程伟巅峰数学
2019颠峰对决九上(教用)
———二次函数 ������������������������������������������������������������������������ ３１ 第 ２ 课 二次函数的图象和性质(二)
———直线和圆的位置关系(二) ������������������������������������ １２３ 第 ９ 课 点和圆、直线和圆的位置关系(四)
———直线和圆的位置关系(三) ������������������������������������ １２６ 第 １０ 课 正多边形和圆 ������������������������������������������������������������ １２９ 第 １１ 课 弧长和扇形面积( 一) ������������������������������������������ １３１ 第 １２ 课 弧长和扇形面积( 二) ������������������������������������������ １３５ 第 １３ 课 « 圆» 复习 ������������������������������������������������������������������������ １３８
������������������������������������������������������������������������������������������������������ ９４ 第 ６ 课 课题学习:图案设计 ������������������������������������������������ ９７ 第 ７ 课 « 旋转» 复习 ������������������������������������������������������������������ １００
函数模型及其应用
演 实 战
沙
切
∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，
场 点
脉
兵
搏 核 心
R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
突
破
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
课 时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
考向二 指数函数模型的应用
养 满
分
研
指
动
[典例剖析]
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考
纲
考
演
向
实
第九节 函数模型及其应用
战 沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
ห้องสมุดไป่ตู้
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
满
分
研
指
动
导
向
考纲要求：1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增
考
纲 考
长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类
演
向
实
型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂
纲
考 向
数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(
)
演 实
战
沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
Excel在一元线性回归分析中的应用
丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌Excel在一元线性回归分析中的应用杨雄曾智（娄底职业技术学院，湖南娄底417000）[摘要]回归分析有预测和因子分析的作用，但在实际运算中计算量大，随着软件的发展，许多运算过程可以用软件来替代；通过分析一元回归的建立过程，以成本预测为案例，应用Excel对案例进行回归方程的求解，并且对Excel的运行结果中的各参数进行具体解释，以至于能够理解各参数的实际意义，进而可以熟悉应用Excel进行回归分析，并能展开实际预测。
[关键词]成本预测；相关系数；回归分析；Excel应用[中图分类号]O13[文献标识码]A doi:10.3969/j.issn.1674-9340.2021.02.012[文章编号]1674-9340（2021）02-0066-08回归分析是在研究现象之间相关分析的基础上，对自变量x和因变量y的变动趋势拟合数学模型进行数量推算的一种统计分析方法[1]。
在客观世界中，寻找变量之间的关系，大致可以分为两种类型：一是反映变量之间的确定性的关系，称为函数关系；二是变量之间存在着关系，但不是确切的函数关系，可是变量之间又存在某种密切关系，然而又不能由一个（或一组）变量的值精确地求出另一个变量的值，称这种非确定性关系为相关关系。
在相关关系中，假设x,y是两个变量，其中x是自变量，y是因变量，而自变量x的取值是非随机的普通变量，它是人为的可控制的变量，称为可控量，因变量y由于随机误差等因素的影响，取值是随机的，称为随机变量，但服从一定的概率分布。
进而当自变量x是非随机的可控变量时，自变量x与因变量y关系的分析称为回归分析。
回归分析法属于因素分析法的一种，在掌握大量观察数据或历史数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量y与自变量x之间的回归关系函数表达式。
在有些专业中，开设了经济数学课，包含一元回归分析内容，其中会计专业课会讲到成本预测，成本预测需要建立回归方程，但在成本预测的计算中面对复杂的数据，同时涉及要素也繁多，此项工作任务繁重，因此需要借助相应工具来简化计算提高工作效率。
11397-高考-数学笔记-正式课
y1+y2=2pk2+2m ������1 ������2 = ������2
X1+x2=-2pk Y1+Y2=2pm
y1+y2=2pk2-2m y1y2=m2
|AB|=2√������√1 + k 2 √pk 2 − 2m
抛物线的全方位秒杀 【典型例题 1】
第52 53 54讲
