外角的性质
初中数学 什么是角的外部
初中数学什么是角的外部
在初中数学中，我们学习了角的概念以及角的内部，而角的外部是指不在角内部的部分。
以下是一些关于角的外部的重要概念和性质：
1. 定义：角的外部是指不在角内部的部分。
具体地说，角的外部包括角度大于180度的部分。
2. 性质1：对于一个角来说，它的外部是由两条射线组成的。
这两条射线与角的两条边相交，但不在角内部。
3. 性质2：角的外部可以被划分成两个相邻的外角。
相邻外角是指与同一边相邻的两个外角。
4. 性质3：对于一个凸多边形来说，它的每个内角的外部都是由多边形的两条边组成的。
5. 性质4：角的外部与角的内部互补。
互补指的是两个角的度数之和等于180度。
换句话说，一个角的外部和内部的度数之和等于180度。
理解角的外部概念和性质对于解决与角的外部相关的问题非常重要。
例如，我们可以使用角的外部概念来确定一个角的外部是由哪两条射线组成的，找到一个角的相邻外角，或者证明一个角的外部和内部互补。
总结起来，角的外部是指不在角内部的部分，具体来说，角的外部包括角度大于180度的部分。
一个角的外部由两条射线组成，与角的两条边相交，但不在角内部。
角的外部可以被划分为两个相邻外角。
对于一个凸多边形来说，它的每个内角的外部由多边形的两条边组成。
角的外部与角的内部互补，即角的外部和内部的度数之和等于180度。
理解和应用这些角的外部概念和性质，有助于解决各种与角的外部相关的问题。
三角形外角和的性质
三角形外角和的性质三角形是我们学习数学的基础概念之一，它有着许多有趣的性质和特点。
其中之一就是三角形外角和的性质。
本文将详细介绍三角形外角和的概念、计算方法以及相关的数学定理。
一、三角形外角的定义和性质在了解三角形外角和之前，我们首先需要了解三角形外角的定义和性质。
三角形外角是指三角形的一个内角的补角。
具体来说，如果我们把三角形的两个内角的补角相加，所得的和就是这个三角形的一个外角。
三角形外角的性质有以下几点：1. 三角形外角和等于360度三角形的三个外角的和等于360度。
这是因为一个平面内的角度和为360度，在三角形中，三个外角恰好占满这个角度和。
2. 三角形外角和与角点不相邻的内角之和相等三角形外角和等于三角形中与角点不相邻的内角之和。
也就是说，如果我们将三角形的一个内角分解为该三角形另外两个角，则这两个角的和等于三角形的一个外角，即三角形外角和。
二、计算三角形外角和的方法计算三角形外角和的方法主要有以下两种：1. 直接相加法直接相加法是最简单的计算三角形外角和的方法。
我们只需要将三角形的三个外角的度数相加即可得到三角形外角和。
根据三角形外角和等于360度的定理，这些外角度数之和始终等于360度。
2. 计算角点不相邻的内角之和法计算三角形外角和的另一种方法是计算角点不相邻的内角之和。
首先，我们将三角形的一个内角分解为该三角形另外两个角，然后计算这两个角的度数之和，即可得到三角形外角和。
这种方法更适用于已知三角形的内角度数的情况。
三、三角形外角和的数学定理关于三角形外角和的数学定理有以下两个重要定理：1. 第一外角定理第一外角定理指出，一个三角形的一个外角等于它所对应的两个内角之和。
也就是说，如果我们将三角形的一个外角分解为该三角形另外两个角，则这两个角的和等于这个外角的度数。
2. 第二外角定理第二外角定理指出，一个三角形的两个外角之和等于第三个外角的度数。
也就是说，如果我们将三角形的两个外角的度数相加，所得的和等于这个三角形的另外一个外角的度数。
什么是三角形的外角
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外角则是与三角形相关的一个重要概念。
本文将详细介绍什么是三角形的外角以及它的特性和性质。
正文内容：1.外角的定义1.1三角形的内角三角形由三条线段组成，而每个顶点都对应一个角度，称为内角。
三角形的内角之和一定为180度。
1.2外角的概念在三角形的一条边的延长线上，取一点使其与另外两条边的一条延长线上的点相连，所形成的角度称为三角形的外角。
一个三角形有三个外角，分别对应于三个顶点。
2.外角与内角的关系2.1外角与内角的关系2.2外角的性质2.2.1外角的度数三角形的外角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于三角形的内角。
当内角为直角时，外角为直角；当内角为锐角时，外角也是锐角；当内角为钝角时，外角为钝角。
2.2.2外角与三角形的顶点三角形的外角是以三角形的顶点为中心的角度，外角的度数等于不与它相邻的两个内角的度数之和。
3.外角的特性3.1外角定理外角定理是三角形的一个重要性质，表明三角形的一个外角等于它不相邻的内角之和。
即一个三角形的外角A等于不与它相邻的内角B和C之和，也就是A=B+C。
3.2外角与内角和的关系对于任意一个三角形，它的三个外角之和等于360度。
即外角A+外角B+外角C=360度。
4.外角的应用4.1利用外角求内角通过知道三角形的一个外角的度数，可以利用外角与内角的关系推导出该外角对应的内角的度数。
4.2利用外角定理求解问题根据外角定理，可以求解一些与三角形的内角和外角相关的问题，例如寻找缺失的角度或计算三角形的内角和外角之和。
5.总结三角形的外角是相对于三角形顶点的角度，在三角形中具有重要的性质和特性。
外角与内角之间存在着一定的关系，可以利用这些关系求解三角形相关的问题。
通过对外角的研究，可以更好地理解三角形的性质和特点。
多边形的内角和定理与外角性质
