Ｘ 的分布列为
的两点分布．
３．超几何分布列
在含有 Ｍ 件次品的 Ｎ 件产品中，任取 ｎ 件，其中含有 Ｘ 件
次 品， 则 事 件 ｛ Ｘ ＝ ｋ ｝ 发 生 的 概 率 为 Ｐ （ Ｘ ＝ ｋ ） ＝
ＣｋＭ
·Ｃｎ－ｋ Ｎ－Ｍ ＣｎＮ
（
ｋ
＝
０，１，２，…，ｍ） ，其中
ｍ ＝ ｍｉｎ｛ Ｍ，ｎ｝ ，且
ｎ≤Ｎ，Ｍ≤
Ｎ，ｎ、Ｍ、Ｎ∈Ｎ∗ ，称分布列
中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则
Ｐ（ Ａ）＝
６ １２
×
３ ６
×
２ ３
×
１ ２
＝
１ １２
．
（２） 随机变量 Ｘ 的取值可以为 １，２，３，４．
Ｐ（Ｘ ＝ １）＝
６＝ １２
１ ２
，
Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝
６× １２
３ ６
＝
１ ４
，
Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝
６× １２
３ ６
×
１ ３
＝ １， １２
Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝
（１） ｐｉ ≥０，ｉ ＝ １，２，…，ｎ； （２）ｐ１ ＋ｐ２ ＋…＋ｐｉ ＋…＋ｐｎ ＝ １． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 围内各个值的概率之和． ２．两点分布 如果随机变量 Ｘ 的分布列为
2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第10章第6节离散型随机变量的均值与方差、正态分布含答案
第六节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[考纲传真] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的分布列、均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称D(X)＝[x i－E(X)]2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差4.正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4. [常用结论]1．均值与方差的关系：D (X )＝E (X 2)－E 2(X )．2．超几何分布的均值：若X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(2)若X ～N (μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差． ( ) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量． ( )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3A.73 B ．4C ．－1D ．1 A [由概率分布列的性质可知：12＋13＋a ＝1， ∴a ＝16.∴E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13. ∴E (Y )＝3＋2E (X )＝3－23＝73.]3．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则随机变量η的均值E (η)及方差D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6B[设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)，因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4，故选B.]4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.0．6[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称．则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]5．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1,2,3，C为常数，则P(0.5＜X＜2.5)＝________.89[由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得C1×2＋C2×3＋C3×4＝1，解得C＝43.所以P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝23＋29＝89.]【例1】有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝( )A．1.96 B．1.98 C．2 D．2.02(2)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．①求甲获胜的概率；②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．(1)A[依题意，X～B(100,0.02)，所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.](2)[解]设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(A k)＝13，P(B k)＝12，其中k＝1,2,3.①记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(–A1–B1A2)＋P(–A1–B1–A2–B2A3)＝P(A1)＋P(–A1)P(–B1)P(A2)＋P(–A1)P(–B1)P(–A2)P(–B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.②ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(–A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(–A1–B1A2)＋P(–A1–B1–A2B2)＝23×12×13＋⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122＝29，P(ξ＝3)＝P(–A1–B1–A2–B2)＝⎝⎛⎭⎪⎫232×⎝⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ的分布列为所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，D(η)＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎨⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例2】 X (单位：米)的频率分布直方图如图：将河流最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立． (1)求在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)的概率(结果用分数表示)；(2)该河流对沿河A 企业影响如下：当X ∈[23,27)时，不会造成影响；当X ∈[27,31)时，损失10 000元；当X ∈[31,35]时，损失60 000元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程费用3 800元； 方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程费用2 000元； 方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由． [解] (1)由题意得P (27≤X ＜31)＝0.25＝14.设在未来3年里，河流最高水位x ∈[27,31)发生的年数为Y ，则Y ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14.设事件“在未来三年里，至多有一年河流最高水位X ∈[27,31)”为事件A ， 则P (A )＝P (Y ＝0)＋P (Y ＝1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫3422×14＝2732.所以在未来三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率为27 32.(2)方案二好，理由如下：由题意得P(23≤X＜27)＝0.74，P(31≤X≤35)＝0.01，用X1，X2，X3分别表示方案一、方案二、方案三的损失，由题意得X1＝3 800，X2的分布列为所以E(X2)＝62 000×0.01＋2 000X3的分布列为所以E(X3)＝0×0.74＋60 000×因为三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二好．甲、乙两地该商品需求量(单位：件)的频率分布表如下：甲地需求量频率分布表乙地需求量频率分布表(1)若此供货商计划将10件该商品全部配送至甲、乙两地，为保证两地不缺货(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，问该商品的配送方案有哪几种？(2)已知甲、乙两地该商品的销售相互独立，该商品售出，供货商获利2万元/件；未售出的，供货商亏损1万元/件．在(1)的前提下，若仅考虑此供货商所获净利润，试确定最佳配送方案．[解](1)由表格可知，甲地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货5件；乙地不缺货的概率大于0.7时，至少需配货4件．故共有两种方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件．(2)方案一：甲地配5件，乙地配5件时，记甲地的利润为X1万元，乙地的利润为Y1万元，则X1，Y1的分布列分别为E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋17×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(万元)．方案二：甲地配6件，乙地配4件时，记甲地的利润为X2万元，乙地的利润为Y2万元，则X2，Y2的分布列分别为)＋E(Y2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋2(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(万元)．综上，仅考虑此供货商所获净利润，选择方案二更佳．【例3】(2017·全国卷Ⅰ)线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x ＝＝9.97，s ＝＝)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数–x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由–x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估计值为10.02.＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.N(－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4.A．1 193 B．1 359C．2 718 D．3 413(2)甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是( )A．甲、乙两厂生产都出现异常B．甲、乙两厂生产都正常C．甲厂生产正常，乙厂出现异常D．甲厂生产出现异常，乙厂正常(1)B(2)D[(1)对于正态分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝12×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.(2)由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7,5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．故选D.](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[解](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．。
2020届高考理科数学一轮复习第10章 第8节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布含答案
第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布1.均值一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：则称E (X )＝x 1p 1＋x 22i i n n .它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.,(2)E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均状态.,(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 直接给出了E (X )的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加.2.方差设离散型随机变量X 的分布列为：则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度.而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度.称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差.(1)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D (X )越大，表明平均偏离程度越大，X 的取值越分散.反之，D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近.,(2)方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负.3.两个特殊分布的期望与方差4.正态分布 (1)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)≈0.954 4； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)≈0.997 4.[熟记常用结论]若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2).(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的均值是随机变量.( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、选填题1.已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73 B.4 C.－1D.1解析：选A ∵E (X )＝－12＋16＝－13，∴E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.2.