归纳法原理与反归纳法
1.5 归纳法原理与反归纳法
数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．
定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法）
证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1．
设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈'
所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．
下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证
6
)
12)(1(2
12
2
2
++=
+++n n n n
证明 (1)当n =1时，有
16
)
112()11(11
2
=+?++?=
所以n =1，公式正确．
(2)假设当k =n 时，公式正确，即
6
)
12)(1(2
12
2
2
++=
+++n n n n
那么当k =n ＋１时，有
=+++++=+++++2
22
22
2
2
2
)
1()2
1()
1(2
1n n n n
=++++2
)
1(6
)
12)(1(n n n n
=++++6
)
1(6)12)(1(2
n n n n
=++++6
)]
1(6)12()[1(n n n n
=+++6
)
672)(1(2
n n
n
=+++6)
32)(2)(1(n n n
=+++++6
)
1)1(2)(1)1)((1(n n n
所以公式对n +1也正确．
在利用数学归纳法证明某些命题时，证明的过程往往归纳到n -1或n -2，而不仅仅是n -1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第二数学归纳法．在叙述第二归纳法以前，我们先证明几个与自然数有关的命题．
命题１ 若b a >，则c b c a +>+． 证明 因为b a > 所以 k b a +=
k c b c k b c a ++=++=+)(
所以 c b c a +>+
命题２ １是自然数中最小的一个． 证明 若1≠a ，则a 有前元b ，所以
.)1(1,>+=='a b a a b
命题3 若a b >，则1+≥a b ．
（即数a 与a ＋１是邻接的两个数，中间没有其他自然数，不存在b ，使得a b a >>+1．）
证明 若a b >,则k a b +=．
因为1≥k ，所以1+≥+a k a ，即1+≥a b ．
由上述有关自然数大小的命题，我们得出下面定理，有时也称为最小数原理．
定理1.20 自然数的任何非空集合Ａ含有一个最小数，即存在一个数A a ∈，使得对集合Ａ中任意数b ，均有a b ≥．
证明 设M 是这样的集合：
对于M 中任意元素M m ∈，对A 中任意元素a ，均有
m a ≥ 则M 是非空集合．
因为M ∈1，由归纳公理(4)知，一定存在一个元素M m ∈． 但M m ?'，即M m ?+1，
否则由M m M m ∈'?∈得Ｍ＝Ｎ，这显然不可能．
现在我们证明 A m ∈．因为若
A m ?，
则Ａ中任意元素m a >
1+≥m a
所以M m ∈+1，与M m ?+1矛盾，所以m 即为Ａ中最小元素．
上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第二数学归纳法．（第二数学归纳法）
定理1.21 对于一个与自然数有关的命题Ｔ，若 (1)当n =１时命题Ｔ正确；
(2)假设命题T 对k n <正确，就能推出命题T 对k n =正确． 则命题T 对一切自然数正确．
证明 如果命题Ｔ不是对所有自然数都成立，那么使命题不成立的自然数集合Ｍ就是非空集合，由定理1.20，Ｍ中含有一个最小数k ，且1>k （∵k =1命题正确），所以对一切k n <,命题T 成立，又由(2)推出命题T 对k 正确．结论矛盾．
下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法而不能应用第一归纳法解题的例子．
