全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得:
中考数学要点难点分析整理复习总结
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 (1)有理数:是初中数学的基础内容,中考试题中分值约为3-6分,多以选择题,填空题,计算题的形式出现,难易度属于简单。 考察内容:复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。 (2)整式的加减:中考试题中分值约为4分,题型以选择和填空题为主,难易度属于易。 考察内容: ①整式的概念和简单的运算,主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式,平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 (3)一元一次方程:是初一学习重点内容,主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题,根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分,题型主要以选择和填空题为主,极少出现简答题,难易度为易。 考察内容: ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型:追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 (4)几何:角和线段,为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 (1)相交线和平行线:相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空,选择题形式出现。分值为3-4分,难易度为易。 考察内容: ①平行线的性质(公理) ②平行线的判别方法 ③构造平行线,利用平行线的性质解决问题。 (2)平面直角坐标系:中考试题中分值约为3-4分,题型以选择,填空为主,难易度属于易。 考察主要内容: ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 (3)二元一次方程组:中考分值约为3-6分,题型主要以选择,解答为主,难易度为中。 考察内容:①方程组的解法,解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 (4)不等式和不等式组:中考试题中分值约为3-8分,选择,填空,解答题为主。 主要考察内容: ①一元一次不等式(组)的解法,不等式(组)解集的数轴表示,不等式(组)的整数解等,题型以选择,填空为主。 ②列不等式(组)解决经济问题,调配问题等,主要以解答题为主。 ③留意不等式(组)和函数图像的结合问题。
2020二次函数中的面积问题
二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一.求面积常用方法: 1. 直接法(一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边) 2. 利用相似图形,面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和(三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解) 二.常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标(-a b 2, a b ac 442-) 抛物线与y 轴交点(0,c ) “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ,与x 轴的正半轴交于B 、C 两点,且BC=2,S △ABC =3,则b = , c = . 〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A (-1,0)、B (3 ,0),与y 轴交于点C ,∠ACB=90°. (1)求二次函数的解析式; (2)P 为抛物线X 轴上方一点,若使得△PAB 面积最大,求P 坐标 (3)P 为抛物线X 轴上方一点,若使得四边形PABC 面积最大,求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点,若使得ABC PAB S S ??=2 1,求P 点坐标。 ● 同高情况下,面积比=底边之比 2.已知:如图,直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ,抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ,点A 是 B 图1
烟台-历年中考数学真题-二次函数
25.(2018 14分)如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C,D. (1)求直线和抛物线的表达式; (2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t 为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值; (3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由. 25.(13分)(2017烟台)如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC 的边CD=1,延长DC交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值; (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
25.(2016 12分)如图1,已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2,6),点B在y轴上,且AD∥BC∥x轴,过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2,2),点F(m,6)是线段AD上一动点,直线OF 交BC于点E. (1)求抛物线的表达式; (2)设四边形ABEF的面积为S,请求出S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (3)如图2,过点F作FM∥x轴,垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN∥y轴,垂足为N,连接MN,直线AC分别交x轴,y轴于点H,G,试求线段MN的最小值,并直接写出此时m的值. 24.(2015 本题满分12分) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线2 y ax bx c =++与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1,0),(0,-2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧?DE上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5。 (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式; (2)若点P是x轴上的一个动点,试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使⊿QCM是等腰三角形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存
中考数学专题复习最值问题
两点之间线段最短关系密切.在求最短路线时,一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法. 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示,AB 是一条河流,要铺设管道将河水引到C ,D 两个用水点,现有两种铺设管道的方案.方案一:分别过C ,D 作AB 的垂线,垂足分别为E ,F ,沿CE ,DF 铺设管道;方案二:连接CD 交AB 于点P ,沿PC 、PD 铺设管道.问:这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料,为什么? 【思路点拨】 方案一管道长为CE +DF ,方案二管道长为PC +PD ,利用垂线段最短即可比较出大小. 本题易错误的利用两点之间线段最短解决,解答时需要准确识图,找到图形对应的知识点. 1.如下左图,点A 的坐标为(-1,0),点B(a ,a),当线段AB 最短时,点B 的坐标为( ) A .(0,0) B .(22,-22) C .(-22,-22) D .(-12,-12 ) 2.在直角坐标系中,点P 落在直线x -2y +6=0上,O 为坐标原点,则|OP|的最小值为( ) A.352 B .3 5 C.655 D.10 3.如上中图,在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为圆心的圆过点A(13,0),直线y =kx -3k +4与⊙O 交于B 、C 两点,则弦BC 的长的最小值为________. 4.如上右图,平原上有A ,B ,C ,D 四个村庄,为解决缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池. (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H 点的位置,使它到四个村庄距离之和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H 中,怎样开渠最短并说明根据. 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1,直线同侧有两点A ,B ,在直线MN 上求一点C ,使它到A 、B 之和最小;(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展:如图2,点P 在∠AOB 内部,试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ,使△PEF 周长最短;(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题:①如图3,在五边形ABCDE 中,在BC ,DE 上分别找一点M ,N ,使得△AMN 周长最小;(保留作图痕迹不写作法)