已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.329 B.89 C.439D.599解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， ∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝329.3.设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，若P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜0)＝( ) A.12＋p B.1－p C.1－2pD.12－p 解析：选D 因为随机变量X 服从正态分布N (0,1)，所以正态分布曲线关于直线x ＝0对称， 所以P (X ＞0)＝P (X ＜0)＝12，P (X ＞1)＝P (X ＜－1)＝p ，所以P (－1＜X ＜0)＝P (X ＜0)－P (X ＜－1)＝12－p .4.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案：9165.一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________.解析：X 的分布列为：∴E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.答案：52考点一 离散型随机变量的均值与方差[师生共研过关][典例精析]为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ).[解] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝⎛⎭⎫1－14－12×⎝⎛⎭⎫1－16－23＝14×16＝124， 故两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512. (2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16×14＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.ξ的分布列为：E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003. [解题技法]求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E (ξ). (5)由方差的定义求D (ξ).[过关训练]1.随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝( )A.15B.25C.55D.105解析：选B 设P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝q ，由题意得⎩⎨⎧0×15＋p ＋2q ＝1，15＋p ＋q ＝1，解得p ＝35，q ＝15，∴D (X )＝15(0－1)2＋35(1－1)2＋15(2－1)2＝25.2.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望.解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925. (2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740， P (X ＝3)＝1120. 所以X 的分布列为：E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.考点二 二项分布的均值与方差[师生共研过关][典例精析](2019·成都检测)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：吨).若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标.(1)从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差.[解] (1)记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为13.X 的所有可能取值为0,1,2,3，易知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13，P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫233－k ，k ＝0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127. ∴随机变量X 的分布列为：数学期望E (X )＝3×13＝1，方差D (X )＝3×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝23. [解题技法]二项分布的期望与方差(1)如果ξ ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (a ξ＋b )，同样还可求出D (a ξ＋b ).[过关训练]1.设X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，若随机变量X 的数学期望E (X )＝4，D (X )＝43，则P (X ＝2)＝________.(结果用分数表示)解析：∵X 为随机变量，且X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝4，D (X )＝np (1－p )＝43，解得n＝6，p ＝23，∴P (X ＝2)＝C 26×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－234＝20243. 答案：202432.(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率).解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1， 解得a ＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均值x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克). 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24.6克. (2)该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.X 的可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. ∴X 的分布列为：∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35⎝⎛⎭⎫或者E (X )＝3×15＝35考点三 均值与方差在决策中的应用[师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ [解] (1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2·(1－p )18， 所以f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17] ＝2C 220p (1－p )17(1－10p ).令f ′(p )＝0，得p ＝0.1. 当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )＞0； 当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )＜0. 所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元.由于EX ＞400，故应该对余下的产品作检验.[解题技法]离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E (ξ1)＝E (ξ2)或E (ξ1)与E (ξ2)较为接近时，就需要用D (ξ1)与D (ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.[过关训练]某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为：∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200，D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为：∴E (X 2)＝500×35＋0×115＋(－300)×13＝200，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)＜D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 考点四 正态分布[师生共研过关][典例精析](1)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B.P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C.对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D.对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )(2)(2019·太原模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( )A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.0.920 7(3)某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人. [解析] (1)由正态曲线的性质及题图知，μ1＜μ2,0＜σ1＜σ2.故对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )正确.(2)因为随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，所以P (X ≤2)＝0.158 7，所以P (2＜X ＜4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝0.682 6，故选A.(3)因为数学成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)， 所以其正态分布曲线关于直线x ＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的12×⎝⎛⎭⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有15×900＝180(人).[答案] (1)C (2)A (3)180[解题技法]正态分布下2类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.[过关训练]1.(2019·武汉模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，则P (2≤ξ＜4)等于( )A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7解析：选B ∵P (ξ＜2)＝P (ξ＞6)＝0.15，∴μ＝2＋62＝4.又P (2≤ξ≤6)＝1－P (ξ＜2)－P (ξ＞6)＝0.7，∴P (2≤ξ＜4)＝P (2≤ξ≤6)2＝0.35，故选B. 2.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 (x i －x )2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6).因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02， 因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
2020高三数学(人教版)一轮复习离散型随机变量的分布列均值与方差
所以X的分布列为
X1 2 3
P
1 5
3 5
1 5
因此，X的均值E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋ 3×P(X＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.
方差D(X)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝15＋0＋ 15＝25.
均值与方差在决策中的应用 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差 反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻 画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依 据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
②依题意，得X的所有可能取值为20,60. P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝CC2324＝12， 即X的分布列为
X 20 60
P
1 2
1 2
所以顾客所获的奖励额的均值E(X)＝20×12＋60×12＝40元．
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所 以，先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组 成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和 的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方 案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60 元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
i＝1
2．以特殊分布(两点分布、二项分布、超几何分布)为背 景的均值与方差的计算
(1)先根据随机变量的特点判断出随机变量服从什么特殊 分布；
(2)可以根据特殊分布的概率公式列出分布列，根据计算 公式计算出均值和方差；也可以直接应用离散型随机变量服 从特殊分布时的均值与方差公式来计算；若X＝aξ＋b不服从 特殊分布，但ξ服从特殊分布，可利用有关性质公式及E(ξ)， D(ξ)求均值和方差．
一轮复习配套讲义：第11篇 第6讲 离散型随机变量的均值与方差.pdf
0.21.(√)
2．均值与方差的性质
学海无涯
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差 或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√) (4)已知 X 的分布列为
X
－1
0
1
P
1 2
1
1
3
6
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为73.(√)
(5)(2013·上海卷改编)设等差数列 x1，x2，x3，…，x19 的公差为 1，若随机变量 X
中常用 D(X)来描述 X 的分散程度，如(5).
