多元函数微分学练习题及答案
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
1第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的 条件。
条件。
2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。
7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
的偏导数。
10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册
第八章 多元函数微分法及其应用第 一 节 作 业一、填空题：.sin lim .4.)](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos),,(.21)1ln(.102222322====-=+=+++-+-=→→x xyx x f x x x x y x y x f yx z z y x f y x x y x z ay x ψϕψϕ则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数yx sin sin 1的所有间断点是:(A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）；(B) x=y=n π(n=1,2,3,…)；(C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)；(D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。
答：（ ）2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。
答：（ ） 三、求.42lim 0xy xy ay x +-→→四、证明极限2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业一、填空题：.)1,(,arcsin)1(),(.2.)1,0(,0,0),sin(1),(.122=-+==⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x f yxy x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）：.42)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2)(:,2222222y x y x y x y y x y D ey x y C y y x B y A z z ++++⋅+⋅+⋅⋅=等于则设答：（ ）三、试解下列各题：.,arctan .2.,,tan ln .12yx zx y z yzx z y x z ∂∂∂=∂∂∂∂=求设求设四、验证.2222222222r zr y r x r z y x r =∂∂+∂∂+∂∂++=满足第 三 节 作 业一、填空题：.,.2.2.0,1.0,1,2.1====∆-=∆=∆===dz e z dz z y x y x xyz xy 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）：1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
第十七章多元函数微分学练习题(2021
第十七章 练习题（2021.1）一、 填空题1、若yx z =，则_______=dz 答案：xdy x dx yx y y ln 1+-2、设x y z sin =，则dz =_______________________ 答案：sin sin 1cos ln sin -=⋅+⋅xx dz yx ydx x y dy3、若yz x u tan 2+=，则=du 答案：yzdz y yzdy z xdx 22sec sec 2++ 4、设xz xy y=+，则dz = 答案：21x y dx x dy y y ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5、设yxxy z -=，则dz = . 答案：21⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y dx x dy y y 6、设)(yx f z =，则dz =答案：21⎛⎫⎛⎫'-⎪⎪⎝⎭⎝⎭x xf dx dy y y y 7、若222ln()u x y z =++，则du =答案：()2222=++++du xdx ydy zdz x y z8、函数xye z =在点()1,2处的全微分是___________ 答案：()22=+dz e dx dy9、dz z dy y dx e du x322-+=，则=∂∂22xu________.答案：xe2210、dz e dy y xdx du z22-+=，则=∂∂22zu________.答案：z e 22-11、dy y x dx y x du )cos ()sin 2(++=，则=∂∂∂23yx u________. 答案：y sin -12、dy y x dx y x du )cos ()sin 2(++=，则=∂∂∂yx u2________.答案：y cos13、设22(,)+=+f xy x y x y ，则(,)=x f x y ________.答案：2-14、设)2ln(),(xy x y x f +=，则=')0,1(x f 答案：115、设t uv z sin +=，而te u =，t v cos =，则=dtdz________. 答案：t t t e t cos )sin (cos +- 16、 设)(22y x f z +=,则=∂∂-∂∂yzx x z y __________. 答案：017、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x f z 1ln ，则y zy x z x ∂∂+∂∂2=_________.答案：018、 设函数 yye x z 2=，则=∂∂∂yx z2______________.答案：2(1)+yx y e19、已知()()xyx xy y x f sin1,-+=，则()='0,1x f _______,()='0,1y f ________答案：(1,0)0=x f(1,0)1=y f20、设x y z arctan =，则=∂∂22xz.答案：222)(2y x xy+21、设22v u z +=，而y x u +=，y x v -=，则=∂∂xz_____，=∂∂y z ________.答案：=∂∂xzx 4，=∂∂y z y 422、 ()y x f ,在点()y x ,可微分是()y x f ,在该点连续的_____条件； ()y x f z ,=在点()y x ,可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的______条件.（填“充要”或“充分”或“必要”）答案：充分，充分 23、 (),z f x y =的偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(),x y 存在且连续是(),f x y 在该点可微分的_______条件 答案：充分24、xyz e y x z y x f y++=cos ),,(，)1,0,1(0P 则grad =)(0P f . 答案：)0,2,1(25、y z x e ze z y x f yxcos sin ),,(++=，)0,1,0(0P 则grad =)(0P f . 答案：)1cos 1,0,(+e26、xyze y y x z y xf ++=2sin ),,(，)1,0,1(0P 则grad =)(0P f .答案：（0,2,0）27、y z x y xe z y x f zcos sin ),,(2++=,)0,1,0(0P 则=)(0P gradf . 答案：)1cos ,0,2(28、设()23,,32f x y z x y z yz =+-+，则()1,1,1gradf = .答案：()2,10,1-29、y z x y xe z y x f z cos sin ),,(2++=，)0,1,1(=l ，则=∂∂)0,1,0(lf __________.答案：230、设32),,(z y x z y x f ++=，则f 在点)1,1,1(0P 处沿方向()1,2,2:-l 的方向导数是___________. 答案：1331、直线l 与x 轴,y 轴,z 轴夹角分别为3,6,4πππ,则xyz u =在点()1,1,1的方向导数为 .