高考数列万能解题方法
数列的项
n
a与前n项和
n
S的关系：1
1
(1)
(2)
n
n n
s n
a
s s n
-
=
?
=?
-≥
?
数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a等差，{}n b等比，那么{}
n n
a b叫做差比数列）
即把每一项都乘以{}n b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列
1
1
n n
a a
+
??
??
?
??
和
??
（其中{}n a等差）
可裂项为：
11
1111
()
n n n n
a a d a a
++
=-
?
1
d
=
等差数列前n项和的最值问题：
1、若等差数列{}n a的首项10
a>，公差0
d<，则前n项和
n
S有最大值。
（ⅰ）若已知通项
n
a，则
n
S最大?
1
n
n
a
a
+
≥
?
?
≤
?
；
（ⅱ）若已知2
n
S pn qn
=+，则当n取最靠近
2
q
p
-的非零自然数时
n
S最大；
2、若等差数列{}n a的首项10
a<，公差0
d>，则前n项和
n
S有最小值
（ⅰ）若已知通项
n
a，则
n
S最小?
1
n
n
a
a
+
≤
?
?
≥
?
；
（ⅱ）若已知2
n
S pn qn
=+，则当n取最靠近
2
q
p
-的非零自然数时
n
S最小；
数列通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12
()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==
-≥。
已知12()n a a a f n =g g L g 求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)
n f n f n a n f n =??=?≥?-?。
⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。
⑷若1()n n
a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L
1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121
n n n n n a a a
a a a a a ---=????L (2)n ≥。 ⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如1n
n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为
k 的等比数列后，再求n a ；形如1n n n a ka k -=+的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后，再求n a 。
（2）形如1
1n n
n a a ka b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项。
（3）形如1
k n n a a +=的递推数列都可以用对数法求通项。
（7）（理科）数学归纳法。 （8）当遇到q a a d a a n n n n ==--+-+1
1
11
或
时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。 数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①
111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k
=-++； ③2211111
()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k
k k k k -
=<<=-++--；
④1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!
n n n n =-++；
⑥=<<= 二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法： 1、公式法 2、n n a S 求由 3、求差（商）法
解：n a a ==?+=11
2
2151411时，，∴
［练习］
4、叠乘法 解：
a a a a a a n n a a n
n n n 213211122311·……·……，∴-=-= 5、等差型递推公式 ［练习］
6、等比型递推公式 ［练习］
7、倒数法
数列前n 项和的常用方法：
1、公式法：等差、等比前n 项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?
?
?≠
［练习］
3、错位相减法：
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 ［练习］ 深圳一模
深圳二模 广州一模 广州二模 韶关调研
高考数列万能解题方法
数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1 (1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果 {}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列） 即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比 数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差） 可裂项为： 11 1111 ()n n n n a a d a a ++=-?，
1 d = 等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a的首项10 a>，公差0 d<，则前n项和 n S有最大值。 （ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最大? 1 n n a a + ≥ ? ? ≤ ? ； （ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最大； 2、若等差数列{}n a的首项10 a<，公差0 d>，则前n项和 n S有最小值 （ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最小? 1 n n a a + ≤ ? ? ≥ ? ； （ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知 n S（即 12 () n a a a f n +++= L）求 n a，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n - = =-≥。 已知 12 () n a a a f n = g g L g求 n a，用作商法： (1),(1) () ,(2) (1) n f n f n a n f n = ?? =?≥ ?- ? 。 ⑶已知条件中既有 n S还有 n a，有时先求 n S，再求 n a；有时也可直接求 n a。 ⑷若 1 () n n a a f n + -=求 n a用累加法： 11221 ()()() n n n n n a a a a a a a --- =-+-++- L 1 a +(2) n≥。 ⑸已知1() n n a f n a +=求 n a，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a - -- =???? L(2) n≥。 ⑹已知递推关系求 n a，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如 1 n n a ka b - =+、 1 n n n a ka b - =+（,k b为常数）的递推数列都可以用待 定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求n a；形如1n n n a ka k - =+的递推数列都可以除以 n k得到一个等差数列后，再求 n a。 （2）形如1 1 n n n a a ka b - - = + 的递推数列都可以用倒数法求通项。
数列解题技巧归纳总结---好(5份)
知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-? ?-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ??????????????????? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和 求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）
2020届高三数学复习 数列解题方法集锦
2020届高三数学复习 数列解题方法集锦 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出 现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系 它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n 对于这类问题，可以用公式a n =???≥-=-) 2()1(11 n S S n S n n . 1.2 已知a n 求S n 这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相 减法和通项分解法。 2．递推数列：?? ?==+) (11n n a f a a a ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设 法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。 例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为 等差数列。 解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6, 两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =???≥-=) 2(32)1(2 n n n . 又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。 注意：一般地，数列{a n }是等差数列?S n =an 2 +bn ?S n 2 ) (1n a a n +. 数列{a n }是等比数列?S n =aq n -a. 例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n = 2 ) (1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。 证明：因为S n = 2)(1n a a n +，所以，2 ) )(1(111++++=n n a a n S
高中数学数列复习题型归纳解题方法整理
数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较
4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
高考数学数列答题技巧解析
2019-2019高考数学数列答题技巧解析 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。下面是查字典数学网整理的数学数列答题技巧，请考生学习。 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面； (1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。 试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关 问题。 2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。 3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，
高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇
高考数学答题万能公式及解题技巧：公式篇1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(π2-a)=cos(a) cos(π2-a)=sin(a) sin(π2+a)=cos(a) cos(π2+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(b) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 6.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 7.其它公式(推导出来的 )
高考数列万能解题方法定稿版
高考数列万能解题方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数 列） 即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差）
可裂项为： 111111()n n n n a a d a a ++=-? 1 d = 等差数列前n 项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?10 n n a a +≥??≤?； （ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p - 的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?1 0n n a a +≤??≥?； （ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p - 的非零自然数时n S 最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 已知12 ()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)() ,(2) (1) n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。
数列题型及解题方法归纳总结
累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ，q 为常数) 例1、 已知｛a n ｝满足a n+i =a n +2，而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? ｛a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知｛a n ｝满足a n 1 a n ，而a 1 2，求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀｝是以2为首顶，公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得： .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ，q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求％ 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法，得：b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮，可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知｛a n ｝中 a 1 a n 1 a n 1 ，求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解：由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1，2，…，(n-1 )，代入得(n-1 )个等式累加，即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、｛a n ｝中，ai 1，对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的，就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1，2，…， 3a n 1 2 ，求 a n ? 数列 求和 解法一： 由已知递推式得 a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列｛a n+1-a n ｝是公比为3的等比数列，其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得｛a n+1-a n ｝是公比为 3 的等比数列，于是有： a 2-a 1=4， a 3-a 2=4 ? 3， a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 ， 数列的应用 分期付款 其他
高考数列解题技巧归纳总结
高考数列解题技巧归纳总结 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和 求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？
高中数学数列复习题型归纳解题方法整理
数列 典型例题分析 【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数 列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an } 的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d ++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a =2n ，由等比数列前n 项和 公式得 S m =2+22+23+…+2n =2(12) 12 n --=2n+1-2. 小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是 等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）.