例２ 已知数列 n a a a a a 2101,,-，有
2123---=n n n a a a 且 2,2
301==
-a a
求证12+=n
n a ．
证明 对n =1，有122
322323101+'=?-?=-=a a a
所以命题对n =1正确．
假设命题对k n <正确，则
=+-+=-=----)12
(2)12
(3232
1
21k k k k k a a a
12
22
32
31
1
+=--+?--k
k k
所以命题对n =k 正确．
由第二数学归纳法本题得证．
例３ 已知任意自然数N n ∈均有
2
1
1
3
}{∑∑
===n
i i n
i i
a a （这里0>i a ）
求证n a n = 证明
(1)当n =1时，由2
13
1a a =，得11=a 所以命题对n =1正确．
(2)假设对k n ≤命题正确，这时
k a a a k ===,,2,121 ，
当n =k +1时，
3
11
2
311
31
13
)
(+=+=+=+=+=
∑∑
∑
k k
i i k k
i i k i i
a a a a a
(1)
但是
=+==+=+=+=∑∑∑
2
11
11
2
1
13
)
()
(k k
i i k i i k i i
a a a a
2
111
1
1
2
)(2)
(+++==++∑∑k k k i i k
i i a a a a
(2)
又因为归纳假设对k n ≤命题正确，所以
k a a a k ===,,2,121
所以
2
)
1(1
+=
∑
=k k a k
i i
由(1)和(2)式得
2
11
1312+=+++=∑k k
i i k k a a a a
消去1+k a ，得
12
1)1(++++=k k a k k a
解得
k a k a k k -=+=++11(1
舍去）
所以命题对n =k +1也正确．
上边的两个例子，实际上例２命题归结到n -1和n -2，而例３则需要归结到1,2,…k ，由此可见，第二数学归纳法的作用是不能由第一归纳法所替代的．
现在我们继续讲数学归纳法．当然，归纳并一定从n =1开始，例如例２数列的例子，也可以从某数k 开始．数学归纳法还有许多变形，其中著名的有跳跃归纳法、双归纳法、反归纳法以及跷跷板归纳法等，下面我们就逐个介绍这些归纳法．
跳跃归纳法 若一个命题Ｔ对自然数l ,2,1,都是正确的；如果由假定命题Ｔ对自然数k 正确，就能推出命题Ｔ对自然数l k +正确．则命题对一切自然数都正确．
证明 因为任意自然数
l r r
q l n <≤+?=0
由于命题对一切l r <<0中的r 都正确，所以命题对 kl r l r l r l +++2,,都正确，因而对一切n 命题都正确．
下面我们给出一个应用跳跃归纳法的一个例子．
例4 求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n (n ≥８)分邮资．
证明 显然当n =8,n =9,n =10时，可用3分和5分邮票构成上面邮资（n =8时，用一个3分邮票和一个5分邮票，n =9时，用3个3分邮票，n =10时，用2个5分邮票）．
下面假定k =n 时命题正确，这时对于k =n +3，命题也正确，因为n 分可用3分与5分邮票构成，再加上一个3分邮票，就使3+n 分邮资可用3分与5分邮票构成．由跳跃归纳法知命题对一切n ≥８都成立．
下面我们介绍双归纳法，所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立的自然数对(m ,n ),而不是一个单独的自然数n ．
双归纳法 若命题Ｔ与两个独立的自然数对m 与n 有关， (1)若命题Ｔ对m =1与n =1是正确的；
(2)若从命题Ｔ对自然数对（m ,n ）正确就能推出该命题对自然数对（m +1,n ）正确，和对自然数对（m ,n +1）也正确．
则命题Ｔ对一切自然数对（m ,n ）都正确．
关于双归纳法的合理性证明我们不予说明，只给出一个例子． 例５ 求证对任意自然数m 与n 均有
n
n
m m >?2
证明
(1)当1,1==n m 时，命题显然正确，即
12,12
1
1
1>>?