考点一 离散型随机变量的均值与方差 【例 1】 (2013·浙江卷)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定： 取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分． (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2
然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量 X～B(n，p)，则可直接使用公
式 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．
【训练 2】 某人投弹命中目标的概率 p＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数 X 的均值和方差； (2)求重复 10 次投弹时命中次数 Y 的均值和方差． 解 (1)随机变量 X 的分布列为
立事件与对立事件公式计算．(2)每种方案的得分与中奖次数有关，且中奖次数
服从二项分布，运用均值的性质求解．
解 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否 互不影响． 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A， 则事件 A 的对立事件为“X＝5”， 因为 P(X＝5)＝23×25＝145， 所以 P(A)＝1－P(X＝5)＝1115， 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为1115. (2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中 奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方 案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)．
2020届 高三理科数学一轮复习之离散型随机变量的均值与方差课件(共22张PPT)
典例分析
例 5(2018·长沙调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测
量重量(单位：克)，按照[27．5，32．5)，[32．5，37．5)，[37．5，42．5)，[42．5， 47．5)，[47．5，52．5]分为 5 组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中 a 的值； a 0.05
X
0
1
2
3
P 0．064 0．288 0．432 0．216
因为 X～B(3，0．6)，所以数学期望 E(X)＝3×0．6＝1．8，
方差 D(X)＝3×0．6×(1－0．6)＝0．72．
课后练习题
练习（2）(2018·河南百校联盟调研)PM2．5 是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情 况，从去年每天的 PM2．5 值的数据中随机抽取 40 天的数据，其频率分布直方图如图所示．
答案 B (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)； (2)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．
典例分析
例 3:(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为 0．02，从
这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，
X 表示抽到的二等品件数，则 DX＝________．
典例分析
(3)已知这种植物果实重量不低于 32．5 克的即为优质果实，用样本估计总
体．若从这种植物果实中随机抽取 3 个，其中优质果实的个数为 X，求 X 的
分布列和数学期望 E(X)．
a 0.05
解：由已知可得这批果 实的优果率
P 1 0.02 5 0.9 X的可能取值为0，1，2，3 且优质果实的个数 X～B(3,0.9)
D( X ) (1 10)2 1 (2 10)2 1 (3 10)2 1
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第9讲 离散型随机变量的均值与方差 Word版含解析
第9讲离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X)＝()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.答案 C2.(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400解析设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000，0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.答案 B3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A.n＝4，p＝0.6B.n＝6，p＝0.4C.n＝8，p＝0.3D.n＝24，p＝0.1解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故选B.答案 B4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A.6，2.4B.2，2.4C.2，5.6D.6，5.6解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B5.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是( ) A.4B.4.5C.4.75D.5解析 由题意知，X 可以取3，4，5，P (X ＝3)＝1C 35＝110， P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35，所以E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝4.5. 答案 B 二、填空题6.设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则P (X＝2)等于________.解析 由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得np ＝13n ＝2，∴n ＝6， 则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243. 答案 802437.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎨⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25. 答案 258.(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元. 解析 由题意知a ＋2a ＋4a ＝1，∴a ＝17，∴获得一、二、三等奖的概率分别为17，27，47，∴所获奖金的期望是E (X )＝17×7 000＋27×5 600＋47×4 200＝5 000元. 答案 5 000 三、解答题9.(2017·成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.解 (1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以120＋x3 600＝0.05，解得x ＝60.所以持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600＝72人.(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为120180×6＝4人，社会人士为60180×6＝2人，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15，所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.10.(2017·郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手(1～6)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望. 解(1)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中3号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中3号歌手”，则P(A)＝C14C25＝25，P(B)＝C24C35＝35，∴媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率为P(A B)＝25×⎝⎛⎭⎫1－35＝425.(2)P(C)＝C25C36＝1 2，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝P (A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝325. P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＝1950，P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×35×12＝1950，P (X ＝3)＝P (ABC )＝25×35×12＝325， ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×325＋1×1950＋2×1950＋3×325＝32.11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A.85B.65C.45D.25解析 由题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，3m ＋3， 又E (X )＝5×3m ＋3＝3，∴m ＝2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35，故D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.答案 B12.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为( )A.16B.13C.12D.23解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.答案 D13.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则E (ξ)＝1×x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 答案 214.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解 (1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2， p 2＝P (80≤x ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2③安装3台发电机的情形.依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.。
高考数学一轮复习离散型随机变量的均值与方差
