高二数学 上学期两条直线的位置关系 第一课时教案一
点到直线以及两平行直线间的距离公式 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1
5
2 2
5
2
2
A (1,3)
2
h
1
B (3,1)
C (-1,0)
-1
O
1
2
3 x
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
们各有什么特点？
点到直线距离公式
代数方法
向量法
坐标法
坐标法
（求垂足坐标） （设而不求垂足坐标）
寻找所求量的坐标表示
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
y
l
Q
P0 x0 , y0
O
x
间接法
求出点R的坐标
求出点S的坐标
求出|P0S|
求出 |P0R|
y
1
| P0 S || P0 R |
2
1
d | SR |
2
S ( x0,
Ax0 C
)
B
Q
利用勾股定理求出|RS|
等面积法求出 |P0Q|
l
P0 ( x0 , y0 )
O
R(
By0 C
应先化成一般式再用公式.
2 到直线 l : 3x 2 的距离．
例1: 求点P0 1，
解：直线l的方程可化为一般式：
3x 2 0
思考：还有其他解法吗？
对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0，
当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y
P (x0,y0)
(x1,y0)
点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离
d
6 4 21 0 1
62 212
两条直线的交点坐标 优秀教案
两条直线的交点坐标教学设计一、内容分析1．知识简介本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下：⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础．⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系．难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系．重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解．4．本节教材的地位与作用求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用．二、教学方法5．学生现状的分析及对策．学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导．教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识．6．教学目标的确定及依据教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教育目标.⑴情感目标：通过对两直线求交点概念的学习，使学生认识到两直线位置关系的重要性；通过数形结合的比较，体现数学的美感．提高学生对数学文化学习的兴趣．树立学生认识客观事物内在联系的正确观点；提高学生辨证地看待问题的能力．通过课堂教学使学生与教师、学生与学生善于合作与交流．⑵知识目标：牢固掌握两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解的方法.⑶能力目标：（见前2）7．注重学生对教学目标的掌握和反馈教学的三维目标有短期的（知识）和长期的（情感、能力）目标．本节课以在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合为背景．以学生的认知规律为前提建构关于两直线相交的基本知识体系， 精讲精练、学用结合．使学生感知两条直线相交，是由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；不断的巩固所学习的课堂知识；运用“交点”解决实际问题形成技巧技能．与优、中、后进各层次的学生进行课堂或课后交流，不断的完善学生自主学习的过程．三、教学策略 8．教学设计见附件1 教学设计，附件2板书设计 9．教具（多媒体）（图1、图2、图3） 附件1 教学设计 方法和手段1．教学方法的采用．数学的学习是每一个学生主动接受数学知识以及在自己原有知识的基础上以自己的方式不断建构的过程．本节课以讲授法、发现法为主，并结合启发、引导、讲练结合的具体教学方式为主线进行课堂教学，引导学生积极思考，发挥学生的主观能动作用，体现学生的主体性．2．教学手段的采用．根据本节内容的特点，为了更有效地抓住关键、突破难点、突出重点，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节课的知识内容，采用多媒体辅助教学，强化记忆，节省教学时间，提高教与学的效率．四、教学过程 复习回顾我们一起研究了平面上两直线(斜截式)的平行（斜率相等且截距不相等），重合(斜率截距都相等），垂直（斜率之积等于-1）的位置关系. 这一节，我们来研究在同一平面内两条直线相交的交点问题.(课题)讲授新课:1.观察出示小黑板，同学按同桌分开，左侧同学解方程组，右侧同学分别在同一直角坐标系下作图（数形结合），然后观察这三个方程组的系数关系，探索⎩⎨⎧≠=++≠=++)0(0)0(0222222111111C B A C y B x A C B A C y B x A 的解的情况与系数之间的关系.