名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题一 微切口4 三角形中的最值问题
则b2＋b＝c＞a＋a，c， b2＋c2＞a2，
可得35<t≤1.综上，35<t<53.由cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋c2－2（aca＋4 c）2
＝3a2＋83ac2c－2ac＝381t ＋t－14，得accos B＝t381t ＋t－14＝38t2－4t ＋38.因为二次函数y＝38
(1) 求△ABC 面积的最大值；
【解答】 因为m⊥n，所以(c＋a)(c－a)＋b(b＋c)＝0，即c2－a2＋b2＋bc＝0， 所以cos A＝b2＋2cb2c－a2＝－12，又A是三角形的内角，所以A＝120°.由c2－a2＋b2＋bc ＝0，且a＝3，得b2＋c2＝9－bc≥2bc，解得bc≤3，
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题一 三角函数和平面向量 微切口4 三角形中的最值问题
(1) 如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝DC，BD＝ 3 ，则△ABC面积的 最大值为___2_____．
【思维引导】
【解析】 方法一：(利用余弦定理) 设AD＝DC＝m，则AB＝2m，所以cos A＝5m42m－2 3，
故sin A＝ －9m44＋m320m2－9，
所以S△ABC＝ －9m4＋230m2－9＝
－9m22－532＋16，
易知当m2＝53时，S△ABC取得最大值2.
方法二：(利用向量知识求解)设AH为BC边上的高． 由B→D＝B→A＋12A→C， 得B→D2＝B→A＋12A→C2＝54B→A2＋B→A·A→C＝3， 所以S＝12|A→H|·|B→C|＝12 14A→B＋A→C2· A→C－A→B2
1. 求解最值问题时，要注意三角形内角和为π这一限制条件．例如，若△ABC是锐 角三角形，则0<A<π2，A＋B>π2，sin A>cos B，sin B>cos C.
2. 求解最值问题的关键在于将三角函数f (x)进行正确地“化一”及“化一”后角 的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去 确定函数f (x)的最值．同时要注意两边之和大于第三边等隐含条件．
＝14 2A→B2＋2A→B·A→C· 2A→B2－2A→B·A→C
＝14 －94A→B4＋30A→B2－36，
以下类似方法一．
(2) (2019·苏州大学考前指导卷)在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别
为a，b，c.若a，b，c成等差数列，则accos B的取值范围为__2_95_，__1__． 【解析】 设ac＝t，若a≤b≤c，则aa2＋2b＋＝bb＞a2＋＞c，cc，2， 可得1≤t<53；若a≥b≥c，
所以S△ABC＝12bcsin A≤12×3×sin 120°＝343，
所以△ABC面积的最大值为3
3 4.
(2) 求b＋c的取值范围． 【解答】 由(1)可知c2＋b2＋bc＝9，即(b＋c)2－bc＝9， 则(b＋c)2－9＝bc≤b＋2 c2，解得b＋c≤2 3. 又b＋c>a＝3，所以b＋c的取值范围是(3,2 3]．
Asin c
B，若a＋b＝4，则c的取值范围为__[_2_,4_)___．
【解析】因为sina2cAo＋s Bsi＋n2Bbc－ossiAn2C＝sin
Asin c
B，由正弦定理，得a2＋sibn2C－c2＝
sin
s
A＝sin
ab A＋B
＝sianbC，所以a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理得cos C
t2－4t ＋38图象的对称轴方程为t＝13，所以此二次函数在t∈35，53上单调递增，所以295<38
t2－4t ＋38<1，即295<accos B<1.
(2019·南方凤凰台密题)已知△ABC的内角A, B, C的对边分别是a, b, c，且
sina2cAo＋s Bsi＋n2Bbc－ossiAn2C＝sin
3. 求周长或面积的范围与最值时可转化为边与角的范围，也可利用基本不等式求 范围．
＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12，则C＝π3，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝16－3ab ≥16－3×a＋2 b2＝4，所以c≥2.又三角形的两边之和大于第三边，所以 2≤c＜4.
在△ABC 中，已知A→B·A→C＝|A→B－A→C|＝2. (1) 求|A→B|2＋|A→C|2 的值； 【思维引导】
【解答】 设角A，B，C的对边分别为a，b，c， 由已知得A→B·A→C＝2，且 c2－2A→B·A→C＋b2＝4， 因此 b2＋c2＝8，即|A→B|2＋|A→C|2＝8.
(2) 当△ABC的面积最大时，求角A的大小．
【解答】 因为 cos A＝1b·1cA→B·A→C＝2b·1c，
所以S
△
ABC＝
1 2
bcsin
A＝
1 2
bc
1－cos2A
＝
1 2
(c2b2－4)
1 2
≤
3
，当且仅当|
→ AB
|＝
|A→C|＝2时等号成立，故当△ABC的面积取最大值 3时，cos A＝12，故A＝π3.