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =γ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 已知 AB 在抛物线 C:x 2 = 4y上，点（0，4）满足������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ (1) 求证：������������ (2) 设抛物线 C 过 AB 两点的切线交于点 N 1. 求证点 N 在一条定直线上 2. 设 4≤ x ≪ 9 求直线 MN 在 X 轴上截距的取值范围
4 4 2 主视图
3
2
侧视图
3 俯视图
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
4 3 5
主视图 3
侧视图
俯视图
2 1 1 1
. √3
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
。 4 8 主视图 4 侧视图
4 4 俯视图
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
程伟巅峰数学创新高考秒杀第一人
2
(2) 由(1)可得 |AB|= 1 K | x1 x2 | 故SAOB 1 |AB|h= 2 2|t| 1+2k2 ? t2 1 2k2
2 1 k2 1 2k2 t2 1 2k2
第50,51讲
抛物线的全部秒杀 开口向右： y 2 =2px Δ>0 Δ=p-2km>0 X1+x2= X1X2=
清华大学新领军2023年8月学科综合能力测试(TACA)丘成桐数学零试试题及解析
2023年8月学科能力综合测试(TACA)丘成桐数学零试试题及解析题1.在如图所示的方格网中，每步只能从一个节点向右或向上走到相邻的节点，则从A 到Z的路径数为.解析：54如图所示，每个节点处的红色数字表示从A到该点的路径数.题2.对一个复方阵，定义cos A=I+∞∑n=1(−1)n(2n)!A2n.记矩阵cos(−5π3π−10π6π)的第二行第一列元素为x，则[|x|]=.解析：20令M=(−5π3π−10π6π)，易知M的特征多项式为f(λ)=λ(λ−π)，故其特征值为0,π.解出对应特征向量后，易知M=(3152)(π)(3152)−1于是cos M=(3152)(1−1)(3152)−1=(11−620−11)故所求答案为20.题3.I=limn→∞∫20231cos4(nx+n!)d x，则[100I]=.解析：758I=limn→∞∫20231cos4(nx+n!)d x，则[100I]=我们令I n=∫20231cos4(nx+n!)d x。
则I n=∫20231(1+cos(2nx+2·n!)2)2=∫20231(14+12cos(2nx+2·n!)+14cos2(2nx+2·n!))d x=20224+12∫20231cos(2nx+2·n!)d x+14∫202311+cos(4nx+4·n!)2d x=20224+12n∫20231d(sin(2nx+2·n!))+20228+18·4n∫20231d(sin(4nx+4·n!))显然∫20231d(sin(2nx+2·n!))和∫20231d(sin(4nx+4·n!))有界，故I=limn→∞I n=38×2022，故[I]=758.题4.设g(x)=∫πx(sin t)5td t，记S=∫πg(x)d x，则[100S]=.解析：106S=∫π0d x∫πx(sin t)5td t=∫π(sin t)5td t∫td x=∫π(sin t)5d t注意到令I n=∫πsin n t d t，则由熟知的结论，有I n=n−1nI n−2(n 2)，所以S=I5=4×25×3I1=1615,于是[100S]=106.题5.n×n矩阵A n的主对角元素为n，其余元素为1.已知多项式f(x)满足f(A n)=O 对任意1 n 100均成立，则deg f的最小值为.解析：149n×n矩阵A的主对角元素为n，其余元素为1.已知复系数多项式f(x)满足f(A n)=O对任意1 n 100均成立，则deg f的最小值为.记f n(x)为A n的首相系数为1的最小多项式，则显然对任意1 n 100，均有f n(x)|f(x).接下来我们求f n(x).n=1时，显然f1(x)=x−1.n 2时，因为A n为实对称矩阵，所以A n可对角化.注意到rank(A n−(n−1)I n)=1，所以n−1为A n的特征值，其特征子空间维数为n−1.又因为A n全体特征值(计重数)之和为trace(A n)=n2，所以A n剩余特征值为n2−(n−1)2=2n−1.于是f n(x)=(x−(2n−1))(x−(n−1)).f1(x),f2(x),···,f n(x)包含的互不相同的一次式有x−1,x−2,···,x−98,x−99,x−101,x−103,···,x−199f(x)需且仅需被这些一次式整除即可，故deg f的最小值为149.题6.矩阵10−9−9−910−9−910−9−910−9−910−9−910−9−910−9−9−910的特征值为λ1 λ2 ··· λ8，则[λ6]=.解析：22显然该矩阵为循环矩阵，令J=1 1111111由熟知的结论，J的全部特征值即为全体8次单位根ϵi(i=0,1,···,7),令f(x)=−9x7−9x+10，则原矩阵为f(J),故该矩阵全部特征根为f(ϵi)，注意到ϵi=ϵ7i(i= 0,1,···,7)，所以f(ϵi)均为实数，且可能取值为10−18,10−9√2,10,10+9√2,10+18故λ6=10+9√2，[λ6]=22.题7.在透明的球袋中有1个黑球和2个白球.接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然后放回袋中，并继续往袋中再放入2个与摸出球同色的球.记S n为前n次中摸出黑球的次数.已知第2次摸出的球是黑球，记S100的期望为E，则[E]=.我们计算E(S n|S n−1).这时一共有1+2S n−1个黑球和2+2(n−1−S n−1)个白球.则第n次有1+2S n−13+2(n−1)的概率摸到黑球，故E(S n|S n−1)=S n−1+1+2S n−1 2n+1因为E(S n)=E(E(S n|S n−1))，所以E(S n)=E(S n−1)+E(1+2S n−1 2n+1)⇒E(S n)=12n+1+2n+32n+1E(S n−1)⇒12n+3E(S n)=1(2n+1)(2n+3)+12n+1E(S n−1)故E(S n) 2n+3=E(S2)7+114−14n+6因为已知第二次摸出的是黑球，所以E(S2)=1/3×3/51/3×3/5+2/3×1/5×2+2/3×1/51/3×3/5+2/3×1/5×1=85于是[E]=[E(S100)]=[203×85×17+20314−12]=60题8.