猜想: 唯一解 212121l l B BA A ⇔≠⇔无穷多解21212121l l C CB B A A ≡⇔==⇔无解 21212121l l C CB B A A ⇔≠=⇔若222,,C B A 中有一个为0，那么方程组的解及此时两直线的位置关系怎样呢?启发分析.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. 2.例题讲解例1.求下列两条直线的交点并作图.022:，0243:21=++=-+y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22得 0220243y x y x y x 所以，l 1与l 2的交点是M(-2，2). 例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:,022:21=--=+-y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22得 022022y x y x y x 所以， l 1与l 2的交点是(2，2). 方法一:设经过原点的直线方程为kx y =，把点(2，2)的坐标代入以上方程，得1=k ，所以所求直线方程为x y =．方法二:020020--=--x y ，即x y =. 例3 直线 ,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，直线1l 与2l 01相交，02平行，03垂直，04重合?分析:01当1≠m 且3≠m 时，21l l ;02当1-=m 时，21l l ;03当21=m 时，21l l ⊥;04当3=m ，21l l ≡. 3.课堂练习4.课堂小结:大家掌握了两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.进一步体现了以形论数与就数构形，数形结合的重要数学思想.5.课后作业附件2 板书设计。
高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课教案课件教案课件
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
中职数学(高教版)教案：空间两条直线的位置关系—平行直线
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题：§4.2.1空间两条直线的位置关系—平行直线教学目标1 理解掌握平行直线的相关概念、公理及定理2 能判断空间内直线、角是否相等重点理解掌握平行直线的相关概念、公理及定理难点能判断空间内直线、角是否相等教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一新课引入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行，那么空间内平行于同一条直线的两条直线一定平行吗？二新知探究探究：现在我国很多地方都在搞规划建设，修路、扩路、造路也很多，这势必导致楼房的拆迁，为减少损失，可以将某些楼房整体移动，这样既省钱，又省事，还省时间。
某栋楼房整体平移前后对比图如下，1能找出几对平行线？教学内容公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。
如下图：若a∥b，b∥c，则a∥c三例题讲解例1如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，点C、H分别是MB、MA的中点，M∉平面BD. 求证：GH // EF.证明因为点E、F分别是矩形ABCD的边BC、AD的中点，所以AF// BE，且AF=BE.故四边形ABEF是平行四边形，EF // BA.又因为点G、H分别是ΔABM的边MB、MA的中点，所以GH// BA.根据平行线的传递性可知，GH// EF.2.相交直线我们知道，同一平面内有且只有一个公共点的两条直线成为相交直线，当l与m相交于点A时，可简记作l∩m=A.两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角，如图所示.显然，θ∈02π⎛⎤⎥⎝⎦，，并且角θ及其对顶角均为这两条相交直线所成的角.规定：两条平行直线缩成的角为0.因此，两条共面直线所成角的范围是2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，教学内容例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1，如图.(1)分别求AB与D1C1、BD所成的角的大小；(2)直线AB与BD所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角是否相等？解(1)因为AB // D1C1，所以AB与D1C1所成的角为0.又正方体的各面都是正方形, BD为正方形ABCD的对角线, 所以4ABDπ∠=，即AB与DB所成的角的大小是4π.(2)显然，直线AB与BD所成的角为∠ABD，直线A1B1与D1B1所成的角∠A1B1D1.因为4ABDπ∠=,1114A B Dπ∠=,所以∠ABD=∠A1B1D1,即直线AB与DB所成的角和直线A1B1与D1B1所成的角相等.3.等角定理一般地，如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l1'与l2'，那么l1与l2 所成的角和l1'与l2'所成的角相等.这个结论称为等角定理,常用来判定空间中的两个角相等.巩固练习练习4.2.11. 观察自己的教室，找出其中的平行直线、相交直线、共面直线.教学内容2.如图所示，己知长方体ABCD-A1B1C1D1，判断下列说法是否正确.(1)直线A1B1与DD1相交；(2)直线AD与CC1平行；(3)直线AB与D1B1相交；(4)直线B D与B1D1平行.3.顶点不共面的四边形称为空间四边形.如图所示，点E、F、G、H分别是空间四边形ABCD中AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.五小结作业1 两条直线平行的公理2 等角定理板书设计教后札记。
