弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典模拟题)
弧长和扇形面积的计算PPT课件
解:(1)答案不唯一.如:根据垂径定理可以证明 △CBE≌△DBE,得出BC=BD, BC和BD相等, 所以△BCD是等腰三角形,∠BCD=∠A;由直 径所对的圆周角等于90°,可以得出△ABC是直 角三角形,即BC⊥AC,进而得出OF∥BC;根据 CE⊥BE,由勾股定理可以得出BC2=CE2+BE2.
C.120° D.80°
解析:∵弧长的公式l= n R,∴
180
解得n=160.故选B.
8 n18,09
2.用半径为30 cm,圆心角为120°的扇形围成一 个圆锥的侧面,则圆锥的底面半径为( A ) A.10 cm B.30 cm
C.45 cm D.300 cm
解析:设此圆锥的底面半径为r cm,根据圆锥的
3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边 所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a, 高h,底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足 r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个 量的情况下求出第三个量.
检测反馈
1.已知一条弧的半径为9,弧长为8π,那么这条 弧所对的圆心角为 ( B ) A.200° B.160°
360
比较扇形面积公式S= n r2 和弧长公式
360
l nr，你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
180
扇形的面积公式：
(其中n为圆心角的度数,r为圆的半径,l为扇 形的弧长).
(教材168页例)如图所示,☉O的半 径为10 cm.
(1)如果∠AOB=100°,求 AB的长及扇形AOB的
面积.(结果保留一位小数) (2)已知 BC =25 cm,求∠BOC的度数.(结果精 确到1°)
R 3
= 60.
4.已知圆锥的母线长为5 cm,底面半 径为3 cm,那么圆锥侧面展开图中, 扇形的圆心角大小为 216° .
273第1课时弧长扇形面积公式课件华东师大版数学九年级下册
A.6
B.7
C.8
D.9
合作探究
求不规则图形的面积
D
A.π
B.2π
C.
D.π
合作探究
方法归纳交流 求图形面积的方法一般有两种:规则图形直 接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成 规则图 形 再进行计算.
合作探究
(1)已知扇形的面积为12π cm2，圆心角为120°，则扇 形的弧长为 4π cm.
预习导学
弧长公式 阅读课本本课时开始至第一个“探索”部分的内容，完成 下面问题. 1.半径为r的圆的周长为 2πr ，圆的周长可以看作是 360° 的圆心角所对的弧长.
预习导学
2.填表. 圆心角的度数 占周角的比例
所对弧占圆周长的比例 弧长
1° 90° 180° n°
预习导学
解: 圆心角的度数 占周角的比例
第27章 圆
27.3 圆中的计算问题 第1课时 弧长、扇形面积公式
素养目标
1.知道弧长、扇形面积的公式，会推导两者之间的关系. 2.会恰当熟练地运用公式计算弧长及扇形面积，增强数学应 用能力. ◎重点:弧长及扇形面积公式的推导及应用. ◎难点:弧长及扇形面积公式的应用.
预习导学
一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3米的绳 子，绳子的另一端拴着一条狗.(1)这条狗的最大活动区域有多大？ (2)如果这条狗只能绕柱子转过n°，那么它的最大活动区域有 多大？
合作探究
利用扇形面积公式进行计算 2.(1)在半径为6的☉O中，30°圆心角所对的扇形的面积为 3π .
(3)若扇形的面积为3π，半径是3，则该扇形的圆心角为 120° .
弧长和扇形面积公式ppt课件
3
2、已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm2，则这 个扇形的半径R=_6_c__m．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm，则扇形
的面积为___2_4__0____c．m2
小结： 扇形面积公式涉及三个量 扇形面积 ,圆心角的度数 ,弧所在
的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量。
360
2
=
0.24
1 2
0.6
3 0.3
≈0.91 m2
12
• 通过这两道题你有什么收获？
1.学会几何建模，既把实际问题转化为几何问题 2.转化思想
3.S弓=S扇—S△
0
0
S弓=S扇+S△ A
B
13
议一议：
1、本节课你学到了那些知识？ 2、本节课你学到了那些数学思想和方法？
14
15
360 180
n (4)n°圆心角所对弧长是多少？ ×π R 180
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长
l为 ，则
l nR
180
A
B
n°
O
3
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧
2 长为______
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8π ，那么
这条弧所对的圆心角为16_0_°__。
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过
40分钟,分针针端转过的弧长是( B )
A.
10 cm B.
3
20 cm C.