对矩阵M(t)，定义其微分dd t M(t)=B(t)，其中dd tM ij(t)=B ij(t).矩阵微分方程dd tM(t)=AM(t),其中A=213132321,M(0)=321213132,令a=ln|det M(2)|,则[|a|]=.由常微分方程熟知结论，M (t )=M (0)e At .计算可得A 的特征多项式f (λ)=|λI −A |=(λ−6)(λ−√3)(λ+√3)，于是A 的特征值为6,±√3，由于A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵T ，使得A =T6√3−√3T ′T DT ′于是|det M (2)|=|det M (0)||e 2D |=|−18e 12|=18e 12故[|a |]=[ln 18+12]=14.题9.5级方阵A 满足：第一行元素均为1，第二行元素从左至右依次为1,−1,1,−1,1，且trace (AA ′)=28.记det A 的最大值为M ，则[M ]=.解析：72我们记A =(α1,α2,···,α5)′，于是由trace (AA ′)=28，有5∑i =1|αi |2=28，注意到|α1|2=|α2|2=5，所以5∑i =3|αi |2=18.由熟知的结论，存在正交矩阵(变换)T ，使得AT =(β1,β2,···,β5)′为上三角矩阵.设该上三角矩阵的主对角元依次为a 1,a 2,···,a 5.则有正交变换的性质可知，|αi |=|βi |(i =1,2,···,5)，且1=<α1,α2>=<β1,β2>于是5∑i =3|a i |2 5∑i =3|αi |2=181=<β1,β2>2 (5−a 21)×5⇒a 21245a 22 |β2|2=5于是|det A |=|a 1a 2a 3a 4a 5| (√6)3·…245·√5=72取得72时，AT=»245»15√5√6√6√6我们只需构造使得前两行可以对应的正交矩阵T即可得到满足条件的A.题10.对n=5，令L n=1n!d nd x n(x2−1)n，S=∫1−1|L n|2d x，则[|S|]=.解析：186令f n(x)=(x2−1)n.易知±1均为f n(x)的n重根，所以f(k) n (1)=f(k)n(−1)=0,0 k n−1.于是S=1(n!)2∫1−1(f(n)n(x))2d x=1(n!)2∫1−1d(f(n−1)n(x))f(n)n(x)=−1(n!)2∫1−1f(n+1)n(x)f(n−1)n(x)d x=−1(n!)2∫1−1f(n+1)n(x)d(f(n−2)n(x))=1(n!)2∫1−1f(n+2)n(x)f(n−2)n(x)d x······=1(n!)2∫1−1f(2n)n(x)f(0)n(x)d x=1(n!)2∫1−1(2n)!(1−x2)n d x=1(n!)2(2n)!∫1−1(1−x2)n d x=(2n)!(n!)2∫πsin2n+1d t=(2n)!(n!)22(2n)!!(2n+1)!!所以[S]=[10!(5!)2×2×10×8×···×211×9×···×1]=[204811]=186.题11.正方体旋转群元素最多的两个共轭类的元素个数之和为.解析：14由熟知的结论正方体旋转群同构于S4.所以两元素共轭等价于其分解成不叫的轮换和后，各个轮换和的长度对应相等.故元素最多的共轭类形如(abc)(d)，有4×2!=8个元素，元素次多的共轭类形如(abcd)，共有3!=6个元素，所求答案为8+6=14题12.A(x)=∞∑m=1∞∑n=0m!·x m·n!(m+n+1)!，则[100A(23)]=.解析：109令a m=∞∑n=0n!(n+m+1)!，则a m=∞∑n=0n!(n+m+1)!=∞∑n=01m(n!(n+m)!−(n+1)!(n+m+1)!)=1m1m!于是|x|<1时，A(x)=∞∑m=11mx m=−ln(1−x)所以[100A(23)]=[100ln3]=109题13.将方程(1+2+···+k)−3(1+2+···+t)=1的全体正整数解(k,t)按照从小到大的方式排列，得到序列{(k n,t n)}，则k6=.解析：3196对原方程进行变形，有k(k+1)−3t(t+1)=2⇒(2k+1)2−3(2t+1)2=6令2k+1=u,2t+1=v.考虑虑方程u2−3v2=6的所有正整数解由小到大构成的序列{(u n,v n)}n 1，则由佩尔方程基本理论有u n+√3v n=(3+√3)(2+√3)n−1于是有u n+√3v n=(u n−1+√3v n−1)(2+√3)=2u n−1−3v n−1=(2u n−1+3v n−1)+√3(u n−1+2v n−1)即u n=2u n−1+3v n−1v n=u n−1+2v n−1，则我们依次写出{(u n,v n)}的前7项:(3,1),(9,5),(33,19),(123,71),(459,265),(1713,989),(6393,3691)注意到(3,1)对应的(k,t)不满足正整数的条件，所以k6=6393−12=3196.题14.I=∫π/4tan101x d x，则[13I].解析：67记I n=∫π/4tan n x d x，则I n=∫π/4sin n xcos n xd x=∫π/4sin n−1x d(−cos x)cos n xd x=−1+∫π/4((n−1)tan n−2x+n tan n x)d x =−1+(n−1)I n−2+nI n于是I n+I n−2=1n−1,n 2故I=1100−I99=1100−198+I97······=1100−198+196−···−12+I1=12(ln2+50∑k=1(−1)k1k)注意到50∑k=1(−1)k1k=∞∑k=1(−1)k1k−∞∑k=51(−1)k1k=−ln2−∞∑k=51(−1)k1k所以I=−∞∑k=51(−1)k1k=151−∞∑k=26(12k−12k+1)=151−14∞∑k=261k(k+1/2)>151−14∞∑k=26(1k−1/4−1k+3/4)=151−1103=525253且I=151−14∞∑k=261k(k+1/2)<151−14∞∑k=26(1k−1/8−1k+7/8)=151−1103.5=52.55278.5故67<5278.5×23×52.5<13I<5253×23×52<68于是[13I]=67.题15.M n={A|A是n级实对称矩阵,且元素取自0,±1,±2}，记a n为所有trace(A6)(A∈M n)的平均值，a=limk→∞sup n k a nn4，则[a]=.