2.3.2两点间的距离公式课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
y
D(b,c) C(a+b,c)
直角坐标系，则有A(0,0)
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形
的性质可得C(a+b,c)
|AB|2 a2, |CD|2 a2
o A(0,0) B(a,0) x
|AD|2 b2 c2, |BC|2 b2 c2
|AC|2 (a b)2 c2, |BD|2 (b- a)2 c2
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
已知：直线 l1 ：A1x+B1y+C1= 0
直线 l2 ： A2x+B2y+C2= 0
解关于l1、l2 的方程组：
唯一解
l1 、 l2 相交
无解 无穷多解
l1 、 l2 平行 l1 、 l2 重合
2.两条直线的位置关系的判定：
l1 : y k1x b1或A1x B1y C1 0
l2 : y k2 x b2或A2 x B2 y C2 0
A2
B2Байду номын сангаас
C2 0
1.l1与l2相交 k1 k2
或
A1 A2
B1 B2
2.l1 // l2 k1 k2且b1 b2
或
A1 A2
B1 B2
C1 C2
3.l1与l2重合
k1
k2且b1
b2
或
《直线和圆的位置关系(第一课时)》教案
《直线和圆的位置关系（第一课时）》教案归纳：（1）直线和圆没有公共点，称这条直线和圆相离；（2）直线和圆有一个公共点，称这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；（3）直线和圆有两个公共点，称这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；思考：直线和圆会不会有三个公共点？例2 Rt△ABC，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2 cm；（2）r=2.4 cm；（3）r=3 cm．思考1：(1)当r满足时，⊙C与直线AB相离；(2)当r满足时，⊙C与直线AB相切；(3)当r满足时，⊙C与直线AB相交.思考2：若要使⊙C与线段AB只有一个公共点，这时⊙C的半径r要满足什么条件？知能演练提升一、能力提升1.已知☉O的半径为R,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d与R的大小关系是()A.d>RB.d<RC.d≥RD.d≤R2.若☉O的直径为5,直线l与☉O相交,圆心O到直线l的距离是d,则d的取值范围是()A.4<d<5B.d>5C.2.5<d<5D.0≤d<2.53.已知☉O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则☉O上到直线AB的距离为3的点的个数为()A.1B.2C.3D.44.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-x+√2和☉O的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能5.已知直线l与☉O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则☉O的半径是.6.如图,☉O的半径OC=10 cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16 cm,为使直线l与☉O相切,则需把直线l .7.如图,给定一个半径为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O 的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4.由此可知:(1)当d=3时,m= ;(2)当m=2时,d的取值范围是.8.如图,∠AOB=60°,M为OB上的一点,OM=5,若以M为圆心,2.5为半径画☉M,请通过计算说明OA和☉M不相切.★9.已知等边三角形ABC的面积为3√3,若以A为圆心的圆和BC所在的直线l:(1)没有公共点;(2)有唯一的公共点;(3)有两个公共点.求这三种情况下☉A的半径r的取值范围.二、创新应用★10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC所在的直线和☉O相离、相切、相交?知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.C4.C直线y=-x+√2与x轴的交点A的坐标为(√2,0),与y轴的交点B的坐标为(0,√2),则AB=2,△ABO的面积为1.由等面积法得点O到直线y=-x+√2的距离为1.因此d=r,故相切.5.56.