二次函数之二次函数中的面积问题课件
二次函数中的面积问题
1.（2011•江苏）如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，﹣2）． （1）求此函数的关系式；（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A ，C ，B ，D ．若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由．2. （2011山东）如上右图，抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）与双曲线y=xk 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（﹣2，﹣2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx=4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．3. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，直线l 经过O 、C两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A B C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ，当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t > 0），△MP Q 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为_____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段BC 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．4.（2011新疆建设兵团，24，10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求AB的长；（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．5（2011云南保山，24，13分）（本小题13分）如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(8，6)，直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PD⊥AC，垂足为D．（1）求直线AC的解析式；（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△P AD: S△QOA=8:25，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理6．（）已知双曲线：kyx=与抛物线：y＝ax2+bx+c交于A（2，3）、B（m，2）、C（﹣3，n）三点．（1）求双曲线与抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积．7.（2011重庆）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c=++经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.AOCBDxy26题图AOCBDxy26题备用图8.（2011湖北荆州，24，12分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x 轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．9.（2011•柳州）如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．10.（2011•湘西州）如右上图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．（1）求点A、点B和点C的坐标．（2）求直线AC的解析式．（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？11. （2011山东）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值；②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．12. （2011成都，26，8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．当x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O 1和O 2，且O 1到AB 、BC 、AD 的距离与O 2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l ）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．13．（2011成都，28，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA |：|OB |＝1：5，|OB |＝|OC |，△ABC 的面积S △ABC ＝15，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为27？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．xy O D C B A l 第27题备用图 x yQPO D C B A第27题图14.（2011四川达州，23，10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得s△MA P=2s△AC P，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．15..如图抛物线y= x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0．-1）．且对称抽x=l．（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）．16.（）已知抛物线的顶点是C (0，a) (a>0，a为常数)，并经过点(2a，2a)，点D（0，2a）为一定点.(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD = PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A 、B两点，若DA=2DB，且S△ABD = 42，求a的值.DC BAO yx(24题17.（2011广东省茂名，25，8分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．18.（2011•贵,21，）如右上图所示，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0）使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．19.（2011•铜仁地区25,14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（﹣2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（﹣4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？若存在，求此时点Q的坐标．20. （2011黑龙江）已知：二次函数y=34x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣94）．（1）求此二次函数的解析式．（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．21.（2011湖北十堰，24，10分）如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC,设AB=x.(1)求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，则x= ;(3)设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值。
二次函数的应用(面积最值问题)
二次函数的应用（面积最值问题）[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值X 围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道与在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008XXXX)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米．2．(2008庆阳市)XX 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008XXXX)将一X 边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyOAM （图5） （图7） 6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值X 围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2)中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ACD P Q解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年XX 市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008XX 内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008XXXX)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值X 围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年XX 市)随着绿城XX 近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +==∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08XX 聊城)如图，把一X 长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm ，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm ． （2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时， 长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08XX)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。
人教版九年级数学上册 二次函数应用题之面积问题 讲义