解析：40令T={0,±1,±2}，则S n=5n(n+1)/2a n=∑a ij∈T,i j∑0 t1,t2,···,t6 na t1t2a t2t3···a t6t1=∑0 t1,t2,···,t6 6∑a ij∈T,i ja t1t2a t2t3···a t6t1对a t1t2a t2t3···a t6t1项而言，我们关心a ij(i j)遍历所有T中元素后，这样的项得到的总和.我们称a ij和a ji为“同组”的元素.注意到x∈T⇔−x∈T，且a ij(i j)彼此的取值独立，所以若某组元素在a t1t2a t2t3···a t6t1中出现奇数次，则a t1t2a t2t3···a t6t1在和式中累加后为0.所以我们只需考虑以下三种情形：(1)情形1：a t1t2a t2t3···a t6t1由仅有同组元素构成，即形如a t1t1a t1t1···a t1t1或a t1t2a t2t1a t1t2···a t2t1易知这样的项在S n中的总和形如P n5n(n+1)/2+Qn(n−1)5n(n+1)/2，其中P,Q为常数.(2)情形2:a t1t2a t2t3···a t6t1由恰由两组元素构成，一组出现2次，一组出现4次.易知这样的项在S n中的总和形如Un(n−1)5n(n+1)/2，其中U为常数.(3)情形3：a t1t2a t2t3···a t6t1由恰由三组元素构成，每组出现2次.首先易知此时不存在t i=t i+1的情形，于是t1,t2,···,t6中同样的下标至多出现3次.我们下面按照t1,t2,···,t6中不同取值的个数分类，易知只有两种情况：(i)t1,t2,···,t6有三种不同取值此时这样的项在S n中的总和形如Rn(n−1)(n−2)5n(n+1)/2，其中R为常数.(ii)t1,t2,···,t6有四种不同取值，记为x,y,z,w.此时，t1,t2,···,t6可能的的排列只有xyxzxw,xyzywy,xyzyxw,xyxzwz,xyzwzy这五种情形，其在S n中总和形如V n(n−1)(n−2)(n−3)5n(n+1)/2，其中V为常数.于是S=5n(n+1)/2(P n+Qn(n−1)+Rn(n−1)(n−2)+V n(n−1)(n−2)(n−3))所以lim k→∞supn ka nn4=limk→∞supn kS nn45n(n+1)/2=V所以我们只需求出V即可.所有满足t1,t2,···,t6取值形如x,x,x,y,z,w的a t1t2a t2t3···a t6t1之和为5n(n−1)(n−2)(n−3)5n(n+1)/2−3∑p,q,r∈Tp2q2r2=2n(n−1)(n−2)(n−3)5n(n+1)/2−3(02+2×12+2×22)3=5×10353n(n−1)(n−2)(n−3)5n(n+1)/2故V=5×10353=40.11。
高一3期中考试成绩
名次 93 132 151 152 159 164 203 212 216 222 232 275 280 281 283 296 301 311 317 318 329
215 588.5 103 576.5 230 574.5 352 128 239 405 318 390 574 573 570 569 564 563
政治 43 48 62 63 59 63 56 61 62 56 47 74 47 51 50 46 51 53 63 67 53
名次 595 546 218 194 286 193 383 254 223 390 561 42 558 492 522 572 500 453 196 116 459
480 562.5 303 559
姓名 李栋 马学英 程旭升 刘璐 段云洲 栾承霖 褚筱玮 满颖颖 袁明 张渝雨 李宥萱 周春蕊 郭峻 夏雨菲 何雅楠 孔祥羽 白雪 陈子天 李瑞行 毛国伟 韩钰
班级 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
语文 99 84.5 99 95 94.5 91.5 88.5 97.5 105 103 100 106 99.5 99.5 93.5 107.5 103 100 98.5 99 87.5
化学 52 64 55 52 73 54 61 47 53 53 55 47 67 69 46 37 48 61 46 62 56
名次 451 283 415 454 150 424 329 513 448 444 413 517 241 209 528 584 496 323 524 316 397
历史 52.5 46 56 45.5 51 52.5 56 43 34.5 50 30 44
5.2+解一元一次方程利用合并同类项解一元一次方程2025学年人教版数学七年级上册++
检验一下x =20是不是方程 x +2x + 4x =140的解.
思考
上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 合并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数 的项合并，从而把方程转化为ax=b，使其更接近“x=a的 形式(其中a,b是常数)” ．
典例精析
例1 解下列方程：
（1）
； （2）7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3
解：(1)合并同类项，得: (2)合并同类项，得:
系数化为1，得:
6x = -78
系数化为1，得:
想一想，你能归纳利用合 并同类项解一元一次方程
的一般步骤吗？
x= 4
x = -13
总结归纳
利用合并同类项解一元一次方程的步骤： （1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、常数项 分别合并，把方程转化为 ax = b(a ≠ 0，a，b 为常数) 的 形式；
据题意，列方程得： x + 2x + 4x ＝ 140
它们是同类项， 可以合并成一项！
怎样才能把该方程转化为 x = m 的形式呢？
问题探究
如何解方程 x + 2x + 4x ＝140 呢？
分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a 为常 数）的形式.
解： 合并同类项，得： 7x ＝ 140.
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的 排列规律，后面的数是它前面的数与 -3 的乘积.