【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、 常用求通项公式的结合 例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前 三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝ 8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等 差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n －1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4， b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n
高中数列方法与解题技巧(学生版)
高中数列方法与解题技巧 一、数列求通项的10种方法 二、数列求和的7种方法 三、6道高考数列大题 数列求通项的10种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式. 方法：等式两边同时除以12n + ，构造成等差数列，利用等差数列公式求解。 形式：n a 项系数与后面所加项底数相同 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法： 12121 ........................ 211n n a a n a a +--=+=?- 将上述各式累加，中间式子首尾项相抵可求得n a 形式：()1 n n a a f n +=+； 要求1n a +、n a 的系数均为1，对于n a 不为1时，需除以系 数化为1。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：同例2 例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：等式的两边同除以3，，将n a 系数化为1，再用累加法。 三、累乘法 例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式.。
方法：()()11 21 215..........................2115n n n a n a a a +=+=+ 将上述各式累乘，消除中间各项，可求得n a 形式：()1n n a f n a +=?；1n n a +是a 的关于n 的倍数关系。 例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式. 方法：本题与例5不同之处是想要通过错位相减法，求出1n n a a +与 的递推关系，然后才能用累成法求。 四、待定系数法（X,Y,Z 法） 例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：构造数列()11 525,n n n n a x a x x +++?=+?反解。 形式：()1n n a ka f n +=+ 例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：构造数列()11232n n n n a x y a x y +++?+=+?+ ，本题中递推关系中含常 数4，对于常数项，可看成是0n 。对于不同形式的n 要设不同的参数。 例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式. 方法：同例8，但它的参数要设3个。 五、对数变换法 例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式. 方法：等式两边同取对数得到1 lga lg2lg35lg n n n a +=++ ，然后可利用待定系数法或者累加法求之。 形式：()1 x n n a f n a += ,其中对与n a 的高次方特别有效。 六、迭代法
数列题型及解题方法归纳总结
知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常 数） 例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法， 得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化 为前面的类型。 求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式 系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
数列题型与解题方法归纳总结
.下载可编辑. 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ????????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+… +（a n -a n-1）
【高考数学】高考数列不动点法解题方法整理版
利用“不动点”法巧解高考题 由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助． 1 不动点的定义 一般的，设()f x 的定义域为D ,若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立，则称x 0为f x ()的 不动点，或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。 2 求线性递推数列的通项 定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3, n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。证：∵x 0是f x ()的不动点，所以ax b x 00+=， 所以，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··，∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列。 例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即 15166n n a a -= +(2)n ≥，记51 ()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：15 1(1)(2)6 n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列。(2)解略。 3求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax b f x c ad bc cx d +=≠-≠+，，且x x 12、是f x ()的不动点，数列{}a n 满足递推关系a f a n n =-()1，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列{ }a x a x n n --12是公比为a x c a x c --12的等比数列；（ⅱ）
高三数列解题方法
数列解题方法 一、基础知识： 数列： 1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列 的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号， 因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类： ①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ； ②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个 公式a n =f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和
高考数列求和解题方法大全
高考数列求和解题方法大全 数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 4、 )12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 例1． 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32= x x x n --1)1(＝2 11)21 1(21--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2． 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 当时1=x ，()()[]22 121127531n n n n S n =-+=-+++++= 当时1≠x 设 n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----?+=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令 )(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。 解析： a na a a a aS a na a a a S a a n b a a n n n n n n n n lg )32(lg )32(lg ,143232+++++=++++=∴?==
高三数学数列解题方法集锦
高三复习-------数列解题方法集锦 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出 现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系 它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n 对于这类问题，可以用公式a n =???≥-=-) 2()1(11 n S S n S n n . 1.2 已知a n 求S n 这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相 减法和通项分解法。 2．递推数列：?? ?==+) (11n n a f a a a ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设 法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。 例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为 等差数列。 解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6, 两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =? ??≥-=)2(32)1(2 n n n . 又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。 注意：一般地，数列{a n }是等差数列?S n =an 2 +bn ?S n 2 ) (1n a a n +. 数列{a n }是等比数列?S n =aq n -a. 例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n = 2 ) (1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。