第8节离散型随机变量的均值与方差最新考纲了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念口归敦材，夯实:基础IS础诊断知识梳理i. 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E (X)= X]p]+ X?02+…+ X]p i+…+ X n P n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D (X)=£_(x i — E (X)) 2p丄为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与i = 1其均值E (X)的平均偏离程度，其算术平方根 D (X)为随机变量X的标准差.2. 均值与方差的性质(1) E (aX+ b)= aE (X)+ b.(2) D (aX+ b)= a2D (X) (a, b 为常数).3. 两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E (X)= p, D (X)= p (1 —p).(2)若X〜B (n, p)，则 E (X)= np，D (X)= np (1 —p).[常用结论与微点提醒]1. 已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数丫= aX+ b的均值、方差和标准差，可用均值、方差的性质求解；2. 如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.诊断自测1•思考辨析（在括号内打“/或“ X”） （1） 期望值就是算术平均数，与概率无关•（）（2）随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量 .（）（3） 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度， 方差 或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.（）（4） 均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 （ ） 解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散 型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故（1）（4）均 不正确.答案（1）X （2）V2. （选修2-3P68T1改编）设丫二2X + 3,则E (丫)的值为( )A.3B.4C.-1D.111 1 解析 E (x )= — 2+ g =-3，（3）V（4）X4. (2017全国U 卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 D (X )= _____________ 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，则 X 〜B (100，0.02)，所以 D (X )= np (1 — p )= 100X 0.02X 0.98=1.96.答案 1.96则a= _________ ，数学期望E (X )= _____________49 25 9 1 65E (X )=1X 84+ 2X 84+ 3X 84+ 4X 84=42. 答案25 65答案 84 42 6. (2018湖州调研)甲、乙两人被随机分配到 A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A 岗位的人数为随机变量X ,则随机变量X 的数 学期望E (X )= _____________ ，方差D (X )= _____________ .0 OA解析 由题意可得X 的可能取值有0，1, 2，P (X = 0)= 亍 =9 P (X = 1)3X 3 9C 2X 2 4 11^44 12 =3X 3 = 9,P (X= 2) = 3X 3=9，则数学期望 E (X )= 0X 9+ 1X9+ 2X 9= 3,已知随机变量X 的分布列如下: 5. (2018金华十校联考)解析 由分布列的性质可得:49 9 1 84+ a + 84+ 84= 1,解得a = 2584.考克突破分类讲竦，以例求试考点一 一般分布列的均值与方差方差D (X )224=0—3 X 9+21-3X 4+ 2-22 43 X9=9.【例3】(3)(2038浙江三市联考)已知某口袋中有3个白球和a 个黑球(a € N ), 现从中随机取出一球，再放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一 个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是 E若 E (— 3,则 D (5 = ( )3 3 A.|B.3C.|D.2(2) (2038浙江五校联考)从装有大小相同的3个红球和6个白球的袋子中，不 放回地每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球时试验结束，则第一次 试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是 ___________________ ;若记试验次数为X ，则X 的 数学期望E (X )= ___________ .3a解析(3)由题意，知 5= 2 或 4，P ( 5= 2)=， P ( 5= 4)= ，则 E a + 3 a + 3 3 a (5 = 2X ------- + 4X ------ = 3,解得 a = 3，a + 3a + 33 3 22••• P ( 5= 2)= P ( = 4)= 2,则 D (5 = $ (2-3) 2+(4-3) 2] = 3. c !c 3 3(2)第一次试验恰摸到一个红球和一个白球的概率是p=-c£=2；若记试验次数为X ,则X = 3, 2, 3, 4,于是c l c 4 C 2C 3+ C 2 93P ( x =3)= C 9C 4—^1 二 84二 l8，P(X = 4) = C l C 4 C |=需,则 X 的数学期望 E(X ) = 3 X -32+ I X 84+ 3x 18+ 4X 84 65 =4I .答案(3) B (I ) 3 45P (X = 3)c 3c 3 + c i 7 —c —=32,P (X = 2)2629c 「c25一规律方法(3)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能(2) (2018温州九校联考)将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲 班级至少有一位同学的概率是 _________________ ，用随机变量a 表示分到丙班级 的人数，则E ( a = _____________ .1 1 1 解析 (1)由已知，得1+3+ p = 1,所以p =6, 且 E (X ) — 2X 1+ O X 1+ 1X 1一 6, ••• E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3 = 2X 1 + 1 + C 4 + C 4 + C 4 16 =81,所以甲班级至少有一位同学的概率为1-81=H •随机变量a 的可能取值为【例2】(1)已知随机变量X 服从二项分布B (n , p ),若E (X )= 30, D (X ) =20」p = (2)(一题多解)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时, 就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 _____________ 解析 (1)依题意可得 E (X )= np = 30,且 D (X )= np (1 — p )= 20,解得 p4- 3 --3+(2 )甲班级没有分到同学的概率为0, 1, 2, 3, 4,则 P (E=0)=話 P ( E= 1)=C 4 ( 1 + 1 + C 3+ C 3)32= P 81’ P(V 2)=C 2 (1 + 1+ 2)3 24 C 4X 2 8 21, P (= 3)= 丁=81, P (片4)24 8 1 4 +2X 81+3X 81+4X 81=3. 答案(1) 1 3(2) 8? 4考点二与二项分布有关的均值、方差=扛81,于是E (a =0X 暮+1X 32值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算则 p = ________ ;若 Y = 2X + 3,贝U E (Y )= __________ .1=3.1 3(2)法一由题意可知每次试验不成功的概率为4,成功的概率为4,在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1, 2,则1 1 1 3 3P (X=o)= 16, P(x= 1)= C2X4X4二8,29P(X= 1 2 = 4 =所以在2次试验中成功次数X的分布列为则在2次试验中成功次数X的均值为1 3 9 3E (X)二o x 16+ 1X8+2X—=^.3法二此试验满足二项分布，其中p= 4,所以在2次试验中成功次数X的均值为3 3E (X)= np= 2X4 = 21 3答案(1) 3 (2) 3规律方法二项分布的期望与方差(1)如果E〜B (n, p),则用公式E (B = np；D ( $ = np (1 —p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E (a& b)= aE ( $ + b以及E ( $ = np求出 E (a& b),同样还可求出D (a& b).【训练2】(1)有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.1已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为-.假设每题答对与否相互独立，记E为该考生答对的题数，n为该考生的得分，则P (E= 9)= ________ , E ( n) = _________ .(2) (2018杭州学军中学模拟)商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖•每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖，则顾客抽奖1次能获奖的概率是 __________ ;若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,贝U E (X)= ____________ .2解析(1) P ( 9)= C3x 1 x 1 —£= |.由题意可得：E 7，8，9，10，n= 4g 且(E—7)〜B$, 3 4j.3P ( &7)= C3x 1—3 二27，2P ( &8)= C1X3X 1—3 二9，22 Q 2 2P ( E9)= C3X 3 x3二9，31、 1P( 10)= c3x 3 = 27.••• E的分布列为：8 4 2 1E ( 0 = 7X27+ 8X9+ 9X9+ 10X27 = 8.E (n) = E (4 0 = 4E (0 = 32.2 3(2 )由题得，在甲箱中抽中红球、白球的概率分别为5，5,在乙箱中抽中红球、3 7 2 1 13 1 3 13白球的概率分别为2 2.抽奖一次不获奖的概率为£x?=10，所以其(对立事件)获奖的概率为1-10二缶.因为每次获得一等奖的概率为2x 1 = 1, 3次抽奖相互独、” 1 3立，故 E (X)= np= 3x5= 5.2 7 3答案(1)9 32 (2)和 5I课乍业另层训练，提升能右基础巩固题组一、选择题1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D (X) = ( )A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+ m+ 0.2= 1 得m= 0.3,二 E (X)= 1 x 0.5+ 3X 0.3+ 5X 0.2= 2.4,2 2 2••• D (X) = ( 1-2.4) X 0.5+( 3-2.4) X 0.3+( 5-2.4) X 0.2= 2.44.答案C2. (2018稽阳联谊学校联考)随机变量E的分布列如下，且满足E ( $ = 2,则E (a + b)的值为( )A.0B.1C.2D.无法确定，与a, b有关解析E ( $) = 2,贝U a + 2b+ 3c= 2,又a+ b+ c= 1,由两式可得a= c, 2a + b=1,二 E (a $+ b)= aE ( $ + b = 2a + b= 1.答案B2 13. (2018绍兴检测)设X是离散型随机变量，P (X= X1)=彳P (X= X2) = 3,4 2且X1V X2，若 E (X)= 3, D (X)= 9，则X1 + X2=( )2 1 43x1 + 3x2=3,由已知得12( 4、2 1( 4、2 23x1 3 + 3x2 3 _9,答案 D4•已知随机变量X + n= 8,若X 〜B (10, 0.6),则E ( n, D ( n 分别是( )A.6, 2.4 C.2, 5.6解析 由已知随机变量X + n= 8,所以有n= 8— X. 因此，求得 E ( n) = 8— E (X )= 8— 10X 0.6 = 2, D ( n) = (— 1) 2D (X )= 10X 0.6X 0.4= 2.4. 答案 B5. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ,则X 的数学期望为( )A.100B.200C.300D.400解析 设没有发芽的种子有E 粒，则 〜B (1 000, 0.1)，且X = 2E, ••• E (X )= E (2$ = 2E ( 5 = 2X 1 000 X 0.1 = 200. 答案 B6. 口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取 出的球的最大号码，贝U X 的数学期望E (X )的值是( )A.4B.4.5C.4.75D.51 1 解析 由题意知，X 可以取3, 4, 5, P (X = 3) = & = 10,A ・| D.3解析 |xi = 1, 解得 1x2= 2 LX 1 = 或 X 2 = 5 3,2 3, x1 =1,因为X 1V X 2，所以所以X 1 + x 2= 1 + 2= 3. X 2二 2,B.2, 2.4 D.6, 5.6C s 3 C2 6 3 P (X= 4) = C3= 10，P (X= 5) = C5= 10=5，13 3所以 E (X )= 3X 10 + 4X 10+ 5X 5= 4.5. 答案 B7. (2017浙江卷)已知随机变量&满足P (E = 1)= P i , 1P (&= 0)= 1 — p i , i = 1, 2.