典例精析
例2 有一列数，按一定规律排列1，-3，9，-27，81，-243 ， ···. 其中第n个数是(-3)n-1(n＞1)，如果这列数中某三个相邻数 的和是-1701，这三个数各是多少？
2021-2022学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）已知全集U=R，A={x|x＜0}，则∁U A=___ ．2.（填空题，3分）函数y= √2x+1 + √3−4x的定义域为___ ．3.（填空题，3分）不等式|x|-1＜0的解集是 ___ ．4.（填空题，3分）已知关于x的不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，则b的值为 ___ ．5.（填空题，3分）若3x=2，则log29-log38用含x的代数式表示为 ___ ．6.（填空题，3分）不等式5x−2≤1的解集是 ___ ．7.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊂C⊆B 的集合C的个数为 ___ 个．8.（填空题，3分）函数y=2- √−x2+4x的值域是___ ．9.（填空题，3分）已知函数f(x)={(1−a)x，x≤1a x，x＞1（a＞0且a≠1）在x∈R上有最大值，那么实数a的取值范围为 ___ ．10.（填空题，3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．11.（填空题，3分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）= {1，x∈Q0，x∈∁R Q，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：其中真命题的有 ___ ．① 对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；② 对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③ 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④ 若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}．12.（填空题，3分）已知函数f(x)=ax+bx，若存在两相异实数m，n使f（m）=f（n）=c，且a+4b+c=0，则|m-n|的最小值为 ___ ．13.（单选题，4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A. 1a ＞1bB. 1a−b ＞ 1a C.|a|＞|b| D.a 2＞b 214.（单选题，4分）若x 1、x 2是方程2x 2+6x+3=0的两个根，则 x 2x 1+x1x 2=（ ）A. −12B.2C.4D.815.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0 ，则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.416.（单选题，4分）对于函数y=f （x ），若存在x 0，使f （x 0）=-f （-x 0），则称点（x 0，f （x 0））与点（-x 0，-f （-x 0））是函数f （x ）的一对“隐对称点”．若函数 f (x )={x 2+2x ，x ＜0mx +2，x ≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）A. [2−2√2，0)B. (−∞，2−2√2]C. (−∞，2+2√2]D. (0，2+2√2]17.（问答题，6分）已知正数x 、y 满足x+2y=1，求 1x + 1y 的最小值，并求出 1x + 1y 取到最小值时x ，y 的值．18.（问答题，10分）已知非空集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}，集合B={x|x 2-4x+3＜0}． （Ⅰ）当a=2时，求A∩B ；（Ⅱ）命题p ：x∈A ，命题q ：x∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．19.（问答题，10分）已知函数g(√x+2)=x+2√x+1．（1）求函数g（x）的解析式；（2）设f(x)=g(x)−2xx，若存在x∈[2，3]使f（x）-kx≤0成立，求实数k的取值范围．20.（问答题，10分）随着全球5G网络技术的不断升温，中美两国5G的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y与每日研发经费x（单位：亿元）有关，其公式为y=3x2x2+mx+2(x＞0)．（1）若m=0时，华为市场占有率超过23，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（保留小数点后两位）（2）若-1＜m＜1时，华为市场占有率的最大值为45，求常数m的值．21.（问答题，12分）已知函数f(x)=x+bx2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(1)=15．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；（3）设g（x）=kx2+2kx+1（k≠0），若对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-1，2]，使得f （x1）=g（x2）成立，求实数k的取值范围．2021-2022学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）已知全集U=R ，A={x|x ＜0}，则∁U A=___ ． 【正确答案】：[1]{x|x≥0}【解析】：由已知结合补集的运算性质，即可直接求解．【解答】：解：因为U=R ，A={x|x ＜0}， 所以∁U A={x|x≥0}． 故答案为：{x|x≥0}．【点评】：本题主要考查了补集的运算，属于基础题．2.（填空题，3分）函数y= √2x +1 + √3−4x 的定义域为___ ． 【正确答案】：[1][ −12，34 ]【解析】：由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】：解：由 {2x +1≥03−4x ≥0，解得 −12≤x ≤34 ．∴函数y= √2x +1 + √3−4x 的定义域为[ −12，34 ]． 故答案为：[ −12，34]．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 3.（填空题，3分）不等式|x|-1＜0的解集是 ___ ． 【正确答案】：[1]（-1，1）【解析】：由题意利用绝对值的意义，求得x 的范围．【解答】：解：不等式|x|-1＜0，即|x|＜1，∴-1＜x ＜1， 故不等式的解集为（-1，1）， 故答案为：（-1，1）．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．4.（填空题，3分）已知关于x 的不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，则b 的值为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据不等式与对应方程的关系，再利用根与系数的关系即可求出b 的值．【解答】：解：因为不等式ax 2-3x+2＞0的解集为{x|x ＜1或x ＞b}， 所以1和b 是方程ax 2-3x+2=0的实数解，且b ＞1， 由根与系数的关系，知 {1+b =3a1×b =2a ，解得a=1，b=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题． 