北京市海淀区2020届高三上学期期末考试 数学试题(含参考答案)

北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( ) A ．{1,3,5,6} B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】Q 集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð， 因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1-D ．()0,1 【答案】B【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p = ，可得： 12p= ，即焦点坐标为()1,0 . 本题选择B 选项.3．下列直线与圆()()22112x y -+-=相切的是（ ） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =-D ．2y x =【答案】A【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可. 【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为()1,1，圆心与原点连线的斜率为1，所以，圆()()22112x y -+-=在原点处的切线方程为y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x 的系数. 【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k kk C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =. 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题.6．已知平面向量a r 、b r 、c r 满足0a b c ++=r r r r ，且1a b c ===r r r ，则a b ⋅r r的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】由等式0a b c ++=r r r r 得a b c +=-r r r ，等式两边平方可求出a b ⋅r r的值.【详解】由0a b c ++=r r r r 可得a b c +=-r r r，等式两边平方得2222c a b a b =++⋅r r r r r，即221a b ⋅+=r r，因此，12a b ⋅=-r r .故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 7．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=I ，n βγ=I ，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 【详解】如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；另一方面，若//αβ，且m αγ=I ，n βγ=I ，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.8．已知等边ABC ∆边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =下列结论中错误的是（ ） A ．2BDCD= B ．2ABDACDS S ∆∆= C ．cos 2cos BADCAD ∠=∠D ．sin 2sin BADCAD∠=∠【答案】C【解析】利用余弦定理计算出BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】 如下图所示：Q 点D 在BC 边上，且BD CD >，1322BD BC ∴>=， 由余弦定理得2222cos3AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅，整理得2320BD BD -+=，32BD >Q ，解得2BD =，1CD =∴，则2ABD ACD S BD S CD ∆∆==， 由正弦定理得sin sin sin 3BD AD CDBADCAD π==∠∠，所以，sin 2sin BAD BD CAD CD∠==∠. 由余弦定理得22227cos 27AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，同理可得57cos 14CAD ∠=， 则cos 2742cos 557BAD CAD ∠==≠∠.故选：C. 【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2/W m ）满足()1210lg110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A ．610倍 B ．810倍 C ．1010倍 D ．1210倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ，根据题意得出()1140f x =，()260f x =，计算出1x 和2x 的值，可计算出12xx 的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x 、2x ， 由题意可得()111210lg140110x f x -=⨯=⨯，解得2110x =， ()221210lg 60110x f x -=⨯=⨯，解得6210x -=，所以，81210x x =， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍， 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题. 10．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12,22⎡⎢⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β； ③存在点P 使得12PQ PQ ^.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③C ．①③D ．①②【答案】D【解析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥Q ，1AD C D D =I ，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=， 同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =，01a <<Q ，则111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡=⎢⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥Q ，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，110,,2a PQ a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令211130424a a a CQ PQ --⋅=-==u u u u r u u u u r ，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，令()12211042a a a PQ PQ --⋅=+=u u u u r u u u u r ， 整理得24310a a -+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ^，命题③错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题11．在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = . 【答案】0【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得5233a a d -==-，所以1d =-，所以725550a a d =+=-=．【考点】等差数列的通项公式. 12．若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值. 【详解】()()21111i i i z i i i i i ++===-+=-Q ，因此，z ==. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.13．已知点(A ，点B 、C 分别为双曲线()222103x y a a -=>的左、右顶点.若ABC ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】2【解析】根据ABC ∆为等边三角形求出a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲线的离心率. 【详解】由于ABC ∆为正三角形，则tan OA ABC OB∠===1a =.所以，双曲线的半焦距为2c =，因此，该双曲线的离心率为221c e a ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算能力，属于基础题.14．