若 0v p i <p 2V 2，则( )A. E ( gi)v E (切，D ( &)< D (切B. E ( &)< E ( £>) , D ( 8)> D ( ^2)C. E ( gi)> E (切，D ( &)< D (动D. E ( &)> E (切，D( 8)> D ( ®解析 由题设可知E ( gi)= p 1， E ( $)= p 2，从而 E (8)< E (色)，而 D ($)= p 1 (1 — p 1)，D (&) =p 2 ( 1 — P 2)，所以 D (&)— D (&)<0，即 D (@)< D (切.答案 A甲、乙两人轮流从袋中取球，甲先取，个球，取后不放回，直到其中有一人取出白球时终止•用X 表示取球终止时取球的 总次数，则X 的数学期望E (X ) = ( )A.9B.学C^6 2 3X 6 1 3X 2X 6 1 3X 2X 1 X 6="=9 = 3；P ( X =5 6 = 9X 8 = 4；P ( X = 7= 9^X7=X = 8= 9X 8X 7X 65 2 1 1 1 10 =84所以 E (X )= 1X 3+2X 4+3X 初+4X 84=〒. 答案 B 二、填空题9. (2018湖州调研)设X 为随机变量，X 〜Bn , 3，若随机变量X 的数学期望=(P 1 — P 2)( 1 — P 1 —)9个，从中任取2个都是白球的概率为寻.现 乙后取，然后甲再取，……，每次取出 8.袋中装有大小相同的黑球和白球共 ‘ 12 D.〒解析 易得袋中白球的个数为6•则由题意得, X 的可能取值为1, 2，3, 4.P (XE (X)= 2,则P (X = 2)= ____________ ; D (X)= ___________ .解析由X〜B n, 3 , E (X)= 2,得np=罗=2, •••n = 6,则P (X= 2)=43 二243, D（X）二np（—P）二6x卜3二4.10. 某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的4- 3概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_________ 元.1 1 解析由题意知a+ 2a + 4a= 1, • a = 7, •获得一、二、三等奖的概率分别为7,2 4 1 2 47, 7，•所获奖金的期望是E（ X）二7X 7 000+ 7X 5 600+7X 4 200= 5 000 （元）答案 5 00011. （2018嘉兴测试）已知随机变量E的分布列如下.$ 012P b 2 a1a22则E （ $的最小值为___________ ，此时b= __________ .解析由题意得E （ $ = 0X b+ 1 X a2+ 2X号一2 = a2-a+ 1 = g —舟了+弓，所以E （$的最小值为4，此时a = 2，又因为b+ a2+1—1,所以b= —a2+1+舟=12.3 1答案3112. （2018杭州高级中学模拟）已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为$则随机变量$的均值是________________________ ;方差是___________ .解析由题可得，$的所有可能取值分别为0, 1, 2.且P （ $= 0）= 2Q=5,2 1 1 2八C4C2 12 3 , / " c、C4C2 4 1 比「、十八升知斗P （$=1）=CCT=12=5, P （= 2）= "CT二20=1.所以其分布列为$ 0 1 2 P1 3 1 555”、「 1 3 1 2 1 2 3 所以 E ( o = O X 5+ 1X 5+ 2X 5 = 1； D ( $ = ( 0— 1) X 5+( 1- 1) X-5 +2 1 2(2-1) X厲2 答案1 2 513.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢 玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p M 0)，射击次数为 Y ,若Y 的数学期望E (Y ) #，则p 的取值范围是 ______________ . 解析 由已知得 P (丫= 1)= p ， P (丫= 2) = ( 1 — p ) p ， P (Y = 3) = ( 1 — p ) 2，227则 E (Y )= p + 2 (1 — p ) p + 3 (1 — p ) = p — 3p + 3>4又 E (X )= = 3,二 m = 2,m + 3答案 BA.5解析 由题X 〜B 5,3、m + 3 /i 3、则 X 〜B 5, 5，故 D (X )642-X3- 5X15. 袋中装有大小完全相同，标号分别为 1, 2, 3,…，9的九个球.现从袋中随机 取出3个球.设E 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3, 4, 3, 4和4, 5,此时9的值是2),则随机变量9的均值解析 依题意得，9的所有可能取值是0, 1, 2.口 C 7 5且 P (片 o )= &= 12, P (E = 1) c j 丄P (E 2)= C 9=12，… 5 1 1 2 因此 E ( 9 = o x 12+1 x 2+ 2x 12= 3. 答案 D16. (2018北京海淀区模拟)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从 标有5, 6, 7, 8, 9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小 球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将 两个小球上数字之差的绝对值的 2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X 和Y 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则 E (X )— E (Y )=元.1解析 根据题意可得P (X = k )= 5 (k = 5, 6, 7, 8, 9), 1 一可得 E (X )= 5X (5+ 6+ 7 + 8+ 9)= 7 (兀).丫的取值可能为2, 4, 6, 8,其中23115,则有两组相邻的标号A.61- 2 --P (Y = 4)= P (Y = 6)= P (Y = 8)=310155丄10 - - -- 3&2& 注)P (Y = 2)所以E (丫)= 2x5+ 4X10 + 6X5 + 8X —= 4 (元) 故E (X)—E (Y)= 7—4= 3 (元)答案 317. (2018衢州质检)一个袋中装有质地均匀、大小相同的 2个黑球和3个白球, 从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为 ____________;从袋中一 次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望 E ( 0 = _____________ . 解析 由题意得从5个小球中任意摸出2个共有C 2= 10种取法，其中满足恰有 一个白球的取法有c 2c 3=6种，所以恰有一个白球的概率为10=&.任意摸出3个C 2C 1 小球，设其中白球的个数为 0贝U 0的可能取值为1, 2, 3,且P ( 0= 1)=-(育 3 c 2c 2 3 c 3 1 十“3 3=10； P ( 0= 2)= c 3 = 5； P ( 0= 3)=况=10,所以 E ( 0 = 1 X 1o + 2X 5 +27E (Y )= E (2X + 3)= 2E (X ) + 3= — 3+ 3=?. 答案 A13X10 18. (2018金华一中模拟)有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有 3个小球，乙盒子 中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，则甲盒子中的球被取完 时，乙盒子中恰剩下2个球的概率为 _____________ ;当取完一个盒子中的球时，另一 个盒子恰剩下0个球，则0的期望为 _________ . 解析 甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下 2个球的概率P =1-221-1 52 = 32；由题意，知曲勺可能取值为1, 2, 3, 4, 5,因为7 7 P ( & 1)= C 6 2 + C 62 二 64, 1- 22^-1164--4526 -743 2lQ 3⑴」P (E= 4)= C 3 2 = 16，P (E 5)= 2 = 8,所以 E ( 0二 1X65 + 2X 64+ 3X 32 + 4X 老 + 5X 基器答案5 17532 643. _______ 设随机变量X的分布列为P (X= k)= 5 (k= 2, 4, 6, 8，10)，则D (X)等于 ____ .1解析••• E (X)= 5 (2+ 4+ 6+ 8+ 10)= 6，••• D (X)= |[ (- 4) 2+(- 2 ) 2+ 02+ 22+ 42] = 8.答案85 1解得p>2或p<2，又p€ (0，1)，所以p€ 0, 2 .答案0, 1能力提升题组14. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X,已知E (X)= 3,则D (X)=。
2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版讲义：第十一章第五节离散型随机变量的分布列均值与方差含答案
第五节 离散型随机变量的分布列、均值与方差[考纲要求]1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性． 2．会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列． 3．了解超几何分布并能进行简单的应用．4．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 5．会求简单的离散型随机变量的均值、方差．6．能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题．突破点一 离散型随机变量的分布列[基本知识]1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质：①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1.3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布X 0 1 P1－pp若随机变量X 并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.X1…m如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ 二、填空题1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 P112161316p则p 为________． 答案：142．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a(i ＝1,2,3)则P (X ＝2)＝________. 答案：133．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是________．答案：0,1,2,3[全析考法]考法一 离散型随机变量分布列的性质[例1] (1)设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316若F (x )＝P (X ≤x )，则当x ( ) A.13B.16C.12D.56(2)若随机变量X 的分布列为X －2 －1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (X ＜a )＝0.8A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]D ．(1,2)[解析] (1)由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1,2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56. (2)由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8， 则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]． [答案] (1)D (2)C [方法技巧]离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．考法二 离散型随机变量的分布列求法[例2] (2019·长春模拟)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量 [0,1 000](1 000,3 000](3 000，＋∞)节数61812(1)现从 (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列．