5.（填空题，3分）若3x =2，则log 29-log 38用含x 的代数式表示为 ___ ． 【正确答案】：[1] 2x−3x【解析】：由3x =2，得到x=log 32，再由log 29-log 38=2log 23-3log 32，求出结果即可．【解答】：解：若3x =2，则x=log 32， 所以log 29-log 38=2log 23-3log 32= 2x −3x ． 故答案为： 2x−3x ．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.（填空题，3分）不等式5x−2≤1 的解集是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2）∪[7，+∞） 【解析】：根据分式不等式的解法进行求解即可．【解答】：解：不等式等价为 {x −2＞05≤x −2 或 {x −2＜0x ∈R ，得 {x ＞2x ≥7 或x ＜2，得x≥7或x ＜2，即不等式的解集为（-∞，2）∪[7，+∞），故答案为：（-∞，2）∪[7，+∞）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，将不等式转化为不等式组是解决本题的关键，是基础题．7.（填空题，3分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|0＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊂C⊆B的集合C的个数为 ___ 个．【正确答案】：[1]7【解析】：本题考查集合的包含关系，先将A，B化简，再有A⊂C⊆B，从元素数由少到多写出即可．【解答】：解：集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R }={1，2}，B={x|0＜x＜6，x∈N }={1，2，3，4，5}，∵A⊂C，∴1∈C，2∈C，又∵C⊆B∴集合C可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．共7个．故答案为：7．【点评】：本题考查了集合的子集、真子集关系，注意集合A，B的代表元素和范围，属于基础题．8.（填空题，3分）函数y=2- √−x2+4x的值域是___ ．【正确答案】：[1][0，2]【解析】：值域问题应先确定定义域[0，4]，此题对根号下二次函数进行配方，利用对称轴与区间的位置关系求出最值进而确定值域【解答】：解：定义域应满足：-x2+4x≥0，即0≤x≤4，y=2−√−x2+4x = 2−√−(x−2)2+4所以当x=2时，y min=0，当x=0或4时，y max=2所以函数的值域为[0，2]，故答案为[0，2]．【点评】：本题考查闭区间上复合函数函数的值域，先求得定义域后，再计算根号下二次函数的最值，进而确定复合函数的值域，属于中档题．9.（填空题，3分）已知函数f(x)={(1−a)x，x≤1a x，x＞1（a＞0且a≠1）在x∈R上有最大值，那么实数a的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，12]【解析】：由题意可得函数f（x）要有最大值，则函数在（-∞，1]上必须为单调递增函数，然后求出最大值，并比较端点值，由此即可求解．【解答】：解：由题意可得函数f（x）要有最大值，则函数在（-∞，1]上必须为单调递增函数，则1-a＞0，解得0＜a＜1，所以函数在（1，+∞）上为单调递增函数，则当x≤1时，f（x）max=f（1）=1-a，且1-a≥a，则a ≤12，所以实数a的取值范围为（0，12]，故答案为：（0，12]．【点评】：本题考查了分段函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．10.（填空题，3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] (13，23)【解析】：根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】：解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为严格单调递增，∴ f(2x−1)＜f(13)等价为f（|2x-1|）＜f（13），即|2x-1|＜13，得- 13＜2x-1＜13，得13＜x＜23，即不等式的解集为（13，23），故答案为：（13，23）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，是基础题．11.（填空题，3分）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）= {1，x∈Q0，x∈∁R Q，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：其中真命题的有 ___ ．① 对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；② 对任意x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；③ 对任意x1∈R，都存在x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④ 若a＜0，b＞1，则有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}．【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据狄利克雷函数的定义逐一判断即可．【解答】：解：因为当x为有理数时，f（x）=1，f[f（x）]=f（1）=1；当x为无理数时，f （x）=0，f[f（x）]=f（0）=1，故对任意x∈R，都有f[f（x）]=1成立，所以① 正确；因为当x为有理数时，-x也是有理数，所以有f（x）=1，f（-x）=1，故有f（-x）=f（x）；因为当x为无理数时，-x也是无理数，所以有f（x）=0，f（-x）=0，故有f（-x）=f（x）；综上，对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），所以② 错误；当x1是有理数时，x1+x2也是有理数，所以f（x1+x2）=f（x1）=1；当x1是无理数时，x1+x2是无理数，所以f（x1+x2）=f（x1）=0；所以③ 正确；当a＜0时，f（x）＞a的解集为∅，当b＞1时，f（x）＜b的解集为∅，故有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＜b}=∅，所以④ 正确；故答案为：① ③ ④ ．【点评】：本题考查了分段函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．12.（填空题，3分）已知函数f(x)=ax+bx，若存在两相异实数m，n使f（m）=f（n）=c，且a+4b+c=0，则|m-n|的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1] √32【解析】：由题意，m，n是方程ax2-cx+b=0的两个不等实数根，利用根与系数的关系把|m-n|化为含有a，b的代数式，令t= ba，进一步转化为关于t的二次函数，再由配方法求最值．【解答】：解：由题意，当f（x）=ax+ bx=c，有ax2-cx+b=0（x≠0），∵f（m）=f（n）=c，∴m，n是方程ax2-cx+b=0的两个不等实数根，∴m+n= ca ，mn= ba，而|m-n|= √(m−n)2−4mn = √c2−4aba2，∵a+4b+c=0，即c=-4b-a，∴|m-n|= √16b2+4ab+a2a2 = √16(ba)2+4•ba+1，令t= ba ，则|m-n|= √16t2+4t+1 = √4(2t+14)2+34，则当t=- 18时，|m-n|的最小值为√32．