向左平移4 cm或向右平移16 cm连接OA,设CO的延长线交☉O于点D.因为l⊥OC,所以OC平分AB.所以AH=8 cm.在Rt△AHO中,OH=√AO2-AH2=√102-82=6(cm),所以CH=4 cm,DH=16 cm.所以把直线l向左平移4 cm或向右平移16 cm时可与圆相切.7.(1)1(2)1<d<3(1)当d=3时,由于圆的半径为2,故只有圆与OM的交点符合题意,所以m=1;(2)当m=2时,即圆上到直线l的距离等于1的点的个数为2,当d<1时,m=4,当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,当d>3时,m=0,故m=2时,1<d<3.8.解如图,过点M作MC⊥OA于点C.在Rt △OMC 中,∠AOB=60°,∴∠OMC=30°. ∴OC=12OM=2.5. ∴MC=√52-2.52=5√32>2.5,即☉M 和OA 不相切.9.解 在等边三角形ABC 中,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D (图略),得BD=12BC. 在Rt △ABD 中, 由勾股定理,得AD=√AB 2-BD 2=√BC 2-(12BC)2=√32BC.由三角形面积公式,得12BC ·AD=12BC ·√32BC=3√3, 所以BC=2√3. 所以AD=√32BC=3.(1)当☉A 和直线l 没有公共点时,r<AD ,即0<r<3(如图①); (2)当☉A 和直线l 有唯一公共点时,r=AD ,即r=3(如图②); (3)当☉A 和直线l 有两个公共点时,r>AD ,即r>3(如图③).二、创新应用10.分析 由于直线和圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系,所以作OD ⊥AC 于点D ,分别由AC 和☉O 相离、相切、相交可得相应的OD 和☉O 的半径r 之间的关系式,从而求出x 的范围.解 如图,作OD ⊥AC ,垂足为点D ,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=60°, 所以∠A=30°. 所以OD=12AO=12x.当12x>1,即x>2时,AC 和☉O 相离; 当12x=1,即x=2时,AC 和☉O 相切; 当0≤12x<1,即0≤x<2时,AC 和☉O 相交.。
中职数学教案：两条直线的位置关系(全2课时)
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题§8.4.1两条直线的位置关系(1)教学目标1理解两条直线的位置关系2通过解直线方程组求两条直线交点3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力重点求两条直线的交点难点平面上两条直线的交点问题与二元一次方程组关系的理解教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一新课引入平面内两条直线，若不平行（或重合），则必然相交，交于一点；如何通过直线方程研究两条直线的位置关系呢？二新知探究1 已知平面内两条直线的方程，若两条直线不平行（或重合），则必然相交，且交点坐标是唯一确定的，如何求交点坐标呢？2求两条直线交点的方法——解方程组设两条直线的方程分别是：：教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容五小结作业求两条直线的交点方法是解方程组：这个方程组的解就是两直线交点的坐标．作业布置：P80练习1、2板书设计§8.4.1两条直线的位置关系一、两条直线的交点求法解方程组二、例题三、习题教后札记江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容两条直线平行的判定:说明:为了降低难度，设定两条直线不重合且有斜率存在。
结合图形，归纳结论一般地，如果两条直线的方程分别是若它们平行，则它们倾斜角相等，斜率相等.所以l1∥l2,21kk=⇒且;21bb≠反之，若,21kk=且;21bb≠则倾斜角相等，则l1∥l2，即,21kk=且⇒≠21bb l1∥l2，因此，当直线l1，l2的斜率分别为21,kk时，有l1∥l2,21kk=⇔且;21bb≠（板书）【引导分析】直线方程为一般式时，判断平行的步骤.三例题讲解例3．判断下列直线是否平行：（1）直线l1：2x-y=0 和l2：x+2y-3=0；（2）直线l1：x-y=0 和l2：2x-2y-3=0师生共同解题（板书）解：（1）两条直线的斜率分别是，即,21kk≠两条直线不平行.（2）两条直线的斜率分别是1,121==kk，。
用空间向量研究直线平面的位置关系 课件(第1课时)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
【做一做2】若平面//，则下面可以是这两个平面法向量的是（ D ）
A． =(1,2,3) = (−3,2,1)
B． =(1,2,2) = (−2,2,1)
C． =(1,1,1) = (−2,2,1)
D． =(1,1,1) = (−2, −2, −2)
【说明】对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
= (1,2,0)， = (−1,0,2)， = (0,1,1).
+ 2 = 0
设平面PFB的法向量为 = (, , )，则 ∙ = 0 ，即
.
−
+
2
=
0
∙ = 0
令 = 1，则 = −2, = −1，故平面的一个法向量为 = (−2,1, −1).