面积问题有些实际问题并不直接表现出抛物线，却把二次函数相关的知识隐含在其中，我们可以用二次函数来解决面积问题例1、爷爷退休后在乡下养鸡，他用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙（墙的最大长度为20米）。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？请你帮爷爷设计一下，并说明理由例2、小李同学帮奶奶养鸭，想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？2、卢爷爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．3、用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2。
(1)求出y与x的函数关系式。
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．5、在城市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2)。
二次函数的应用(面积问题)
（1）求抛物线解析式 （2）在抛物线上是否存在点F，使△ BCF的面积是5，若存在求出点8 F的坐标，若不存在，说明理由
7
6
5
B
F4
3
2
HE 1
16
14
12
10
8
6
4 C2
O2
4D
显示函数 f
1
显示对象AB
隐藏对象
如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2+bx-4(a≠0 的图象与x轴交于点A（-2，0），C（8，0）两点，与y轴 交于点B，其对称轴与x轴交于点D。 （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若点P（m,n）是该二次函数图象上的一个动点 （其中m>0,n<0）,连结PB，PD，BD，求三角形BDP面积的 最大值及此时点P的坐标。
二次函数的应用（面积问题）
授课教师：李晓霞 营口市第二十九中学
5
4.5
1、如图，抛物线y=ax2+bx过A(4，0),B(41，3)两点。 （（12））求点抛P是物A线B上解方析抛式物线上的任意一3点.5 ， B 设点P的横坐标是m,PQ y轴交AB于点Q3 ，
用含m的关系式表示线段PQ的长。 2.5
（3）在（2）的条件下，求当 ABP的2面积
最大时，点P的坐标。
1.5
（当4△）A点BPP的是面抛积物是线6上时一，动求点出，点且P的位坐于标第1。四象限，
0.5
y = x2 + 4∙x
7 隐藏函6数 f
5
4
3
2
1
O E1
2
3
显示函数 g
0.5
显示线段AP,PB,三角形ABP
1、如图，△
专题58 二次函数中的面积问题(解析版)
例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S AE BF CD AE BF=+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下面求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3（k≠0），把点B坐标代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x+3，设P的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），过点P作y轴的平行线交BC于M，则M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，＝PM•|x B﹣x C|＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，∴S△PBC∵﹣＜0，有最大值，最大值是，∴当x＝﹣时，S△PBC∴△PBC面积的最大值为；当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝，∴点P坐标为（﹣，）．变式训练【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；设直线AC的解析式为y＝kx+h，将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，解得：m＝﹣，即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x＝，y＝﹣＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF＝﹣1＝，∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，∴∠CAB＝45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，又∵AC＝＝3，∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标．解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得x＝4，∴C（4，0）．把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图，设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），＝•MN•OC＝（﹣a+2﹣a2﹣a﹣2）×4＝﹣a2+2a，∴S△ACMS△ABC＝•BC•OA＝×（4+2）×2＝6，＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+6＝＝﹣（a﹣2）2+8，∴S四边形ABCM∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在何处时，△ACE面积最大．解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，∴△ACE的面积＝×（2+1）×PE＝（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△ACE的面积有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：，故抛物线的表达式为：，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点，＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝则S＝S四边形ADCP＝，∵﹣1＜0，故S有最大值，当时，S的最大值为．【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1）＝x2﹣x﹣2；（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．△BCD2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）解：对于y＝﹣x2+x+2y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y ＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），+S△PHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣则△BCP的面积＝S△PHBx2+4x，∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，当x＝2时，△BCP的面积有最大值，此时，点P的坐标为（2，3），故选：A．2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则x＝4，∴B（4，0），将点B（4，0）和点C（0，2）代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）作PD∥y轴交直线BC于点D，设P（m，﹣m2+m+2），则D（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，＝×4×（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△PBC∴当m＝2时，△PBC的面积有最大值4，此时P（2，3）；（3）令y＝0，则，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵A点与B点关于对称轴对称，∴AQ＝BQ，∴AQ+CQ+AC＝BQ+CQ+AC≥BC+AC，∴当B、C、Q三点共线时，，△QAC周长最小，∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），∴BC＝2，AC＝，∴AC+BC＝3，∴△QAC周长最小值为3．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．解：（1）根据题意得：，解得，则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），设BC的解析式是y＝mx+n，则，解得，则BC的解析式是y＝x+3．x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝＝﹣（x+）2+，则S△PBC∵﹣＜0，故△PBC的面积有最大值是．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的二次函数解析式：（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得，解得y＝x2﹣4x﹣5；（2）当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），①BC为对角线，则x Q﹣x C＝x B﹣x P，y Q﹣y C＝y B﹣y P，解得，（舍去），∴P（4，﹣5），②CP为对角线，则x Q﹣x C＝x P﹣x B，y Q﹣y C＝y P﹣y B，解得或，∴P（2+，5）或（2﹣，5），③CQ为对角线时，CP∥BQ，则点P （4，﹣5）；综上P （4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；第三种，CQ 为对角线不合要求，舍去；（3）过H 作HD ∥y 轴交BC 于D ，∴S △BCH ＝S △CDH +S △BDH ＝HD （x H ﹣x C ）+HD （x B ﹣x H ）＝HD （x B ﹣x C ）＝HD ，设BC ：y ＝kx +b 1，∵BC 过B 、C 点，代入得，，，∴y ＝x ﹣5，设H （h ，h 2﹣4h ﹣5），D （h ，h ﹣5），S △BCH ＝HD ＝×[h ﹣5﹣（h 2﹣4h ﹣5）]＝﹣（h ﹣）2+，∴当h ＝时，H （，﹣）时，S △BCHmax ＝．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE＝OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE＝，∴E（0，﹣），∴点P的纵坐标为﹣，由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x2﹣2x﹣3＝﹣，∴x＝或x＝，∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴0＜x＜3，∴点P（，﹣）；（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），∴F（m，0），＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFB＝OA•OC+（OC+PF）•OF+PF•BF∴S四边形ABPC＝×1×3+（3﹣m2+2m+3）•m+（﹣m2+2m+3）•（3﹣m）＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，﹣），即点P运动到点（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．