二次函数的存在性问题(面积问题)
二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知:如图,R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上,C 为OA 上一点且OC =OB ,抛物线y=(x -2)(x -m )-(p-2)(p-m)(m 、p 为常数且m+2≥2p>0)经过A 、C 两点. (1)用m 、p 分别表示OA 、OC 的长; (2)当m 、p 满足什么关系时,△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得:(整理得:(当时,. B 最大 [08湖北荆州]如图,等腰直角三角形纸片AB C 中,AC =BC =4,∠ACB =90o,直角边AC 在x 轴上,B 点在第二象限,A (1,0),AB 交y 轴于E ,将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合,得到折痕EF (F 在x 轴上),再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ,然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移,至B 点到达A 点停止.设平移时间为t (s ),移动速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. (1)求折痕EF 的长; (2)是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点?若存在, 求出t 值;若不存在,请说明理由; (3)直接写出....S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=()折叠后与所在直线重合又中(,) ,折痕 ∥BA 交Y 轴于P , 2()存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形,直角顶点在射线上移动 ,
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时,求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时,以 A , E , 顶点的四边形是矩形?求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下,以点 E 为圆心,EH 长为半径作圆,点 M 为O E 上一动点,求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点,与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD : Sz\ABD =k ,求 k 的值; (3)当厶BCD 是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 1.如图,抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点,直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点,过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ,H 为 AM+CM 它 顶点为D .
3.如图,直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点,设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式,并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动,点 F 在直线AB 上移动,求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动,同时动点 N 从 点O 出发,以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动,当 N 点到达A 点时,M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时,四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时,△ BOQ 能否为等腰三角形?若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1
中考数学 二次函数知识点总结
中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 ,可以为零.二次函数的定义域是 a≠,而b c 全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的 y ax c 性质:
结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性 y a x h 质: 结论:左加右减。 总结: 4.
()2 y a x h k =-+的性质: 总结: 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”.
初中数学最值问题典型例题(含解答分析)
中考数学最值问题总结 考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。 (2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题) 问题原型:饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型: 条件:如下左图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA PB +的值最小. 方法:作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于 点P,则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三 角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)求证:△AMB≌△ENB; (2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小; ②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由; (3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线M N∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.
历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值; (3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9 4 ;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣ 3). 【解析】 试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解; (2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答; (3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可; (4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可. 试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0), ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ,解得 4 3 b c =- ? ? = ? ,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3; (2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣ (x﹣3 2 )2+ 9 4 .∵a=﹣1<0,∴当x= 3 2 时,线段PD的长度有最大值 9 4 ;
中考数学题型及方法总结
初中数学中的固定题型及惯性思维 一、角平分线的考点 1.定义 2.性质(垂直于角的两边) 3.对称性(垂直于角 平分线,构造全等,得到中点) 二、中点的三个考点 1.斜边中线(直角与中点) 2.三线合一(等腰与中点) 3.中位线(两个中点) 附注:中点常见作辅助线方法:过其中一个端点作另一个端点所在直线的平行线交延长线与一点。如果其中一个端点所在直线有多条,要结合题目已知条件进行判断,一般以已知线段长度的为主。 三、等腰三角形的考点 1.等角对等边 2.等边对等角 3.三线合一 四、全等三角形 1.五个全等三角形的判定定理 2.对应边对应角相等 五、轴对称图形 1.角的对称性(性质) 2.线段的对称性(性质) 3.等腰三角形的对称性(三线合一) 附注:对称轴是直线,轴对称图形既可以是一个图形本身,比如等腰三角形是轴对称图形,也可以说两个图形关于某条直线呈轴对称图形。 六、勾股定理 1.勾股定理的公式 2.勾股定理的逆定理(可以用来证明直角或者一个三角形是直角三角形) 附注:利用图形证明勾股定理一般都是利用部分面积之和等于整体面积,另外记住几组常见的勾股数,3,4,5;6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 七、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系是用来确定点及图像的位置的 2.坐标轴及象限的划分