2.平面的法向量不是唯一的，法向量与平面内的向量都垂直。
（二）用空间向量研究直线、平面的位置关系
【思考1】如何确定直线的方向向量？
【提示】在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，都是直线的方向向量．一般所
求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给坐标赋特殊值．
【思考2】如何求平面的法向量？平面的法向量唯一吗？
(1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线．
(2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或
者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面．
(3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线．
（三）典型例题
1.法向量的求法
例1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=6，AA1=3，建立适当的空
间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
(1)平面ABCD； (2)平面ACC1A1；
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册两条平行直线间的距离公式课件
| CD | (3 1)2 (2 1)2 17.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是 l1 : x 4 y 5 0, l2 : 2x y 8 0, l3 : x 4 y 14 0, l4 : 2x y 1 0, 求□ABCD的面积.
两条平行直线间的距离
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
温故知新
两点的位置关系 点与直线的位置关系
两点间的距离 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
点到直线的距离
| Ax0 By0 C | A2 B2
解：设
,
已知两条平行直线
追问1：如何间求的距离C为D3，？求C的值.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
CD 的长 C、D 的坐标 例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
求两条平行直线
间的距离.
例2 □ABCD的四条边所在直线的方程分别是
解：设
,
求□ABCD的面积.
D的坐标为
.
间的距离：
追问2：公式中的A，B，C1，C2分别等于什么？
例1 求下列两条平行直线间的距离.
（2）l1 : 2x 7 y 8 0 ，l2 : 6x 21y 1 0. l1 : 6x 21y 24 0, l2 : 6x 21y 1 0.
d | 24 (1) | 23 23 53 . 62 212 3 53 159
l : Ax 问题3 公式有什么结构特征？
，
2
By
C2
高二数学 7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必修
高二数学 7.3两条直线的位置关系(备课资料)大纲人教版必修一、参考例题［例1］(1998年全国)两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是( )A、A1A2＋B1B2＝0B、A1A2－B1B2＝0C、＝－1D、＝1解：当B1，B2都不为零时，k1＝－，k2＝－k1k2＝＝－1∴A1A2＋B1B2＝0、当B1＝0时，两直线垂直的充要条件是A2＝0，当B2＝0时，两直线垂直的充要条件是A1＝0，所以满足A1A2+B1B2＝0，故选A、评述：一定要注意A1，B1及A2，B2不能同时为零，也要注意斜率等于零与斜率不存在的两条直线互相垂直、［例2］(1997年全国)如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么系数a为( )A、－3B、－6C、－D、解：若两直线平行，则，解得a＝－6、故选B、评述：此题通过直线方程的系数比例关系来判断两直线的位置关系、二、参考练习题1、若原点在直线l上的射影是点P（－2，1），则直线l的方程是( )A、x＋2y＝0B、x＋2y－４＝0C、2x－y＋5＝0D、2x＋y＋3＝0解：由已知，得kOP＝－，再由l⊥OP，所以kOPkl＝－1、∴k1＝2、又直线l过点P（－2，1），所以l方程为：y－1＝2（x ＋2）即2x－y＋5＝0、故选C2、若A（－４，2），B(6，－４），C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论,正确的个数是( )①AB∥CD ②AB⊥CD ③｜AC｜＝｜BD｜④AC⊥BDA、1B、2C、3D、４解：∵kAB＝，kCD＝、∴AB方程为y－2＝－（x＋４）即3x＋5y＋2＝0∴C（12，6)不在AB上、∴AB∥CD又∵kAD＝、∴kABkAD＝－1∴AB⊥AD、∵｜AC｜＝｜BD｜＝∴｜AC｜＝｜BD｜∵kAC＝，∴kACkBD＝－1即AC⊥BD、∴四个结论都正确，故选D、评析：此题属于数学中多选题型，需要逐一分析，主要考查学生对基本知识点、基本公式、基本方法的掌握情况、3、求经过点（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线L的方程、解法一：设直线L的斜率为k∵直线L与直线2x+y-10=0垂直，∴k（-2）=-1、∴k=、又∵L经过点A（2，1），∴所求直线L的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0、解法二：设与直2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0、∵直线L的经过点A(2,1),∴2-21+m=0、∴m=0、∴所求直线L的方程为x-2y=0、●备课资料参考例题［例1］等腰直角三角形，斜边中点是M（４，2），一条直角边所在的直线方程是y＝2x，求另外两边所在的直线方程、解：设斜边所在直线AB斜率为k，斜边与直角边所夹角为45、所以tan４5＝解得k＝－3或k=，当k=-3时，斜边方程为y－2＝－3（x－４）即3x＋y－1４＝0由∴斜边上一个顶点为A（），另一个顶点B()，另一条直角边所在方程：x＋2y－2＝0，当k＝时，同理可得另两边所在的直线方程：x－3y＋2＝0，x＋2y －1４＝0、［例2］光线从A（－3，４）点射出，到x轴上的B 点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(－1，6)点，求BC所在直线的方程、解：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为(a，0）、由入射角等于反射角，得∠1＝∠2，∠3＝∠４，∴kAB＝－kBC又 kAB＝∴kBC ＝，∴BC的方程y－0＝（x－a）即４x－（3＋a）y－４a＝0令x ＝0，解得C点坐标为(0，），则kDC＝∵∠3＝∠４、∴解得a＝－，代入BC方程得5x－2y＋7＝0、另解：由入射角等于反射角可知BC一定过点A关于x的对称点A＇（-3，-4）及D点关于y轴的对称D＇（1，6）、由两点式得A＇D＇方程即BC方程5x－2y＋7＝0、［例3］等腰三角形两腰所在的直线方程为7x－y－9＝0与x＋y－7＝0，它的底边所在直线通过点A(3，－８），求底边所在的直线方程、解法一：设l1：7x－y－9＝0l2：x＋y－7＝0直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，则底边所在的直线l到l1的角与l2到l1的角为等腰三角形两底角，故相等、于是有即：（其中k为所求直线斜率)解得：k＝－3或k＝、∴所求直线方程为3x ＋y－1＝0，或x－3y－27＝0、解法二：设顶角平分线的斜率为k，由已知kl1＝7，kl2＝－1，于是有解得k＝或k＝－3由平面几何知识知道，顶角的平分线与底边垂直，所以底边的斜率为－3和、故所求直线方程为3x＋y－1＝0，或x－3y－27＝0、解法三：设底边所在直线的方程为y＋８＝k（x－3）、即kx－y－3k－８＝0由方程组解得等腰三角形顶点B的坐标为(2，5)、由方程组（k≠7)解得底边一端点C的坐标为（）、由方程组解得底边另一端点D的坐标为(）、由｜BC｜＝｜BD｜，得解得k＝－3或k＝故所求直线方程为：3x＋y－1＝0或x－3y－27＝0、●备课资料一、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系与二元一次方程组的关系、(1)若二元一次方程组有惟一解，即有惟一解，则l1，l2相交、(2)若二元一次方程组无解，则l1∥l2、(3)若二元一次方程组有无数个解，则直线l1与l2重合、二、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2，C2全不为0)的位置关系与方程系数的关系：(1)l1∥l2，(2)l1，l2相交，(3)l1，l2重合、三、参考例题［例1］两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－４＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是( )A、（－6，2）B、（－，0）C、（－，－）D、（，＋∞)解法一：解方程组得交点为(－）∵此点在第四象限∴∴－，故选C、解法二：如图，直线x＋2y－４＝0与x轴的交点是A （4，0），方程y＝kx＋2k＋1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x＋2y－４＝0平行的直线、由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率 kPB＜k＜kPA而kPA＝－，kPB＝－，所以－＜k＜－故选C、评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的方法解决，让学生予以体会、[例2] 若a+b+c=0,求证直线ax+by+c=0必经过一个定点、证明：由a+b+c=0,且a、b不同时为0，设b≠0，则a=-(b+c),代入直线方程ax+by+c=0,得（x-y）+(x-1)=0、此方程可视为直线x-y=0与x-1=0交点的直线系方程、解方程组得x=1，y=1，即两直线交点为（1，1）、故直线ax+by+c=0过定点（1，1）、●备课资料一、参考例题［例1］(1994年全国)点(0，5)到直线y＝2x的距离是( )A、B、C、D、解：直线方程化为2x－y＝0，由点到直线距离公式可得d ＝、选B、［例2］(1992年全国文)原点关于直线８x＋6y＝25的对称点坐标是( )A、（2，）B、（）C、（3，４）D、（４，3)解法一：取各点横纵坐标一半代入已知直线方程检验，D符合、解法二：设对称点坐标P（x0，y0），则PO中点坐标符合已知直线方程，且kPO（－）＝－1，即，解得P（４，3）、选D二、参考练习题1、已知一直线l被两平行线3x＋４y－7＝0和3x＋４y＋８＝0所截线段长为3，且l过点(2，3)，求l的方程、解：若l斜率不存在，则与题意不符；设直线的斜率为k，直线l的方程为：kx－y＋3－2k＝0由已知两条平行线间的距离为＝3，而l与此两条平行线所截线段长为3，设l与两平行线的夹角为α，则ｔaｎα＝1，两平行线斜率为－、概括两条直线的夹角公式：＝1解得k1＝，k2＝－7、所以直线l的方程是x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0、2、在直线x－3y－2＝0上求两点，使它与点(－2，2）构成等边三角形的三个顶点、解法一：点(－2，2）到直线x－3y－2的距离为d ＝，即等边三角形的高为、由此得等边三角形的边长为、若设此三角形在直线x－3y－2＝0上的顶点坐标为(x0，y0），则x0＝3y0＋2，所以其坐标为（3y0＋2，y0）于是有［3y0＋2－（－2）］2＋（y0－2）2＝（）2、整理得(y0＋1)2＝、∴y0＝－1，x0＝－1故两点为（-1+，-1+）和（－1－，－1－）、解法二：设过点（－2，2）的一条边所在直线的斜率为k、因为等边三角形的内角为60，所以三条边中每两条边的夹角都为60，于是tan60＝,即、解得k＝或k ＝、当k＝时，这条边所在直线方程为：y－2＝（x＋2），解方程组解得x＝－1－，y＝－1－、同理，当k＝时，可求得另一顶点为(－1＋，－1＋)、故两点为(－1＋，－1＋)和(－1－，－1－）备课资料一、直线系的概念一般地、具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含变量x、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量、简称参数、由于参数取向不同，就得不同的直线系、二、几种常见的直线系 (1)过定点的直线系①直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)它表示过定点(O，b)的直线系,但不包括y轴(即x=0)、②经过定点M(x0，y0)的直线系 y-y0=k(x-x0)(k为参数)它表示经过定点(x0 、y0)的直线系，但不包括平行y轴的那一条(即x=x0)、 (2)已知斜率的直线系①y=kx+b(k为常数,b为参数)它表示斜率为k的平行直线系、②若已知直线L：Ax+By+C=0、与L平行的直线系为Ax+By+m=0,(m为参数且m≠c)、③若已知直线L：Ax+By+C=O,与L垂直的直线系为Bx-Ay+n=O(n为参数)、 (3)经过两条直线交点的直线系①经过两直线Ll：A1x+Bly+C1=O(Al2+Bl2≠O)与L2：A2x+B2y+C2=O(A22+B22≠O)交点的直线系为m(Alx+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n为参数，m2+n2≠O)、当m=1,n=O时，方程即为L1的方程；当m=O,n=1时,方程即为L2的方程、②上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=O(其中λ为参数)，但是，方程中不包括直线L2，这个参数方程形式在解题中较为常用、三、常见的点关于直线的对称点有①A(a,b)关于x轴的对称点为A＇ (a，-b)；②B(a,b)关于y轴的对称点为B＇(-a、b)；③C(a，b)关于直线y=x的对称点为C＇(b,a)；④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D＇（-b,-a）; ⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P＇(2m-a,b)；⑥Q(a,b)关于直线、y=n的对称点为Q＇(a,2n-b); ⑦点E(a,b)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点E＇的求法：令E＇(x0、y0),则有解此方程组、可得对称点E＇的坐标、四、常见的直线关于直线的对称直线有设直线L：Ax+By+C=O ①L关于x轴的对称的直线是Ax+B(-y)+C=O；②L关于y轴的对称的直线是A(-x)+By+C=0; ③L关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=O; ④L关于直线y=-x对称的直线A(-y)+B(-x)+C=O、五、针对高考试题特点、对于本节内容应注意的问题1、认真理解和掌握好有关平行、垂直、夹角、距离等基础知识、基本方法及基本问题、2、认真掌握有关对称的四种基本类型问题的解法、即：1点关于点的对称问题；2直线关于点的对称问题；3点关于直线的对称问题；4直线关于直线的对称问题、3、在由两直线的位置关系确定有关字母的值或讨论直线Ax+By+C=0中各系数间的关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想、4、平面解析几何的核心是坐标法。
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高二数学 上学期两条直线的位置关系 第一课时教案一
●教学目标
1.掌握斜率存在的两直线平行或垂直的充要条件,并会根据直线方程判断两条直线是否平行或垂直.