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝(c＋a，b)， n＝(c－a，b＋c)，且 a＝3，m⊥n.
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公开课解三角形中的最值及取值范围问题(一)ppt课件
16 b2 c2 2bc cos
6 整理得16 b2 c2 3 bc
2
对称：b c，bc, b2 c2 非对称： 3b c,2b 3c
例5.(2014陕西理科）在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. （1）若a,b, c成等差数列，证明：sin A sin C 2sin(A C)
正弦边化角： a 2Rsin A,b 2Rsin B, c 2R sin C
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理推论 cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , cosC a2 b2 c2 ,
2ac
2ab
3
（3）重要不等式：a2 b2 2ab (4)基本不等式：a b a（ b a 0,b 0) 2 (5)变形：ab ( a b )2 2 当且仅当a b时，等号成立。
1.利用余弦定理及基本不 等式建立不等关系。 2.标明取等条件。
注：1.正弦定理化为三角函数为通法。 2.所求式为边的对称式：bc或b c或b2 c2 一般用余弦定理 不等式； 非对称式: 如 3b c,2b 3c, 一般用正弦定理 三角函数。
思考题：在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. 已知：3b 2a sin B, （1）求角A的大小； (2)若a 2,求b c的取值范围。
6
)
1 2
,1
2 3 sin(C ) 3,2 3
6
b c的取值范围为 3,2 3
例4.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a,b, c
(2)若a 3, A ,求b c的取值范围。
3
解：余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得，3 b2 c2 2bc cos
三角函数的最值PPT优秀课件
=
(2+sinx)2-1 2+sinx
=2+sinx-
1 2+sinx
.
令 2+sinx=t,
则
y=f(t)=t-
1 t
(1≤t≤3).
对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有
f(t1)-f(t2)=(t1-
1 t1
)-(t2-
1 t2
)
=(t1-t2)(
1+t1t2 t1t2
) <0.
求 m 的取
解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.
∵[0,
2
],
∴0≤sin≤1.
当 sin=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mR;
当 0≤sin<1 时,
m>-
1+sin2 2(1-sin)
恒成立.
令 t=1-sin, 则 t(0, 1], 且
m>-
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有:
1 2
[(t+a)2+a2-1].
∵a 为常数, ∴只需求 y=(t+a)2 的最值.
∵t[- 2 , 2 ], 且 a≥0,
微专题-三角形中的最值(范围)问题--高一数学-(苏教版2019必修第二册)
π 3
＝12×2×1×sin θ＋ 43(OA2＋OB2－2OA·OB·cos θ)
＝sin θ－
3cos
θ＋5 4 3＝2sinθ－π3＋5
4
3 .
∵0<θ<π，∴－π3<θ－π3<23π，
故当 θ－π3＝π2，即 θ＝56π时，sinθ－π3取得最大值 1，
故 S 四边形 OACB 的最大值为 2＋543＝8＋45
(2)若a＝2，求sin B＋sin C的取值范围.
解 sin B＋sin C＝sin B＋sin23π－B ＝ 3sinB＋π6， ∵0<B<23π，π6<B＋π6<56π，
∴12<sinB＋π6≤1，∴
3 2 <sin
B＋sin
C≤
3.
∴sin
B＋sin
C
的取值范围为
23，
3.
三、与三角形的周长有关的范围问题
解三角形
微专题 三角形的最值（范围）问题
三角形中的最值或者范围问题，是高中数学的重要内容，也是高考 的热点之一.现阶段，三角形的最值或范围问题，一般转化为条件最值或 范围问题：先根据正弦、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活 转化边和角的关系，再利用三角函数的有界性去求最值.
一、与三角形的边有关的最值问题
二、与三角形的角或角的三角函数有关的范围或最值问题
求三角函数式的范围一般是先确定角的范围，利用三角函数的单调 性及有界性求范围或最值.
例2
△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝a，
3b
与 n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求角 A 的大小；
高考数学一轮专项复习ppt课件-解三角形中的最值与范围问题(北师大版)
例 3 已知锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sincoAs－BB ＝sincoAs－CC. (1)若 A＝π3，求 B；
由题意知sincoAs－BB＝sincoAs－CC， 所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B， 所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C ＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B， 所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B， 因为 A＝π3，所以 sin Bcos C＝sin Ccos B，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
所以a2a＋bsbin2－Cc2＝2scionsCC＝12tan C ＝12tan[π－(A＋B)]＝－12tan(A＋B) ＝－12·1t－antAan＋AttaannBB ＝－196(tan A＋tan B)， 又 tan A＋tan B≥2 tan Atan B＝23，
∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
以a12＋b12的最大值为2156.