附注:如果题目说不经过第二象限,应该有两种情况,一是经过一三四象限,二是经过一三象限,做此类题目不要思维定势。 八、二次根式 1.二次根式的非负性 2.同类二次根式 3.最简二次根式 4.二次根式的比较大小 5.二次根式的加减乘除 附注:如果题目的计算结果包含根式,一定要习惯性地判断是否是最简二次根式,切记因为细节问题失分;另外代数式有意义也要注意开方数大于等于0,千万不要漏掉等号。 九、一元二次方程 1.定义(二次项系数不为0) 2.四种解法(优先考虑因式分解法,主要是十字相乘) 3.一元二次方程根的个数的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系,即韦达定理 附注:只要一个题目是求解有关一元二次方程的根的代数式的值的题目,只有两种方法,代入法与韦达定理,如果满足韦达定理的形式就用韦达定理,除此之外,一律使用代入法。 十、二次函数 1.定义(最高次为2,二次项系数不为0) 2.二次函数的图像(开口、与X轴的交点、对称轴、顶点坐标、与Y轴的交点位置) 3.二次函数的增减性 4.二次函数的动点问题 附注:初中阶段所有函数的知识点都比较少,更多的是知识点的迁移变化与综合应用。 十一、分式方程 1.分式方程的定义(有可能考选择题) 2.分式方程的解的情况 3.已知分式方程的解的情况,求未知实数的取值范围 附注:1.增根是分式方程无解的特殊情况 2.如果告诉分式方程的解为负数,解出X之后,一方面x<0,另外千万不要忘记x不能等于增根,这个是比较容易出错的一个点。 十二、圆 1.相关定义,比如直径、圆心、弦、切线、弧、圆周角、圆心角等等 2.切线长定理 3.垂径定理 直径:直径所对圆周角是90度
二次函数的最大面积问题
初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点,OA=1,tan ∠BAO=3,将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC .抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C . (1)求抛物线的解析式. (2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t . ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标. ②是否存在一点P ,使△PCD 的面积最大?若存在,求出△PCD 面积的最大值;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ,B 两点,并与直线221-=x y 交于B ,C 两点,其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点,连接AC . (1)求抛物线的解析式; (2)证明:△ABC 为直角三角形; (3)△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ?(顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由. 3.某基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的而积最大?下面是两位学生争议的情境:请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x 米(x >0),试用含x 的代数式表示BC 的长; (2)请你判断谁的说法正确,为什么? 4.如图,已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A (6,0),B (-2,0),C (0,-3). (1)求此抛物线的解析式; (2)若点H 是该抛物线第四象限的任意一点,求四边形OCHA 的最大面积; (3)若点Q 在y 轴上,点G 为该抛物线的顶点,且∠QGA=45o,求点Q 的坐标. 5.如图,抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点. (1)求A 、B 、C 的坐标; (2)设点H 是第二象限内抛物线上的一点,且△HAB 的面积是6,求点H 的坐标; (3)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合),过点M 作x 轴的垂线,与直线AC 交于点E ,与抛物线交于点P ,过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ,过点Q 作QN ⊥x 轴于点N .若点P 在点Q 左边,当矩形PQMN 的周长最大时,求△AEM 的面积. 6.如图,△ABC 中,∠C=90°,BC=7cm ,AC=5,点P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.
近年江西中考数学二次函数
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是() A、ac<0 B、当x=1时,y>0 C、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于1的实数根 D、存 在一个大于1的实数x0,使得当x<x0时,y随x的增大而减小; 当x>x0时,y随x的增大而增大 如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D. (1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF∥DE 交抛物线于点F,设点P的横坐标为m; ①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形? ②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式. 如图,已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C、D两点,与原抛物线交于点P. (1)求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状(不要求说理); (2)在x轴上是否存在两条相等的线段,若存在,请一一找出,并写出它们的长度(可用含m的式子表示);若不存在,请说明理由; (3)设△CDP的面积为S,求S关于m的关系式. 1.如图所示,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1. (1)当a=﹣1,b=1时,求抛物线n的解析式; (2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由; (3)若四边形AC 1A1C为矩形,请求出a,b应满足的关系式.
初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .21xy x += B . 220x y +-= C . 22y ax -=- D .2210x y -+= 12.在同一坐标系中,作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象,它们共同特点是 ( ) 22 3x y -=
中考数学动点问题最值基本题型汇总
中考数学动点问题最值基本题型汇总 一、最值类型 1.饮马型:即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短(或三角形三边关系)得到结果。 2.小垂型:即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果。 3.穿心型:即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果。 4.转换型:即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心。 5.三边型:即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大(小)值。 6.结合型:即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心饮马+转换等 ※二、分类例析 一、饮马型 例1:如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1, 点P在AC上,则PE+PD 的最小值是_____ . 解析:如图 例2:如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为____.
解析:如下图 二、小垂型 例3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为_________. 解析:如下图 三、穿心型 例4:如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠ABC=120°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN翻折得到△A′MN,连接A’C,则A’C长度的最小值是____. 解析:如下图
2020年中考数学真题汇编 二次函数
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y 随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图 像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( )
A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线 的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对 称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3, 0) C. (-3, -5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则 下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落 于地面 C. 点火后10s的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣ 1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中 正确的个数是()