2.能够选择恰当的坐标系,用解析法证平面几何定理和解平面几何问题.
●教学重点
两直线平行或垂直的充要条件
●教学难点
两直线平行或垂直的充要条件的理解与应用
●教学方法
学导式
●教具准备
幻灯片
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师:在初中几何里,我们研究过平面内两条直线互相平行和垂直的位置关系,现在我们研究怎样通过直线
的方程来判定平面直角坐标系中两条直线的平行或垂直的关系.首先,我们来复习平面向量的有关知识:直线
的方向向量与两向量互相垂直的充要条件.(学生回答略)
Ⅱ.讲授新课
1.两条直线的平行问题:
结论:当直线l1和l2有斜截式方程:222111:,:bxkylbxkyl时,
1
l
∥21212bbkkl且，
说明:当21kk或不存在时,容易判定两直线关系.
推导:设直线222111:,:bxkylbxkyl.
如果l1∥l2(图7—12)，那么直线l1和l2在y轴上的截距不相等，即21bb，但它们的倾斜角相等，即
21，21tantan，也就是21
kk
.
反过来,如果21bb,则l1和l2不重合,又如果21kk,也就是21tantan,那么由
1800
1
18002,并利用正切函数的图象,可知21
,所以l1∥l
2.
2.两条直线的垂直问题:
结论:如果两条直线的斜率为k1和k2,那么,这两条直线垂直的充要条件是121kk.
说明:当k1和k2不存在时,容易判定两直线是否垂直.
推导:设直线l1和l2的斜率分别是k1和k2,则直线l1有方向向量），（11ka,直线l2有方向向量
),1(2kb
,根据平面向量有关知识,
01102121kkbaball
也就是说12121kkll
3． 例题讲解:
例1.已知直线方程052:0742:21yxlyxl，,证明1l∥2l
证明:把l1、l2的方程写成斜截式：2521:,4721:21xylxyl
12121,,lbbkk∥2
l
例2．求过点A（1，-4）且与直线0532yx平行的直线的方程.
解:已知直线的斜率是32,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是32.
根据点斜式,得到所求直线的方程是:)1(324xy
即01032yx.
说明:例1,例2是两直线平行条件的简单应用,要求学生熟练掌握.
例3.已知两条直线:,052:,0742:21yxlyxl求证:.21ll
证明:1l的斜率21,21lk的斜率.22k
2121
,1)2(21llkk
.
例4.求过点A(2,1),且与直线0102yx垂直的直线l的方程.
解:直线0102yx的斜率是-2,因为直线l与已知直线垂直,所以它的斜率为:2121k
根据点斜式,得到l的方程:),2(211xy即02yx.
说明:例3,例4是两直线垂直条件的直接应用,要求大家熟练掌握.
Ⅲ.课堂练习
课本P47练习1,2,3,4.
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握两直线平行和垂直的充要条件,并能进行简单的应用.
●课后作业
习题7.3 1(1)(3),2(1),3,4(2)(4).
●板书设计
§7.3.1
1. 平行问题 2.垂直问题 例1 例3 学生
结论…… 结论…… …… ……
说明…… 说明…… 例2 例4 练习
推导…… 推导…… …… ……
●教学后记
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