答案：1232、222z y x u ++=在()2,1,1沿方向()γβαcos ,cos ,cos l 的方向导数 答案：2cos 2cos 4cos ++αβγ33、设xyz e y x z y x f y++=cos ),,(，)1,0,1(0P ，1(0,1,0)P ，01:→l P P ,则∂=∂P fl.答案：334、若函数(,)f x y 在）（0,00y x P 存在偏导数，且在0P 取得极值， 则00(,)x f x y '=00(,)y f x y '= . 答案：035、若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点()1,1-处取得极值，则常数=a答案：5-二、选择题1、 设(,)z f x y =，则00(,)=y f x y （ B ） A. yy x f y y x x f y ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B. y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C. xy x f y x x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000D. y y x f y y x f y ∆-∆-→∆),(),(lim 000002、 设(,)z f x y =，则00(,)=x f x y （ C ） A. yy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B. y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C. x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000D. xy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),(lim 000003、 设 (),z f x y =在 ()00,x y 处的全增量为 z ∆，若 (),z f x y =在 ()00,x y 处可微，则在 ()00,x y 处（ D ）.A. z dz ∆=B.x y z f x f y ''∆=∆+∆C. x y z f dx f dy ''∆=+D. z dz η∆=+（ η.4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点)5,4,2(处的切线与x 轴正向的夹角是（ A ） A.4πB. 2arctanC. 1D. 2 5、设()=-x z f y，且)(x f 可导，则=∂∂xz( C ) A .)(y x f -' B .)(2y x f y x -' C .)(1y x f y -'- D .)(yx f x -'- 6、设()=-xz f y，且)(x f 可导，则∂=∂zy( B ) A .)(y x f -' B .)(2y x f y x -' C .)(1y x f y -'- D .)(yx f x -'- 7、设)(22y x f z -=且f 具有导数，则∂∂+=∂∂z zx y（ C ） A. y x 22- B. )()22(22y x f y x --C. )()22(22y x f y x -'-D. )()22(22y x f y x -'+ 8、设 )ln(xy z =，则dz =（ A ）A.dy y dx x 11+ B. dy xy dx xy 11+ C. ydy xdx + D. dy x dx y 11+9、设222),,(zx yz xy z y x f ++=，则=)1,0,2(yz f （ C ）A .3B .0C .2D . 110、 对于函数,),(22y x y x f -=点)0,0(（ B ） A. 不是驻点; B. 是驻点却非极值点; C. 是极小值点; D. 是极大值点.11、关于函数()()224,y x y x y x f ---=的极值，下列说法正确的是（ D ）A 、极小值()82,2=-fB 、极大值()00,0=fC 、极小值()00,0=fD 、极大值()82,2=-f 12、二元函数 225y x z --= 的极大值点是（ C ）.A. ()0 , 1B. ()1 , 0C. ()0 , 0D. ()1 , 1 13、下列说法错误的是( C ).A.若),(y x f 在),(00y x 可微，则),(y x f 在),(00y x 连续.B.若),(y x f 在),(00y x 可微，则),(y x f x ，),(y x f y 存在.C.若),(y x f x ，),(y x f y 存在，则),(y x f 在),(00y x 可微.D.若),(y x f x ，),(y x f y 在),(00y x 连续，则),(y x f 在),(00y x 可微. 14、两个偏导数00(,)∂∂x y zx 和00(,)∂∂x y z y 存在是函数),(y x f 在点),(000y x P 连续的（ D ）A 、充分而非必要条件；B .必要而非充条件；C .充分必要条件；D .既非充分条件又非必要条件； 15、两个偏导数00(,)∂∂x y zx 和00(,)∂∂x y z y 存在，函数),(y x f z =在点),(000y x P （ C ）A. 连续B. 可微C. 不一定连续D. 一定不连续16、两个偏导数00(,)∂∂x y zx 和00(,)∂∂x y z y 存在是),(y x f z =点),(000y x P 可微的（ B ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件17、若),(y x f 在),(000y x P 可微，则0),(),(0000==y x f y x f y x 是),(y x f 在),(000y x P 取得极值（ B ）A. 充要条件B.必要条件C.充分条件D. 既非充分又非必要条件 18、 设函数 ),(y x f z =在 ),(00y x 处不连续，则),(y x f 在该点处（ D ） A. 必无定义; B. 极限必不存在; C. 偏导数必不存在; D 全微分必不存在.19、 函数 ),(y x f z =在 ),(00y x 处连续是函数在),(00y x 可微的（ D ） A. 必要条件; B. 充分条件; C. 充要条件; D. 既非充分又非必要条件. 20、下列说法正确的是（ A ）A. 若),(y x f xy 和),(y x f yx 都在点),(00y x 连续，则 ),(),(0000y x f y x f yx xy =B. 若),(y x f xy 存在，则),(y x f yx 存在。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
多元函数微分习题
33、求函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 ( 2, 2 + 3 ) 的方向的方向导数。 34、求函数 z = ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上的点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数.
11、验证 y = e
− kn 2 t
sin nx 满足:
∂y ∂2 y =k 2 . ∂t ∂x
12、求下列函数的全微分： (1) z =
y x2 + y2
;(2) u =
y z x + − x y z
答案：（1） .dz =
− x ( ydx − dy ) (x 2 + y 2 )3
;
(3).df (1,1,1) = dx − dy ( 2).dz = −(
答案: ∆z = −0.119, dz = −0.125. 14、求下列复合函数的一阶偏导数或全导数: （1） 设 z = u 2 + v 2 , 而 u = x + y , v = x − y , 求 : （2） 设 z = u 2 ln v ，而 u =
∂z ∂z , ∂x ∂y
x ∂z ∂z . , v = 3 x − 2 y ，求 , y ∂x ∂y
答案:
π . 4
9、设 T=2 π
l , g
y x
求证:
l
∂T ∂T +g = 0. ∂l ∂g
∂2z ; ∂x∂y
10、(1) z = arctan ， 求:
∂2z 1 − 2 xy 答案： 2 = 2 ∂x (x + y 2 )2
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第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。
多元函数微分学习题及详细解答
C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)