(2)设命题对自然数对m 与n 正确，即
n
n
m m >?2
这时
n
n
n
n
n
n
m n
m m m m )1()
2(2
2
2
2
)1(+>=?>?=??+
即命题对数对（m +1,n ）正确；
另一方面
m
m
m
m
m
n
m n m n n n
)
1()
2(2
2
2
2
)
1(+>=?>?=?+
即命题对数对(m ,n +1)也正确，由双归纳法知，命题对一切自然数对(m ,n )都成立．
反归纳法 若一个与自然数有关的命题Ｔ，如果 (1)命题Ｔ对无穷多个自然数成立； (2)假设命题Ｔ对n =k 正确，就能推出命题Ｔ对n =k -1正确．则命题Ｔ对一切自然数都成立；
上述归纳法称为反归纳法，它的合理性我们做如下简短说明：
设Ｍ是使命题Ｔ不正确的自然数，如果Ｍ是非空集合，则Ｍ中存在最小数m ，使得命题
Ｔ对k =m 不正确；由于命题对无穷多个自然数正确，所以存在一个m n >0，且命题T 对0
n 正确；由于命题T 对m 不正确，所以命题对1+='m m 也不正确，否则由命题T 对1+='m m 正确就推出命题T 对m 正确．矛盾！这样，命题Ｔ对m +2也不正确，经过m n -0次递推后，可得命题Ｔ对0n 也不正确．这与已知矛盾，所以Ｍ是空集合．
反归纳法又称倒推归纳法，法国数学家柯西（1789-1857）首次用它证明了n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值．
例6 求证n 个正实数的算术平均值大于或等于这n 个数的几何平均值，即
n
n n
a a a n
a a a 2121≥
+++
证明 当n=2时，
212
12
a a a a ≥
+
因此命题对n =2正确．
当n =4时，
4
4
3212
4
32
2
14321)4
(
)2
(
)2
(
a a a a a a a a a a a a +++≤+?+≤
因此命题对n =4正确
同理可推出命题对n =23=8，n =24,…，n =2s …都正确（s 为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立．
设命题对n ＝k 正确，令
1
,1
21121-+++=
+++=
--k a a a s k
a a a s k k k
k
则
k
s a a a s k k k 1
1211---++++=
（容易证明上述是一个恒等式．） 由归纳假设命题对n ＝k 正确，所以
11211
1211)(
-----≥++++=k k k k k
k s a a a k
s a a a s
所以
211
1---≥k k k a a a s
即
1
1211
211
---≥
-+++k k k a a a k a a a
命题对n =k -1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立． 由于上述不等式是著名不等式，我们再给出几种证明：
前已证明，命题对n =2m 时正确，设n ＜２m ，令
,,,,2211n n a b a b a b ===
s n
a a a m
b b b n
n n =++=
===++ 21221
这时我们有
=+++
m
m
m
m
n
n n b
b b S
a a a b
b b b 2
2
212
212
21)
2
(
)(
m
m
s
s
n ns m
m 2
2
)
2
)2
((
=-+
即n
n s a a a < 21命题对n ＜2m 正确
利用数学归纳法证明
不妨设n 个数为n a a a ≤≤≤< 210，显然当n =1时命题正确． 设命题对k n =正确，令
k
a a a s k
k +++=
21
则 k
k k a a a s 21≥
1
1
1
11
1
211+-+
=++=
++++=
++++k s a s k a ks k a a a s k
k k k k k k
因为k k s a ≥+1，所以
01
1
≥+-+k s a
k
k
++-?