解：（1）∵点C的横坐标为3，∴y＝×3+＝2，∴点C的坐标为（3，2），把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝；（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），∵四边形DEFG为平行四边形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴当m＝时，S最大值为，∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC上一点，PE∥y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP∵﹣＜0，∴当t＝时，S＝．△BCP最大（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），∴MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝．9．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝4，则A点坐标为（4，0），把A（4，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x﹣3；（2）存在．过D点作直线AC的平行线y＝kx+b，当直线y＝kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D 到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，∵直线AC的解析式为y＝x﹣3，∴k＝，即y＝x+b，由直线y＝x+b和抛物线y＝﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12＝0，∴△＝122﹣4×3×（4b+12）＝0，解得b＝0，∴3x2﹣12x+12＝0，解得x1＝x2＝2，把x＝2，b＝0代入y＝x+b得y＝，∴D点坐标为（2，）．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，m﹣2），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，联立方程组：，解得：，．∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（﹣，﹣），∴BD+CF＝3+||＝．＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF∴S△PBC＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）×＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3）．∵﹣＜0，∴这个二次函数有最大值．的最大值为．∴当m＝时，S△PBC11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣2），设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），∴﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，∵OP∥AB，∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，＝S△ABO，∴S△P AB∵OP∥AB，∴直线PO的解析式为y＝x，联立方程组可得，解得：或，∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，＝S△ABO，∴S△AP''B∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，联立方程组可得，解得，∴点P''（2，﹣3），综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，∴点M（2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON，∴MN+ON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为y＝x，当x＝2时，点Q（2，2），∴QM＝2+3，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM＝QM＝+，∴MN+ON的最小值为+．12．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣2m2+8m，当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a+3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故点M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，∴M2（﹣，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和点C（1，0）．（1）求此抛物线的表达式．（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标（﹣，﹣）．解：（1）将点B（﹣3，0）和点C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，∴，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令x＝0，则y＝﹣3，∴A（0，﹣3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，过点P作PG⊥x轴交AB于点G，设P（t，t2+2t﹣3），则G（t，﹣t﹣3），∴PG＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，∴S△ABP＝×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+，当t＝﹣时，S△ABP有最大值，此时P（﹣，﹣）；（3）由y＝x2+2x﹣3的顶点D（﹣1，﹣4），设H（m，﹣m﹣3），∵△DHP为等腰三角形，∴DH＝PH，∴（m+1）2+（﹣m+1）2＝（m+）2+（﹣m+）2，解得m＝﹣，∴H（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1；（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，同理可得：AN＝，＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴C△ANM∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+；（3）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∴S△APC∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P 的坐标及四边形BDCP面积的最大值．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2+2x+3．（2）由解析式可得M（1，0），C（0，3），∴．∴△BCM的周长为．如图1，过点M作MN⊥BC于点N，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BMN＝45°．∴．∴．∴．＝S△BDC+S△BPC，（3）由题意可知：S四边形BDCP∵过点A的直线m∥BC，∴．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点C（0，3），∴OC＝3．∴．如图2，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，交BC于点E，直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），∵点P是直线BC上方抛物线上一动点，∴PE＝PF﹣EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．则＝．∴．当时，四边形BDCP的面积最大，最大面积为．此时，点P的坐标为．17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B （1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，①联立方程组，解得x＝2或x＝﹣2，∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；②设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交CD于点E，设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），则F（m，2m+1），E（n，2n+1），∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，∴当m＝0时，MF有最大值4，当n＝0时，NE有最大值4，＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），∵S四边形CMDN∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式．（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF＝×（）2＝；∴当m＝﹣时，S△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．。
二次函数的应用(面积问题)
情境引入
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。
(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
x 解：设矩形的一边长为 米 ，面积
为 y 平方米，则
A
D
y x(10 x) x2 10x (x 5)2 25
当 x 5 时，ymax 25
B
C
此时另一边长为10-5=5（米） 因此当矩形的长和宽均为5米时，矩形的面积最大。
例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的
篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，
设花圃的宽AB为x 米，面积为S平方米。
(1)求S与 x 的函数关系式及自变量的取值范
围；
(2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，
最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃
的最大面积 .