故答案为：√32．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查一元二次方程根与系数的关系，训练了利用配方法求最值，是中档题．13.（单选题，4分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A. 1a ＞1bB. 1a−b ＞1aC.|a|＞|b|D.a2＞b2【正确答案】：B【解析】：由于a＜b＜0，利用函数单调性可以比较大小．【解答】：解：∵a＜b＜0，f（x）= 1x 在（-∞，0）单调递减，所以1a＞1b成立；∵a＜b＜0，0＞a-b＞a，f（x）= 1x 在（-∞，0）单调递减，所以1a−b＜1a，故B不成立；∵f（x）=|x|在（-∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（-∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．【点评】：本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题．14.（单选题，4分）若x1、x2是方程2x2+6x+3=0的两个根，则x2x1+x1x2=（）A. −12 B.2C.4D.8【正确答案】：C【解析】：利用韦达定理，结合表达式化简求解即可．【解答】：解：x 1、x 2是方程2x 2+6x+3=0的两个根， 可得x 1+x 2=-3，x 1x 2= 32 ，则 x 2x 1+x 1x 2= (x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2 = 9−2×3232=4． 故选：C ．【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 15.（单选题，4分）已知函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0 ，则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：C【解析】：利用已知条件求出f （3-x ）的表达式，令f （3-x ）=1即可求得符合条件的x 的个数．【解答】：解：函数f （x ）= {x 2+2x ，x ≤0|lgx |，x ＞0，f （3-x ）= {x 2−8x +15，x ≥3|lg (3−x )|，x ＜3，当x ＜3时，令|lg （3-x ）|=1，解得x=-7或x= 2910 ， 当x≥3时，令x²-8x+15=1，解得x=4+ √2 则函数g （x ）=f （3-x ）-1的零点共3个， 故选：C ．【点评】：本题考查函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．16.（单选题，4分）对于函数y=f（x），若存在x0，使f（x0）=-f（-x0），则称点（x0，f （x0））与点（-x0，-f（-x0））是函数f（x）的一对“隐对称点”．若函数f(x)={x2+2x，x＜0mx+2，x≥0的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（）A. [2−2√2，0)B. (−∞，2−2√2]C. (−∞，2+2√2]D. (0，2+2√2]【正确答案】：B【解析】：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，进而可解出．【解答】：解：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，设g（x）的图象与函数y=x2+2x，x＜0的图象关于原点对称，令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x，∴g（x）=-x2+2x，故原题义等价于方程mx+2=-x2+2x（x＞0）有零点，解得m=-x- 2x+2，又因-x- 2x +2≤−2√x×2x+2 =2-2 √2，当且仅当x= √2时取等号，∴m ∈(−∞，2−2√2]．故选：B．【点评】：本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于基础题．17.（问答题，6分）已知正数x、y满足x+2y=1，求1x + 1y的最小值，并求出1x+ 1y取到最小值时x，y的值．【正确答案】：【解析】：根据题意，分析可得 1x + 1y =（ 1x + 1y ）（x+2y ）=3+ 2y x + x y ，利用基本不等式分析可得答案．【解答】：解：根据题意，x ＞0，y ＞0，且x+2y=1，则 1x + 1y =（ 1x + 1y ）（x+2y ）=3+ 2y x + x y ≥3+2 √2 ，（当且仅当 2y x = x y ，即x= √2 -1，y= 2−√22 时，等号成立） 故当x= √2 -1，y=2−√22 时，（ 1x + 1y）min =3+2 √2 ． 【点评】：本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．18.（问答题，10分）已知非空集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}，集合B={x|x 2-4x+3＜0}． （Ⅰ）当a=2时，求A∩B ；（Ⅱ）命题p ：x∈A ，命题q ：x∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）把a=2代入集合A ，解得集合A ，B 对应不等式，求出A∩B 结果即可； （Ⅱ）若q 是p 的必要条件，则集合A⊆B ．对集合A 对应的不等式进行讨论，其解集的端点是 2a-1和a ，大小有三种情况，在每种情况下，求出集合A ，借助数轴列出A⊆B 时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a 的范围即可．【解答】：解：（I ）当a=2时，集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}={x|x 2-5x+6＜0}={x|2＜x ＜3}．集合B={x|x 2-4x+3＜0}={x|1＜x ＜3}．故A∩B={x|2＜x ＜3}．（Ⅱ）若q 是p 的必要条件，则集合A⊆B ．集合A={x|x 2-（3a-1）x+2a 2-a ＜0}={x|（x-a ）[x-（2a-1）]＜0}．① a ＜1时，a ＞2a-1，集合A={x|2a-1＜x ＜a}，要使A⊆B ，则 {a ≤32a −1≥1， 解得1≤a≤3，因为a ＜1，故这种情况不成立．② 当a=1时，a=2a-1，集合A=∅，这与题目条件矛盾．③ 当a ＞1时，a ＜2a-1，集合A={x|a ＜x ＜2a-1}，要使A⊆B ，则 {2a −1≤3a ≥1， 解得：1≤a≤2，因为a ＞1，故1＜a≤2．综上所述：实数a 的取值范围为（1，2]．【点评】：本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B 时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.（问答题，10分）已知函数 g(√x +2)=x +2√x +1 ．（1）求函数g （x ）的解析式；（2）设 f (x )=g (x )−2x x ，若存在x∈[2，3]使f （x ）-kx≤0成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用换元法或配凑法进行求解即可．（2）利用换元法进行转化，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．【解答】：解：（1）解法一：∵ g(√x +2)=x +2√x +1=(√x +1)2 ，∴g （x ）=（x-1）2． 