+=+-+
=+++++++)1
)
1
(1111
1
11
1k s a S C S k s a S S k
k k
k k k k
k k
k k k k
121111
)(++++≥=-+≥k k k k
k k k k
k k k
a a a a a S s a S S
所以命题对n =k +1正确，由第一归纳法知，命题对一切自然数成立．
另一个有趣的证明是由马克罗林给出的，我们知道，若保持s a a =+21和不变，以
2
2
1a a +分别代替1a 和2a ，这时两个数
22
1a a +的和仍然是s ，但两个数的积却增加了，即
212
2
1)2
(a a a a ≥+
实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，只有当两个数相等时才有等号成立．
现在我们变动诸数n a a a ,,21，但保持它们的和s a a a n =++ 21不变，这时乘积
n
n a a a 21
必然在n a a a ==21时取极大值．因为若j
i a
a =，用
2
j
i a
a +分别代替i a 与j a 则
s a a a n =+++ 21仍然不变，但它们的乘积
n j i n j
i j
i a a a a a a a a a a a a
21212
2
>++
却增加了．而当n a a a === 21时，
n
a a a a a a n
n
n +++=
2121
所以n 个数的算术平均值大于等于几何平均值．
下面我们给出应用上述不等式的例子．
例７ 在体积一定的圆柱形中，求其中表面积最小的一个（即在容积一定罐头中，求表面积最小的一个）．
解 设圆柱的高为x ，底圆半径为y ，体积为Ｖ＝常数，表面积为Ｓ，则
2
xy
V π=
2
22y xy S ππ+=
其中Ｖ为常数，欲求Ｓ的极小值．
已知2
2
222y xy xy y xy S πππππ++=+=，所以
2
2
23
2y
xy xy y
xy xy ππππππ??≥++
即
2
4
22
322)3
(
V
y
x S πππ
=≥
显然只有当2
2y xy xy πππ==时，Ｓ取最小值．即当x=2y 时，Ｓ值最小．
例８ 求证在所有具有相同面积的凸四边形中，正方形的周长最短． 证明 用abcd 表示四边形的四条边，?为a 与b 的夹角，?为c 与d 的夹角，如图１―１．用Ａ表示四边形的面积，则
)
2(cos 2cos 2)
1(sin sin 22
2
2
2
?
???cd d
c
ab b
a
cd ab A -+=-++=
由（2）式得 ????sin sin 8sin
4sin 4162
2
2
2
2
2
2
abcd d
c b a A
++=
?
????cos cos 84cos 4)cos 2cos 2()
(2
2
2
22
2
22
2
2
abcd d
c b a c
d ab d c b
a
-+=
-=--+
由（1）式得
=--++2
222
2
2
)
(16d c b
a
A
-++)
cos cos sin )(sin (8442
22
2
????abcd d
c b
a
θcos 8442
2
2
2
abcd d
c b
a -+
其中??θ+=
再利用半角公式12
cos
2cos 2
-=θ
θ，得
=--++2
222
2
2
)
(16d c b
a
A
=--+)12
cos
2)((8442
2
2
2
2θ
abcd d c b
a
2
cos
16)
(42
θ
abcd cd ab -+
所以2
cos
16)()(4162
2
2
2
2
2
2
2
θ
abcd d c b a cd ab A ---+-+=
=2
cos 16)]()(2)][()(2[2
2
2
2
2
2
2
2
2
θ
---+++--+-+d c b a cd ab d c b a cd ab
=2
2
cos 16])()][()()[(2
2
2
2
θ
abcd d c b a b a d c ---+--+
=2
cos 16))()()((2
θ
abcd d c b a c d b a b d a c a b d c --++-++-++-++
如令==+++p d c b a 2四边形周长，得
2
cos
))()()((2
cos
16))()()((16162
2
2
2
θ
θ
abcd d p c p b p a p A
abcd d p c p b p a p A -----=-----=
因为02
cos
2
≥θ
abcd ，所以
=-+-+-+-≤----≤4
2
)4
(
))()()((d
p c p b p a p d p c p b p a p A
4
4
)2(
)
4
24(
p p
p =-
4
2
)2
(
P A
≤
要使p 最小（A 为常数），只有当上式取等号时．即当
d c b a ===， 且90,02
cos
2
==θθ
°，这样的四边形只能是正方形．
最后，我们给出跷跷板归纳法．
有两个与自然数有关的命题A n 与B n ，若 (1)A 1成立；
(2)假设A k 成立，就推出B k 成立，假设B k 成立就推出A k+1成立． 则对一切自然数n , A n 与B n 都成立． A 1 B 1
A 2
B 2
A k
B k
A k+1
这里我们只给出一个例子说明上述归纳法． 例 已知
2,1,1,101
1≥+
=+=<<-n a a a a a a n n
求证
a a n -<
<111
证明 令
a
a A k k -<
11:，
1:>k k a B
(1)当n =1时，
a
a
a
a a -<
--=
+=111112
所以A 1成立．
(2)
=++=
+=
a a
a a a 1111
2
a
a a
a a
a a -<
+=++<
+++1111)1(112
2
所以A 2成立．
设A k 成立，则
1111111
=+-=+->
+=
-a a a a a a a k k
1>k a
即Ｂk 成立．
若Ｂk 成立，则
a
a
a
a a a a k
k -<
--=
+<+=
+1111112
1
即A k+1成立．由跷跷板归纳法知，一切A n 和B n 都成立．
练习1.5
(1)用数学归纳法证明n n n 2
1321+=++++ ．
(2)求证
N n n n n n n n
∈-???=+++),12(5312
)()2)(1( ．
(3)已知1->x ，且2,,0≥∈≠n N n x ，求证
nx x n
+>+1)
1(．
(完整版)1数学归纳法习题(含答案)
1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
高一数学归纳法分析及解题步骤
高一数学归纳法分析及解题步骤 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法 《2.3数学归纳法》教学设计 青海湟川中学刘岩 一、【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。 二、【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的
过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。 三、【策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四、【教学目标】 (1)知识与技能目标： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 五、【教学重难点】
各种数学归纳法
1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．
归纳法基本步骤
归纳法基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n
解析数学归纳法思想
解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，
，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思
数学：2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2) (2)
