2010年数学建模赛区A题一等奖论文19

V
H tan c ' tan c
S ( y)dx (0 H tan c tan c' ）
2. 油量适中时油面过两端面
5
y
2b
H
c c
油 浮 子
dx
0
c
x
l
图 5 油量适中时油面过两端面 在前一种情况的基础上将直线上移即得到油量适中时油面过两端面的情况， 则只是积分上限发生了变化，即积分区间为 (c, c) 。当直线过长方形的端点 c 时 为此种情况的最小范围，当直线过长方形的端点 c 的对角顶点时为此种情况的最 大范围，即过 (c,2b) ，此时 H 2b tan (c c' ) 因此油量适中时油面过两端面油罐内油的体积公式为
二、问题假设和符号说明
2.1 模型假设 1.假设不考虑测量误差。 2.假设附表中给出的数据真实有效。 2.2 符号说明 h ：储油罐中油量高度； h1 ：储油罐中油的液面与坐标轴 z 轴的交点； h斜 ：同时产生横向倾斜和纵向倾斜时的油面高度；
H ：储油罐中油位高度； 平 ：只有纵向变位时引起的水平误差；
斜 ：只有纵向变位时引起的倾斜误差；
：储油罐纵向变位角；
：储油罐横向变位角； S y ：油投影到 yoz 平面时得到的截面积；
a ：椭圆长半长轴； b ：椭圆短半长轴； c ：储油罐底端与 x 轴相平时的边界交点； c ：油浮子在 x 轴上的坐标位置； V ：储油罐中油的体积；
四、模型建立与求解
1.问题一的模型建立和求解 1.1 纵向变位后罐内油体积与油位高度的理论关系模型 在求纵向变位后罐内油体积与油位高度的理论关系时建立以罐底中点为坐 标中心,以罐底为 xoy 平面建立坐标系，如图 1 所示
图 1 纵向变位储油罐坐标系示意图 从上图可以看出液面与储油罐所形成的立体在 yoz 方向上的截面都是部分 椭圆体，如图 2 所示。
2b
H
c c
油 浮 子
dx
0
c
x l l
图 4 油量较小时油面的右端在底面上 如图 3 示为油罐的正视图此为一长方形，以长方形底边的中点为坐标原点， 底边为 x 轴建立如图所示坐标系，设油浮子的高度为 H ，若油量很小则很可能出 现如图直线 l ' 所示的情况，此时油浮子刻度为 0，无法进行计算，所以此种情况 不再计算，只计算如图直线 l 所示的情况。 设 此 时 直 线 方 程 为 y t a n x k ， 则 将 c' , H 代 入 即 可 求 的 k H t a n c' ，所以当油量高度为 H 直线方程为 y tan x H tan c' 当直线恰好过长方形的端点 c 时为此种情况的最大范围，即 H tan c tan c' 。 平行于 yoz 平面与油罐内油的交面为部分椭圆形，所以求油的体积也就是对 这些部分椭圆面积进行从左到右积分即可。 在此种情况下的积分上限为直线与底 H tan c ' 边的交点。取 y tan x H tan c' 0 ，则 x 。 tan 因此油量较小时油面的右端在底面上时油罐内油的体积公式为
2
三、问题分析
本文主要对储油罐的变位识别与罐容表标定问题进行了分析研究。 对于问题一，先根据所给的图形，利用积分与几何知识推算出罐体纵向变位 为 理论条件下的罐内油体积与油位高度的函数关系式。 再利用该函数关系示计 算与附表 1 中无变位时的对应高度的罐内油的体积。 与实际数据比较， 如有误差， 作为水平误差，并求出误差与油位高度的关系，对求出的公式进行误差修正，同 时计算出无变位下的油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值， 在倾斜时除了水平误 差外还有倾斜造成的误差。先进行水平误差的修正，根据修正后的公式求出所给 附表中有变位所给油位高度相应的理论油量，与试验值进行比较，并求出倾斜误 差与油位高度的关系，对已求出的公式进行倾斜误差修正。用修正后的公式求有 纵向变位下的油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值， 将两标定值比较分析得出罐 体变位后对灌容表的影响。 对于问题二，在第一问的基础上，先根据所给的图形，利用积分与几何知识 推算出罐体纵向变位为 和横向变位 理论条件下的罐内油体积与油位高度的 函数关系式，并用第一问中的修正误差公式进行修正，得到修正后的罐内油体积 与油位高度的函数关系式。利用附表 2 中给出的显示油量和油的体积，用最小二 乘法的思想计算出此时的纵向变位为 和横向变位 的值。 在将求出的 和 代 入到修正后的罐内油体积与油位高度的函数关系式中， 求出罐体变位后油位高度 间隔为 10cm 的罐容表标定值。将 和 代入到修正后的关系式中，求出所给附 表 2 中所给油位高度相应的理论油的体积，与实际值进行误差分析，以此来分析 模型的正确性。将 和 分别变化得出的结果与实际变化结果相比较，即可说明 模型的可靠性。
V S ( y )dx ( tan c tan c' H 2b tan (c c' ) ）
c
c
3. ห้องสมุดไป่ตู้量较大时油面左端在顶面上
y
2b
H
dx 0 c c
油 浮 子
c
x l l
图 5 油量较大时油面左端在顶面上 在前一种情况的基础上将直线上移即得到油量较大时油面左端在顶面上的 情况，当油量较大时则可能出现 l 的情况，此时油浮子的刻度为最大值，但实际 没有满，且实际生活中不可能这么满，所一只研究 l ' 的情况。 此时与第二种情况相比积分要进行分段，让 y tan x H tan c' 2b 2b tan c' H 2b tan c' H 即可求出 x ，此时分两部分，当 x 时被积的 tan tan 2b tan c' H 积分函数为整个的椭圆面积， x 时被积的积分函数为部分的椭 tan 圆面积，则所求的油的体积为