[解] (1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为1236×6＝2. (2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X 的可能取值为0,20,40,60.P (X ＝0)＝1C 26＝115，P (X ＝20)＝C 13C 12C 26＝615＝25，P (X ＝40)＝C 12＋C 23C 26＝515＝13， P (X ＝60)＝C 13C 26＝315＝15，则X 的分布列为X 0 20 40 60 P115251315[方法技巧]求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i ＝1,2，3，…，n )； (2)求出各取值的概率P (X ＝x i )＝p i ；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．考法三 超几何分布[例3] 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M ＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142[方法技巧] 求超几何分布的分布列的步骤[集训冲关]1.[考法一]设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为( )A ．1 B.32±336 C.32－336D.32＋336 解析：选C 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q ＝32－336.2.[考法三]某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的分布列．解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X 的分布列服从参数N ＝8，M ＝3，n ＝3的超几何分布．X 的所有可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝i )＝C i 3C 3－i5C 38(i ＝0,1,2,3)，则P (X ＝0)＝C 03C 35C 38＝528，P (X ＝1)＝C 13C 25C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 23C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 05C 38＝156.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P528152815561563.[考法二]有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．(1)求n 的值．(2)求随机变量X 的分布列．解：(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法， 所以C 2n ＝6，即n (n －1)2＝6， n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝824＝13，P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38， 所以随机变量X 的分布列为X 0 2 3 4 P124141338突破点二 离散型随机变量的均值与方差[基本知识]1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量型随机变量取值的平均水平．(2)称D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( )(3)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则E (3X ＋5)＝________.答案：112．一个正四面体ABCD 的四个顶点上分别标有1分，2分，3分和4分，往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X ，则X 的均值为________．解析：X 的分布列为：X 1 2 3 4 P14141414∴E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.答案：523．随机变量X 的可能取值为0,1,2，若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝________.解析：设P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝q ，由题意得⎩⎨⎧0×15＋p ＋2q ＝1，15＋p ＋q ＝1，解得p ＝35，q ＝15，∴D (X )＝15(0－1)2＋35(1－1)2＋15(2－1)2＝25.答案：25[全析考法]考法一 离散型随机变量的均值与方差[例1] (2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．[解] (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.所以P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，P (X ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 37＝435，所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P13512351835435随机变量X 的数学期望E (X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127. ②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由①知P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以事件A 发生的概率为67.[方法技巧]求离散型随机变量均值与方差的关键及注意(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )的应用．考法二 均值与方差在决策中的应用[例2] (2019·开封模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：X 1 5 6 7 8 P0.4ab0.1且X 1的数学期望EX 1＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 34 75 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)，(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②“性价比”大的产品更具可购买性．[解] (1)∵EX 1＝6，∴5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2， 又0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：X 2 3 4 5 6 7 8 P0.30.20.20.10.10.1∴EX 2＝3×0.3＋4X 2的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为66＝1，∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件． ∴其性价比为4.84＝1.2，又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性． [方法技巧]利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．[集训冲关]1.[考法一]随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C13×C12C15×C15＝1925.(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，且P(X＝k)＝C k3C3－k7C310，则P(X＝0)＝724，P(X＝1)＝2140，P(X＝2)＝740，P(X＝3)＝1120.所以X的分布列为：X 012 3P 72421407401120E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.2.[考法二]张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12，23，若A处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为34，25，若a处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟．(1)若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由．解：(1)走路线①，20分钟能到校意味着张老师在A，B两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为P，则P＝12×23＝13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.则P (ξ＝0)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝12×23＝13，P (ξ＝3)＝12×13＝16，P (ξ＝5)＝12×13＝16.ξ的数学期望E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的所有可能取值为0,8,5,13. 则P (η＝0)＝34×25＝310，P (η＝8)＝14×25＝110，P (η＝5)＝34×35＝920，P (η＝13)＝14×35＝320.η的数学期望E (η)＝0×310＋8×110＋5×920＋13×320＝5. 因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟， 所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.突破点三 均值、方差与统计案例的综合问题[典例] (2019·湖南湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x ，y 之间的几组数据如下表所示：x 2 4 6 8 10 y3671012(1)请根据上表数据绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x －y －4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. [解] (1)散点图如图所示．(2)依题意得，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220，∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝1.1，所以a ^＝7.6－1.1×6＝1， 所以线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1， 故当x ＝20时，y ^＝23.(3)可以判断，落在直线2x －y －4＝0右下方的点的坐标满足2x －y －4＞0， 所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)， 故ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 22C 13C 35＝310，P (ξ＝2)＝C 12C 23C 35＝610＝35，P (ξ＝3)＝C 33C 35＝110，故ξ的分布列为ξ 1 2 3 P31035110E (ξ)＝1×310＋2×35＋3×110＝1810＝95.[方法技巧]解决此类问题的关键是读懂题意，从已知条件给出的图表中准确获取数据信息， 再根据相关公式正确计算并分析得出结论．[针对训练]社会公众人物的言行在一定程序上影响着年轻人的人生观、价值观．某媒体机构为了了解大学生对影星、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称“星闻”)的关注情况，随机调查了某大学的200位大学生，得到信息如下表：男大学生 女大学生 不关注“星闻” 80 40 关注“星闻”4040(1)从所抽取的3人性别不全相同的概率；(2)是否有95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关？并说明理由；(3)把以上的频率视为概率，若从该大学被调查的男大学生中随机抽取4人，设这4人中关注“星闻”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828解：(1)由已知得，所求概率P ＝1－2C 340C 380＝6079.(2)由于K 2的观测值k ＝200×(80×40－40×40)2120×80×120×80＝509≈5.556＞3.841，故有95%以上的把握认为关注“星闻”与性别有关．(3)由题意可得，从被调查的男大学生中抽取一位关注“星闻”的男大学生的概率为40120＝13，不关注“星闻”的概率为23.ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681；P (ξ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281；P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝2481＝827；P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫133×23＝881；P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫134＝181.