多边形的内角和定理与外角性质多边形是几何学中的重要概念，它由多个直线段组成，每个直线段叫做边。
多边形的内角和定理和外角性质是我们在研究多边形时经常遇到的内容。
在本文中，我们将深入探讨这些定理和性质。
一、多边形的内角和定理多边形的内角和定理是指多边形内部各角度之和与多边形的边数之间的关系。
对于n边形来说，它的内角和S可通过以下公式计算得到：S = (n - 2) × 180°其中，n代表多边形的边数。
这个公式可以用来计算正多边形、凹多边形和凸多边形的内角和。
举个例子来说，我们以4边形（四边形）为例。
根据内角和定理，我们可以得知：S = (4 - 2) × 180°= 2 × 180°= 360°也就是说，四边形的内角和为360°。
同样的道理，我们可以根据这个公式计算出其他多边形的内角和。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指多边形的某个内角与与其相邻的两个外角的夹角。
对于任意n边形来说，它的外角性质有以下几个特点：1. 一组相邻的外角之和等于360°对于n边形来说，它的所有外角之和等于360°。
可以通过如下公式计算：∑(n个外角) = 360°2. 外角与对应的内角之和等于180°多边形的外角与对应的内角之和总是等于180°，即：外角 + 内角 = 180°这两个性质可以帮助我们计算多边形的外角度数以及验证几何问题中的相关结论。
例如，我们以正五边形为例。
正五边形有五个内角，那么它的外角个数也是五个。
根据性质1，五个外角之和应该等于360°。
如果我们假设外角A为72°，根据性质2，内角A的度数应该是180°-72°=108°。
我们可以通过验证性质1和性质2来确保我们的计算正确。
将五个外角的度数相加，如果结果等于360°，我们就验证了性质1。
七年级下册数学第九章三角形的外角与内角
七年级下册数学第九章三角形的外角与内角摘要：一、三角形的外角与内角的基本概念二、三角形外角与内角的关系三、三角形外角与内角的性质与应用四、如何利用外角与内角解决实际问题五、总结与拓展正文：一、三角形的外角与内角的基本概念在七年级下册数学的第九章，我们将学习三角形的外角与内角。
三角形的外角是指一个三角形的一个角的外部角，而内角则是指三角形的一个角的内部角。
外角和内角是三角形的重要构成部分，它们之间的关系和性质对于我们理解和解决实际问题具有重要意义。
二、三角形外角与内角的关系根据外角和内角的定义，我们可以知道三角形的外角和内角之间存在以下关系：1.外角和等于内角和：一个三角形的一个外角与它所对应的内角之和等于180度。
2.外角大于任何一个不相邻的内角：对于一个三角形，它的任意一个外角都大于与之不相邻的内角。
三、三角形外角与内角的性质与应用掌握了三角形外角与内角的关系后，我们可以运用这些性质来解决实际问题。
例如，在解决几何图形的面积、周长等问题时，可以利用外角与内角的关系进行简化。
此外，外角与内角的关系在证明几何命题时也具有很高的实用价值。
四、如何利用外角与内角解决实际问题下面我们通过一个实例来展示如何利用外角与内角解决实际问题。
题目：已知一个三角形的两边长分别为3和4，求这个三角形的最大面积。
解：根据三角形外角与内角的关系，我们可以先求得这个三角形的一个外角，然后利用外角与内角的关系求得第三个内角，进而求得三角形的面积。
五、总结与拓展通过本章的学习，我们掌握了三角形的外角与内角的基本概念和性质，并学会了如何利用这些性质解决实际问题。
在今后的学习中，我们要不断加强对三角形外角与内角的理解，熟练运用它们的性质，提高解决实际问题的能力。
多边形的外角和
多边形的外角和多边形是指由若干个直线段围成的封闭图形，其中每个角都是两条相邻边之间的夹角。
除了内角之外，多边形还有一种特殊的角——外角。
在本文中，我们将探讨多边形的外角及其特性。
一、多边形的外角定义在多边形中，如果一个角的顶点在多边形的外部，而角的两条边分别与多边形的两条相邻边相交，那么这个角就是多边形的外角。
多边形的每个角都有一个对应的外角。
二、多边形外角的性质1.外角与内角的关系多边形的外角和对应内角的两条边是同一直线上的角，它们的和等于180度。
也就是说，对于任意一个多边形的外角A，它所对应的内角B满足以下关系：∠A + ∠B = 180度2.多边形外角的度数对于n边形（n≥3），它的外角度数等于360度除以n。
也就是说，对于一个n边形的每个外角A，它的度数满足以下关系：∠A = 360度 ÷ n3.多边形的所有外角之和一个n边形的所有外角之和等于360度。
也就是说，对于一个n边形，它的所有外角A1、A2、A3…An满足以下关系：∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + … + ∠An = 360度三、多边形外角的应用举例1.正多边形的外角正多边形是指所有边的长度相等且所有角的度数相等的多边形。
对于正n边形（n≥3），它的每个外角的度数可以通过以下公式计算：∠A = 360度 ÷ n例如，对于正五边形，它的外角的度数为360度 ÷ 5 = 72度。
2.求多边形的内角已知一个多边形的外角度数为x度，要求计算该多边形的内角度数。
根据前面提到的性质，可以得到以下公式：∠B = 180度 - ∠A其中，∠B表示多边形对应外角的内角度数。
3.判断多边形类型通过多边形的外角性质，我们可以利用这一特点来判断多边形的类型。
例如，如果一个多边形的外角度数都相等，则可以判断它是正多边形。