a b 2 y 2 ，所以当油量高度为 h 即此时油量的刻度为 d 时 b
部分椭圆面积为 d a S b 2 y 2 dy b b
2a b 2 x x 2 b x2 arcsin b 2 b 2 b 2a b 2 d d b2 b b 2 2 2 arcsin b d ( arcsin b b 2 ) b 2 b 2 2 b 2
4
y
0
l2 x l4
l1
l3
图 3 纵向倾斜造成的液面倾斜示意图 在实际情况下，油罐的倾斜不会太大，所以如 l 4 所示的情况不可能出现，所 以只讨论倾角较小时的三种情况，即油量较小时油面的右端在底面上、油量适中 时油面过两端面、油量较大时油面左端在顶面上，以下三种情况分别讨论。 1. 油量较小时油面的右端在底面上 y
1
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变 化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐 容表进行重新标定。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表 标定的问题。 （1） 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响， 利用如图4的小椭圆型储油罐 （两 端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 4.1 的纵向变位两种情 况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表 的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2） 对于图1所示的实际储油罐， 试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间 的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根 据你们所建立的数学模型确定变位参数， 并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正 确性与方法的可靠性。
d
d ad ab b2 d 2 b b 2 因为 d h b ，所以部分椭圆面积与部分椭圆高度关系为 h b a ( h b) 2 ab S (h) ab arcsin b ( h b) 2 b b 2 h b a ( h b) ab ab arcsin 2bh h 2 b b 2 （2）罐内油体积的积分求解 倾斜角度分为逆时针和顺时针两个方向，两种情况计算方法类似，不妨取倾 角为逆时针方向。根据纵向倾斜角的大小绘制在不同倾角下的液面倾斜示意图， 如图 3 所示，共有四种情况。 ab arcsin
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文主要对储油罐的变位识别与罐容表标定问题进行了分析研究。 问题一，根据油罐尺寸建立坐标系，分析得出纵向倾斜后液面与油罐有六种 情况，根据实际情况选取其中油量较小时油面的右端在底面上、油量适中时油面 过两端面、油量较大时油面左端在顶面上三种，利用积分与几何知识推算出罐体 纵向变位为 时罐内油体积与油位高度的理论公式（见 P7） 。 然后从水平误差和倾斜误差两个方面对理论公式进行修正，首先计算出无纵 向倾斜时各高度的罐内油体积的水平误差，进行水平误差修正；然后，求出有纵 向倾斜时各高度相应的倾斜误差，进行倾斜误差修正，得到修正公式 H tan c ' tan S ( y )dx 变 0 H tan c tan c' c c V V S ( y )dx 变 tan c tan c' H 2b tan (c c' ) c 2b tan c ' H c tan S ( 2 b ) dx (2b tan (c c' ) H 2b 2 c ' H S ( y ) dx 变 b tan tan c 此时修正后的相对误差在 0.2%左右。 用修正后的公式求油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值（见附表 3，P23） 。 最后， 通过比较水平与纵向倾斜时的罐容量标定值来对罐体变位后罐容表的 影响进行分析，油罐倾斜后油位低时，读数值小于实际值；油位处于中间时，两 者读数值大于实际值，且在中间位置最大；油位较高时读数值又小于实际值。 问题二，在问题一的基础上先根据所给的油罐尺寸，分三种情况讨论，推算 出罐体纵向变位为 和横向变位 理论条件下的罐内油体积与油位高度的理论 公式（见 P16） ，并用第一问中的误差修正公式进行修正。 然后，利用附表 2 中给出的显示油量和油的体积，用最小二乘法的思想及连 续函数离散化方法计算出此时的纵向变位为 和横向变位 的值， 分别为 3.4 和 1.9 。将求出的 和 代入到修正后的罐内油体积与油位高度的修正公式中，求 出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值（见表 7，P17） 。 最后，将 和 代入到修正公式中，求出所给附表 2 中所给油位高度相应的 理论油量，与实际值进行误差分析，得到相对误差在 0.26%左右，足以说明模型 的正确性；通过计算 和 分别变化时的罐内油体积，结果与实际情况相符，即 可说明模型的可靠性。 关键字：变位识别 积分 误差修正 最小二乘法 离散化