3
小结： 弧长公式涉及三个量
弧253长cm,D圆.心角5的03度c数m ,
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第
弧度制下的弧长与扇形面积公式
弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2. 思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．三、扇形的弧长、面积例 (1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．(2)圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．延伸探究已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，R 是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练 若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积．1．若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍2．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63．周长为9，圆心角为1 rad 的扇形面积为________．4．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．5．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【一隅三反】1．（2020·赤峰二中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）A ．4+B ．8+C ．8+D ．8+ 2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）一个半径是R 的扇形，其周长为3R ，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1B ．3C ．πD ．3π3．（2020·上海高一课时练习）在扇形AOB 中，半径等于r .（1）若弦AB 的长等于半径，求扇形的弧长l ；（2）若弦AB S。
冀教版九年级数学上册《弧长和扇形面积的计算》PPT优质课件
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝
4，则 BC 的长为( B )
A. 10 π
3
C. 5 π
9
B. 10 π
9
D. 5 π
18
知识点 2 扇形面积公式
半径为r的⊙O，面积为πr2，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所
对的弧长以及扇形的面积，填写下表：
= 120π 0.62 - 1 AB OD
360
2
=0.12π- 1 0.6 3 0.3 2
0.22（m2）.
1. 弧长公式为 l n • πr nπr .
180 180
2.
扇形的面积计算公式为
S扇形
nπr 2 360
.
3. 弧长和扇形面积都和圆心角n°，半径r有关系，
因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：
例1 若用一张直径为20 cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝
忽略不计，则所得圆锥的高为( A )
A．5 3 cm
B．5 5 cm
C. 5 15 cm
2
D．10 cm
导引：根据侧面展开图的弧长等于圆锥底面的圆周长，得
到圆锥底面的半径，再利用勾股定理计算圆锥的高．依题
意，得
1 2
×20π＝2πr，解得r＝5，由勾股定理，得所得圆
如图，PA为圆锥的一条母线，PO为圆锥的高 . 将圆锥的侧面沿母线PA展开成平面图形，该图形为 一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长 .
反过来，扇形也可以围成一个圆锥 .
1．圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体．如图所示． 2．圆锥的母线：如图所示，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连 线叫做圆锥的母线．母线有无数条，且每条母线都相等． 3．圆锥的高：如图所示，圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆 锥的高．
湘教版数学九年级下册第2章圆2.6弧长与扇形面积
B. 5 12
D. 2 3
★★3.如图,等腰△ABC为☉O的内接三角形,且顶角 ∠BAC=30°,☉O的半径r=6,求:世纪金榜导学号 (1) 的长度. (2)阴影部分弓形的面积. 略 B»C
【火眼金睛】 如图所示,半圆O中,直径AB长为4,C,D为半圆O的三等分 点,求阴影部分的面积.
【思路点拨】在优弧 上取一点D,连接AD,CD,根据圆 内接四边形的性质得到A»C∠ADC=60°,根据圆周角定理得 到∠AOC=2∠ADC=120°,根据弧长的公式计算即可.
【学霸提醒】 求弧长的“三个步骤”
第一步:从问题中找出公式所涉及的三个量(弧长l、弧 所对的圆心角、半径)中的两个; 第二步:把已知的两个量代入弧长公式; 第三步:求出公式中的未知量.
【题组训练】 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以 点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则 C»D的 长为 ( C )
A. 1 6
B.1 3
C. 2 3
D. 2 3 3
★2.(2019·泰州兴化市月考)如图,△ABC中,AC=AB
=9,∠C=65°,以点A为圆心,AB长为半径画 ,若
3 2
解:设油面所在的弦为AB,圆心是O, 过点O作OC⊥AB于点C.连接OA,OB,
在Rt△AOC中,AO=R,
OC= ∴AC3=R R R . ∴AB2= R,∠A2 OC=60°.∴△AOB的面积是
AO2 CO2 3R ， 2
3
3R 2 . 4
∵∠AOB=2∠AOC=120°,∴扇形OAB的面积是R 2
120 2 . 180 3
【一题多变】
如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫作正三角形的渐开
3.6弧长及扇形面积的计算
20 120 2 (30 20) 360 3
s扇环
800 1 20 (cm 2 ) （ 20） 20 2 3 3
已知扇形OAB的半径为r，∠AOB=900，以AB为直径作 半圆，如图，你会求图中“新月形”（阴影部分）的面积吗？
s阴影
2 1 2 r 90 r 1 2 ) r2 ( 2 2 360 2
1 360
圆心角为n0的扇形面积是圆面积的多少? 圆心角是n0的扇形面积是圆面积的
n 360
如果用字母 S 表示扇形的面积， n表示圆心角的度数，r 表示圆半 径，那么扇形面积的计算公式是：
S扇形＝
n 360
S圆 ＝
n r 2 360
探索发现 5
探索弧长与扇形面积的关系 比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你 能用弧长来表示扇形的面积吗? n 2 r
1 lr 。 2
（6）已知扇形的圆心角为300，面积为 3 cm 2 ，半径R=____ ． 6cm
2 （7）已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm ，面积为_____ 240cm．
试一试 2
探索弧长公式
设一圆为⊙O，半径为r。
1) 圆周长为多少?
