数学思维第1讲 速算

数学思维训练教程 小升初系统总复习 第1讲 计算（一） 速算与巧算 ........................................... 3 第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算错误！未定义书签。 第3讲 数字谜、数阵图、幻方 .......... 错误！未定义书签。 第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题错误！未定义书签。 第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数错误！未定义书签。 第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理错误！未定义书签。 第7讲 几何（一） 平面图形............. 错误！未定义书签。 第8讲 几何（二） 曲线图形............. 错误！未定义书签。 第9讲 几何（三） 立体图形............. 错误！未定义书签。 第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题错误！未定义书签。 第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题错误！未定义书签。 第12讲 牛吃草问题 ............................. 错误！未定义书签。 第13讲 行程（一） 相遇追及（多次）、电车问题错误！未定义书签。 第14讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯错误！未定义书签。 第15讲 行程（三） 行程中的比例 .. 错误！未定义书签。 第16讲 分数与百分数 ......................... 错误！未定义书签。 第17讲 工程问题 ................................. 错误！未定义书签。 第18讲 浓度与经济问题..................... 错误！未定义书签。 第19讲 方程 ......................................... 错误！未定义书签。 第20讲 排列组合 ................................. 错误！未定义书签。 第21讲 容斥原理 ................................. 错误！未定义书签。 第22讲 抽屉原理 ................................. 错误！未定义书签。 第23讲 逻辑推理 ................................. 错误！未定义书签。 第24讲 统筹与策略 ............................. 错误！未定义书签。第1讲 计算（一） 速算与巧算

一、知识地图

速算与巧算 整数计算 基本公式 平方、立方公式 数列及特殊公式 特殊方法

分数计算 拆分与裂项 几个常用拆分分数 循环小数化分数 二、基础知识 （一）整数计算 1、基本公式 （1） 加法交换律：abba （2） 加法结合律：cbacbacba)()( （3） 减法的性质：()abcabc （4） 乘法交换律：abba （5） 乘法结合律：cbacbacba

（6） 乘法分配律：()()abcabacabcabac （7） 除法的性质：()abcabc

2、平方、立方公式 （1） 完全平方公式：2222222222()2()2()222abababababababcabcabbcac （2） 平方差公式：22()()ababab （3） 完全立方公式：3322333223()33()33abaababbabaababb （4） 立方和公式：3322()()ababaabb （5） 立方差公式：3322()()ababaabb 仅做了解 3、数列及特殊公式 （1） 等差数列： A) 通项公式：1(1)naand„„„„„„为什么要“n-1”呢？

B) 求项数公式：1()1naand„„„„„„为什么要“+1”呢？

C) 求和公式：1()2naanS„„„„„„为什么要“÷2”呢？ 关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？ “在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的„„ 如图：

请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。 例如： a) 22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）×3； b) 如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？ 可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”， （25-4）÷3=7， 所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？ c) 求和公式的来龙去脉，同学们不可不知： 法一：高斯“配对法”。 例如，在计算1+2+3+„+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加

25221916131074上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是10×4+5=45。 法二：借来还去法。 例如，还是计算1+2+3+„+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+„+3+2+1”， 这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！ 问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了——“变异为同”了！ 如图：

所以，可以得出，10×9÷2=45 回头再看，这里的10可以用（1+9）为代表，则得： （1+9）×9÷2=45 再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式： 和=（首项+末项）×项数÷2

++++++++++++++++=2S=S=S101010101010101010123456789+987654321（2） 等比数列：11nnaaq 11(1)(1)1naqSqq





（3） 1123(1)2nnn a) 22221123(1)(21)6nnnn b) 2233332(1)(1)123[]24nnnnn （4） 2123321nn （5） 211121 211112321

211111234554321nn



个

（n≤9）

（6） 10110101ababababababab （7） 100110001abcabcabcabcdabcdabcd 这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。

4、特殊方法 （1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。 （2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c„„ 达到化繁为简的目的。 （二）分数计算 1、拆分与裂项 （1） 111(1)1nnnn

（2） 1111()()nnkknnk(1)k （3） 1111[](1)(2)(1)(1)(2)2nnnnnnn （4） 11()()aannkknnk(11)ak且 2、几个常用拆分分数 111623511623

11112347111234

11120459112045

111305611113056

111426713114267

„ „ 3、循环小数化分数 0.9aa0.090aa0.99abab0.

90

abaab

0.999abcabc0.990abcaabc0.9900abcdababcd





请聪明的你，来比较1与0.99999999„„的大小？ 你可能已经知道：0.9999999„„=1 也就是：0.9=1，可是这是为什么呢？ 铺垫：

21.0=90112=9011

90012123=30037 312.0=

90001231234=90001111 4123.0=

4312.0=9900121234=49506114321.0=999011234=1110137

以此题为例推导： 1234126110.123499004950

设 0.1234为A，那么100A=12.34 10000A=1234.34 所以：10000A-100A=1234-12 9900A=1234-12 12341261199004950A

10.191240.129933123410.12399933312340.12349999