已知函数()af x x x=+在区间()1,4上存在最小值，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】()1,16【解析】由题意可知，函数()y f x =在区间()1,4上存在极小值，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间()1,4上的单调性，在0a >时求出函数()y f x =的极值点x =可得出14<<，解出即可.【详解】()a f x x x =+Q ，()2221a x af x x x-'=-=. 当0a ≤时，对任意的()1,4x ∈，()0f x '>，此时，函数()y f x =在区间()1,4上为增函数，则函数()y f x =在区间()1,4上没有最小值；当0a >时，令()220x af x x-'==，可得x =当0x <<时，()0f x '<，当x >()0f x '>，此时，函数()y f x =的极小值点为x =14<<，解得116a <<.因此，实数a 的取值范围是()1,16. 故答案为：()1,16. 【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.15．用“五点法”作函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象时，列表如下：则()1f -=_________，()102f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】2- 0【解析】根据表格中的数据求出A 、ω、ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后代值计算可得出()1f -和()102f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【详解】由表格中的数据可知，()max 2A f x ==， 函数()y f x =的最小正周期为111344T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，223T ππω∴==，()22sin 3f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当12x =时，则21322ππϕ⨯+=，解得6π=ϕ， 则()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()212sin 2sin 2632f πππ⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()102sin 2sin 0266f f ππ⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-；0. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数）. （i ）给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥. 其中，所有正确结论的序号是_________.（ii ）当2m >-时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是_________.（写出一个即可）【答案】①②③ 2m >均可【解析】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，将点()1,P x y --、()2,P x y -、()3,P x y -代入曲线C 的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；（ii ）根据2m =时，配方得出221x y +=，可知此时曲线C 为圆，且圆的面积为π，从而得知当2m >时，曲线C 所表示的图形面积小于π. 【详解】（i ）在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，所以，22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.假设不成立，所以，1x ≥或1y ≥，命题③正确；（ii ）当2m =时，曲线C 的方程为442221x y x y ++=，即()2221x y +=，即221x y +=，此时，曲线C 表示半径为1的圆，其面积为π.当2m >时，且当0xy ≠时，在圆221x y +=上任取一点(),P x y ，则()2224422442212x y x y x y x y mx y =+=++<++，则点P 在曲线外，所以，曲线C 的面积小于圆的面积π.故答案为：①②③；2m >均可. 【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知函数()21cos cos 2f x x x x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[]0,m 上的最大值为1，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）6π. 【解析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数()y f x =的解析式变形为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由[]0,x m ∈，2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合题意得出262m ππ+≥，即可求出实数m 的最小值. 【详解】（Ⅰ）()1cos 21122cos 2sin 22226x f x x x x x π+⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， 因为sin y x =的单调递增区间为()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 令()22,2622x k k k πππππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，得(),36x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （Ⅱ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 又因为[]0,x m ∈，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的最大值为1， 所以262m ππ+≥，解得6m π≥，所以m 的最小值为6π. 【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.18．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ∆和VAC ∆均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M 、N 分别为VA 、VB 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面CMN ； （Ⅱ）求证：AB VC ⊥；（Ⅲ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）223. 【解析】（Ⅰ）由中位线的性质得出//MN AB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AB 平面CMN ；（Ⅱ）由已知条件可知VC AC ⊥，然后利用面面垂直的性质定理可证明出VC ⊥平面ABC ，即可得出AB VC ⊥；（Ⅲ）以C 为原点，CA 、CV 所在直线分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）在VAB ∆中，M 、N 分别为VA 、VB 的中点，所以MN 为中位线，所以//MN AB . 又因为AB ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以//AB 平面CMN ； （Ⅱ）在等腰直角三角形VAC ∆中，AC CV =，所以VC AC ⊥. 因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC I 平面ABC AC =， VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC .又因为AB Ì平面ABC ，所以AB VC ⊥；（Ⅲ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,2VB =-u u r ，()1,0,1CM =u u u u r，11,,122CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r .设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CM n CN ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v u u u v ，即011022x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令1x =则1y =，1z =-，所以()1,1,1n r=-.直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin cos ,3n VB n VB n VBθ⋅===⋅r u u rr u u r r u ur . 所以直线VB 与平面CMN 22. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．