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P16813281827881181因为ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，所以E (ξ)＝43. [课时跟踪检测] 1．(2019·嘉兴一中质检)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )X 0 2 a P16 p13A.2 C ．4D ．5解析：选C 因为p ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3，所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝22D (X )＝4，故选C.2．(2019·广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示取出球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6解析：选B 易知随机变量X 的取值为0,1,2， 由古典概型的概率计算公式得P (X ＝0)＝6C 35＝0.6， P (X ＝1)＝3C 35＝0.3，P (X ＝2)＝1C 35＝0.1.所以E (X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B.3．(2019·衡水中学月考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3 B.72 C.185D ．4 解析：选B 由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4，其概率分别为P (ξ＝2)＝A 22A 25＝110，P (ξ＝3)＝C 13C 12A 22＋A 33A 35＝310，P (ξ＝4)＝C 23C 12A 33＋C 13C 12A 33A 45＝610，所以E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×610＝72.故选B.4．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A ．1B ．43C ．53D ．2解析：选B 由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝12×12×23＝16，P (ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，P (ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝13，P (ξ＝3)＝12×12×13＝112.∴E (ξ)＝0×16＋1×512＋2×13＋3×112＝43. 5．(2019·天津一中月考)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为( )A.24181B.26681C.27481D.670243解析：选B 由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝59×49＝2081，P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎫492＝1681，所以E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.故选B. 6．(2019·南安一中期中)设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．D (ξ1)＞D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)＜D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关 解析：选A 由题意可知E (ξ1)＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，E (ξ2)＝15⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋x 2＋x 32＋x 3＋x 42＋x 4＋x 52＋x 5＋x 12＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，期望相等，都设为m ，∴D (ξ1)＝15[(x 1－m )2＋…＋(x 5－m )2]，D (ξ2)＝15⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－m 2＋…＋⎝⎛⎭⎫x 5＋x 12－m 2， ∵10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105， ∴D (ξ1)＞D (ξ2)．故选A.7．(2019·湖南名校联考)体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p ，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，712B.⎝⎛⎭⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫12，1 解析：选C 根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P (X ＝2)＝p (1－p )，发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝⎛⎭⎫0，12，故选C. 8．(2018·浙江高考)设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P1－p212p 2则当p 在(0,1)内增大时，( ) A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小 解析：选D 由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12， D (ξ)＝⎣⎡⎦⎤0－⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫p ＋122×12＋⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫p ＋122×p 2 ＝⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎝⎛⎭⎫p －122×12＋⎝⎛⎭⎫32－p 2×p 2 ＝－p 2＋p ＋14＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋12， ∴D (ξ)在⎝⎛⎭⎫0，12上递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小． 9．(2019·鄂南高中期中)设随机变量X 的概率分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：51210．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ)．解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124， 两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝⎛⎭⎫1－14－12×⎝⎛⎭⎫1－16－23＝14×16＝124， 故两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512. (2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则： P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16×14＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.ξ的分布列为：ξ 0 40 80 120 160 P1241451214124E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.11．(2019·大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单价进行试销，得到一组检测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)如表所示.试销单价x /元 4 5 6 7 a 9 产品销量y /件b8483807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且∑i ＝16x i ＝39，∑i ＝16y i ＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y ＝4x ＋54；乙，y ＝－4x ＋106；丙，y ＝－4.2x ＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确，并求出a ，b 的值；(2)若由线性回归方程得到的估计数据(x i ，y ^i )中的y ^i 与检测数据(x i ，y i )中的y i 差的绝对值不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．解：(1)已知变量x ，y 具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对， 由题意得，x －＝396＝6.5，y －＝4806＝80，将x －＝6.5，y －＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确， 故回归方程为y ＝－4x ＋106.由∑i ＝16x i ＝4＋5＋6＋7＋a ＋9＝39，得a ＝8，由∑i ＝16y i ＝b ＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b ＝90.(2)列出估计数据(x i ，y i )与检测数据(x i ，y i )如表.x 4 5 6 7 8 9 y 90 84 83 80 75 68 y ^908682787470易知有3个“0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 36＝120.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P120920920120E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.12．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42 天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率．(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，则P(M ＝C325C350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，当a＝38时，X＝38×6＝228，当a＝39时，X＝39×6＝234，当a＝40时，X＝40×6＝240，当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为：X 228234240247254P 110151525110所以E(X)＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元．由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．因为238.8＜241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.。
高考数学一轮专项复习ppt课件-离散型随机变量的分布列、均值与方差(通用版)
A．3632 B．3625 C．3613 D．3523
答案
高考一轮总复习•数学
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(2)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个 箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张，
每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取 20 张，按照自己 的判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得 5 分，投放错误得 0 分．从所有参赛选手中随机抽取 20 人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]， (80,100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图：