A
D
B
C
（解1：）由题意得：AB x m
A
D
BC (24 4x) m
s x(24 4x)
B
C
4x2 24 x (0 x 6)
(2)当x
24 2 (4)
3
时，s
m
a
x
0 24 2
＝
4 (4)
36
因此(3当) 由x题=3意时得,所：围22x成44的044花xx 圃80面积最解大得，：为436平x 方 6米.
因为 4 0 ，所以当x 3时，s 随x的增大而减小
M
30m
D
C
┐
N
A
B
40m
变式探究二
如果把矩形改为如下图所示的位置，其顶点A和顶
点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其他条件不变，
第4课二次函数的实际应用(面积最值问题)(教师)
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵，∴
当x=2.5时，S有最大值12.5
12．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳 子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为
cm2．
16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的 解析式；
（2）求支柱 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)， 其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔 忽略不计)？请说明你的理由．
[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米 的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边 形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种 材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所 示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并 结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解： ∵ ∴ ∵二次函数的顶点不在自变量的范围内， 而当内，随的增大而减小， ∴当时， (平方米) 答：当米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．
二次函数中的最值及面积问题
二次函数中的最值及面积问题一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
《二次函数》示范公开课PPT教学课件【九年级数学下册北师大版】
教科书第30页习题2.1第1、3题
二次函数
二次函数
（1）能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念；（2）会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；（3）在通过实际情境归纳出二次函数概念的过程中，体会函数的模型思想；（4）通过对贴合生活的实例的探讨，感受生活中处处有数学，培养数学学习的兴趣.
重点
难点
上述解析式是我们学过的一次函数吗？
画一个正方形，如果它的边长变化，正方形的哪些量也发生变化？（1）正方形的周长与边长之间的函数关系式 . （2）正方形的面积与边长之间的函数关系式 .
新增的橙子树棵数
函数解析式等号两边必须是整式；化简后自变量的量），哪些是二次函数？ .
解：(1) 的最高次幂不是二次，不是二次函数.
先化简再判断
(4)
(3)右边不是整式，不是二次函数.
(2)
(5)
不是整式
【例2】已知正方体的棱长为 cm，表面积为 cm²，体积为 cm³.（1）分别写出 与与之间的函数关系式.（2）这两个函数中，哪一个是的二次函数？
解：因为正方形的边长为4，当边长增加时，面积增加，所以 故这个函数是二次函数.
增加的
3. 已知二次函数 ，当时，；当时，，求 的值.
解:解得
类比于一次函数待定系数法
函数自变量的取值范围：
二次函数：
一般地，形如 是常数，的函数叫做 的二次函数. 特殊形式： ，.
注意：
（1）关于的代数式一定是整式；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不为零.
解:（1） ，
正方体表面积
正方体体积
（2）是的二次函数.
三次
二次
二次函数存在性问题--面积问题
二次函数存在性问题-------面积问题姓名：一、预备知识1、△ABC的高为，底为，S△ABC = ；2、可以再平面中找出一点P，使得S△ABC = S△APC；这样的点有多少个？3、在直线l上找出一点M，使得S△ABC = S△AMC；二、面积相等问题1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）在过点E（4，0）的真线上是否存在这样的点M，使得∠AMB为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且二次函数的最小值为﹣4，（1）求二次函数的解析式；（2）若M（m，n）（0＜m＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC、MB，试求当m为何值时，△MBC的面积最大？并求出这个最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点D，使得△MBC的面积等于△DBC 的面积，若有请求出D 的坐标，若没有请说明理由；（4）已知P 为抛物线上的任意一点，过点P 作PQ ∥x 轴交抛物线于另一点Q （点P 在点Q 的左侧），分别作PE ⊥x 轴，QF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，若四边形PQFE 为正方形，求点P 的坐标．3、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶 点为P .（1）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
4、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， （1）点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．（2）在抛物线上找一点D 使得△EBC 的面积等于△DBC 的面积5、如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．二次函数中常见图形的的面积问题1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？（用点的坐标表示）图五图四图六图二图一图三。