3.3 单调性的分类讨论(第二课时)试题

3.3 单调性的分类讨论（第二课时） 【例1】（2019·湖南）已知函数()lnfxaxx，Ra，讨论fx的单调性； 【答案】见解析 【解析】由已知可知函数fx的定义域为0xx， 由1()ln,()axfxaxxfxx

,

当0a时，()0fx所以fx在(0,)为增函数,

当0a时，1()axafxx,

所以fx的单调递增区间为10,a,单调递减区间为1,a

.

例2：已知xaxxxaxxf2221ln)()(，求)(xf单调区间 【答案】见解析 【解析】该函数定义域为），（0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令xaxxfln12)('）（，解得121,12xxa（第二步，令导数等于0，解出两根21,xx）

（1）当0a时，'(0,1),()0,()xfxfx单调增，'(1,),()0,()xfxfx单调减 （第三步，1x在不在进行分类，当其不存在得到0a；第四步数轴穿根或图像判断正负） （2）当121a时即21a'(0,),()0,()xfxfx单调增， （第五步，x1在区间时，进行比较大小，当21xx得到21a第四步图像判断正负） ①当1210a时，即21a '1(0,),(1,)()0,()2xxfxfxa单调增，'1[,1],()0,()2xfxfxa单调减

（当21xx得到21a；第四步图像判断正负） ②当121a时，即210a

考向分析 '1(0,1),(,)()0,()2xxfxfxa单调增，'1[1,],()0,()2xfxfxa单调减

（21xx得到210a；第四步图像判断正负） 综上可知： 0a，'(0,1),()0,()xfxfx单调增，'(1,),()0,()xfxfx单调减；

21a，'(0,),()0,()xfxfx单调增

21a'1(0,),(1,)()0,()2xxfxfxa单调增，'1[,1],()0,()2xfxfxa单调减

210a，'1(0,1),(,)()0,()2xxfxfxa单调增，'1[1,],()0,()2xfxfxa 单调减

【例3】已知函数2()1ln(1)()fxxxaxaR.

（1）讨论函数()fx的单调性； （2）若对(0,)x，()0fx，求实数a的取值范围. 【答案】见解析 【解析】由题意知，()fx的定义域为(0,)， 由2()1ln21fxxxaxx2(21)(1)lnaxaxax，

得1'()2(21)fxaxax2

2(21)1(21)(1)axaxaxxxx

.

①当0a时，令'()0fx，可得1x，'()0fx，得01x，故函数()fx的增区间为(1,)，减区间为(0,1)； ②当102a时，112a，令'()0fx，可得112xa，'()0fx，得01x或12xa，故()fx的

增区间为11,2a，减区间为(0,1)、1,2a；

③当12a时，2(1)'()0xfxx„，故函数()fx的减区间为(0,)； ④当12a时，1012a，令'()0fx，可得112xa，'()0fx，得102xa，或1x，故()fx的增区间为1,12a，减区间为10,2a，(1,). 综上所述：当0a时，()fx在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数；当102a时，()fx在(0,1)，1,2a



上为减函数，在11,2a上为增函数；当12a时，()fx在(0,)为减函数；当12a时，()fx

在10,2a，(1,)上为减函数，在1,12a上为增函数. 【举一反三】 1.（2019·重庆月考）已知函数21()ln().2fxxaxaR讨论()fx的单调性. 【答案】见解析 【解析】因为21()ln2fxxax，定义域为(0,)，所以'()(0)afxxxx， 当0a时，'()0fx，则()fx在(0,)上单调递增.

当0a时，2'().axafxxxx

所以当0xa时，'()0fx；当xa时，'()0fx.

综上所述：当0a时，()fx的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间； 当0a时，()fx的单调递增区间为(,)a，单调递减区间为(0,).a 2．（2019·天津高考模拟（理））设函数()2lnfxaxx(R)a.求()fx的单调区间；

【答案】（1）当0a时，fx的单减区间为0,；当0a时，fx的单减区间为10,a，单增区间为1,a；（2）两个；（3）0. 【解析】2ln0fxaxxxQ， 11'axfxaxx.

