数项级数的概念与基本性质

8.1数项级数的概念与基本性质

教学目的

理解级数的概念和基本性质

教学重点

级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数

教学难点

有穷项相加与无穷项相加的差异

教学过程

1.导入

以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课

2.1常数项级数的概念

定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞

==

++++1

21n n

n a

a a a （8.1.1）

的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数

∑∞

=1

n n

a

的通项（或一般项）．

如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数.

例如， 等差数列各项的和

+-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．

等比数列各项的和

+++++-1

12

111n q a q a q a a

称为等比级数，也称为几何级数．

级数

1

1n n ∞

=∑ =111123n +++++ 称为调和级数．

级数（8.1.1）的前n 项和为：

121

n

n k k k S a a a a ===+++∑ ，

称n S 为级数

∑∞

=1

n n

a

的前n 项部分和，简称部分和．

2.2常数项级数收敛与发散

定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞

→lim (常数)

则称极限S 为无穷级数

∑∞

=1n n

a

的和．记作

++++==∑∞

=n n n a a a a S 211

此时称级数

∑∞

=1

n n

a

收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数

∑∞

=1

n n

a

发散，这时级数没有和．

显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差

++=-=++21n n n n a a S S r

叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ．

例１ 讨论几何级数

+++++=∑∞

=-n n n aq aq aq a aq

21

1

的敛散性，其中0≠a ，q 是公比．

结论：几何级数

∑∞

=-1

1

n n aq

，当1||

q

a

aq n n -=

∑∞

=-11

1；1||≥q 时发散． 例2 判别无穷级数

++++?+?=+∑∞

=)1(1

321211)1(11

n n n n n 的敛散性． 例3 证明级数

+++++=∑∞

=n n n 3211

发散．

2.3收敛级数的基本性质 性质8.1 若

s a

n n

=∑∞

=1,

σ=∑∞

=1

n n

b

，则级数σ±=±∑∞

=s b a n n n 1

)(．

性质8.2 若

∑∞

=1

n n

a

收敛，k 为非零常数，则级数

∑∞

=1

n n

ka

也收敛，且有

∑∑∞

=∞

==1

1

n n n n

a k ka

．

性质8.3 若级数

∑∞

=1

n n

a

收敛，则0lim =∞

→n n a .

性质8.3表明，0lim =∞

→n n a 是级数收敛的必要条件．因此，如果级数的通项不趋于0，

则该级数一定发散；若该级数的通项趋于0，则该级数可能收敛，也可能发散．

例4 已知级数为

++++++1

2735231n n ， 讨论其敛散性．

注意：性质8.3只是级数收敛的必要条件，并非充分条件．例如调和级数

+++++=∑∞

=n n n 13121111

， n a n 1=

，01

lim lim ==∞→∞

→n a n n n ，但它是发散的.

3.小结 3.1无穷级数

∑∞

=1

n n

u

＝ +++++n u u u u 321其中n u 叫通项．

3.2部分和n n

k k

n u u u u

s +++==

∑= 211

，当s s n n =∞

→lim 存在时级数收敛，否则发散．

3.3四条基本性质：性质1-4．

3.4收敛的必要条件．

4.布置习题(略)

8.2正项级数及其审敛法

教学目的

理解正项级数的概念和性质

教学重点

正项级数的各种审敛法，几何级数与P-级数

教学难点

比较判别法

教学过程

1.复习 1.1问题

⑴级数就是无穷多项相加吗? ⑵级数收敛的必要条件?

⑶算术级数、等比级数、调和级数的敛散性 1.2讲解作业 2.讲授新课

级数的问题，首先是敛散性问题.一般来说，根据级数收敛与发散的定义、性质只能判别出少数级数的敛散性，因此还必须建立其他的判别法.

下面将分别给出正项级数、任意项级数的敛散性判别法.首先，来研究正项级数及其敛散性的判别法.

2.1正项级数的定义

定义8.3 若数项级数

∑∞

=1

n n

u

的一般项0≥n u （ ,2,1=n ），则称数项级数

∑∞

=1

n n

u

为正

项级数．

正项级数是很重要的一类数项级数，下面我们给出两种常用的判定正项级数收敛或发散的法则，这些法则都给出了级数收敛的充分条件． 2.2比较判别法

定理8.1（比较判别法） 设

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

是两个正项级数，若n n cv u ≤（1,2,;n =

c 为大于零的常数）则

（1）当

∑∞

=1n n

v

收敛时，

∑∞

=1n n

u

也收敛；

（2）当

∑∞

=1

n n

u

发散时，

∑∞

=1

n n

v

也发散．

注意：定理8.1告诉我们：只需与已知敛散性的正项级数作比较，便可判定正项级数的敛散性．通常我们选用几何级数和下面的-p 级数作为判定正项级数敛散性的比较对象．

级数

+++++

p p p n

131211（常数0>p ） 称为-p 级数，-p 级数当1≤p 时发散，当1>p 时收敛（证明从略）．调和级数即为1p =时的情形．

例5 判定下列级数的敛散性：

(1)

∑

∞

=1

1n n

；(2)

∑∞

=11n n

n

． 2.3比值判别法

比较审敛法是通过与某个已知敛散性的级数比较对应项的大小，来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作为比较对象的已知级数，这就提出了一个问题，能否从级数本身直接判别级数的收敛性呢？达朗贝尔找到了比值审敛法．

定理8.2（比值判别法，又称达朗贝尔判别法） 若正项级数∑∞

=1

n n

u

（0>n u ）的后项

与前项之比值的极限等于ρ，即

ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

，

则（1）1<ρ时，级数收敛；

（2）1>ρ（或∞=ρ）时，级数发散； （3）1=ρ时，不能判断级数的敛散性．

例6 判别下列级数的敛散性：

(1)∑∞

=12

2

n n n ； (2)∑∞

=1!n n n n ．

２.４课堂练习

⑴利用比较判别法，判断下列级数的敛散性： ① ++++

7151311；② +-++++1

253321n n ． ⑵利用比值判别法，判断下列级数的敛散性：

①∑∞

=12

3

n n n ；②∑∞

=1!1n n ．

3.小结

⑴正项级数的概念；

⑵比较审敛法、比值审敛法 4.布置习题(略)

8.3任意项级数及其审敛法

教学目的

理解变号级数的概念和性质

教学重点

交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛

教学难点

绝对收敛与条件收敛

教学过程