某市《城市总体规划（20162035-年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.61:）、良好小区（指数为0.40.6:）、中等小区（指数为0.20.4:）以及待改进小区（指数为00.2:）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11223344T wT w T w T w T =+++，其中1w 、2w 、3w 、4w 为该小区四个方面的权重，1T 、2T 、3T 、4T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [)0,0.2[)0.2,0.4[)0.4,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1频数 1020303010（Ⅰ）分别判断A 、B 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）A 、C 小区不是优质小区；B 小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解析，数学期望45.【解析】（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；（Ⅱ）先求出10个小区中优质小区的个数，可得出随机变量ξ的可能取值，然后利用超几何分布的概率公式计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列，利用数学期望公式可计算出随机变量ξ的数学期望值. 【详解】（Ⅰ）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区；B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区；C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区；（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个，其它小区1046-=个. 依题意ξ的所有可能取值为0、1、2.()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====.则ξ的分布列为：1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= .【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点()2,0A（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，过点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P 、Q ，直线AP 和AQ 分别与直线4x =交于点M 、N ，求APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）最小值为4. 【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，可得出点P 坐标为()00,x y --，求出点M 、N 的坐标，求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的表达式，结合等式220044x y +=，利用基本不等式可求出APQ ∆与AMN ∆面积之和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为()20c c >，依题意，得()222220a ca c ab a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=->>⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（Ⅱ）设点()00,Q x y ，依题意，点P 坐标为()00,x y --，满足220014x y +=（022x -<<且00y ≠）， 直线QA 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得0022y y x =-，即0024,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线PA 的方程为()0022y y x x =-+，同理可得0024,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.设B 为4x =与x 轴的交点.00000221111222222222APQ AMN P Q M N y y S S OA y y AB y y y x x ∆∆+=⋅⋅-+⋅⋅-=⨯⨯+⨯⨯--+000020001142222224y y y y x x x =+⋅-=+⋅-+-. 又因为220044x y +=，00y ≠，所以000200122224APQ AMN S S y y y y y ∆∆+=+⋅=+≥=. 当且仅当01y =±取等号，所以APQ AMN S S ∆∆+的最小值为4. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()()()210xf x eaxa =+>.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有极小值，求证：()f x 的极小值小于1. 【答案】（Ⅰ）1y x =+；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的导数()f x '，求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可写出所求切线的方程；（Ⅱ）设函数()y f x =的两个极值点分别为1x 、2x ，且12x x <，由韦达定理可得知120x x <<，然后利用函数()y f x =在区间[]2,0x 上的单调性可证明出结论成立. 【详解】（Ⅰ）由已知得()()221x f x e ax ax '=++，因为()01f =，()01f '=，所以直线l 的方程为1y x =+； （Ⅱ）()()221xf x eaxax '=++，令()221=++g x ax ax ，244a a ∆=-.（i ）当0∆≤时，即当01a <≤时，x R ∀∈，()0f x '≥，所以，函数()y f x =在R 上是单调递增函数，此时，函数()y f x =在R 上无极小值； （ii ）当>0∆时，即当1a >时，记1x 、2x 是方程2210ax ax ++=的两个根，不妨设12x x <，则12122010x x x x a +=-<⎧⎪⎨=>⎪⎩，所以120x x <<. 此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：所以，函数()y f x =的极小值为()2f x ，又因为函数()y f x =在[]2,0x 单调递增，所以()()201f x f <=. 所以，函数()y f x =的极小值小于1. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数极值相关的不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L . 将1m 、2m 、、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =.5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +.【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值.【详解】（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --.理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时， 根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L . 所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --.当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，所以i j i j m m x x -=-，所以=i j i j m m x x --. 综上有：=i j i j m m x x --； （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L .当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L . 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L .下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥.所以()()()221n k p kq n p q +-+≥++. 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L .当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意.所以121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +.【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.。