当0a时，'0fx在0,恒成立， fx在0,是单减函数.

当0a时，令'0fx，解之得1xa. 从而，当x变化时，'fx，fx随x的变化情况如下表： x 10,a 1a 1,a



'fx - 0 +

fx 单调递减 单调递增

由上表中可知，fx在10,a是单减函数，在1,a是单增函数. 综上，当0a时，fx的单减区间为0,； 当0a时，fx的单减区间为10,a，单增区间为1,a

.

3.已知函数2()(2)lnfxxaxa x，试讨论()fx的单调性. 【答案】见解析 【解析】(2)(1)'()2(2)axaxfxxaxx，0x.

当0a时，易知()fx在(0,1)上为减函数，在[1,)上为增函数； 当02a时，()fx在(0,)2a上为增函数，在[,1]2a上为减函数，在(1,)上为增函数； 当2a时，()fx在(0,)上为增函数； 当2a时，()fx在(0,1)上为增函数，在[1,]2a上为减函数，在(),2a上为增函数.

1．（2019·辽宁高考模拟（理））已知函数()lnafxxx.讨论()fx的单调性； 【答案】详见解析 【解析】()fx的定义域221(0,),()axafxxxx， 当0a…时，()0fx，则()fx在(0,)上单调递减； 当0a时，令()0fx,可得0xa； 令()0fx可得xa；则()fx在(0,)a上单调递增，在(,)a上单调递减。 2．（2019·安徽高考模拟）已知函数()ln1()fxxaxaR，讨论函数()fx的单调性； 【答案】见解析 【解析】函数fx的定义域为0+， ，11axfxaxx

.

当0a时，0fx ，fx在0+，上单调递增； 当0a时，由0fx，得1xa .

若10,xa ，0fx，fx单调递增； 若1+xa， ，0fx，fx单调递减 综合上述：当0a时，fx在0+，上单调递增； 当0a时，fx在10,a单调递增，在1+a，上单调递减. 3．（2019·山西高考模拟）已知函数ln1fxxmxmR.讨论函数fx的单调性； 【答案】详见解析； 【解析】函数fx的定义域为1,

1111mxmfxmxx



当0m时，10,1fxmxfx在1,上单调递增；

当0m时，令0fx，得11xm

若11,1,0,xfxfxm单调递增； 若11,,0,xfxfxm单调递减； 综上：当0m时，fx在1,上单调递增； 当0m时，fx在11,1m上单调递增，在11,m上单调递减. 4.已知函数2()e1xfxaxbx，其中,abR，e2.71828为自然对数的底数.设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值.

【答案】见解析 【解析】由2()e1xfxaxbx，有()()e2xgxfxaxb，所以()e2xgxa. 因此，当[0,1]x时，()[12,e2]gxaa. 当12a时，()0gx，所以()gx在区间[0,1]上单调递增. 因此()gx在[0,1]上的最小值是(0)1gb； 当e2a时，()0gx，所以()gx在区间[0,1]上单调递减. 因此()gx在[0,1]上的最小值是(1)e2gab； 当1e22a时，令()0gx，得ln(2)(0,1)xa. 所以函数()gx在区间[0,ln(2)]a上单调递减，在区间(ln(2),1]a上单调递增. 于是，()gx在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)gaaaab. 综上所述，当12a时，()gx在[0,1]上的最小值是(0)1gb；当1e22a时，()gx在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)gaaaab；当e2a时，()gx在[0,1]上的最小值是(1)e2gab. 5．已知函数f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x．讨论f（x）的单调性； 【答案】见解析 【解析】f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x＝e2x﹣exa﹣a2x， ∴f′（x）＝2e2x﹣aex﹣a2＝（2ex+a）（ex﹣a）， ①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上单调递增， ②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lna，