如果一个多边形的外角度数递增或递减，则可以判断它是凸多边形或凹多边形。
四、总结多边形的外角是与多边形内角相对应并位于多边形外部的角。
三角形外心与外角的性质研究
三角形外心与外角的性质研究在三角形的研究中，外心和外角是重要的概念之一。
它们之间存在着一些特殊的性质和关系，值得我们深入研究。
本文将从三角形外心的定义和性质出发，探讨外心与外角间的几何关系，并给出一些相关的证明和实例，以便更好地理解这一问题。
一、三角形外心的定义和性质三角形的外心是指能够与该三角形三个顶点相切于一圆的圆心，记作O。
根据外切圆的性质，外心到三角形三个顶点的距离都相等，即AO=BO=CO。
这种特殊的位置使得外心在三角形的研究中具有重要的地位。
二、外心与外角的性质1. 外心与外角的关系：任意三角形的外心都是其相应外角的内心。
这意味着外心到三角形的三边上的角平分线的距离都相等，即OD=OE=OF。
这个性质可以通过多边形外角和内角的性质推导出来。
2. 外心角与内心角的关系：三角形的外心角是指外心对应的那个角，它等于对应的内心角的一半。
换句话说，三角形的外心角等于对应内心角的补角，即∠AOC=180°-∠ABC/2。
三、相关证明和实例下面我们通过证明和实例来进一步说明外心与外角的性质。
证明一：外心角等于内心角的一半假设△ABC的外心为O，内心为I，垂直平分线交边BC于D，边AC于E，边AB于F。
连线OA、OB、OC，延长AO交BC于G。
根据△AGC和△AIC的共边共角相等，可以得到∠ACG=∠AIQ，即∠ACO=∠AIO。
同理，∠ABO=∠AIO。
又因为△ABO和△ACO是等腰三角形，所以∠BOA=∠AOC。
因此，∠AOC=∠AOB+∠BOA=∠AIO+∠AIO=2∠AIO。
根据外心角和内心角的定义，我们可以得出结论：三角形的外心角等于对应内心角的一半。
实例一：等腰三角形的外心和外角考虑一个等腰三角形△ABC，其中AB=AC。
根据等腰三角形的性质，垂直平分线和中线重合，交于三角形的底边中点D。
由于三角形是等腰的，所以OD⊥AB、OD⊥AC。
由外心的定义可知，OD也是三角形的外切圆的半径。
多边形的内角和外角
多边形的内角和外角多边形是几何学中常见的图形，由多个直线边构成，每个角由相邻两条边所夹。
本文将介绍多边形的内角和外角的性质和计算方法。
1. 多边形的内角和外角性质内角：指多边形内部两条边所夹的角度。
一般来说，n 边形（n边形是指有n条边的多边形）的内角和为 (n-2) * 180度。
例如，三角形的内角和为 (3-2) * 180 = 180度，四边形的内角和为 (4-2) * 180 = 360度。
外角：指多边形内部一条边的延长线与相邻边所夹的角度。
多边形的外角和等于360度，即各个外角的和等于360度。
这意味着每个外角都相等。
例如，三角形的外角和为360度，四边形的外角和也为360度。
2. 多边形内角和计算方法当已知多边形的边数 n 时，内角和可以通过以下公式计算：内角和= (n-2) * 180度。
举例：- 三角形的内角和 = (3-2) * 180度 = 180度- 四边形的内角和 = (4-2) * 180度 = 360度3. 多边形外角的计算方法多边形的外角和始终等于360度，即每个外角的度数相等。
当已知多边形的边数n 时，每个外角的度数可以通过以下公式计算：外角度数 = 360度 / n。
举例：- 三角形的外角度数 = 360度 / 3 = 120度- 四边形的外角度数 = 360度 / 4 = 90度4. 多边形内角和外角的应用多边形的内角和外角的性质在许多几何问题中有重要的应用。
- 在计算多边形的内角和时，我们可以通过已知内角和求解未知内角的方法来确定多边形内部的角度分布，从而帮助计算各种几何问题。
- 外角和的知识可以帮助我们计算多边形中某个顶点的外角度数，从而在解决几何问题时提供有效的信息。
5. 总结多边形的内角和是 (n-2) * 180度，每个内角的度数与多边形的边数n 有关。
多边形的外角和为360度，每个外角的度数等于 360度 / n。
多边形的内角和外角的性质和计算方法是解决几何问题中重要的基础知识。
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外角的性质
角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征
如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1
外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质
1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用
1. 求角的度数
例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
-55=125°。
解析：如图2，∠A的外角为：180°︒
∠B的外角为：180°－65°=115°
∠ACB的外角为：55°+65°=120°
所以选D 。
图2
例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ） A. 23°
B. 42°
C. 65°
D. 19°
图3
解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角