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对点练 2(1)某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一 时刻，有 n 个人正在使用电话或等待使用的概率为 P(n)，P(n)与时刻 t 无关，统计得到： P(n)＝12n·P00≤n≤5， 那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率 P(0)的值
则 D(X)＝0－122×12＋1－122×12＝14.
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重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
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题型
随机变量的概念
典例 1 写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所表示的意义． (1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 X； (2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为
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高考一轮总复习•数学
P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝12×15＝110.
可得随机变量 ξ 的分布列为
写出分布列后一定要验证概率和是不是 1.
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课后限时集训(五十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝( )A.185 B.215C．4 D.245B[由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝C33C35＝110，P(X＝4)＝C23·C12C35＝35，P(X＝5)＝C13·C22C35＝310，所以E(X)＝3×110＋4×35＋5×310＝215.]2．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4)A．0.045 6 B．0.135 9C．0.271 8 D．0.317 4B[因为P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，所以P(3＜ξ＜6)＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，故选B.]3．已知随机变量ξ的分布列为ξ－1012P x 1316y若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝( )A．1 B.119 C.23D．2B[∵E (ξ)＝13，∴由随机变量ξ的分布列知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋13＋16＋y ＝1，－x ＋16＋2y ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝518，y ＝29，则D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×518＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－132×29＝119.]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3 B.72C.185 D ．4B [ξ的可能取值为2,3,4，P (ξ＝2)＝A 22A 25＝110，P (ξ＝3)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (ξ＝4)＝A 33C 12C 13＋A 33C 23C 12A 45＝35，则E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72，故选B.]5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p (0＜p ＜1)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12.由p ∈(0,1)，可得p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]二、填空题6．设X 为随机变量，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，若随机变量X 的均值E (X )＝2，则P (X ＝2)等于________．80243 [由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13，E (X )＝2，得 np ＝13n ＝2，∴n ＝6，则P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.] 7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X (单位：k g)服从正态分布N (25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 k g 的概率为________．(附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (|Z －μ|＜σ)＝0.682 6，P (|Z －μ|＜2σ)＝0.954 4，P (|Z －μ|＜3σ)＝0.997 4)0．818 5 [∵X ～N (25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P (24.8≤X ≤25.4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋2σ)＝12×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则E (X )＝________.4．5 [X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35.所以随机变量X 的分布列为X345P 0.1 0.3 0.6∴E (X )＝3×0.1＋4×0.3＋5×三、解答题9．(2019·武汉模拟)某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩–x (同一组中数据用该组区间中点值作代表)； (2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩–x和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75≈14.31；②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4；③0.841 34≈0.501.[解](1)由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴–x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，∴这4 000名考生的平均成绩为70.5分．(2)由题知Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝–x＝70.5，σ2＝204.75，σ≈14.31，∴Z服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)．而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6，∴P(Z≥84.81)＝1－0.682 62＝0.158 7.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈635.(3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3.而ξ～B(4,0.841 3)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.10．(2019·辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润200元．(1)若该商场周初购进20台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位：台)，整理得下表：以1020台空调，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．[解] (1)当n ≥20时，f (n )＝500×20＋200×(n －20)＝200n ＋6 000； 当n ≤19时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000， ∴f (n )＝⎩⎨⎧200n ＋6 000(n ≥20)600n －2 000(n ≤19)(n ∈N )．(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400， f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400，∴P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，P (X ＝10 400)＝0.1，X 的分布列为X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400 P0.10.20.30.30.1∴E (X )＝8 800×10 400×0.1＝9 860.B 组 能力提升1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 P a b c其中a ，b ，c 成等差数列，2ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13C.12D.56B [由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P (ξ＝1)＝13.]2．(2019·杭州模拟)已知0＜a ＜12，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时，( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小B [由题意得，E (ξ)＝－a ＋12，D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12＋12×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12－12×12＝－a 2＋2a ＋14，又∵0＜a ＜12，∴当a 增大时，E (ξ)减小，D (ξ)增大．]3．2018年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N (95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．38[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N (95,82)， ∴P (ξ＞95)＝12，故所求概率P ＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38.] 4．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 k g)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．[解] (1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在 6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340.P (ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝1 3691 600，P (ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P (ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91 600，故所求分布列为X0 1 2 P1 3691 60011180091 600ξ的均值为E (ξ)＝0×1 3691 600＋1×111800＋2×91 600＝320，ξ的方差为D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×1 3691 600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91 600＝111800.。