思维升华
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于 正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等 变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
由题意知sincoAs－BB＝sincoAs－CC， 所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B， 所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C ＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B， 所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B， 因为 A＝π3，所以 sin Bcos C＝sin Ccos B，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
所以a2a＋bsbin2－Cc2＝2scionsCC＝12tan C ＝12tan[π－(A＋B)]＝－12tan(A＋B) ＝－12·1t－antAan＋AttaannBB ＝－196(tan A＋tan B)， 又 tan A＋tan B≥2 tan Atan B＝23，
∴f(x)＝x＋122－54∈(1,5)， ∴bc22＋bc－1∈(1,5)， ∴a＋b c的取值范围是(1,5).
课时精练
一、单项选择题 1.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B＝π3，a＝4，且
三角形有两解，则 b 的取值范围是
A.(2 3，＋∞)
√B.(2 3，4)
以a12＋b12的最大值为2156.
思维升华
解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于 正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等 变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪训练 3 (2023·浙江联考)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别
课件解三角形中的最值及取值范围
边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范 围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最 长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、 线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建 筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
03
三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角 三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝 角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及 三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边 的线段。因此，高的取值范围受到角度的 取值范围以及三角形的形状的影响。对于 锐角三角形，所有的高都大于零。对于直 角三角形，斜边上的高等于另一条直角边 。对于钝角三角形，有两条高在三角形内 部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
04
高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题8三角形中的最值问题课件
第四章 三角函数与解三角形 高考培优8 三角形中的最值问题
[培优技法] 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难 点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的 值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条 件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定 义域)找完善，避免结果的范围过大．
点拨 本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等 式法求解，应转化为三角函数后，利用函数求最值，要注意角度范
[培优技法] 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难 点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的 值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条 件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定 义域)找完善，避免结果的范围过大．
点拨 本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等 式法求解，应转化为三角函数后，利用函数求最值，要注意角度范
1-热点难点微专题1 高考数学二轮复习专题
第17页
专题综述 典型例题 课后作业
原创与经典•大二轮整体设计
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法 2：由解法 1 得 tanA＋tanB＝2，令 tanA＝1＋t，tanB＝1－t，则 cos2A＋cos2B ＝tan2A1＋1＋tan2B1＋1＝t2＋21＋2t＋t2＋21－2t＝t2＋2t22＋2－24t2，令 d＝t2＋2≥2，则 cos2A＋cos2B＝d2－24dd＋8＝d＋28d－4≤2 82－4＝ 22＋1，当且仅当 d＝2 2时等号成 立．
第18页
专题综述 典型例题 课后作业
原创与经典•大二轮整体设计
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法 3：因为 sinC＝2cosAcosB，所以 sinC＝cos(A＋B)＋cos(A－B)，即 cos(A－B) ＝sinC＋cosC，cos2A＋cos2B＝1＋c2os2A＋1＋c2os2B＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)＝1 －cosC(sinC＋cosC)＝12－12(sin2C＋cos2C)＝12－ 22sin2C＋π4≤12＋ 22＝ 22＋1，当 且仅当 2C＋4π＝32π，即 C＝58π时取等号．
坐标系，则 A－2c，0，B2c，0，C(x，y)，则由 a2＋b2＋2c2＝8 得x－2c2＋y2＋x＋2c 2＋y2＋2c2＝8，即 x2＋y2＝4－54c2，即点 C 在圆 x2＋y2＝4－54c2上，所以 S≤2cr＝2c
4－54c2＝12·
－54c2－852＋156≤2 5
设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π.
所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。
在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。
解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。
近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。
主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。
试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。
而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。
二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。
本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。
题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。
但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。
本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。
三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。
四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。
2022届高考数学二轮复习三角形中的范围(最值)问题 课件
数形结合的思想，分类讨论的思想，转化的思想， 函数和方程的思想。
解三角形中的最值（范围）问题的解题方向： 方向一：化角，利用三角函数求最值； 方向二：化边，利用基本不等式求最值； 方向三：研究动点轨迹,数形结合，直观感知得到最 值 特别地，出现“锐角”“钝角”等限制条件，一般化边 为角。
1【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 ()
y C
A Bx
挖掘深入，思维升华
y C
x AB
挖掘深入，思维升华
归纳小 结
1.解三角形中取值范围问题的常用方法: （1）数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端 位置后数形结合求解. （2）利用均值不等式,重要不等式求最值 （3）转变为一个变量的函数,这个变量可以是角，也可 以是边，从而将问题转化为求函数的值域（最值）， 求值域可以用三角函数的有界性来求，也可以用导数 方法求。 2.运用的数学思想有:
ac 4 又 ac 00 ac 4
SABC
1 2
ac sin
B
3 ac 0, 4
3
即ABC 周长的取值范围为 4, 6 ，面积的取值范围为 0, 3
变式拓展
变式1：将（2）改为若 b 求2, 周长A和BC面积
的取值范围.