数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A 版选修2-2） 第一课时 2.3 数学归纳法（一） 教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备： 1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +== ∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，41 4 a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ 过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83， (7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数 3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法概念： ① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法. 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
1.5 归纳法原理与反归纳法
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数学归纳法典型例习题
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
数学归纳法经典练习及解答过程
数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D
2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，
数学归纳法巧记高中数学公式大全
高中数学公式大全及巧记口诀 离2012年高考只剩63天了，因为高中数学在高考中占有较大的比分，很多同学在数学上失分很多，其主要原因是同学们对数学基础知识记忆和掌握不够到位。因此我们乐恩特教育网整理了高中数学公式大全及巧计口诀，以便同学们轻松掌握数学公式，在高考数学复习上达到事半功倍的效果！以下就是整理的高中数学公式大全及巧记口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。
数学归纳法证明及其使用技巧
步骤 第一数学归纳法 一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤: (1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但 也有特殊情况; (2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。 第二数学归纳法 对于某个与自然数有关的命题P(n), (1)验证n=n0,n=n1时P(n)成立; (2)假设n≤k时命题成立,并在此基础上,推出n=k+1命题也成立。 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。 倒推归纳法 又名反向归纳法 (1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以就是一 个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以就是2^k,k≥1); (2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立, 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立; 螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n), (1)验证n=n0时P(n)成立; (2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1) 成立; 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。 应用 1确定一个表达式在所有自然数范围内就是成立的或者用于确定一个其她的形式在一个无穷序列就是成立的。 2数理逻辑与计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式就是等价表达式。
3证明数列前n项与与通项公式的成立。 4证明与自然数有关的不等式。 变体 在应用,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从0以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改: 第一步,证明当n=b时命题成立。第二步,证明如果n=m(m≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n^2>2n”这一类命题。 针对偶数或奇数 如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改: 奇数方面: 第一步,证明当n=1时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。 偶数方面: 第一步,证明当n=0或2时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。 递降归纳法 数学归纳法并不就是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,、、、,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m 比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,、、、,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,、、、,m,原命题均成立。如果命题P(n)在n=1,2,3,、、、、、、,t时成立,并且对于任意自然数k,由 P(k),P(k+1),P(k+2),、、、、、、,P(k+t-1)成立,其中t就是一个常量,那么P(n)对于一切自然数都成立、 跳跃归纳法
数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】
数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】 一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！ 数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若 (I)命题P(1)成立； (Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立. 由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立． 我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明， 运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性． 一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步． (Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步． (Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步， 为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍． 运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可 第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。 1.5归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n－1正确，就能推出命题对n也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而