2 r
O
2) 圆周角为360°，则 1°的圆心角所对的 弧长为多少？ 1 2 r
若象这样的n个圆呢？
l
2 n r s扇形 360 1 n 2 r 扇形的面积公式可看做三角形的面积 r 2 360 1 1 l r lr 2 2
360
r
l
例题赏析 4
20 30 120
lCD
800 (cm 2 ) 3
l BC
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
24[1].4.1弧长扇形面积1
回顾反思 组合图形的面积： 组合图形的面积： （1）割补法 ） （2）组合法 ） 其中： 其中： ①当弓形面积小于半圆时 S弓形= S扇形-S△ ②当弓形面积大于半圆时 S弓形= S扇形+S△
7 7 4 7 A. π− 3 B． π+ 3 ． 3 8 3 8 4 C. π D. π+ 3 3
A A1 C O B O1 H1 C1
H
颗粒归仓
n R π 1.弧长公式： 弧长公式： 弧长公式 l= 1 0 8 2 1 nπR = lR 2.扇形面积公式： S扇 = 扇形面积公式： 扇形面积公式 形 2 360
O
随堂训练 6、（ 、（2009年长春）如图，方格纸中 个 年长春） 、（ 年长春 如图，方格纸中4个 小正方形的边长均为1， 小正方形的边长均为 ，则图中阴影部分三个 3 （结果保留 小扇形的面积和为 π ）． π 8
点击中考
(2006,武汉 如图,⊙A 武汉) ,⊙A、 2. (2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D 相互外离,它们的半径都是1, 1,顺次连接四个圆心 相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心 得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分) ABCD,则图形中四个扇形 得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分) 的面积之和是___________. 的面积之和是___________.
边长比是多少？ 边长比是多少？
弧长和扇形面积1 弧长和扇形面积1
问题情境 制造弯形管道时， 要先按中心线计算“ 制造弯形管道时 ， 要先按中心线计算 “ 展直长 再下料， 度 ” ， 再下料 ， 试计算图所示管道的展直长度 L(单位：mm，精确到 单位： 单位 ，精确到1mm)
弧长公式扇形面积公式及其应用
弧长公式扇形面积公式及其应用弧长公式和扇形面积公式是圆的重要性质和公式，它们在几何学和物理学中有广泛的应用。
本文将从弧长公式和扇形面积公式的定义开始，介绍它们的推导过程，并且详细讨论它们的应用。
1.弧长公式弧长是圆周上任意两点之间的路径长度。
当圆的半径为r，弧长为s 时，根据圆的定义，可以推导出弧长公式：s=rθ其中，θ表示圆心角的大小，单位为弧度。
这个公式表明，弧长与半径成正比，与圆心角的大小成正比。
弧长公式在几何学中有着广泛的应用。
例如，在给定半径的圆上，如果我们知道一些圆心角的大小，就可以通过弧长公式计算出弧长。
同样地，如果我们知道了弧长和半径，就可以通过弧长公式计算出对应的圆心角的大小。
2.扇形面积公式扇形是由圆心、圆弧和两条半径所夹的区域。
当圆的半径为r，圆心角为θ时，可以推导出扇形面积公式：A=1/2r²θ这个公式表明，扇形的面积与半径的平方成正比，与圆心角的大小成正比。
扇形面积公式的应用也非常广泛。
例如，在给定半径和圆心角的情况下，可以通过扇形面积公式计算出扇形的面积。
同样地，如果我们已知扇形的面积和半径，就可以通过扇形面积公式计算出对应的圆心角。
3.应用举例弧长公式和扇形面积公式在日常生活和科学研究中有着很多应用。
下面举几个简单的例子来说明它们的应用。
例1：计算圆的弧长和扇形面积假设一个圆的半径为5cm，圆心角为60°，我们可以使用弧长公式计算出弧长为s = 5 * π/3 ≈ 5.24cm。
同时，使用扇形面积公式可以计算出扇形的面积为A = 1/2 * 5² * π/3 ≈ 8.72cm²。
例2：计算火车行驶的弧长假设一辆火车在铁轨上行驶的半径为100m的弯道上，行驶的角度为30°。
我们可以使用弧长公式计算出火车行驶的弧长为s=100*π/6≈52.36m。
例3：计算水泵的扇形喷射范围假设一台水泵在水平地面上喷射水流，喷射范围为半径为10m，角度为45°的扇形区域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 / 5
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点
重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，
例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积
是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角
为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积
的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
2 / 5
图
示
面
积
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全
面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并
明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，
若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称 圆锥 圆柱
图形
3 / 5
图形的形成过程
由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征 扇形 矩形
面积计算方法
【典型例题】
例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，
则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
例2. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇
形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，
垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）
例3. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，
以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。
例4. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米
（1）求扇形的弧长。
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
。
模拟练习题
一、选择题
4 / 5
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ）
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）
A. B. C. D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半
径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶
2，则它们的高之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：
9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥
的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（ ）
A. S1＝S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2 D. S1、S2的大小关系不确定
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积
是 cm2.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .
3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为 .
4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一
个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则
S1： S2＝ 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形
的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。
5 / 5
6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴
影部分的面积是 。
7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴
影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长
线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л
取3）。
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是S2，
如果圆锥和圆柱等底等高，求．