B
60o
A
C
方法3：图形分析法
变式1：将（2）改为若 b 2求, 周长A和BC面积
b
,cos
a
a2 b2
a2 b2
当 a 0时,b ，0 a （b 当 且ab仅当 时取“=”号）
2
典例分析
【2019 年高考真题理 18（全国卷Ⅲ）】△ABC 的内角 A、B、C 的对边
解三角形中的最值（范围）问题的解题方向： 方向一：化角，利用三角函数求最值； 方向二：化边，利用基本不等式求最值； 方向三：研究动点轨迹,数形结合，直观感知得到最 值 特别地，出现“锐角”“钝角”等限制条件，一般化边 为角。
1【2019年高考北京卷文数】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 ()
y C
A Bx
挖掘深入，思维升华
y C
x AB
挖掘深入，思维升华
归纳小 结
1.解三角形中取值范围问题的常用方法: （1）数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端 位置后数形结合求解. （2）利用均值不等式,重要不等式求最值 （3）转变为一个变量的函数,这个变量可以是角，也可 以是边，从而将问题转化为求函数的值域（最值）， 求值域可以用三角函数的有界性来求，也可以用导数 方法求。 2.运用的数学思想有:
ac 4 又 ac 00 ac 4
SABC
1 2
ac sin
B
3 ac 0, 4
3
即ABC 周长的取值范围为 4, 6 ，面积的取值范围为 0, 3
变式拓展
变式1：将（2）改为若 b 求2, 周长A和BC面积
的取值范围.
B
60o
A
C
方法3：图形分析法
变式1：将（2）改为若 b 2求, 周长A和BC面积
b
,cos
a
a2 b2
a2 b2
当 a 0时,b ，0 a （b 当 且ab仅当 时取“=”号）
2
典例分析
【2019 年高考真题理 18（全国卷Ⅲ）】△ABC 的内角 A、B、C 的对边
2019高考数学二轮复习微专题1三角形中的范围与最值问题课件精选ppt版本
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取值范围.
解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,则4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时
取等号,则△ABC的面积S= 1 bcsin A≤ 1 ×4× 3 = 3,故△ABC面积的取值范围
2
22
是(0, 3 ].
【方法归纳】 已知三角形的一边和它的对角,求三角形面积的最值或取值 范围一般有两种方法:一是利用余弦定理和基本不等式,结合三角形面积公式 求解,二是利用正弦定理和三角形面积公式建立三角形的面积关于某个角的 三角函数,再结合三角函数的图象求解最值或取值范围.若对三角形加上一点 限制条件,如“锐角三角形”,则选择方法二.
tan B tan C
.
答案
5 3 3
,3
解析 c2=b2+ab=a2+b2-2abcos C,化简得b=a-2bcos C,则sin B=sin A-2sin Bcos C,sin B=sin(B+C)-2sin Bcos C,化简得sin B=sin(C-B),即在锐角三角形中,C=2B,
1
2 3tan
B
≤ 2
23
= 33 ,当且仅当tan
B= 3 ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- tan<BA-B< ,故A-B的最大值是 .
36
2
2
6
题型二 三角形中面积的最值或取值范围
例2 在△ABC中,AB=2,AC= 2BC,则△ABC面积的最大值为
.
答案 2 2
解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= 2 BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y 2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,±2 2 )时,△ABC的面积取得最大值为2 2.
取值范围.
解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,则4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c时
取等号,则△ABC的面积S= 1 bcsin A≤ 1 ×4× 3 = 3,故△ABC面积的取值范围
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是(0, 3 ].
【方法归纳】 已知三角形的一边和它的对角,求三角形面积的最值或取值 范围一般有两种方法:一是利用余弦定理和基本不等式,结合三角形面积公式 求解,二是利用正弦定理和三角形面积公式建立三角形的面积关于某个角的 三角函数,再结合三角函数的图象求解最值或取值范围.若对三角形加上一点 限制条件,如“锐角三角形”,则选择方法二.
tan B tan C
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答案
5 3 3
,3
解析 c2=b2+ab=a2+b2-2abcos C,化简得b=a-2bcos C,则sin B=sin A-2sin Bcos C,sin B=sin(B+C)-2sin Bcos C,化简得sin B=sin(C-B),即在锐角三角形中,C=2B,
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2 3tan
B
≤ 2
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= 33 ,当且仅当tan
B= 3 ,B= 时取等号.又A,B都是锐角,则- tan<BA-B< ,故A-B的最大值是 .
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题型二 三角形中面积的最值或取值范围
例2 在△ABC中,AB=2,AC= 2BC,则△ABC面积的最大值为
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答案 2 2
解析 以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC= 2 BC,得(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],化简得(x-3)2+y 2=8,即为点C的轨迹方程,当C(3,±2 2 )时,△ABC的面积取得最大值为2 2.