基本计数原理

基础达标：

1．从10粒不同种子中选出6粒放入6个不同的瓶子中，如果甲、乙两粒不能放入A瓶内，则不同的放法有__________种.

2．车队有车7辆，现要调出4辆车按顺序去执行任务，要求A、B两车必须出车参加，并且A车要在B车之前出发，那么不同的调度方法有__________种.

3．安排3名教师去6所学校支教，毎校至多2人，则不同的安排方法有__________种.

4．5名队员中有2名老队员3名新队员，现从中选出3名排成1、2、3号参加比赛，要求3人中至少有2名老队员，且1、2号中至少1名新队员的排法有__________种.

5．从5名男生4名女生中选3人担任不同的工作，要求3人中既有男生也有女生，则不同的排法有____种.

6．8个人排成前后两排，每排4人，若甲、乙必须在前排且不相邻，其余6人位置不限，共有排法___种.

7．用数字0，l，2，3，4，5组成没有重复数字的数．

（l）能组成多少个六位数？

（2）能组成多少个六位奇数？

（3）能组成多少个能被5整除的六位数？

（4）能组成多少个比240135大的数？

8．在的展开式中，求各项系数的和.

能力提升：

1. 8人排成一队，

(1)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？

(2)甲乙不相邻，有多少种不同的排法？

(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种不同的排法？

(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种不同的排法？

(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种不同的排法？

2．把10名同学平均分成两个小组，每组5人，每组里选出正、副组长各一人，再分配到两个不同的地方去做社会调查，一共有多少种不同的方法？

3. 某学校篮球队共有10人，其中有4人是前峰，另有4人是后卫，其余2人是全面手，前锋、后卫都胜任.现需从他们中间选派5人，要求有3人胜任前

锋，2人胜任后卫，组成一个上场团队，共有多少种不同的选派方法.

4．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？

5．马路上有编号为1，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？

6．已知的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为56:3,求展开式的中间项.

7．求的展开式中的系数.

综合探究：

求的展开式中含x的项.

参考答案：

1．；

解析：从特殊位置考虑，先从8粒（非甲、乙）中选1粒放入A瓶内，再将其余9粒放入其余5瓶.

2．；

解析：因为A、B两车必须出车参加，故调出4辆车共有种方法，按顺序去执行任务时，A车在B车前与B车在A车前是等可能的，

故共有（种）．

3．210；

解析：将3名教师的人数分成2类：

第一类：有一所学校2人一所学校1人，

先从3人中选2人，有方法种，再将2组人安排到6个岗位上，

有方法种，

共有方法；

第二类：有3所学校每一所学校1人，

直接将3人安排到6个岗位上，共有方法；

所以共有方法.

4．48；

解析：分两类：

（1）两老一新，有种排法；

（2）两新一老，有种排法，

故共有48种排法.

5．420；

解析：先选人，有2类方法：2男1女或1男2女，共方法，

再安排任务，共,

故共有方法.

6. 8352；

解析：甲、乙在前排，可从其他6人中选出2人有种选法，

他们与甲、乙一起排在前排有种排法，但甲、乙不相邻，

应减去甲、乙相邻的排法，则前排有种排法；

对于前排的无论哪一种排法，后排有种排法．

所以共有排法（种）．

7．解析：

（l）第一位不能是0，有种方法，其他各位有种方法，

共有六位数的个数是；

（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5，

所以六位奇数的个数是；

（3）要使六位数能被5整除，个位数字必须是0或5．

当个位数字为0时有个；

当个位数字为5时有4个，

因此能被5整除的六位数的个数是；

（4）要比240135大，首先必须是六位数，有以下几类：

首位数字是3或4或5时各有个；

首位数字是2，第二位数字是4或5，但不包含240135在内，有个．

因此共有比240135大的数的个数是.

8．；

解析：令，则，

所以展开式中各项系数的和为

参考答案：

1．解析：

(1)有种排法；

(2)有种排法；

(3)有种排法；

(4)有种排法；

(5)本题不能用插空法，不能连续进行插空，用间接解法：

全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，

共种排法.

2．；

解析：分三步完成：

第一步把10名同学平均分成两组有种方法，

第二步每组里选出正、副组长各一人有种方法，

第三步把两个组分配到两个不同的地方有种方法．

根据分步计数原理，共有不同的方法（种）．

3. 204；

解析：以只会前锋的4人为标准进行分类：

第一类：若只会前锋的4人中派出3人，则可从4名后卫或2名全面

手中选2人打后卫，共有种方法；

第二类：若只会前锋的4人中派出2人，则需从全面手中派1人打前

锋，其余5人中选派2人打后卫，共有种方法；

第三类：若只会前锋的4人中派出1人，则2名全面手都要打前锋，

再从4名后卫中派2人打后卫，共有种方法，

故组队的总方法数为

4．20；

解析：∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题.

因为没有命中的4枪之间没有区别，不必计数，

所以只需在四发空枪之间形成的5个空中选出2个排列连续命中的三枪和单独命中的一枪，

所以共有种不同的情况.

5．20；

解析：关掉的灯不能相邻，也不能在两端，又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯

所依

6．；

解析：由题意,可得,展开式共11项,

故展开式的中间项为第6项,即.

7. ；

解析：的通项公式（），

分2类讨论：

（1）当前一个因式为1时，后面的应该为，即；

（2）当前一个因式为时，后面的应该为，即；

故展开式中的系数为.

参考答案：

解析：∵

∴要求展开式中含x的项，只须求中含的项，

∵

∴只有中才可能含有的项.

又，展开式中的系数为＝５，

，展开式中的系数为5＝30，

，展开式中的系数为10.

∴原式的展开式中含x的项为(5+30+10)x=45x.