又 √x +2≥2 ，∴g （x ）=（x-1）2（x≥2）．解法二：令 t =√x +2 ，则x=（t-2）2．由于 √x ≥0 ，所以t≥2．代入原式有g （t ）=（t-2）2+2（t-2）+1=（t-1）2，所以g （x ）=（x-1）2（x≥2）．（2）∵ f (x )=g (x )−2x x ，∴ f (x )=x +1x−4 ． ∵存在x∈[2，3]使f （x ）-kx≤0成立，∴ k ≥(1x )2−4x +1 在x∈[2，3]时有解．令 t =1x ，由x∈[2，3]，得 t =1x ∈[13，12] ， 设h （t ）=t 2-4t+1=（t-2）2-3．则函数h （t ）的图象的对称轴方程为t=2，∴当 t =12 时，函数h （t ）取得最小值- 34 ．∴k≥- 34 ，即k 的取值范围为[- 34 ，+∞）．【点评】：本题主要考查函数解析式的求解意见不等式恒成立问题，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．20.（问答题，10分）随着全球5G 网络技术的不断升温，中美两国5G 的技术较量已进入白热化阶段．特朗普政府宣布将在5G 领域具有全球领导力的华为公司列入禁止出口实体名单．值此国家危难之际，炎黄子孙当为中华之崛起而读书．华为投资研究部表明：市场占有率y 与每日研发经费x （单位：亿元）有关，其公式为 y =3x 2x 2+mx+2(x ＞0) ．（1）若m=0时，华为市场占有率超过 23 ，试估计每日研发经费的取值范围（单位：亿元）？（保留小数点后两位）（2）若-1＜m ＜1时，华为市场占有率的最大值为 45 ，求常数m 的值．【正确答案】：【解析】：（1）列出不等式，求解即可．（2）利用函数的解析式，结合基本不等式，转化求解即可．【解答】：解：（1）由已知得 3x 2x 2+2＞23 ，整理得4x 2-9x+4＜0，得 9−√178＜x ＜9+√178 ， 将 √17≈4.2 代入得0.61＜x ＜1.64．∴每日研发经费大约在0.61亿元到1.64亿元之间；（2）依题意得 y =32(x+1x )+m ， ∵ x +1x ≥2⋅√x ⋅1x =2 ，当且仅当x=1时，取等号，∴ y =32(x+1x )+m ≤34+m =45 ， ∴ m =−14 ．【点评】：本题考查函数与方程的应用，不等式的解法，是中档题．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，且 f (1)=15 ． （1）求实数a ，b 的值；（2）判断f （x ）在[-2，2]上的单调性，并用定义证明；（3）设g （x ）=kx 2+2kx+1（k≠0），若对任意的x 1∈[-2，2]，总存在x 2∈[-1，2]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1） f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数⇒f （0）= b a =0⇒b=0，由f （1）= 1a+1 = 15 可求得a ；（2）f （x ）在[-2，2]上单调递增，用定义证明，任取-2≤x 1＜x 2≤2，作差f （x 1）-f （x 2）后化积，分析符号，可证得结论成立；（3）依题意知，f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集，由（2）知：f （x ）∈[- 14 ， 14 ]，分k ＞0与k ＜0讨论，分析可求得实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=x+b x 2+a 是定义在[-2，2]上的奇函数，所以f （0）= b a =0⇒b=0；.......1分又f （1）= 1a+1 = 15 ⇒a=4.........................................2分所以 f (x )=x x 2+4 ，经检验，该函数为奇函数．.........3分（2）f （x ）在[-2，2]上单调递增，证明如下：任取-2≤x 1＜x 2≤2，f （x 1）-f （x 2）= x 1x 12+4 - x 2x 22+4 = x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4) = (x 1x 2−4)(x 2−x 1)(x 12+4)(x 22+4) ，其中x 1x 2-4＜0，x 2-x 1＞0，所以f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[-2，2]上单调递增．........7分（3）由于对任意的x 1∈[-2，2]，总存在x 2∈[-1，2]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，所以f （x ）的值域为g （x ）的值域的子集..........................................8分而由（2）知：f （x ）∈[- 14 ， 14 ]，当k ＞0时，g （x ）在[-1.2]上递增，g （x ）∈[1-k ，8k+1]，所以 {1−k ≤−1414≤8k +1 ，即k≥ 54 ....................10分 当k ＜0时，g （x ）在[-1.2]上递减，g （x ）∈[8k+1，1-k]，所以 {8k +1≤−1414≤1−k ，即k≤- 532 ．....................11分 综上所述，k∈（-∞，- 532 ]∪[ 54 ，+∞）．....................12分【点评】：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数基本性质的综合应用，涉及分类讨论思想与转化与化归思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
程伟巅峰数学
《程伟巅峰数学》，是东北地区与华东地区著名数学理论讲师、著名数学技巧培训专家、中国高考数学与考研数学创新教学与研究第一人---程伟老师所创立的创新、高效、颠覆传统教学模式与教学风格的独特数学课程，其主要内容包括《程伟高考数学》、《程伟考研数学》等。
一、课程宗旨
用最快速、最准确的方式解决数学问题，用最独特、最创新的视角来重新审视高难度的数学问题，出其不意地化难为易，让数学问题迎刃而解。
二、课程理念
《PGSA教学法》，引领中国新生代高端讲师新理念与新风尚。
P---Passion，激情。
激情澎湃的教学风格，极大地调动学生的听课情绪与专注程度。
G---Govern，控制。
依托强大的个人气场、压迫性的教学方式，自始自终将课堂上的一切因素掌控在手。
S---Suspense，悬念。
课程内容环环相扣，设置悬念-水落石出-设置悬念-水落石出，课程效果引人入胜。
A---Afterclass，课后。
科学、合理、紧贴课程内容的课后任务布置给学生，完美吸收，事半功倍。
三、王牌课程
《十秒终结》
课程内容:高考数学《选择题与填空题》专项速度与精度特训
课程目标:快速、灵活、巧妙、精准地解决高考数学中各类选择题与填空题。
平均每道题用时:5-10秒。
准确率:100%。
课程时长:十五节课。
每节课1.5小时。
课程对象:高三毕业班学生及备战高考的各类社会人士。
《举一反十》
课程内容:高考数学《解答题》专项模板与套路特训
课程目标:精细、完备、准确、高效地解决高考数学中各类解答题。
平均每道题得分:满分。
课程时长:十五节课。
每节课1.5小时。
课程对象:高三毕业班学生及备战高考的各类社会人士。
《十全十美》
课程内容:《考研数学》专项秒杀与技巧特训
课程目标:颠覆传统陈旧的高校数学教学方式，以最独特、最创新的手段快速秒杀《线性代数》、《高等数学》、《概率论与数理统计》三门数学主科的各类题型，令人叹为观止。
确保不低于135分。
课程时长:二十五节课。
每节课1.5小时。
课程对象:理学、工学、经济学等专业大三、大四学生及备战考研的各类社会人士。