高中导数、定积分的复习讲义(含答案)

一、知识点梳理

1.导数：当x ?趋近于零时，

x

x f x x f ?-?+)

()(00趋近于常数c 。可用符号“→”记作：

当0→?x 时，

x x f x x f ?-?+)()(00c →或记作c x

x f x x f x =?-?+→?)

()(lim

000，符号“→”读作“趋近于”。函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。 即 x

x f x x f x f x ?-?+=→?)

()(lim

)(000

0'

2.导数的四则运算法则：

1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='

3）)()

()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='?

?

????

几种常见函数的导数：

(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（

(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =

' (6)e x

x a a log 1

)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x

x ln )(='

例题：对下面几个函数求导 （1）、12832

++=x x y （2）x

x

a x x e x f -+=ln 5)(

(3)2

2ln 3)(x x

e x

f x +=

3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率

x

x f x x f x f k x ?-?+==→?)

()(lim

)(000

0'切

由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：

（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：

))((00'0x x x f y y -=-

例题：1、已知曲线m x y +=

3

3

1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或133

- 2、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A ．

B ．

C ．

D ．

4.函数的单调性：

在某个区间),(b a ，如果0)('

>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间单调递增；如果

0)('

例题：求443)(2

3--=x x x f 的单调区间 5.函数的极值

求函数)(x f 极值的步骤: ①求导数)(x f '。

②求方程0)(/

=x f 的根.

③列表； ④下结论。

1、已知函数2)12()(2

3

+-+=x a ax x f ，若1-=x 是)(x f y =的一个极值点，则a 值为

（ ）

A ．2 B.-2 C.

7

2

D.4 2、设函数f(x)= 3

2

23(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

解：由已知得[]'

()6(1)f x x x a =--，令'

()0f x =，解得 120,1x x a ==-。

（Ⅰ）当1a =时，'2

()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；

当1a >时，()'()61f x x x a =--????，'

(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：

从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；

当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值3

1(1)a --。

6.函数的最大值和最小值

（1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行.

①求)(x f y =在),(b a 的极值.

②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值.

例题：

32

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 。 解：当－1≤x <0时，()f x '>0，当0

7.定积分性质

（1）()()b

b a

a

kf x dx k f x dx =??；

（2）1212[()()]()()b b b

a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （3）()()()()c

b b a

c a f x dx f x dx f x dx a c b +=<

8、常见求定积分的公式

（1）11|(1)1

b n n b

a a x dx x n n +=

≠-+? （2）|b b

a a cdx cx =?（C 为常数） （3）sin cos |

b b

a a xdx x =-?

（4）cos sin |b b a a xdx x =?

（5）1ln |b b a a dx x x

=? （6）|b x x b

a a e dx e

=?

（7）|(01)ln x b x

b a a a a dx a a a

=>≠?且 练习（1）120x dx ? （2）?--12x dx （3）4

2

xdx -?

解：（1）3

130313331

031

2

=-

=??????=?x dx x （2）[]2ln 2ln 1ln ln 11

21

2-=-==?

----x dx x （3）40404

2220

22011()281022xdx x dx xdx x x ---=-+=-+=+=???

9、应用定积分求曲边梯形的面积

（1）如图，由三条直线(),x a x b a b ==<，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥

围成的曲边梯形的面积()(()())b

b

a

a

S f x dx f x g x dx ==-??

（2） 如图，由三条直线(),x a x b a b ==<，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =((()0)f x ≤)围成的曲边梯形的面积：

；

(3)如图，由曲线11()y f x =，22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线

(),x a x b a b ==<，围成图形的面积公式为：

.

注：利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积.

求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积.

［剖析］先求出抛物线22y x =与直线4y x =-的交点，将积分区间确定，再求定积分。

［解］由方程组???-==x y x

y 422解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, －4）

解法1:选x 作为积分变量，由图可看出S=A 1+A 2

在A 1部分：

由于抛物线的上半支方程为y =

下半支方程为y =所以

1122

2

(A S dx x dx

==?

3

16

3

2

2220

2

3=

?=x

282[4(A S x dx =--?

3

28

)3

22214(82

2

3

2=

+

-=x x x 于是：16381833

S =

+=. 10、有关复数的知识点：

⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2

-=.

⑵复数及其相关概念：

复数——形如a + bi 的数（其中R b a ∈，）； 实数——当b = 0时的复数a + bi ，即a ； 虚数——当0≠b 时的复数a + bi ；

纯虚数——当a = 0且0≠b 时的复数a + bi ，即bi.

复数a + bi 的实部与虚部——a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数）

复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：

00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

1.复数3223i

i +=

-

(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i

2.复数2

31i i -??=

?+??

(A)34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +

3.设a,b 为实数，若复数11+2i

i

a bi =++，则 （A ）

31

,22a b ==

(B) 3,1a b == (C)

13,22a b ==

(D) 1,3a b == 4.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ）

A.x=-1，y=1

B. x=-1，y=2

C. x=1，y=1

D. x=1，y=2

课后作业

1、若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距 离为 ( )

A ．1 B. 2 C.2

2

D. 3

解析 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，

则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1

x 0

，

∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－1

2

(舍去)．

∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|

1＋1

＝ 2.

答案 B

2、若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0

解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)， 整理得4x －y －3＝0. 答案 A

3、曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2

D.e 2

2 解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，

∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，

∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0. 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，

∴S △＝12×1×e 2

＝e 2

2

.

答案 D

4、?--3

1

2)4(dx x x ；

5、3

20|312|x dx -?=

6. 计算抛物线2y x =与直线230x y --=所围成平面图形的面积。

323

7.i 是虚数单位，计算=++32i i i

（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i

8.i 是虚数单位，复数1312i

i -+=

+

(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

9.若复数z1=1+i ，z2=3-i ，则z1·z2=（ ）

A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3

10.已知2a i

b i

i +=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=

-1 (B)1 (C)2 (D)3