则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。
例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ） A.
α2
1
B. α3
1
C.
α4
1
D.
α3
2
图4
解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α
（1）
因为AB=AC ，AD=AE 所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C
（2）
将（2）代入（1）得：
α+∠=+∠+ABC x C x
所以α=
2
1
x 所以选A 。
2. 判定三角形的形状
例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形
D. 以上三种情况都有可能
解析：如图5，在三角形ABC 中，∠BAC 的外角∠CAD<∠BAC
而∠CAD+∠BAC=180°
即：∠CAD=180°－∠BAC
所以180°－∠BAC<∠BAC
所以∠BAC>90°
故选C
图5
3. 证明两角相等
例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC 边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。
求证：△ADB≌△DEC。
图6
分析：因为∠ADC是△ADB的外角
所以∠ADC=∠B+∠BAD
而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE
所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD
因此∠BAD=∠CDE
又AB=AC，可得∠B=∠C
而AD=DE
所以△ADB≌△DEC
例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，3
2
CD =，则△ABC 的边长为（ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
图7
分析：因为△ABC 为等边三角形，所以∠B=∠C=60° 又因为∠APC 是△ABP 的外角 所以∠APC=∠B+∠BAP 而∠B=∠APD=60° 所以∠BAP=∠CPD
又∠B=∠C ，所以△ABP ∽△PCD 所以
CD
BP
PC AB =。
设△ABC 边长为x ，则
3
2
11x x =- 解得x=3 故选A
4. 证明角度不等关系
例7. 已知，如图8，在△ABC 中，D 是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC 。
图8
证明：延长BD交AC于E
在△ABE中，∠BEC>∠A
在△CDE中，∠BDC>∠BEC
所以∠BDC>∠A
例8.已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。
图9
证明：因为∠BAC=90°
所以∠BAD+∠DAC=90°
又因为AD⊥BC
所以∠ADB=90°
所以∠ABC+∠BAD=90°
所以∠ABC=∠DAC
又因为∠DEC是△AEC外角
所以∠DEC>∠DAC
所以∠DEC>∠ABC
5. 证明角度的和差关系
例9. 如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠AFE，延长EF与BC的延长线交于
G ，求证：)B ACB (2
1
G ∠-∠=
∠。
图10
证明：因为∠AEF=∠B+∠G 又因为∠AEF=∠AFE ，∠AFE=∠GFC 所以∠AEF=∠GFC 所以∠GFC=∠B+∠G
① 又因为∠ACB=∠GFC+∠G
②
①+②得：∠ACB=∠B+2∠G 所以)B ACB (2
1
G ∠-∠=∠
例10. 如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
图11
证明：如图11，∠1=∠C+∠D ，∠2=∠A+∠E 而∠1+∠2+∠B=180°
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
练习：
1. （1996年昆明市中考）如图12，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且4:3:2::=γβα，则∠ACB 等于（ ） A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 80°
图12
2. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 交于一点P 。
若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） A. 150°
B. 130°
C. 120°
D. 100°
图13
3. （2005年浙江省中考）如图14，直线a//b ，则∠A=_________度。
图14
4. 如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。
（提示：利用如图∠1、∠2即可）。
图15
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。