数学归纳法、同一法、整体代换法
数学归纳法、同一法、整体代换法 一、函数方程思想 从而解决问题的一种思维方式，函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处置变量或未知数之间的关系。很重要的数学思想。 并研究这些量间的相互制约关系，1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达进去。最后解决问题，这就是函数思想； 确立变量之间的函数关系是一关键步骤，2.应用函数思想解题。大体可分为下面两个步骤：1根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；2根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；3方程思想：如何学好高中数学某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时经常列出这些变量的方程或（方程组）通过解方程（或方程组）求出它这就是方程思想； 之间相互渗透，3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念。很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。 二、数形结合思想 对于所研究的代数问题，数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一。有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）这种解决问题的方法称之为数形结合。 发挥数的思路的规范性与严密性，1.数形结合与数形转化的目的为了发挥形的生动性和直观性。两者相辅相成，扬长避短。 宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，2.恩格斯是这样来定义数学数学研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”这就是说：数形结合是数学实质特征。数学学习中突出数形结合思想正是充分掌握住了数学精髓和灵魂。 数量关系决定了几何图形的性质。 3.数形结合的实质是几何图形的性质反映了数量关系。形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,4.华罗庚先生曾指出：数缺性时少直观。或者借助于形的几何直观性来说明数之间的某种关系. 历年高考解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中。 6.要抓住以下几点数形结合的解题要领： 可直接从几何图形入手进行求解即可； 1对于研究距离、角或面积的问题。 可通过函数的图象求解（函数的零点，2对于研究函数、方程或不等式（最值）问题。顶点是关键点）作好知识的迁移与综合运用； 3对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的 三、分类讨论的数学思想 当问题的对象不能进行统一研究时，分类讨论是一种重要的数学思想方法。就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决。 1涉及的数学概念是分类讨论的 2运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的 3求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
数学归纳法
“数学归纳法”教学设计 一、教材与内容解析 （一）内容与内容解析 数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。 由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。 数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。 数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因． （二）地位与作用解析 从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。 从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。 从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。 二、教学问题诊断 1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内
数学中的归纳法及应用
题目归纳法在数学中的应用与地位学生 学号 指导老师 年级 学院 系别 xx年xx月
目录 目录 (2) 摘要 (3) 引言 (4) 一、数学归纳法的历史由来 (4) 二、归纳法的特点 (4) 二基本步骤 (5) 三数学归纳法的常用方法举例 (6) 3.1求同法 (6) 3.2求异法 (6) 3.3求同求异并用法 (7) 3.4共变法 (7) 3.5剩余法 (7) 四、在高等数学中的归纳法运用举例 (8) 五、数学归纳法解决应用问题 (9) 5.1代数恒等式方面的问题 (9) 5.2几何方面的应用 (9) 5.3排列和组合上的应用 (10) 5.4对于不等式的证明上的应用 (11) 六、总结 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
摘要 数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法，是从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式,它是科学发现的一种长用的有效的思维方式. 它的应用极其广泛．本文讨论了数学归纳法的步骤，它集归纳，猜想，证明于一体，体现了数学归纳法的证题思路．本文归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式，几何，排列组合等方面的一些应用问题的方法，并对应用中常见的误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，有利于提高对数学归纳法的应用能力． 数学归纳法的具体应用时,有许多更为灵活的形式,这一点是宜于注意的. 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论,只是停留在对事物的表面现象的观察上,没有深入地分析产生现象的原因,只有对现象产生的原因有了了解,才会提高结论的可信程度. 人们在长期的科学实践过程中,总结出了确定因果关系的几种逻辑方法:求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法. 归纳法在数学中运用十分广泛. 关键词：数学归纳法数学归纳法的特点步骤应用. Abstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．So-called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of[with] understanding, it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking. The inductive method is in mathematics make use of very extensively. Key words：Mathematical induction; steps；Application.